（聚焦典型）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布》理 新人教B版

[第64講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布](時間：45分鐘分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2013·漳州模擬]已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．12．[2013·濰坊模擬]設(shè)X為隨機變量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則P(X＝2)等于()A.eq\f(13,16)B.eq\f(4,243)C.eq\f(13,243)D.eq\f(80,243)3．[2013·蚌埠質(zhì)檢]若ξ～N(－2，σ2)，且P(－4<ξ<－2)＝0.3，則P(ξ>0)的值為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.84．[2013·鄭州檢測]馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？??？請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案Eξ＝________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·西安遠東一中月考]某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．100B．200C．300D．4006．某個數(shù)學(xué)興趣小組有女同學(xué)3名，男同學(xué)2名，現(xiàn)從這個數(shù)學(xué)興趣小組中任選3名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，記X為參加數(shù)學(xué)競賽的男同學(xué)與女同學(xué)的人數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．－eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．－eq\f(2,5)7．[2013·臨沂二模]某校在模塊考試中約有1000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績ξ～N(90，a2)(a>0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，則此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A．200B．300C．400D．6008．[2013·贛州質(zhì)檢]一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0，1))，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為()A.eq\f(1,48)B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,6)9．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2，2張標有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是()A．7.8B．8C．16D．15.610．某高校進行自主招生面試時的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對給10分、答錯倒扣5分(每道題都必須回答，但相互不影響)．設(shè)某學(xué)生對每道題答對的概率都為eq\f(2,3)，則該學(xué)生在面試時得分的期望值為________分．11．袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，每次摸取一個球記下顏色后放回，現(xiàn)連續(xù)取球8次，記取出紅球的次數(shù)為X，則X的方差D(X)＝________．12．[2013·寧波一模]已知某隨機變量ξ的概率分布列如下表，其中x>0，y>0，隨機變量ξ的方差Dξ＝eq\f(1,2)，則x＋y＝________.ξ123Pxyx13.[2013·浙江重點中學(xué)協(xié)作體摸底]某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的10%，公司應(yīng)要求投保人交的保險金為________元．14．(10分)[2013·武漢武昌區(qū)調(diào)研]某校從高二年級4個班中選出18名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，學(xué)生來源人數(shù)如下表：班別高二(1)班高二(2)班高二(3)班高二(4)班人數(shù)4635(1)從這18名學(xué)生中隨機選出兩名，求兩人來自同一個班的概率；(2)若要求從18位同學(xué)中選出兩位同學(xué)介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗，設(shè)其中來自高二(1)班的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．15．(13分)[2013·北京海淀區(qū)二模]某公司準備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務(wù)，現(xiàn)有A，B兩個項目可供選擇．(i)投資A項目一年后獲得的利潤X1(萬元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝12；(ii)投資B項目一年后獲得的利潤X2(萬元)與B項目產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，B項目產(chǎn)品價格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且在4月和8月進行價格調(diào)整的概率分別為p(0<p<1)和1－p.經(jīng)專家測算評估：B項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與X2的關(guān)系如下表所示：X(次)012X2(萬元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)<E(X2)，則選擇投資B項目，求此時p的取值范圍．eq\a\vs4\al\co1(難點突破)16．(12分)[2013·江蘇卷]設(shè)ξ為隨機變量．從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望Eξ.

課時作業(yè)(六十四)【基礎(chǔ)熱身】1．A[解析]E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3)，故選A.2．D[解析]∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，∴E(X)＝eq\f(n,3)＝2，即n＝6，∴P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(80,243)，故選D.3．A[解析]由隨機變量ξ～N(－2，σ2)，則其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝－2對稱．∵P(－4<ξ<－2)＝0.3，∴P(－2<ξ<0)＝P(－4<ξ<－2)＝0.3，∴P(ξ>0)＝eq\f(1,2)[1－P(－2<ξ<0)－P(－4<ξ<－2)]＝0.2，故選A.4．2[解析]設(shè)“？”處數(shù)值為t，則“！”處的數(shù)值為1－2t，所以Eξ＝t＋2(1－2t)＋3t＝2.【能力提升】5．B[解析]記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1000，0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，則E(X)＝E(2ξ)＝2Eξ＝200，故選B.6．A[解析]X的可能取值為－3，－1，1，P(X＝－3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝－1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝(－3)×eq\f(1,10)＋(－1)×eq\f(6,10)＋1×eq\f(3,10)＝－eq\f(3,5)，故選A.7．A[解析]由數(shù)學(xué)考試成績ξ～N(90，a2)，則其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝90對稱．又∵成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，∴由對稱性知，成績在110分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(1,2)1－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，∴此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有1000×eq\f(1,5)＝200(人)，故選A.8．D[解析]設(shè)投籃得分為隨機變量X，則X的分布列為X320PabcE(X)＝3a＋2b＝2≥2eq\r(3a×2b)，所以ab≤eq\f(1,6)，當且僅當3a＝2b時，等號成立，故選9．A[解析]X的取值為6，9，12，相應(yīng)的概率P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，E(X)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8.10．15[解析]設(shè)面試時得分為隨機變量ξ，由題意，ξ的取值可以是－15，0，15，30，則P(ξ＝－15)＝1－eq\f(2,3)3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(1,3)1－eq\f(2,3)2·eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝15)＝Ceq\o\al(2,3)1－eq\f(2,3)·eq\f(2,3)2＝eq\f(4,9)，P(ξ＝30)＝eq\f(2,3)3＝eq\f(8,27)，∴Eξ＝－15×eq\f(1,27)＋0×eq\f(2,9)＋15×eq\f(4,9)＋30×eq\f(8,27)＝15.11．2[解析]每次取球時，紅球被取出的概率為eq\f(1,2)，8次取球看作8次獨立重復(fù)試驗，紅球出現(xiàn)的次數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8))，故D(X)＝8×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝2.12.eq\f(3,4)[解析]由分布列性質(zhì)，得2x＋y＝1，Eξ＝4x＋2y＝2.又Dξ＝eq\f(1,2)，即Dξ＝(－1)2x＋12·x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,4)，∴y＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故x＋y＝eq\f(3,4).13．(0.1＋p)a[解析]設(shè)要求投保人交x元，公司的收益額ξ作為隨機變量，則P(ξ＝x)＝1－p，P(ξ＝x－a)＝p，∴Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，即x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a14．解：(1)“從這18名同學(xué)中隨機選出兩名，兩人來自于同一個班”記作事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,18))＝eq\f(2,9).(2)X的所有可能取值為0，1，2.∵P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,14),Ceq\o\al(2,18))＝eq\f(91,153)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,14),Ceq\o\al(2,18))＝eq\f(56,153)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,18))＝eq\f(6,153)，∴X的分布列為X012Peq\f(91,153)eq\f(56,153)eq\f(6,153)∴E(X)＝0×eq\f(91,153)＋1×eq\f(56,153)＋2×eq\f(6,153)＝eq\f(4,9).15．解：(1)由題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋0.4＋b＝1，,11a＋12×0.4＋17b＝12，))解得a＝0.5，b＝0.1，(2)X2的可能取值為4.12，11.76，20.40.P(X2＝4.12)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(X2＝11.76)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(X2＝20.40)＝p(1－p)．所以X2的分布列為X24.1211.7620.40Pp(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)(3)由(2)可得：E(X2)＝4.12p(1－p)＋11.76[p2＋(1－p)2]＋20.40p(1－p)＝－p2＋p＋11.76.因為E(X1)<E(X2)，所以12<－p2＋p＋11.76，解得0.4<p<0.6.當選擇投資B項目時，p的取值范圍是(0.4，0.6)．【難點突破】16．解：(1)若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8Ceq\o\al(2,3)對相交棱，因此P(ξ＝0)＝eq\f(8Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(8×3,66)＝eq\f(4,11