2019版高中全程練習(xí)方略配套資料：互斥事件

第六節(jié)互斥事件內(nèi)容要求ABC互斥事件及其發(fā)生的概率√…………高考指數(shù):★1.互斥事件及對(duì)立事件(1)互斥事件定義不能_____發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件.推廣如果事件A1,A2,…，An中的_____________________，就說(shuō)事件A1，A2，…，An彼此互斥.同時(shí)任何兩個(gè)都是互斥事件必有一個(gè)發(fā)生

【即時(shí)應(yīng)用】(1)兩個(gè)事件互斥是這兩個(gè)事件對(duì)立的________條件.(2)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，下列兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是__________(填序號(hào)).①至少有1個(gè)白球，都是白球②至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球③恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球④至少有1個(gè)白球，都是紅球【解析】(1)互斥不一定對(duì)立，但對(duì)立一定互斥，故互斥是對(duì)立的必要不充分條件.(2)①、②中的兩個(gè)事件不互斥，當(dāng)然也不對(duì)立；③中的兩個(gè)事件互斥，但不對(duì)立；④中的兩個(gè)事件不但互斥，而且對(duì)立.所以正確答案應(yīng)為③.答案：(1)必要不充分(2)③2.互斥事件及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式(1)互斥事件的概率加法公式記法設(shè)A，B為互斥事，若___________________發(fā)生，我們把這個(gè)事件記作A+B基本公式

如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A+B)=__________.推廣公式如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那P(A1+A2+…+An)=____________________.事件A，B至少有一個(gè)P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)1【即時(shí)應(yīng)用】(1)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是0.05和0.03，則抽驗(yàn)一只是正品(甲級(jí))的概率為_(kāi)_____.(2)若A、B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A+B)＝0.7，則P(B)＝______.(3)在人民商場(chǎng)付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下：則至少有兩人排隊(duì)的概率為_(kāi)_______.排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04【解析】(1)記抽驗(yàn)的產(chǎn)品是甲級(jí)品為事件A，是乙級(jí)品為事件B，是丙級(jí)品為事件C，這三個(gè)事件彼此互斥，因而抽驗(yàn)產(chǎn)品是正品(甲級(jí))的概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.(2)∵A、B為互斥事件，∴P(A+B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A+B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.(3)P=1-(0.1+0.16)=0.74答案：(1)0.92(2)0.3(3)0.74互斥事件與對(duì)立事件的判定【方法點(diǎn)睛】1.互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；(2)所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中所涉及的；(3)兩個(gè)事件互斥是從“試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)”來(lái)確定的．2.從集合角度理解互斥和對(duì)立事件從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.

【例1】判斷下列各對(duì)事件是否是互斥事件或?qū)α⑹录?某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生.【解題指南】應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注從3名男生和2名女生中任選2名同學(xué)的所有可能情況，然后根據(jù)各事件包含的各種可能結(jié)果來(lái)判斷各事件的關(guān)系.【規(guī)范解答】(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件.原因是：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)是選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對(duì)互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是對(duì)立事件.(2)不是互斥事件，從而也不是對(duì)立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”與“兩名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時(shí)發(fā)生.(3)不是互斥事件，也不是對(duì)立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”，這與“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生.(4)是互斥事件，也是對(duì)立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，且其并事件是必然事件，所以也是對(duì)立事件.

【反思·感悟】判斷兩事件的關(guān)系時(shí)，一是要考慮試驗(yàn)的前提條件；二是考慮事件間是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析.對(duì)于較難作出判斷關(guān)系的情況，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析.【變式訓(xùn)練】從一副橋牌(52張)中任取1張.判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”.【解析】(1)是互斥事件但不是對(duì)立事件.因?yàn)椤俺槌黾t桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，因而是互斥的.同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對(duì)立.(2)是互斥事件又是對(duì)立事件.因?yàn)閮烧卟豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生.(3)不是互斥事件，更不是對(duì)立事件.因?yàn)椤俺槌龅呐泣c(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生.【變式備選】某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)”，事件C為“至多訂一種報(bào)”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)也不訂”.判斷下列事件是不是互斥事件？如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件.(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.【解析】(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)”中可能只訂甲報(bào)，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件.(2)事件B“至少訂一種報(bào)”與事件E“一種報(bào)也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故事件B與事件E是互斥事件.由于事件B發(fā)生可導(dǎo)致事件E必不發(fā)生，且事件E不發(fā)生則事件B一定發(fā)生，故事件B與事件E是對(duì)立事件.(3)事件B“至少訂一種報(bào)”中有可能只訂乙報(bào)，不訂甲報(bào)，也就是說(shuō)事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件.(4)事件B“至少訂一種報(bào)”中有這些可能：“只訂甲報(bào)”，“只訂乙報(bào)”，“訂甲、乙兩種報(bào)”.事件C“至多訂一種報(bào)”中有這些可能：“甲、乙兩種報(bào)都不訂”，“只訂甲報(bào)”，“只訂乙報(bào)”.由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件.(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報(bào)也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件.

互斥事件、對(duì)立事件的概率【方法點(diǎn)睛】求復(fù)雜的互斥事件的概率的一般方法(1)直接求法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算.(2)間接求法：先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)=1-P()，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡(jiǎn)便.【提醒】應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和.

【例2】(1)在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)?cè)?0分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，則小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分及以上的概率為_(kāi)_______.(2)國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過(guò)近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次，命中7～10環(huán)的概率如表所示：求該射擊隊(duì)員射擊一次①射中9環(huán)或10環(huán)的概率；②至少命中8環(huán)的概率.命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12【解題指南】(1)小明的成績(jī)?cè)?0分及以上可以看作是互斥事件“80～89分”“90分及以上”的并事件；(2)該射擊隊(duì)員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時(shí)發(fā)生，故彼此是互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外，當(dāng)直接求解不容易時(shí)，可先求其對(duì)立事件的概率.【規(guī)范解答】(1)分別記小明的成績(jī)“在90分及以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“60分以下”為事件B、C、D、E、F，這五個(gè)事件彼此互斥.所以小明的成績(jī)?cè)?0分及以上的概率是：P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.答案：0.69(2)記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥.①記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.②設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”為事件B，那么當(dāng)A8，A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件B發(fā)生.由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.【互動(dòng)探究】在本例(1)中條件不變，求小明在數(shù)學(xué)考試中及格的概率.【解析】方法一：由例題知小明考試及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二：小明考試不及格的概率是0.07，記“小明考試及格”為事件A.所以小明考試及格的概率是P(A)=1-0.07=0.93.所以小明在數(shù)學(xué)考試中及格的概率是0.93.【反思·感悟】互斥事件概率公式應(yīng)用的條件必須明白事件A、B互斥的條件，只有互斥事件才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).【變式備選】一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出的1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.【解析】記事件A1={任取1球?yàn)榧t球}；A2={任取1球?yàn)楹谇騷；A3={任取1球?yàn)榘浊騷；A4={任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=.方法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)根據(jù)題意知，事件A1,A2,A3,A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得：(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為方法二：(利用對(duì)立事件求概率的方法)(1)由方法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出一白球或綠球，即A1+A2的對(duì)立事件為A3+A4.所以取得一紅球或黑球的概率為：(2)A1+A2+A3的對(duì)立事件為A4,所以【滿分指導(dǎo)】互斥事件主觀題的規(guī)范解答【典例】(14分)(2011·陜西高考)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間

(分鐘)10～2020～3030～4040～5040～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．【解題指南】(1)讀懂所給表格，確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計(jì)值；(2)根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算；(3)計(jì)算選擇不同的路徑，在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站的概率，通過(guò)比較概率的大小確定選擇的最佳路徑．【規(guī)范解答】(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人，用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.………………3分(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：

…………………6分所用時(shí)間

(分鐘)10～2020～3030～4040～5040～60選擇路徑L1

的頻率0.10.20.30.20.2選擇路徑L2

的頻率00.10.40.40.1(3)用A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；用B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，P(A1)>P(A2)，甲應(yīng)選擇路徑L1；……………12分P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，P(B2)＞P(B1)，乙應(yīng)選擇路徑L2.……………14分【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示

解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：(1)思維受阻，不能將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為頻率來(lái)進(jìn)行估計(jì)；(2)在解答第(3)問(wèn)時(shí)，不能正確地把所求事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.備考建議解決互斥事件的概率問(wèn)題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：(1)不判斷事件是否彼此互斥，盲目套用概率加法公式導(dǎo)致錯(cuò)誤；(2)事件較復(fù)雜時(shí)，不能用對(duì)立事件求其對(duì)立面來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程；(3)解決互斥與對(duì)立事件問(wèn)題時(shí)，由于對(duì)事件的互斥與對(duì)立關(guān)系不清楚，不能正確判斷互斥與對(duì)立事件的關(guān)系而致錯(cuò).1.(2012·常州模擬)拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn).已知P(A)=P(B)=則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率是______.【解析】由題意知拋擲一粒骰子出現(xiàn)奇數(shù)和出現(xiàn)2點(diǎn)是互斥事件.∵P(A)=P(B)=∴根據(jù)互斥事件的概率公式得到出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率答案：2.(2011·大綱版全國(guó)卷改編)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立.則該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為_(kāi)_____.【解析】設(shè)該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為