2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-垂線段最短+北師大版（含答案）

2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-垂線段最短北師大版一、選擇題1．如圖是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段（）的長(zhǎng)度，這樣測(cè)量的依據(jù)是（）A．AM，兩點(diǎn)之間，線段最短B．AM，兩點(diǎn)確定一條直線C．BN，垂線段最短D．BN，三角形兩邊之和大于第三邊2．如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)之間，線段最短D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行3．如圖，從人行橫道線上的點(diǎn)P處過(guò)馬路，沿線路PB行走距離最短，其依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)之間線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直4．如圖所示，△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，則下列結(jié)論：①BC＞CD；②AC＞AD；③AB＞AC；④BC＞AD．正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)A．5 B．125 C．245 D7．點(diǎn)A為直線BC外一點(diǎn)，AC⊥BC于點(diǎn)C，AC=6．點(diǎn)P是直線BCA．1 B．3 C．5 D．78．如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作A．3 B．2.5 C．2.410．如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以E、F為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)O，P為射線AO上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，交AC于點(diǎn)M，連接PC，若AC=2A．321 B．C．4 D．k二、填空題11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線AM交BC于點(diǎn)F．若點(diǎn)P12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(-4，0)，D是OA上一點(diǎn)，B是y正半軸上一點(diǎn)，且OB=AD，DE（1）當(dāng)D是OA的中點(diǎn)時(shí)，DE=；（2）求OE的最小值13．如圖，在△ABC中，AC=4，∠A=60°，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PC14．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點(diǎn)M為對(duì)角線BD(不含點(diǎn)B)上任意一點(diǎn)，則AM+115．在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，P是直線y=-x+4上的動(dòng)點(diǎn)，則|OP|的最小值為三、作圖題16．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作銳角△ABC，使點(diǎn)C（2）在圖2中的線段AB上作點(diǎn)Q，使PQ最短．四、解答題17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，PD⊥AB，垂足為D，PE⊥AC，垂足為E，連接MD，ME．（Ⅰ）求證：∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝62，連接DE，求△MDE五、綜合題18．【綜合與實(shí)踐】我國(guó)海域的島嶼資源相當(dāng)豐富，總面積達(dá)72800多平方公里，有人居住的島嶼達(dá)450個(gè).位于北部灣的某小島，外形酷似橄欖球，如圖10﹣1所示.如圖10﹣2所示，現(xiàn)把海岸線近似看作直線m，小島面對(duì)海岸線一側(cè)的外緣近似看作AB，經(jīng)測(cè)量，AB的長(zhǎng)可近似為250π海里，它所對(duì)的圓心角（∠AOB）的大小可近似為90°.（注：AB在m上的正投影為圖中線段CD，點(diǎn)O在m上的正投影落在線段CD上.）（1）求AB的半徑r；（2）因該島四面環(huán)海，淡水資源缺乏，為解決島上居民飲用淡水難的問(wèn)題，擬在海岸線上，建造一個(gè)淡水補(bǔ)給站，向島上居民輸送淡水.為節(jié)約運(yùn)輸成本，要求補(bǔ)給站到小島外緣AB的距離最近（即，要求補(bǔ)給站與AB上的任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離取得最小值.）；請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)，在圖10﹣2中畫(huà)出補(bǔ)給站位置及最短運(yùn)輸路線.（保留畫(huà)圖痕跡，并做必要標(biāo)記與注明；不限于尺規(guī)作圖，不要求證明.）（3）如圖10-3，若測(cè)得AC長(zhǎng)為600海里，BD長(zhǎng)為500海里，試求出（2）中的最小距離。19．如圖（1）如圖①，O為AB的中點(diǎn)，直線l1、l2分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、B，且l1∥l2，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線l2于點(diǎn)C，連接AC.求證：直線l1垂直平分AC；（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點(diǎn)P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ.用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在直線l4上求作一點(diǎn)D，使線段PD最短.（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）20．如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島80nmile的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東（1）漁船航行多遠(yuǎn)與小島B的距離最近？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行406nmile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)：救援隊(duì)從21．如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)B，E在AD異側(cè)，I為△APC的內(nèi)心．（1）求證：∠BAD＝∠CAE；（2）設(shè)AP＝x，請(qǐng)用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當(dāng)AB⊥AC時(shí)，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫(xiě)出m，n的值．

答案解析部分1．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【解析】【解答】解：由題意可得：他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段BN的長(zhǎng)度，這樣測(cè)量的依據(jù)是垂線段最短，

故答案為：C.【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合垂線段最短求解即可。2．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【解析】【解答】解：A、直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短，故A符合題意；B、兩點(diǎn)確定一條直線，是直線的性質(zhì)，故B不符合題意；C、連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短，故C不符合題意；D、平行線的一條性質(zhì)，故D不符合題意．故答案為：A．

【分析】利用垂線段最短的定義求解即可。3．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【解析】【解答】解：∵PB⊥AD，垂足為D，

∴沿線路PB行走距離最短，其依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是垂線段最短.故答案為：A.

【分析】根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)進(jìn)行解答，即可得出答案.4．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【解析】【解答】解：①BC＞CD垂線段最短，故①正確；②AC＞AD垂線段最短，故②正確；③AB＞AC垂線段最短，故③正確；④BC與AD的大小不能確定，故④錯(cuò)誤.故答案為：C．【分析】根據(jù)垂線段最短并結(jié)合圖形和各選項(xiàng)可求解.5．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【解析】【解答】解：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，所以在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)只有1條．故答案為：B．

【分析】考查垂線的相關(guān)性質(zhì)，過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直，所以圖中過(guò)直線外一點(diǎn)O只可以作一條直線與直線m垂直。6．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；勾股定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP取得最小值，則CP=AC×BCAB=2457．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，

∴AP≥AC=6，

∴AP可能為7.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)可得AP≥AC，據(jù)此解答.8．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；勾股定理【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB=8cm，∴AE=BE=12AB=12×8=4（cm），∵OA=5cm，∴OE=OA2-AE2=52-42=3（cm），∵垂線段最短，半徑最長(zhǎng)，∴3cm＜OP＜5cm.故選：D.

【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)9．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；平行四邊形的性質(zhì)【解析】【解答】∵∠BAC=90°，AB=3，BC=5，

∴AC=BC2-AB2=4，

∵?PAQC，

∴PO=QO=12PQ，CO=AO=12AC，

當(dāng)PQ最小時(shí)，PO最小，

因此當(dāng)PO⊥BC時(shí)，PO最?。ㄈ鐖D），

∵∠ACB=∠P'CO，∠CP'O=∠CAB=90°，

∴△CAB∽△CP'O，

∴CO故答案為：C.

【分析】先證出當(dāng)PO⊥BC時(shí)，PO最小，再證出△CAB∽△CP'O，求出OP'=65，即可得到PQ的最小值=2OP'=1210．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用-最短距離問(wèn)題【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于T，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB∵CR∴1∴CR由作圖可知，AO平分∠CAB，∵PM⊥AC∴PM∴PC∵PC∴PC∴PC+PM故答案為：B．

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于T，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥AB于R，先結(jié)合12?AB11．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；含30°角的直角三角形；解直角三角形；作圖-角的平分線【解析】【解答】解：由題意可得射線AM是為∠CAB的角平分線，

在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，

∵AM平分∠BAC，

∴∠CAF=∠BAF=12∠BAC=30°，

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)P，如圖，

在Rt△APN中，∠BAF=30°，

∴PN=12AP，

∴CP+12AP=CP+PN=CN，

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，此時(shí)CP+PN最短，

在Rt△ACN中，∵∠CAN=60°，

∴sin∠CAN=sin60°=CNAC，

∴故答案為：23【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)P，由尺規(guī)作圖的過(guò)程可得AF為∠BAC的角平分線，易得∠CAF=∠BAF=12∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得PN=12AP，則CP+12AP=CP+PN=CN，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，此時(shí)CP+PN最短，進(jìn)而根據(jù)∠CAN的正弦函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值可算出12．【答案】（1）2（2）2【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；線段的中點(diǎn)【解析】【解答】解：（1）∵A（-4，0），

∴OA=4.

∵OB=AD，D為OA的中點(diǎn)，

∴AD=OD=OB=2，

∴AB=AO2+∵∠AED=∠AOB=90°，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABO，

∴AD：AB=DE：BO，即2：25=DE：2，

∴DE=255.

故答案為：255.

（2）由線段最短的性質(zhì)可得：當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE取得最小值，此時(shí)點(diǎn)D、O重合，AO=BO=4，

∴AB=AO2+BO2=42.

∵S△ABO=12AO·BO=12AB·OE，

∴4×4=42×OE，

∴OE=22.

故答案為：22.

【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得OA=4，根據(jù)已知條件可知OB=AD，結(jié)合中點(diǎn)的概念可得AD=OD=OB=2，利用勾股定理求出AB的值，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ADE∽△ABO，然后由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；

（13．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；三角形內(nèi)角和定理；含30°角的直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠ADB=90°，∠A=60°，

∴∠ABD=30°，

∴PE=12PB，

∴PC+12PB=PC+PE，故當(dāng)點(diǎn)C、P、E共線，且CE⊥AB時(shí)，取得最小值.

∵∠A=60°，CE⊥AB，AC=4，

∴CE=AC·cos60°=4×32=23.

故答案為：23.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，由內(nèi)角和定理可得∠ABD=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PE=12PB，則PC+12PB=PC+PE，故當(dāng)點(diǎn)C、P、E共線，且CE⊥14．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；含30°角的直角三角形；菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AT⊥BC，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC，

∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，

∴∠DBC=30°.

∵M(jìn)H⊥BC，

∴∠BHM=90°，

∴MH=12BM，

∴AM+12BM=MA+MH.

∵AT⊥BC，

∴∠ATB=90°，

∴AT=AB·sin60°=4×32=23.

∵AM+MH≥AT，

∴AM+MH≥23，

∴AM+12BM的最小值為23.

故答案為：23.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AT⊥BC，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DBC=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得MH=12BM，則AM+115．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；勾股定理；一次函數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】解：根據(jù)題意，畫(huà)出一次函數(shù)的圖象，如圖，其中OP'⊥AB

根據(jù)垂線段最短，可知，|OP|的最小值是|OP'|。

設(shè)A、B分別是直線y=-x+4與y軸、x軸的交點(diǎn)，可求出A（0，4），B(4，0）

∴OB=4，∠ABO=45°

∴OP'=BP'

∵OP'2+BP'2=OB2

∴OP'=22

故答案為：22

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的表達(dá)式畫(huà)出一次函數(shù)的圖象，再根據(jù)垂線段最短找到OP最小時(shí)P16．【答案】（1）解：如圖，△ABC（2）解：如圖，Q即為所求作的點(diǎn)；【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；正方形的性質(zhì)；作圖-三角形【解析】【分析】（1）先找出點(diǎn)K，它滿足∠AKB=90°，且AK=BK，然后找到如圖所示的點(diǎn)C，滿足∠ACB＜∠AKB，即∠ACB＜90°，且△ABC是等腰三角形，所以底角不可能大于或等于90°，所以△ABC是銳角三角形；

（2）根據(jù)垂線段最短，需要滿足PQ⊥AB，如圖，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直，找到點(diǎn)Q的位置即可。17．【答案】解：（Ⅰ）解法一：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點(diǎn)，∴DM＝EM＝12AP＝AM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠2＝2∠1，∠6＝∠3+∠4＝2∠3，∴∠DME＝∠5+∠6＝2∠1+2∠3＝2∠BAC；解法二：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點(diǎn)，∴DM＝EM＝12AP＝AM＝PM，∴點(diǎn)A，D，P，E在以M為圓心，MA為半徑的圓上，∴∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N，由（Ⅰ）知DM＝EM，∴∠DMN＝∠EMN＝12∠DME，DN＝EN，∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝60°．由（Ⅰ）知，∠DME＝2∠BAC＝120°．∴∠DMN＝60°，∴DN＝DM?sin∠DMN＝32DM，∴DE＝2DN＝3DM，△MDE周長(zhǎng)＝DM+DE+DE＝DM+DM+3DM＝（2+3）DM＝（2+3）×12AP，∴當(dāng)AP最短時(shí)，△MDE周長(zhǎng)最小．此時(shí)AP⊥BC；當(dāng)AP⊥BC時(shí)，∵∠B＝45°，∴AP＝22AB＝22×62＝6．∴△MDE周長(zhǎng)最小值為（2+3【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；三角形的外角性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用-最短距離問(wèn)題；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：（Ⅰ）解法一：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點(diǎn)，∴DM＝EM＝12AP＝AM∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠2＝2∠1，∠6＝∠3+∠4＝2∠3，∴∠DME＝∠5+∠6＝2∠1+2∠3＝2∠BAC；解法二：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點(diǎn)，∴DM＝EM＝12AP＝AM＝PM∴點(diǎn)A，D，P，E在以M為圓心，MA為半徑的圓上，∴∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N，由（Ⅰ）知DM＝EM，∴∠DMN＝∠EMN＝12∠DME，DN＝EN∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝60°．由（Ⅰ）知，∠DME＝2∠BAC＝120°．∴∠DMN＝60°，∴DN＝DM?sin∠DMN＝32DM∴DE＝2DN＝3DM，△MDE周長(zhǎng)＝DM+DE+DE＝DM+DM+3DM＝（2+3）DM＝（2+3）×12AP∴當(dāng)AP最短時(shí)，△MDE周長(zhǎng)最?。藭r(shí)AP⊥BC；當(dāng)AP⊥BC時(shí)，∵∠B＝45°，∴AP＝22AB＝22×62∴△MDE周長(zhǎng)最小值為（2+3）×12×6＝6+3【分析】（Ⅰ）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得DM=EM=12AP=AM，再由等邊對(duì)等角可得∠1=∠2，∠3=∠4，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可證明結(jié)論.

（Ⅱ）根據(jù)已知及第（Ⅰ）問(wèn)的結(jié)論可知△MDE為頂角是120°的等腰三角形，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N，由特殊角的三角函數(shù)值將△MDE的周長(zhǎng)表示為（2+3）×12AP，進(jìn)而將周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為求AP18．【答案】（1）解：∵圓弧AB長(zhǎng)為250π海里，它所對(duì)的圓心角為90°，圓的半徑為r，∴250π解得r=500(海里）答：該圓弧AB所在圓的半徑r為500海里。（2）解：結(jié)論：圖中點(diǎn)E表示所建補(bǔ)給站；線段EF表示最短運(yùn)輸路線，如圖3，簡(jiǎn)要畫(huà)法：先找出圓心O，作OE⊥m于點(diǎn)E，交圓弧AB于點(diǎn)F，則圖中點(diǎn)E表示所建補(bǔ)給站；線段EF表示最短運(yùn)輸路線．（其他畫(huà)法參考給分）（3）解：）(法一)如圖4，作AT⊥OE于點(diǎn)T，作BU⊥OE于點(diǎn)U，∵∠AOB=90°，∴∠OAT+∠AOT=∠BOU+∠AOT=90°，∴∠OAT=∠BOU，又∵OA=OB，∴△ATO≌△OUB，∴AT=OU，OT=BU，∵AC=ET=600海里，BD=UE=500海里，∴UT=100海里設(shè)線段OT長(zhǎng)為x海里，則線段AT長(zhǎng)為（100+x）海里，由x2+(x+100)2=5002，∴x1=3000，x2=，400（舍去），∴OT=300海里，∴OE=OT+AC=900海里，∴FE=OE﹣r=900﹣500=400海里(法二)如圖5，過(guò)點(diǎn)O作MN//CD分別交CA，DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，∵∠ACD=∠BDC=90°，∴四邊形CDNM是矩形，∵∠AOB=90°，∠MAO+∠AOM=∠BON+∠AOM=90°，∴∠MAO=∠BON，又∵OA=OB，∠M=∠N=90°，∴△AMO≌△ONB，∴AM=ON，OM=BN，∵AC=600海里，BD=500海里，設(shè)線段AM長(zhǎng)為x海里，∴AM=ON=x海里，∴CM=DN=OE=（600+x）海里，∴BN=(600+x-500)海里=(100+x)海里，∵∠N=90°，∴ON2+BN2=OB2，∴x2+(x+100)2=5002，∴x1=300，x2=，400（舍去），∴AM=300海里，∴CM=AM+AC=900海里，∴OE=CM=900海里，∴FE=OE﹣OF=900﹣500=400海里?！局R(shí)點(diǎn)】垂線段最短；扇形的認(rèn)識(shí)【解析】【分析】（1）由扇形弧度公式求出半徑即可。

（2）兩點(diǎn)之間垂線段最短

（3）利用全等三角形和相同長(zhǎng)度關(guān)系，轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度求解。19．【答案】（1）證明：如圖①，連接OC，∵OB=OA，l1∥l2，∴直線l1平分AC，由作圖可知：OB=OA=OC，∴∠ACB=90°，∴l(xiāng)2垂直AC，∵l1∥l2，∴l(xiāng)1垂直AC，即直線l1垂直平分AC（2）解：如圖②，以l2與PQ的交點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線l3于點(diǎn)C，連接PC并延長(zhǎng)交直線l4于點(diǎn)D，此時(shí)線段PD最短，點(diǎn)D即為所求.【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；平行線的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的判定；作圖-線段垂直平分線【解析】【分析】（1）如圖①，連接OC，由OB=OA，l1∥l2，可得直線l1平分AC，由OB=OA=OC，可求出∠ACB=90°，從而可得l1垂直AC，繼而得出結(jié)論；

（2）以l2與PQ的交點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線l3于點(diǎn)C，連接PC并延長(zhǎng)交直線l4于點(diǎn)D，此時(shí)線段PD最短，點(diǎn)D即為所求.20．【答案】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M由題意，知∠BAM=45°，則在Rt△ABM中，∠BAM=45°，∴BM=答：漁船航行402nmile與小島（2）解：∵BM=402nmile，∴tan∠∴∠MBC∴∠CBG在Rt△BCM中，∠MBC=60°，