高中數(shù)學(xué)-3.2.13.2.2兩角差的余弦函數(shù)-兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)課件-北師大必修4

§2兩角和與差的三角函數(shù)2.1

兩角差的余弦函數(shù)2.2

兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)名稱

公式

簡記

差的正弦

sin(α-β)=__________________________Sα-β

差的余弦

cos(α-β)=__________________________Cα-β

和的正弦

sin(α+β)=__________________________Sα+β

和的余弦

cos(α+β)=__________________________Cα+βsinαcos

β-cos

αsin

βcos

αcos

β+sin

αsin

βsinαcos

β+cos

αsin

βcos

αcos

β-sinαsin

β1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩角和與差的正弦，余弦公式中角α，β是任意的.()(2)存在實數(shù)α,β，使cos(α+β)=cos

α-cosβ成立.()(3)cos(α-β)=cos

αcosβ-sinαsinβ.()(4)sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立.()【解析】(1)正確.對于任意的α，β公式都成立.(2)正確.當(dāng)α=β=時成立.(3)錯誤.cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsinβ.(4)錯誤.當(dāng)α=0,β∈R，或者α∈R,β=0時成立.答案：(1)√(2)√

(3)×

(4)×2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)cos65°cos35°+sin65°sin35°=________.(2)sin56°cos34°+cos56°sin34°=_________.(3)=__________.(4)=_________.【解析】(1)原式=cos(65°-35°)=cos30°=答案：(2)原式=sin(56°+34°)=sin90°=1.答案：1(3)原式====答案：(4)原式=答案：0【要點探究】知識點兩角和與差的正弦、余弦公式1.公式的記憶(1)對于兩角和與差的余弦公式Cα±β可以簡記為：“余余正正，和差相反”.(2)對于兩角和與差的正弦公式Sα±β可以簡記為：“正余余正，和差相同”.2.公式的適用條件公式中的α，β不僅可以是任意具體的角，也可以是一個“團(tuán)體”，如中的“”相當(dāng)于公式中的角“α”，“”相當(dāng)于公式中的角“β”.因此對公式的理解要注意結(jié)構(gòu)形式，而不要局限于具體的角.3.公式的作用(1)正用：把sin(α±β),cos(α±β)從左向右展開.(2)逆用：公式的右邊化簡成左邊的形式.當(dāng)結(jié)構(gòu)不具備條件時，要用相關(guān)公式調(diào)節(jié)后再逆用.(3)變形應(yīng)用：它涉及兩個方面，一是公式本身的變用；二是角的變用，也稱為角的拆分變換，如β=(α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β).【知識拓展】輔助角公式及其運用公式asin

α+bcosα=sin(α+φ)(或asinα+bcosα=cos(α-φ))將形如asin

α+bcos

α(a,b不同時為零)的三角函數(shù)式收縮為一個角的一種三角函數(shù)式，這樣做有利于三角函數(shù)式的化簡，更是研究三角函數(shù)性質(zhì)的常用工具.化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角α的系數(shù)為正，更有利于函數(shù)的性質(zhì)的研究.【微思考】(1)兩角和與差的正弦、余弦公式與誘導(dǎo)公式有什么關(guān)系？提示：和差角公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差角公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.當(dāng)α或β中有一個角是

的整數(shù)倍時，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便.(2)逆用公式的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是利用相關(guān)三角變換公式使其滿足公式右邊的結(jié)構(gòu)特征.【即時練】1.=()2.計算：cos165°=_________.3.計算：(1)sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α).(2)sin347°cos148°+sin77°cos58°.【解析】1.選B.===2.cos165°=cos(45°+120°)=cos45°cos120°-sin45°sin120°=答案：3.(1)sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α)=sin(α+30°)cos(-α)+cos(α+30°)sin(-α)=sin(α+30°-α)=sin30°=(2)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°)=sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin(13°+32°)=sin45°=

【題型示范】類型一給值(式)求值【典例1】(1)(2014·天津高一檢測)若α是銳角,則cosα的值等于()(2)(2014·西安高一檢測)已知α，β∈sin(α+β)=求的值.【解題探究】1.題(1)中如何用α-表示α？2.題(2)中角α+與已知α+β,β-兩角有什么關(guān)系?【探究提示】1.α=2.【自主解答】(1)選A.因為α為銳角，即0＜α＜所以又因為所以所以==(2)因為α，β∈所以＜α+β＜2π,又因為所以cos(α+β)=所以=【延伸探究】若題(2)的條件不變，如何求cosα的值?【解析】由題(2)解析知又所以所以=【方法技巧】給值(式)求值的策略(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.如已知角

-α的相關(guān)三角函數(shù)值，那么要求角

+α的三角函數(shù)值，就可以利用變換得到.(3)角的拆分方法不唯一.如α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=[(α+β)+(α-β)],α=

[(β+α)-(β-α)]等.至于運用哪種拆分方法，要根據(jù)題目合理選擇.【變式訓(xùn)練】(2014·廣東高考)已知函數(shù)f(x)=且(1)求A的值.(2)若【解題指南】第(1)問屬于給角求值問題，第(2)問則可利用兩角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.【解析】(1)由可得(2)f(θ)+f(－θ)=則因為所以=【補償訓(xùn)練】(2013·亳州高一檢測)若sinα-sinβ=cos

α-cosβ=則cos(α-β)的值是()【解析】選B.因為sinα-sinβ=cos

α-cosβ所以(sinα-sinβ)2+(cosα-cosβ)2=所以2-2(cosαcos

β+sin

αsinβ)=2-所以cos

αcos

β+sin

αsinβ=即cos(α-β)=類型二知值求角【典例2】(1)(2014·漢中高一檢測)已知α，β均為銳角，sinα=cosβ=則α-β的值為__________.(2)已知cos(α-β)=cos(α+β)=且α-β∈α+β∈求cos2α，cos2β及角β的值.【解題探究】1.題(1)中求α-β的值的思路是什么？2.題(2)中，如何用已知角表示待求角？【探究提示】1.先求出sin(α-β)或cos(α-β)，再由條件確定α-β的范圍，從而求得α-β.2.2α=(α-β)+(α+β)，2β=(α+β)-(α-β).【自主解答】(1)因為α，β均為銳角，所以因為sinα＜sinβ,所以α＜β，所以-＜α-β＜0,所以sin(α-β)=sinαcos

β-cos

αsinβ=所以α-β=-.答案：-(2)由α-β∈且cos(α-β)=得sin(α-β)=由α+β∈且cos(α+β)=得sin(α+β)=所以cos2α=cos［(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)cos2β=cos

［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)又因為所以2β=π，則β=.【方法技巧】1.知值求角的步驟(1)首先考慮界定角的范圍.根據(jù)條件確定所求角的范圍.有時需要根據(jù)已知條件把角度的范圍縮小.(2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).如角的范圍是［0，π］時取余弦更方便些；而角的范圍是時，則取正弦更方便.(3)求角.結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.2.知值求角的注意點一是要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù).二是要注意盡量用已知角表示待求角.【變式訓(xùn)練】若sinα=cos(α+β)=且α，β是銳角，則β=__________.【【解題】指南】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出cosα=sin(α+β)=由cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cos

α+sin(α+β)sinα,進(jìn)而求出結(jié)果.【解析】由sinα=cos(α+β)=且α，β是銳角，求得cosα=sin(α+β)=所以cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=，所以β=.答案:【補償訓(xùn)練】已知a=(cos

α,sinβ)，b=(cos

β,sinα),0＜β＜α＜

，且a·b=，求證：α=+β.【證明】a·b=cos

αcos

β+sin

αsinβ=cos(α-β)=,又0＜β＜α＜

，所以0＜α-β＜

,所以α-β=，即α=+β.類型三輔助角公式的應(yīng)用【典例3】(1)的值是()(2)(2014·濟(jì)南高一檢測)函數(shù)f(x)=(1+tanx)·cosx的最小正周期為()【解題探究】1.如何將asin

α+bcosα轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€角的三角函數(shù)式？2.求f(x)的最小正周期的關(guān)鍵是什么？【解題提示】1.方法是提取

，增設(shè)輔助角，逆用Sα±β與Cα±β公式，特別注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響，如acos

α+bsinα=sin(α+φ)，其中tanφ=2.關(guān)鍵是利用三角變換公式將f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式.【自主解答】(1)選A.=(2)選A.f(x)===所以最小正周期T==2π.【延伸探究】若題(2)中函數(shù)f(x)變?yōu)椤癴(x)=”，則最小正周期如何？【解析】f(x)===所以最小正周期【方法技巧】asin

x+bcosx的化簡步驟(1)提常數(shù)，即把asin

x+bcosx提出

得到(2)定角度，由我們不妨設(shè)cosθ=則得到(cosθsinx+sinθcosx).(3)化簡，逆用兩角和的正弦公式可得asinx+bcosx=sin(x+θ).【變式訓(xùn)練】化簡：(tan10°－)·＝_______.【解題指南】把

化成tan60°，同時化切為弦.【解析】(tan10°－)·＝(tan10°－tan60°)·＝＝＝答案：-2【補償訓(xùn)練】(2013·蚌埠高一檢測)已知函數(shù)f(x)=+1-(x∈R).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.【解析】(1)由f(x)===所以最小正周期T==π.(2)當(dāng)f(x)取最大值時，有2x-=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z).故當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合為{x|x=kπ+(k∈Z)}.【易錯誤區(qū)】求角過程中因選擇三角函數(shù)不當(dāng)或用錯公式而致誤

【典例】(2014·西安