中考數(shù)學(xué)解題技巧 92圓的輔助線機(jī)密

輔助圓例題精講如圖，的圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，直線的表達(dá)式為，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作直線，交圓于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，連接、，作于，于，，，，，，，四邊形是正方形，，，，設(shè)，，則，，，，，解得，，的半徑為1，，故選：．如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則面積的最小值是A．30 B．29 C．28 D．27【解答】解：過(guò)作于，連接，如圖，令，則，令，則，，，，，，則由三角形面積公式得，，，圓上點(diǎn)到直線的最小距離是，面積的最小值是．故選：．如圖，在中，，，，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，半圓與相切，，分別是與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之差是A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：如圖，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作垂足為交于，此時(shí)垂線段最短，最小值為，，，，，，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，，，與相切于點(diǎn)，，，，，最小值為，如圖，當(dāng)在邊上時(shí)，與重合時(shí)，經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，最大值，長(zhǎng)的最大值與最小值的差是．故選：．如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)，使，連接，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：中，，，，，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最短，可得此時(shí)，在中，，故的最短值為：，故選：．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)和分別從、同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、向終點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)，連接、，交于點(diǎn)，連接，則長(zhǎng)的最小值為A． B．2 C． D．【解答】解：由題意得：，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，，，點(diǎn)是以為半徑的圓上遠(yuǎn)動(dòng)，設(shè)圓心為，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧，是這個(gè)圓的，如圖所示：連接交圓于，此時(shí)最小，，，由勾股定理得：，；故選：．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，動(dòng)點(diǎn)、分別以相同的速度從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向、運(yùn)動(dòng)（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），、交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為A． B． C． D．【解答】解：如圖，動(dòng)點(diǎn)，的速度相同，，又，，在和中，，，，，，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中保持，點(diǎn)的路徑是一段以為直徑的弧，設(shè)的中點(diǎn)為，連接交弧于點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小，在中，，，，即線段的最小值為，故選：．如圖，在中，，，，以邊的中點(diǎn)為圓心，作半圓與相切，點(diǎn)，分別是邊和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則長(zhǎng)的最大值與最小值的和是A．9 B．10 C． D．【解答】解：如圖，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，作垂足為交于，此時(shí)垂線段最短，最小值為，，，，，，，，，，最小值為，如圖，當(dāng)在邊上時(shí)，與重合時(shí)，經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，最大值，長(zhǎng)的最大值與最小值的和是9故選：．如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是以為圓心，以2為半徑為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，且，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心、1為半徑的圓，則當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí)，最大，為，故選：．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)，，，，的半徑為為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)的最小值為A． B． C．3 D．【解答】解：連接、．是的切線，；根據(jù)勾股定理知，當(dāng)時(shí)，線段最短；又，，，，，，，．故選：．最新模擬題如圖，在中，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值是．【解答】解：，．取的中點(diǎn)，連接，則，點(diǎn)在以為直徑的上，連接，易知當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，如圖所示．在中，，，，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，，，即的最小值為．故答案為．如圖，在中，，，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的最大值為．【解答】解：在中，，，，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，連接，如圖，則，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線于的交點(diǎn)時(shí)，最大，的最大值為．故答案．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且．連接、交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則的最小值為．【解答】解：，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)中點(diǎn)為，連接，如圖所示．則．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，為的中位線，，．．，，．，．在中，．在中，，，故答案為．如圖，在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足．則線段的最小值為．【解答】解：，，，，點(diǎn)在以為直徑的上，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，在中，，，，，．最小值為8．故答案為8如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為．【解答】解：在正方形中，，，，，，在和中，，，，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，由圖形可知：當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，有最小值，如圖所示：，，，，故答案為：．等腰直角中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，連接，則的最小值為．【解答】解：，是定值，點(diǎn)是在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括點(diǎn)和點(diǎn)），連接，則．，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最短，此時(shí)．故答案為．如圖，在中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為．【解答】解：，，，，點(diǎn)在以為直徑的上，當(dāng)、、共線時(shí)最小，在中，，，，，．最小值為2故答案為2如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為．【解答】解：取的中點(diǎn)，連接，，，，，，（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），點(diǎn)在以為直徑的的一部分弧線上，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，其最小值為，在中，，，，，．最小值為1．故答案為1如圖，在中，，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作圓，連接交圓于點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：連接，取的中點(diǎn)，作直徑為的，連接，，，，，，，是的直徑，，點(diǎn)在上，在的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，且、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值為．故答案為：．如圖，在正方形中，，，分別為，上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，的直線將正方形的面積分為相等的兩部分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為．【解答】解：連接，交于，過(guò)點(diǎn)、的直線將正方形的面積分為相等的兩部分，過(guò)點(diǎn)，，，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，設(shè)的中點(diǎn)為，連接交半圓弧于，則此時(shí)，最小，四邊形是正方形，，，，，，，．故答案為：．如圖，在矩形紙片中，邊，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），將紙片沿折疊，則的最小值為．【解答】解：連接，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值，四邊形是矩形，，，，，，由折疊性質(zhì)得：，，的最小值，故答案為：8如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，動(dòng)點(diǎn)，分別在，上移動(dòng)，，和交于點(diǎn)，則線段的最小值是．【解答】解：四邊形是正方形，，．在和中，，．，，，．，點(diǎn)的路徑是一段以為直徑的弧，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接交弧于點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小，在中，，，故答案為．如圖，、是邊長(zhǎng)為4的正方形的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），且滿足．連接交于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，則線段的取值范圍是．【解答】解：在正方形中，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，取的中點(diǎn)，連接、，則，在中，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，的最小值．點(diǎn)的軌跡只在內(nèi)部，，線段的取值范圍是．如圖，中，，，．以為邊作正方形．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)作的垂線，垂足為，連接．則線段的最小值是．【解答】解：如圖，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上，連接與圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)線段的值最小，，，，，，過(guò)作，交于，，，，，則線段的最小值是．故答案為：．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個(gè)