痛點問題之概率統(tǒng)計經典解答題（學生版）

痛點問題之概率統(tǒng)計經典解答題

【秒殺總結】

★我們用三條主線將高中數學概率、統(tǒng)計的有關概念串聯(lián)起來：

一是統(tǒng)計的基本研究過程:收集數據→整理數據→分析數據→統(tǒng)計推斷.

收集數據__________整理數據__________分析數據__________統(tǒng)計推斷_________________

三種抽樣方法：五種統(tǒng)計圖表：兩種數字特征：三種統(tǒng)計推斷：

簡單隨機抽樣頻率分布表，集中趨勢(眾數、中用樣本估計總體

(抽簽法、隨機法)，頻率分布直方圖，位數、平均數)，(估計思想)，

系統(tǒng)抽樣，莖葉圖,散點圖，離散程度(極差、方回歸分析(擬合思想)，

分層抽樣.列聯(lián)表.差、標準差).獨立性檢驗(檢驗思想).

二是隨機事件的基本研究過程:隨機事件→事件概率→基本概型.

隨機事件______________________事件概率_______________基本概型_____________________

八種常見事件:三種常見求法:七種概率模型：

隨機事件,基本事件，用頻率估計概率，古典概型,幾何概型，

等可能事件,并事件,交事件，利用基本概型的概率公互斥事件概率,對立事件概率，

互斥事件,對立事件,相互獨立式，條件概率,相互獨立事件概率，

事件.__________________________轉化為簡單事件的概率.獨立重復試驗概率.____________

三是隨機變量的基本研究過程:隨機變量T概率分布模型T分布列及數字特征.

隨機變量______________________概率分布模型____________分布列及數字特征__________

兩類隨機變量：四種分布模型：三個問題：

離散型隨機變量，兩點分布,超幾何分布，概率分布列,數學期望,方

連續(xù)型隨機變量.二項分布,正態(tài)分布.差.

【典型例題】

例1.(2023-內蒙古赤峰?統(tǒng)考模擬測)已知函數/3)=x-ln(ax+1)(α≠(),α∈H).

⑴若/3)20,求a的值;

(2)已知某班共有n人,記這n人生日至少有兩人相同的概率為P(n),n≤365,將一年看作365天.

(i)求/?(n)的表達式；

(ii)估計P(50)的近似值(精確至U0.01).

,,,,2∣i2V,i!M∣'.IO

參考數值：e-/=0.0348687,e?=0.0304049,e-?*0.00121583,e^τr≈0.000924459.

例2.(2023我?四川成鄢?高三樹稔中學?？计谀?第22屆世界杯于2022年Ll月21日到12月18日在

卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍.名)

(1)撲點球的難度一般比較大,假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、

右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球,而W

且門將即使方向判斷正確也有春的可能性撲不到球.不考慮其它因素,在一次點球￡也

?FIFAWORLDCUP

大戰(zhàn)中,求門將在前三次撲到點球的個數X的分布列和期望；GWR

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓

練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機傳向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地隨機傳向

另外2人中的1人,如此不停地傳下去,假設傳出的球都能接住.記第九次傳球之前球在甲腳下的概

率為Pn,易知p∣=l,p2=0-

①試證明：｛p.一專｝為等比數列；

②設第沱次傳球之前球在乙腳下的概率為斗，比較“。與電的大小.

例3.(2023?山西?統(tǒng)考一模)假設有兩個密閉的盒子,第一個盒子里裝有3個白球2個紅球,第二個盒子

里裝有2個白球1個紅球,這些小球除顏色外完全相同.

(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球,取出的球不再放回,經過兩次取球,求取出的兩球中有紅

球的條件下,第二次取出的是紅球的概率；

(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中,搖勻后,再從第二個盒子里隨機取出一

個球,求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率.

例4.(2023秋?浙江?高三校聯(lián)考期末)抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子,其中2雙是一次性筷子，3雙是

非一次性筷子，每次使用筷子時，從抽屜中隨機取出1雙，若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟

棄,若取出的是非一次性筷子,則使用后經過清洗再次放入抽屜中，求：

(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下,第1次取出的是一次性筷子的概率；

(2)取了3次后,取出的一次性筷子的個數(雙)的分布列及數學期望；

(3)取了n伍=2,3,4,…)次后,所有一次性筷子剛好全部取出的概率.

例5.（2023?全國?方三專題練習）某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各4投入萬元

廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員操作失誤,橫軸

的數據丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數的.

（1）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；

（2）估計該公司投入4萬元廣告費用之后,對應銷售收益的平均值（以

各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）：

（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據，并整理得到下

表：

廣告投入0（單位:萬元）12345

銷售收益依單位:萬元）2327

表中的數據顯示，z與U之間存在線性相關關系，請將（2）的結果填入空白欄,并計算U關于工的回歸

方程.

Zc妙—rιxy

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=V--------------,d=y-bx.

2

y^jXj-nx

?=1

例6.(2023?全國?Λi三專題練習)甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示,其中編

號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手,第i場比賽的勝者稱為“勝者i”,

負者稱為“負者i”,第6場為決賽,獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為弓,而乙、丙、丁

相互之間勝負的可能性相同.

136

(1)求乙僅參加兩場比賽且連負兩場的概率；

(2)求甲獲得冠軍的概率；

(3)求乙進入決賽,且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.

例7.(2023卷?浙江杭州?高三淅江看杭州第二中學校才開學考誠)中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾,

將采取更加有力的政策和措施,力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達到峰值,努力爭取206()年之

前實現碳中和(簡稱“雙碳目標”),此舉展現了我國應對氣候變化的堅定決心,預示著中國經濟結構

和經濟社會運轉方式將產生深刻變革,極大促進我國產業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動汽

車是重要的戰(zhàn)略新興產業(yè),對于實現“雙碳目標”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情

況,一機構根據統(tǒng)計數據,用最小二乘法得到電動汽車銷量0(單位:萬臺)關于雙年份)的線性回歸

方程為y=4.7工一9459.2,且銷量y的方差為Si=等,年份Z的方差為SI=2.

(1)求y與Z的相關系數r,并據此判斷電動汽車銷量U與年份Z的相關性強弱；

(2)該機構還調查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況,得到的數據如下表：

性別購買非電動汽車購買電動汽車總計

男性39645

女性301545

總計692190

依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,能否認為購買電動汽車與車主性別有關;

（3）在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人,再從這7人中隨機抽取3人,記這3

人中，男性的人數為X,求X的分布列和數學期望.

①參考數據：√5×127=√635≈25；

n

〉7（的一一）（.一■）

②參考公式：⑴線性回歸方程：g=6c+α,其中5=曰〃-ia=y-bx;

￡（啰L歷）2

￠=1

〉2（為一無）（然一））

（"相關系數：/=/TF,若「＞。9,則可判斷g與z線性相關較強.

22

Λ∕∑（^-5）∑（?-^）

Vt=l?i=l

n(ad-bey2

(m)z2=,其中ri=α+b+c+d.附表:

(Q÷fe)(c+d)(α+c)(6÷d)

a0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828

xa

例8.（2023?全國?南三專題練習）近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設置

了一段時間的推廣期，由于推廣期優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交

車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次,用之表示活動推出的天數，沙表示每天使

用掃碼支付的人次（單位:十人次）,統(tǒng)計數據如表1所示：

表1：

X1234567

y611213466101196

根據以上數據,繪制了如圖1所示的散點圖.

參考數據：

7

VIO051

yZgyiΣ??

2=1i=l

62.141.54253550.123.47

其中Ui=Ig然，V=γ22vi.

i=l

參考公式：

對于一組數據（孫?。?（如,s）,…,（詼其回歸直線v=α+時的斜率和截距的最小二乘估計分別

n

Za和?:—nwυ

為R=V-------------,d=v-βu.

，喏-TVUT

1=1

⑴根據散點圖判斷,在推廣期內,n=a+b①與y=c?d”（gd均為大于零的常數）哪一個適宜作為

掃碼支付的人次"關于活動推出天數力的回歸方程類型？（給出判斷即可,不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及表1中的數據,求y關于C的回歸方程,并預測活動推出第8天使用掃碼支

付的人次；

例9.（2023?全國?高三專題練習）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進

行了單次最大續(xù)航里程的測試.現對測試數據進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）經計算第（1）問中樣本標準差S的近似值為5（）,根據大量的測試數據,可以認為這款汽車的單次

最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N51）（用樣本平均數X和標準差S分別作為〃、σ的近似值

）,現任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程X∈[250,400]的概率；

（參考數據：若隨機變量X?N（〃,尸），則一（7≤X≤〃+a）七0.6827,P（〃—2b≤X≤〃+2Q七

0.9545,-3σ≤X≤∕∕+3σ）≈0.9973）

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎”活動,客戶可根

據拋擲硬幣的結果,操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標有數字0、1、2、3、……、20）移

動,若遙控車最終停在“勝利大本營”（第19格）,則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元;若遙控車最終停在“微

笑大本營”（第20格）,則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現正、反面的概率都是遙控車開始在第

0格,客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次:若擲出正面,遙控車向前移動一格（從到A:+1）;若

擲出反面,遙控車向前移動兩格（從R到k+2）,直到遙控車移到“勝利大本營”或“微笑大本營”時，

游戲結束.設遙控車移到第"（l≤n≤19）格的概率為R,試證明｛2-E-｝是等比數列,并求參與

游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到0/萬元）.

【過關nι試】

l.(2023?方三深時練習)設兩名象棋手約定誰先贏fc(fc>l,fc∈N)局,誰便贏得全部獎金ɑ元.已知每

局甲贏的概率為P(OVP<1),乙贏的概率為1—P，且每局比賽相互獨立.在甲贏了rn(m<%)局，乙

贏了n(n<fc)局時?，比賽意外終止.獎金該怎么分才合理？請回答下面的問題.

(1)規(guī)定如果出現無人先贏處局而比賽意外終止的情況,那么甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進行下去各自

贏得全部獎金的概率之比進行分配.若α=243,%=4,力=2,九=1,p=則甲應分得多少獎金？

(2)記事件A為“比賽繼續(xù)進行下去且乙贏得全部獎金”，試求當k=4,TH=2,n=1時比賽繼續(xù)進

行下去且甲贏得全部獎金的概率/(p)?規(guī)定:若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱該隨機事件為小

概率事件,請判斷當0>:時,事件?是否為小概率事件,并說明理由.

2.(2023?河北衡水?衡水市第二中學校才模擬預測)某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時間

(即發(fā)動一次攻擊后需經過一段時間才能再次發(fā)動攻擊).其擁有兩個技能,技能一是每次發(fā)動攻擊

后有4■的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動，該技能可以連續(xù)觸發(fā),從而可能連續(xù)

多次跳過冷卻時間持續(xù)發(fā)動攻擊;技能二是每次發(fā)動攻擊時有義的概率使得本次攻擊以及接下來

的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉淼?倍,但是多次觸發(fā)時效果不可疊加(相當于多次觸發(fā)技能二時僅得

到第一次觸發(fā)帶來的2倍傷害加成).每次攻擊發(fā)動時先判定技能二是否觸發(fā),再判定技能一是否觸

發(fā).發(fā)動一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊,造成的總傷害稱為一輪

攻擊的傷害.假設“突擊者”單次攻擊的傷害為1,技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨立：

(1)當“突擊者”發(fā)動一輪攻擊時,記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數之和為2”,事件B為“技

能一和技能二各觸發(fā)1次”,求條件概率P(BM)

(2)設n是正整數,“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為2n的概率記為Pn,求Pn.

3.(2023?全國?方三專題練習)現有一種射擊訓練,每次訓練都是由高射炮向目標飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)

炮彈,每發(fā)炮彈擊中目標飛行物與否相互獨立.已知射擊訓練有4,6兩種型號的炮彈,對于4型號

炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物的概率均為以0<p≤0?4),且擊中一彈目標飛行物墜毀的概率為

().6,擊中兩彈目標飛行物必墜段;對子3型號炮彈,每發(fā)炮彈擊中目標飛行物的概率均為g(()VqV

1),且擊中一彈目標飛行物墜毀的概率為0.4,擊中兩彈目標飛行物墜毀的概率為0.8,擊中三彈目標

飛行物必墜毀.

(1)在一次訓練中,使用B型號炮彈,求q滿足什么條件時,才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標飛行

物的概率不低于0.936；

(2)若p+q=1,試判斷在一次訓練中選用Λ型號炮彈還是B型號炮彈使得目標飛行物墜毀的概率

更大？并說明理由.

4.(2023?全BI?i?三專題練習)某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入,其研發(fā)的檢驗

試劑品ɑ分為兩類不同劑型S和a2.現對其進行兩次檢測,第一次檢測時兩類試劑?和的合格的概

率分別為；和I■,第二次檢測時兩類試劑?和電合格的概率分別為/和*已知兩次檢測過程相

互獨立,兩次檢測均合格,試劑品α才算合格.

(1)設經過兩次檢測后兩類試劑?和矽合格的種類數為X,求X的分布列和數學期望；

(2)若地區(qū)排查期間,一戶4口之家被確認為''與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護人員要對

其家庭成員逐一使用試劑品&進行檢測,如果有一人檢測呈陽性,則檢測結束,并確定該家庭為“感

染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為P(OVPVl)且相互獨立,該家庭至少檢測了

3個人才確定為“感染高危戶”的概率為/(p),若當P=Po時,/(P)最大,求Po的值.

5.(2023?全國?高三專題練習)某中學2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運動會，其中有“夾球

跑”和“定點投籃”兩個項目，某班代表隊共派出1男(甲同學)2女(乙同學和丙同學)三人參加這兩

個項目，其中男生單獨完成“夾球跑”的概率為0.6,女生單獨完成“夾球跑”的概率為α(0<αV0.4).

假設每個同學能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學能完成“夾球跑”的人數為3

(1)證明:在的概率分布中，P(W=I)最大.

(2)對于“定點投籃”項目，比賽規(guī)則如下:該代表隊先指派一人上場投籃,如果投中，則比賽終止,如

果沒有投中，則重新指派下一名同學繼續(xù)投籃,如果三名同學均未投中，比賽也終止.該班代表隊的

領隊了解后發(fā)現，甲、乙、丙三名同學投籃命中的概率依次為。=P(g=i)(i=l,2,3),每位同學能否

命中相互獨立.請幫領隊分析如何安排三名同學的出場順序,才能使得該代表隊出場投籃人數的均

值最??？并給出證明.

6.(2023春?河南鄭州?高三鄭州四中校考階段練習)在高考結束后,程浩同學回初中母?？赐麛祵W老

師,順便幫老師整理初三年級學生期中考試的數學成績,并進行統(tǒng)計分析,在整個年級中隨機抽取了

200名學生的數學成績,將成績分為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],共6組,

得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分數不低于9()分為優(yōu)↑≤?

(1)從樣本中隨機選取一名學生，已知這名學生的分數不低于

70分，問這名學生數學成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；

(2)在樣本中,采取分層抽樣的方法從成績在[70,100]內的學

0.010

生中抽取13名，再從這13名學生中隨機抽取3名，記這3名學

0.005

生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數為X，求X的分布列與數學期望.

5060708090100分數

7.(2023?全Bl?方三專題練習)為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性,某中學需要了解性別因素

是否對學生體育鍛煉的經常性有影響,為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數據：

性別鍛煉________

不經常經常

女生4060

男生2080

(1)依據α=0.01的獨立性檢驗,能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；

(2)從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學生經常參加體育鍛煉,求他是男生的概率；

(3)為了提高學生體育鍛煉的積極性,集團設置了“學習女排精神,塑造健康體魄”的主題活動,在該

活動的某次排球訓練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓練,第1次由甲將球傳出，每次傳球時,傳球者

都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求第Tl次傳球后球在甲手中的概率.

附.2=_______n(αd-bc)?________

,,,(α+6)(c+d)(α+c)(6+d)

a0.0100.0050.001

6.6357.87910.828

xa

8.(2023?全國?高三專題練習)汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著

重強調可持續(xù)發(fā)展,加大在新能源項目的支持力度,積極推動新能源汽車產業(yè)發(fā)展,某汽車制造企業(yè)

對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調查,得到下面的統(tǒng)計表：

年份t20172018201920202021

年份代碼CQ=I—2016)12345

銷量W萬輛1012172026

(1)統(tǒng)計表明銷量y與年份代碼/有較強的線性相關關系,利用計算器求y關于*的線性回歸方程，

并預測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破5()萬輛；

(2)為了解購車車主的性別與購車種類(分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車)的情況,該企業(yè)隨機調查

了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本,其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有仞名，購置

新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車.

①若位=95,將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體,試用⑴中的線性回

歸方程預測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(假設每位車主只購買一輛汽車,結果

精確到千人)；

②設男性車主中購置新能源汽車的概率為p,將樣本中的頻率視為概率,從被調查的所有男性車主中

隨機抽取5人,記恰有3人購置新能源汽車的概率為/(P),求當僅為何值時，/(P)最大.

9.(2023?全BI?商三專題練習)為了豐富孩子們的校園生活,某校團委牽頭,發(fā)起同一年級兩個級部A、

3進行體育運動和文化項目比賽，由＞1部、B部爭奪最后的綜合冠軍.決賽先進行兩天,每天實行三

局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利,此時該天比賽結束.若4部、B部中的一方能連續(xù)兩天

勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、JB部各贏一天,則第三天只進行一局附加賽,該附加賽的獲勝

方為最終冠軍.設每局比賽A部獲勝的概率為p(0VPVl),每局比賽的結果沒有平局且結果互相

獨立.

(1)記第一天需要進行的比賽局數為X,求E(X),并求當E(X)取最大值時P的值；

(2)當P=5時,記一共進行的比賽局數為匕求P(Y≤5).

10.(2023?全國?南三專題練習)學?；@球隊30名同學按照1,2,???,30號站成一列做傳球投籃練習，籃

球首先由1號傳出，訓練規(guī)則要求:第小(1≤m≤28,mCN)號同學得到球后傳給M+1號同學的概

率為?,傳給m+2號同學的概率為?，直到傳到第29號(投籃練習)或第30號(投籃練習)時,認

o?

定一輪訓練結束，已知29號同學投籃命中的概率為%,30號同學投籃命中的概率為設傳球傳到

JI

第n(2Wτ?≤30,nCN)號的概率為

⑴求B的值；

(2)證明：{H+LP7,}(2≤n≤28)是等比數列；

(3)比較29號和30號投籃命中的概率大小.

∏.(2023秋?浙江杭州?南三淅江省犧戶中學期末)核電站某項具有高輻射危險的工作需要工作人員去

完成,每次只派一人,每人只派一次,工作時長不超過15分鐘，若某人15分鐘內不能完成該工作，則

撤出，再派下一人,現有小胡、小邱、小鄧三人可派,且他們各自完成工作的概率分別為,02,03.假

設初，g,小互不相等，且假定三人能否完成工作是相互獨立.

(1)任務能被完成的概率是否與三個人被派出的先后順序有關？試說明理由；

(2)若按某指定順序派出，這三人各自能完成任務的概率依次為s，帆，公,其中qi,q.2,幻是功邛2，小的

一個排列.

①求所需派出人員數目X的分布列和數學期望E(X)；

②假定1＞“＞小＞科,為使所需派出的人員數目的數學期望達到最小,應以怎么樣的順序派出？

12.(2023?全國?高三專題練習)為考查某種藥物預防疾病的效果,進行動物試驗,得到如下丟失數據的

列聯(lián)表：

患病未患病總計

沒服用藥203050

服用藥Xy50

總計MN100

設從沒服用藥的動物中任取2只，未患病數為生從服用藥物的動物中任取2只，未患病數為人工作

人員曾計算過P患=0)=等「(〃=0)

⑴求出列聯(lián)表中數據x,y,M,N的值：

(2)求S與〃的均值(期望)并比較大小,請解釋所得結論的實際含義：

(3)能夠以99%的把握認為藥物有效嗎？

n{ad-bc)1

(參考公式,其中n=α+b+c+d)

(a+t>)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.100.050.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

13.(2023?全國?高三專題練習)隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質人才的需求不斷擴大,我國本科畢

業(yè)生中考研人數也不斷攀升，2020年的考研人數是341萬人，2021年考研人數是377萬人.某省統(tǒng)

計了該省其中四所大學2022年的畢業(yè)生人數及考研人數(單位:千人),得到如下表格：

大學A大學B大學。大學。大學

2022年畢業(yè)人數H千人)7654

2022年考研人數g(千人)0.50.40.30.2

⑴已知"與%具有較強的線性相關關系,求：y關于t的線性回歸方程y=bx+a?,

(2)假設該省對選擇考研的大學生每人發(fā)放0.5萬元的補貼.

①若該省大學2022年畢業(yè)生人數為8千人,估計該省要發(fā)放補貼的總全額：

②若A大學的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為p,3p-l,該省對小浙、小江兩人的考研補

貼總金額的期望不超過075萬元,求P的取值范圍.

_n.__n_

X(xi-x)(yi-^)ZXiyi-nxy

參考公式：B=-----------------=V-------------,a=y-bx.

22(x,?-x)2?;??-nx2

i=lt=l

14.(2023?全國?高三專題練習)隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡使

用的.切比雪夫在數論、概率論、函數逼近論、積分學等方面均有所建樹,他證明了如下以他名字命名

的離散型切比雪夫不等式:設X為離散型隨機變量，則P(IX—E(X)I)RW空5,其中/1為任意

/1

大于0的實數.切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下,對事件|X—川W/1

的概率作出估計.

(1)證明離散型切比雪夫不等式；

(2)應用以上結論，回答下面問題：已知正整數n>5.在一次抽獎游戲中,有TI個不透明的箱子依次

編號為1,2,…山,編號為i(l≤i≤n)的箱子中裝有編號為0,1,…,i的i+1個大小、質地均相同的小

球.主持人邀請n位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球,記從編號為i的箱子中抽取的小球號碼為

X，并記X=f圣.對任意的人是否總能保證P(X≤0?E)>()?01(假設嘉賓和箱子數能任意多)？

t=l

并證明你的結論.

附:可能用到的公式(數學期望的線性性質)：對于離散型隨機變量x,χ,x?,…,X.滿足x=fχ,

t=l

則有E(X)=fE(X,).

i=l

15.(2023?全國?南三壽題練習)甲、乙兩人參加一個游戲，該游戲設有獎金25G元,誰先贏滿5局，誰便

贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為P(OVPV1),甲贏的概率為1-0每局游戲相互獨立,

在乙贏了3局甲贏了1局的情況下,游戲設備出現了故障,游戲被迫終止,則獎金應該如何分配才為

合理？有專家提出如下的獎金分配方案:如果出現無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲、乙按

照游戲再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比R,:P乙分配獎金.

(1)若P=:,則乙應該得多少獎金；

(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進行下去甲獲得全部獎金”,試求當游戲繼續(xù)進行下去，甲獲得全部獎金的

概率/(A),并判斷當0二得時,事件A是否為小概率事件,并說明理由.(注:若隨機事件發(fā)生的概率

小于0.05,則稱隨機事件為小概率事件)

16.(2023??S?商三專題練習)某大型養(yǎng)雞場流行一種傳染病,雞的感染率為p.

(1)若p=0.9,從中隨機取出2只雞,記取到病雞的只數為&求￡的概率分布及數學期望；

(2)對該養(yǎng)雞場所有雞進行抽血化驗，以期查出所有病雞.方案如下:按每h(keN*)只雞一組分組,

并把同組的k只雞的血混合在一起化驗,若發(fā)現有問題,再分別對該組卜只雞逐只化驗.設每只雞的

化驗次數為隨機變量〃,當且僅當2≤k≤8時，〃的數學期望E⑺V1,求P的取值范圍

17.(2023?全國?高三專題練習)4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高

一學生閱讀時間的分配情況,從該地區(qū)隨機抽取了50()名高一學生進行在線調查,得到了這500名學

生的日平均閱讀時間(單位:小時),并將樣本數據分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],

(12,14],(14,16],(16,18]九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀

時間在(10,12]內的概率；

(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間

和紙質圖書閱讀時間的分配情況,從日平均閱讀

時間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內的學生

中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現從這10

人中隨機抽取3人,記日平均閱讀時間在(14,16]

02468IO12141618日平均閱讀時間/小時

內的學生人數為X,求X的分布列和數學期望；

(3)以樣本的頻率估計概率,從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生,用表示這10名學生

中恰有足名學生日平均閱讀時間在(8,12]內的概率,其中k=0,1,2,…，10.當P(fc)最大時,寫出

k的值.(只需寫出結論)

18.(2023?全國?高三專題練習)某學校開展投籃活動，活動規(guī)則是:每名選手投籃n次d>3,neN*

),每次投籃，若投進，則下一次站在三分線處投籃；若沒有投進，則下一次站在兩分線處投籃.規(guī)定

每名選手第一次站在兩分線處投籃.站在兩分線處投進得2分,否則得。分;站在三分線處投進得3

分，否則得0分.已知小明站在兩分線處投籃投進的概率為07,站在三分線處投籃投進的概率為

0.5,且每次投籃相互獨立.

(1)記小明前2次投籃累計得分為X,求X的分布列和數學期望；

(2)記第k次投籃時,小明站在三分線處投籃的概率為痣，A:=1,2,…，,求應的表達式.

19.(2023?全國?高三專題練習)2022年4月23日是第27個“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，

知識讓生命飛翔”主題知識競賽,規(guī)定參賽同學每答對一題得2分,答錯得1分,不限制答題次數.已

知小明能正確回答每題的概率都