人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)專(zhuān)題5.9平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定大題專(zhuān)項(xiàng)提升訓(xùn)練(拔高篇重難點(diǎn)培優(yōu)30題)(原卷版+解析)

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專(zhuān)題5.9平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定大題專(zhuān)項(xiàng)提升訓(xùn)練（拔高篇，重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________一、解答題（本大題共30小題．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1．（2022·江蘇·開(kāi)明中學(xué)七年級(jí)期中）已知：如圖，在△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE，∠EAD＝∠EDA，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．(1)求證：DE∥AC；(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度數(shù)．2．（2022·吉林市亞橋中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，F(xiàn)E⊥BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)G，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且∠1=∠F.問(wèn)：AD平分∠BAC嗎？并說(shuō)明理由．3．（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由．4．（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)為四邊形ABDC的邊CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，作∠BDH的平分線(xiàn)DP交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．(1)判斷DE與BF是否平行？并說(shuō)明理由；(2)試說(shuō)明：∠C＝2∠P．5．（2022·廣東·東莞市石龍第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B，C在線(xiàn)段AD的異側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AB，CD上的點(diǎn)，已知∠1=∠2，∠3=∠C．(1)求證：AB∥(2)若∠2+∠4=180°，求證：∠BFC+∠C=180°；(3)在（2）的條件下，若∠BFC?30°=2∠1，求∠B的度數(shù)．6．（2022·河南·信陽(yáng)文華寄宿學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，射線(xiàn)OE平分∠AOC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OE，G是射線(xiàn)OB上一點(diǎn)，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．7．（2022·貴州·興仁市真武山街道辦事處黔龍學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．(1)求證：AD∥EF；(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度數(shù)．8．（2022·遼寧·丹東市第六中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，AE，CE分別平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．(1)請(qǐng)判斷AB與CD之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)請(qǐng)寫(xiě)出∠E與∠EAB、∠DCE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．（2022·浙江溫州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知BC平分∠ABD交AD于點(diǎn)E，∠1＝∠3．(1)證明：AB∥CD；(2)若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠CDA＝38°，求∠3的度數(shù)．10．（2021·廣東·東莞市松山湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1=∠2，∠D=3∠3，∠CBD=80(1)求證：AB∥CD；(2)求∠3的度數(shù)．11．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺頂點(diǎn)C按照如圖①方式疊放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）設(shè)∠ACE=α．(1)若α=30°，說(shuō)明AB∥CE；(2)將三角形CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若DE∥BC，求α的度數(shù)．12．（2022·江蘇·泰興市濟(jì)川初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BE是△ABC角平分線(xiàn)，點(diǎn)D是AB上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠DEB＝∠DBE．(1)DE與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度數(shù)．13．（2022·陜西渭南·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F(xiàn)在線(xiàn)段BC上（不與點(diǎn)B，C重合），且滿(mǎn)足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)求證：OC∥(2)求∠EOB的度數(shù)．14．（2021·廣東·江門(mén)市第二中學(xué)七年級(jí)期中）已知，AB∥CD．(1)如圖1，求證：∠A﹣∠C＝∠E；(2)如圖2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度數(shù)．15．（2022·河南平頂山·七年級(jí)期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F、D、G分別是邊AB、BC、AC上的點(diǎn)，已知∠1＝∠2，∠4+∠ADB＝180°．請(qǐng)判斷AB和DG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．（2022·河北·邯鄲市叢臺(tái)區(qū)弘文中學(xué)七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)“魚(yú)”形圖案，點(diǎn)B，C分別在∠A的兩邊上．已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．(1)找出圖中的平行線(xiàn)，并說(shuō)明理由；(2)求∠A的度數(shù)．17．（2022·浙江·杭州市建蘭中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知C為兩條相互平行的直線(xiàn)AB，ED之間一點(diǎn)，∠ABC和∠CDE的角平分線(xiàn)相交于F．(1)當(dāng)∠FDC+∠ABC=180°時(shí)：①判斷直線(xiàn)AD與BC的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若∠ABC=130°求∠DFB的度數(shù)．(2)當(dāng)∠C=α?xí)r，直接寫(xiě)出∠DFB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．18．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)MN分別與直線(xiàn)AB和CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿(mǎn)足∠1+∠2=180°．(1)試判斷直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)作∠AEF的平分線(xiàn)EG交CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥EG交MN于點(diǎn)H．若∠DGH=40°，求∠1的度數(shù)．19．（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求證：AD∥(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB，∠NBG，∠1的數(shù)量關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度數(shù)．20．（2022·陜西·潼關(guān)縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)B、C在線(xiàn)段AD的異側(cè)，連接AB、CD，點(diǎn)E、F分別是線(xiàn)段AB、CD上的點(diǎn)，連接CE、BF，分別與AD交于點(diǎn)G，(1)求證：AB∥(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C；(3)在（2）的條件下，若∠BFC=117∠C21．（2022·陜西·潼關(guān)縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，CE、BF分別交AD于點(diǎn)G、H，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．(1)AB與CD平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度數(shù)．22．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，求證：AB∥23．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線(xiàn)與∠DFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G．(1)求證：EG⊥FG；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線(xiàn)與∠DFG的平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，得到圖2，則∠EMF的度數(shù)為．②如圖3，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)O在直線(xiàn)AB，CD之間，且在直線(xiàn)EF右側(cè)，∠BEO的平分線(xiàn)與∠DFO的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，則∠EOF與∠EPF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為．24．（2022·陜西漢中·七年級(jí)期末）解答下列問(wèn)題(1)（問(wèn)題情景）如圖1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．過(guò)點(diǎn)P作(2)（問(wèn)題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過(guò)P點(diǎn)作PN∥(3)（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分線(xiàn)和∠PFC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，用含有α的式子表示25．（2022·陜西漢中·七年級(jí)期末）如圖1，直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1+∠2=180°．(1)試判斷直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則PF與26．（2021·四川資陽(yáng)·七年級(jí)期末）已知，O是直線(xiàn)上一點(diǎn)，∠AOC=2∠BOC，將一直角三角板DOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，其中∠DOE=90°，∠D=45°．(1)如圖1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度數(shù)；(2)如圖2，若DE∥OC，求∠BOE的度數(shù)．27．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AB,CD分別交于點(diǎn)E,F，∠1與∠2互補(bǔ)．(1)如圖1，求證AB∥CD；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，EP的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且PF∥GH，求證：GH⊥EG；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于點(diǎn)Q，∠QPF:∠HPK=3:2，求∠HPF的度數(shù)．28．（2022·四川·天池中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）問(wèn)題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師組織七年級(jí)（2）班的同學(xué)開(kāi)展了探究?jī)山侵g數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知射線(xiàn)AM∥BN，連接AB，點(diǎn)P是射線(xiàn)AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C，探索發(fā)現(xiàn)：“快樂(lè)小組”經(jīng)過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)∠A=60°時(shí)，求證：(2)不斷改變∠A的度數(shù)，∠CBD與∠A卻始終存在某種數(shù)量關(guān)系，當(dāng)∠A=40°則當(dāng)∠A=x°時(shí)，則∠CBD=_______度，（用含操作探究：(3)“智慧小組”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關(guān)系．他們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)論點(diǎn)P在AM上的什么位置，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請(qǐng)寫(xiě)出它們的關(guān)系，并說(shuō)明理由．29．（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，已知：射線(xiàn)AF交CD于E，∠CEF+∠BAF=180°．(1)求證：AB∥(2)如圖2，Y為射線(xiàn)ED上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出∠BAF，(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AY，延長(zhǎng)FY交射線(xiàn)AB于W，N為線(xiàn)段AW上一動(dòng)點(diǎn)，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY=30°時(shí)，求30．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）已知DM∥FG∥EN，點(diǎn)A在FG上，∠BAC的兩邊與DM相交于點(diǎn)B，與EN相交于點(diǎn)C，AP平分∠BAC．(1)如圖1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的數(shù)量關(guān)系為；(2)如圖2，在（1）的條件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求證AB⊥AC；(3)點(diǎn)B、C分別在點(diǎn)D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG=126∠FAC【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專(zhuān)題5.9平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定大題專(zhuān)項(xiàng)提升訓(xùn)練（拔高篇，重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________一、解答題（本大題共30小題．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1．（2022·江蘇·開(kāi)明中學(xué)七年級(jí)期中）已知：如圖，在△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE，∠EAD＝∠EDA，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．(1)求證：DE∥AC；(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠BAC=95°【分析】（1）只需要證明∠EDA=∠CAD，即可證明DE∥AC；（2）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EDF=50°，進(jìn)而求出∠BED=95°，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠EAD=∠EDA，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥（2）解：∵EF⊥BD，∴∠EFD=90°，∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°，∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°，∵DE∥∴∠BAC=∠BED=95°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，熟知平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．2．（2022·吉林市亞橋中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，F(xiàn)E⊥BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)G，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且∠1=∠F.問(wèn)：AD平分∠BAC嗎？并說(shuō)明理由．【答案】AD平分∠BAC，理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意易得AD∥FE且∠1=∠BAD，∠F=∠DAC，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠BAD=∠DAC；故AD平分【詳解】解：AD平分∠BAC．理由：如圖所示∵AD⊥BC，F(xiàn)E⊥BC，∴AD∥∴∠1=∠BAD∠F=∠DAC．又∵∠1=∠F，∴∠BAD=∠DAC，∴AD平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定及角與角相互間的等量關(guān)系．3．（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由．【答案】平行，理由見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，從而可得【詳解】解：BE∥DF，理由如下：∵BE,DF分別平分∠ABC,∠ADC，∴∠ABE=1∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADF+∠ABE=1又∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)、平行線(xiàn)的判定，熟練掌握平行線(xiàn)的判定方法是解題關(guān)鍵．4．（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)為四邊形ABDC的邊CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，作∠BDH的平分線(xiàn)DP交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．(1)判斷DE與BF是否平行？并說(shuō)明理由；(2)試說(shuō)明：∠C＝2∠P．【答案】(1)DE∥BF，理由見(jiàn)解析(2)說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出BD∥CE，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠5＝∠FAB，求出∠C＝∠FAB，根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出AB∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠2＝∠BGD即可；（2）求出∠BDP＝∠PDH＝∠P，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出即可．（1）解：（1）DE∥BF，理由是：∵∠3＝∠4，∴BD∥CE，∴∠5＝∠FAB，∵∠5＝∠C，∴∠C＝∠FAB，∴AB∥CD，∴∠2＝∠BGD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BGD，∴DE∥BF；（2）∵AB∥CD，∴∠P＝∠PDH，∵DP平分∠BDH，∴∠BDP＝∠PDH，∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，∵∠5＝∠P＋∠BDP，∴∠5＝2∠P，∵∠C＝∠5，∴∠C＝2∠P．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定、三角形外角性質(zhì)，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線(xiàn)的性質(zhì)有：①兩直線(xiàn)平行，同位角相等，②兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．5．（2022·廣東·東莞市石龍第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B，C在線(xiàn)段AD的異側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AB，CD上的點(diǎn)，已知∠1=∠2，∠3=∠C．(1)求證：AB∥(2)若∠2+∠4=180°，求證：∠BFC+∠C=180°；(3)在（2）的條件下，若∠BFC?30°=2∠1，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)∠B=50°【分析】（1）已知∠1=∠2，所以∠3=∠2，又因?yàn)椤?=∠C，可以得出∠1=∠C即可判定AB∥（2）已知∠2=∠3，∠2+∠4=180°，可以得出BF//EC，即可得出∠BFC+∠C=180°；（3）由（1）（2）可知AB∥CD，BF//EC，可以得出∠1=∠C，∠BFC+∠C=180°；可以得出∠BFC?30°=2∠1=2∠C，可以得出∠C，又因?yàn)椤螩=∠1=∠B，即可求出【詳解】（1）證明：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，∴∠1=∠C，∴AB//CD；（2）證明：∵∠2+∠4=180°，∠2=∠3，∴∠3+∠4=180°，∴BF//EC，∴∠BFC+∠C=180°；（3）∵∠BFC+∠C=180°，∵∠BFC?30°=2∠1=2∠C，∴∠BFC=2∠C+30°，∴2∠C+30°+∠C=180°，∴∠C=50°，∴∠BFC=130°，∵AB//CD，∴∠B+∠BFC=180°，∴∠B=50°．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河南·信陽(yáng)文華寄宿學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，射線(xiàn)OE平分∠AOC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OE，G是射線(xiàn)OB上一點(diǎn)，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)CD∥OE，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行，即可證明CD∥OE．（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CD∥OE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線(xiàn)OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CD∥OE．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)定義，垂直的定義，平行線(xiàn)的判定，等角的余角相等，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．7．（2022·貴州·興仁市真武山街道辦事處黔龍學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．(1)求證：AD∥EF；(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)70°【分析】（1）先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義與角的和差，得到∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)可得結(jié)論；（2）利用三角形的內(nèi)角和是180°可得答案．（1）證明：∵CE平分∠BCF，∴∠ECB=∠FCE，∵∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°，∴∠BCF=2∠ECB=40°，∴∠ACB=40°+20°=60°，∵∠DAC=120°，∴∠DAC+∠ACB=120°+60°=180°，∴AD∥EF；（2）解：由（1）得，∠ACE=20°+20°=40°，∵∠AEC=70°，∴∠CAE=180°?70°?40°=70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及判定和三角形的內(nèi)角和定理，能熟練地運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．8．（2022·遼寧·丹東市第六中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，AE，CE分別平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．(1)請(qǐng)判斷AB與CD之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)請(qǐng)寫(xiě)出∠E與∠EAB、∠DCE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)AB∥CD，理由見(jiàn)解析；(2)∠E＝∠EAB+∠DCE，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，再根據(jù)∠1和∠2互余可知∠1+∠2＝90°，故可得出∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）根據(jù)已知求出∠BAE+∠DCE＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠E＝90°，從而證得結(jié)論．（1）解：AB∥CD，理由：∵AE、CE分別平分∠BAC和∠ACD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∵∠1和∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）∠E＝∠EAB+∠DCE，理由：∵AE、CE分別平分∠BAC和∠ACD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAE+∠DCE＝90°，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠EAB+∠DCE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練應(yīng)用平行線(xiàn)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．平行線(xiàn)的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系．平行線(xiàn)的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．9．（2022·浙江溫州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知BC平分∠ABD交AD于點(diǎn)E，∠1＝∠3．(1)證明：AB∥CD；(2)若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠CDA＝38°，求∠3的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)26°【分析】（1）由角平分線(xiàn)的定義得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定義得出∠ADB=90°，可得∠CDB=128°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ABD=52°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可得解．（1）證明：∵BC平分∠ABD∴∠1=∠2又∠1=∠3∴∠2=∠3∴AB∥CD；（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠CDA=38°，∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=38°+90°=128°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴∠ABD=180°-128°=52°，∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．∴∠3＝∠1＝∠2＝12∠ABD【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”及“兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．10．（2021·廣東·東莞市松山湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1=∠2，∠D=3∠3，∠CBD=80(1)求證：AB∥CD；(2)求∠3的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)25°【分析】（1）根據(jù)AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，得出AE∥GF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠2=∠A，根據(jù)已知條件，等量代換可得∠1=∠A，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行，即可得證；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠D+∠CBD+∠3=180°，由已知∠D=3∠3，（1）證明：∵AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，∴AB∥CD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3=180∵∠D=3∠3，∠CBD=80∴3∠3+80∴∠3=25【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺頂點(diǎn)C按照如圖①方式疊放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）設(shè)∠ACE=α．(1)若α=30°，說(shuō)明AB∥CE；(2)將三角形CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若DE∥BC，求α的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)15°或165°【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行證明即可；（2）分兩種情形：如圖②中，當(dāng)DE∥CE時(shí)，如圖③中，當(dāng)DE∥BC時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖①中，∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，∴∠ACE=∠A，∴AB∥CE；（2）解：如圖②中，當(dāng)DE∥CE時(shí)，則∠BCE=∠E=45°，∴α=∠ACE=∠ACB?∠BCE=60°?45°=15°；如圖③中，當(dāng)DE∥BC時(shí)，則∠BCD=∠D=90°，∴α=∠ACE=360°?∠ACB?∠ECD?∠BCD=360°?60°?45°?90°=165°．綜上所述，α的值為15°或165°．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．12．（2022·江蘇·泰興市濟(jì)川初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BE是△ABC角平分線(xiàn)，點(diǎn)D是AB上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠DEB＝∠DBE．(1)DE與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度數(shù)．【答案】(1)DE∥BC，理由見(jiàn)解析；(2)∠DEB＝42.5°．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠DBE＝∠EBC，從而求出∠DEB＝∠EBC，再利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行證明即可；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC，再用角平分線(xiàn)定義求出∠DBE即可得解．（1）解：DE∥BC．理由：∵BE是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠DBE＝∠EBC，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；（2）∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＝180°?∠A?∠C＝180°?45°?50°＝85°，∵BE是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠DBE＝∠EBC＝12∠ABC∴∠DEB＝∠DBE＝42.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的判定，角平分線(xiàn)的定義，熟知內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；三角形的內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．13．（2022·陜西渭南·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F(xiàn)在線(xiàn)段BC上（不與點(diǎn)B，C重合），且滿(mǎn)足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)求證：OC∥(2)求∠EOB的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)36°【分析】（1）根據(jù)BC∥OA，推出∠COA+∠C=180°，根據(jù)∠C=∠OAB，得到∠COA+∠OAB=180°，推出（2）根據(jù)OE平分∠COF，得到∠EOF=12∠COF，根據(jù)∠FOB=∠AOB=12∠FOA，推出∠EOB=12∠COA，根據(jù)BC（1）證明：∵BC∥∴∠COA+∠C=180°.∵∠C=∠OAB，∴∠COA+∠OAB=180°，∴OC∥（2）解：∵OE平分∠COF，∴∠EOF=1∵∠FOB=∠AOB=1∴∠EOB=∠EOF+∠FOB===1∵BC∥OA，∠∴∠COA=180°?∠C=180°?108°=72°，∴∠EOB=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)，角平分線(xiàn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義．14．（2021·廣東·江門(mén)市第二中學(xué)七年級(jí)期中）已知，AB∥CD．(1)如圖1，求證：∠A﹣∠C＝∠E；(2)如圖2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)150°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB于點(diǎn)F，先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠A=180°?∠AEF，再根據(jù)平行公理推論可得EF∥CD，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠C=180°?∠CEF，最后計(jì)算∠A?∠C即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)F作FG∥CE于點(diǎn)G，先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠EFG=180°?∠CEF，∠CFG=∠ECF，從而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可得．（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB于點(diǎn)F，∴∠A=180°?∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠C=180°?∠CEF，∴∠A?∠C=180°?∠AEF?180°?∠CEF（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CE于點(diǎn)G，∴∠EFG=180°?∠CEF，∠CFG=∠ECF，∵∠EFC=105°，∴∠EFG?∠CFG=180°?∠CEF?∠ECF=105°，解得∠CEF+∠ECF=75°，∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，∴∠AEC+∠ECD=2∠CEF+∠ECF由（1）已得：∠A?∠ECD=∠AEC，∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、平行公理推論、角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2022·河南平頂山·七年級(jí)期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F、D、G分別是邊AB、BC、AC上的點(diǎn)，已知∠1＝∠2，∠4+∠ADB＝180°．請(qǐng)判斷AB和DG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】互相平行，理由見(jiàn)解析．【分析】由∠4+∠ADB＝180°可得AD∥【詳解】解：如圖：AB和DG的位置關(guān)系是：互相平行．理由如下：∵∠4+∠ADB＝180°（已知）∴AD∥∴∠1＝∠3（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝∠3∴AB∥【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)定理等知識(shí)點(diǎn)；掌握同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行，兩直線(xiàn)平行同位角相等是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022·河北·邯鄲市叢臺(tái)區(qū)弘文中學(xué)七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)“魚(yú)”形圖案，點(diǎn)B，C分別在∠A的兩邊上．已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．(1)找出圖中的平行線(xiàn)，并說(shuō)明理由；(2)求∠A的度數(shù)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)∠A＝50°【分析】（1）先說(shuō)明∠1＝∠2，根據(jù)同位角相等兩直線(xiàn)平行可得AB∥CD；由對(duì)頂角的定義可得∠BDC＝∠2＝50°，即∠BDC+∠3＝180°，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行可得AC∥BD；（2）由AB∥CD可得∠A+∠3＝180°，再結(jié)合∠3＝130°即可解答．（1）解：AB∥CD；AC∥BD；理由如下：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴AB∥CD；∵∠BDC＝∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠BDC+∠3＝180°，∴AC∥BD．（2）解：∵AB∥CD∴∠A+∠3＝180°，∵∠3＝130°∴∠A＝180°-∠3=50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線(xiàn)的判定、性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵．17．（2022·浙江·杭州市建蘭中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知C為兩條相互平行的直線(xiàn)AB，ED之間一點(diǎn)，∠ABC和∠CDE的角平分線(xiàn)相交于F．(1)當(dāng)∠FDC+∠ABC=180°時(shí)：①判斷直線(xiàn)AD與BC的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若∠ABC=130°求∠DFB的度數(shù)．(2)當(dāng)∠C=α?xí)r，直接寫(xiě)出∠DFB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①AD∥BC；理由見(jiàn)解析；②∠DFB＝115°(2)∠DFB＝180°?12【分析】（1）①根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠EDF＝∠DAB，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠EDF＝∠ADC，根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可求∠CBF，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求∠DFB；（2）作CG∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義得到∠BCD＝360°?2∠DFB，即可得到結(jié)論．（1）解：①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分線(xiàn)，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC＋∠ABC＝180°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分線(xiàn)，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°?∠FBC＝115°．（2）作CG∥AB，如圖所示：∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°?∠EDC，∠2＝180°?∠ABC，∴∠BCD＝∠1＋∠2＝180°?∠EDC＋180°?∠ABC＝180°?2∠EDA＋180°?2∠ABF＝180°?2∠DAB＋180°?2∠ABF＝360°?2（∠DAB＋∠ABF）＝360°?2∠DFB＝α∴∠DFB＝180°?12α【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，作出輔助線(xiàn)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定方法，是解題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)MN分別與直線(xiàn)AB和CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿(mǎn)足∠1+∠2=180°．(1)試判斷直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)作∠AEF的平分線(xiàn)EG交CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥EG交MN于點(diǎn)H．若∠DGH=40°，求∠1的度數(shù)．【答案】(1)AB∥CD，理由見(jiàn)解析(2)80°【分析】（1）已知∠1+∠2=180°，且∠CFE與∠2構(gòu)成平角，通過(guò)等量代換即可得出互為內(nèi)錯(cuò)角的∠1與∠CFE相等，因此可求出AB∥CD；（2）已知GH⊥EG，通過(guò)已知條件求出∠EGF的度數(shù)，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出∠AEF的度數(shù)，最后用180°減去∠AEF的度數(shù)即可求得∠1的度數(shù)．（1）解：AB∥∵∠1+∠2=180°又∵∠2+∠CFE∴∠1=∠CFE∴AB∥CD．（2）∵GH⊥EG,∠DGH=40°，∴∠EGF=50°∵AB∴∠AEG=∠EGF=50°∵EG平分∠AEF∴∠AEF=100°∴∠1=180°?100°=80°故∠1的度數(shù)為80°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和平行線(xiàn)的性質(zhì)，將已知角的度數(shù)通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)換為所求問(wèn)題的相關(guān)角是本題的關(guān)鍵．19．（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求證：AD∥(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB，∠NBG，∠1的數(shù)量關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠NBG+∠1?∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠D=∠ACM，等量代換得到∠CMG=∠（2）過(guò)B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代換得到∠A+∠D=180°，得到AN∥（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根據(jù)已知條件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到結(jié)論．（1）證明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，∴∠2=∠CFG，∴CM∥∴∠D=∠ACM，∵∠D=∠CMG，∴∠CMG=∠ACM，∴AD∥（2）解：∠NBG?∠ANB+∠1=180°；理由如下：過(guò)B作BP∥AN交NG于∴∠ANB=∠NBP，∵AD∥∴∠D=∠DHG，∵∠A+∠DHG=180°，∴∠A+∠D=180°，∴AN∥又∵CM∥DH，∴BP∥∴∠PBG+∠1=180°，∵∠PBG=∠NBG?∠NBP=∠NBG?∠ANB，∴∠NBG?∠ANB+∠1=180°；（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∴∠PBG=80°，∵∠NBG=130°，∴∠ANB=∠NBP=50°，∵∠ANB：∠BNG=2：1，∴∠BNP=25°，∴∠ANG=75°，∴∠A=105°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．20．（2022·陜西·潼關(guān)縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)B、C在線(xiàn)段AD的異側(cè)，連接AB、CD，點(diǎn)E、F分別是線(xiàn)段AB、CD上的點(diǎn)，連接CE、BF，分別與AD交于點(diǎn)G，(1)求證：AB∥(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C；(3)在（2）的條件下，若∠BFC=117∠C【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)70°【分析】（1）只需要證明∠AEG=∠C即可證明AB∥（2）先證明∠HGE=∠AHF得到BF∥CE則∠B=∠AEG，再由∠AEG=∠C即可證明∠B=∠C；（3）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，再結(jié)合已知條件求出∠C的度數(shù)即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC，∴∠AEG=∠C，∴AB∥（2）證明：∵∠AGE+∠HGE=180°，∴∠HGE=∠AHF，∴BF∥CE，∴∠B=∠AEG，又∵∠AEG=∠C，∴∠B=∠C；（3）解：由（2）得BF∥CE，∴∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，又∵∠BFC=11∴117∴∠C=70°，∴∠AHB=∠DGC=∠C=70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，對(duì)頂角相等，熟知平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．21．（2022·陜西·潼關(guān)縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，CE、BF分別交AD于點(diǎn)G、H，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．(1)AB與CD平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)AB∥(2)50°【分析】（1）由∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，∠AGE=∠DGC即可推出∠A=∠D，即可證明AB∥（2）由∠2+∠1=180°，∠CGD+∠2=180°可推出∠1=∠CGD，從而可證明CE∥BF，得出∠C=∠BFD，∠BEC+∠B=180°，結(jié)合題意即得出∠B=50°，再根據(jù)AB∥CD得出【詳解】（1）解：AB∥∵∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，又∵∠AGE=∠DGC，∴∠A=∠D，∴AB∥（2）∵∠2+∠1=180°，∠CGD+∠2=180°，∴∠1=∠CGD，∴CE∥∴∠C=∠BFD，∠BEC+∠B=180°，∵∠BEC=2∠B+30°，∴∠BEC+∠B=2∠B+30°+∠B=3∠B+30°=180°，∴∠B=50°，∵AB∥∴∠B=∠BFD，∴∠C=∠B=50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角等知識(shí)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定條件和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，求證：AB∥【答案】見(jiàn)解析【分析】由∠2+∠ADC=180°，∠1+∠2=180°，得到∠ADC=∠1，判定EF∥BC，再根據(jù)已知和兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到【詳解】證明：∵∠2+∠ADC=180°，∠1+∠2=180°，∴∠ADC=∠1，∴EF∥∴∠3=∠FDC，∵∠B=∠3，∴∠B=∠FDC，∴AB∥【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定，熟記平行線(xiàn)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線(xiàn)與∠DFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G．(1)求證：EG⊥FG；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線(xiàn)與∠DFG的平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，得到圖2，則∠EMF的度數(shù)為．②如圖3，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)O在直線(xiàn)AB，CD之間，且在直線(xiàn)EF右側(cè)，∠BEO的平分線(xiàn)與∠DFO的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，則∠EOF與∠EPF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①45°；②結(jié)論：∠EOF=2∠EPF【分析】（1）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）①利用基本結(jié)論∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本結(jié)論∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，∴∠GEB=12∠BEF∴∠GEB+∠GFD=1在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，∴EG⊥FG；（2）解：①如圖2中，由題意，∠BEG+∠DFG=90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=1∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，故答案為：45°；②結(jié)論：∠EOF=2∠EPF．理由：如圖3中，由題意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，∴∠EOF=2∠EPF，故答案為：∠EOF=2∠EPF．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．24．（2022·陜西漢中·七年級(jí)期末）解答下列問(wèn)題(1)（問(wèn)題情景）如圖1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．過(guò)點(diǎn)P作(2)（問(wèn)題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過(guò)P點(diǎn)作PN∥(3)（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分線(xiàn)和∠PFC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，用含有α的式子表示【答案】(1)90°(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠1=∠AEP=40°，根據(jù)兩直線(xiàn)平分線(xiàn)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得到∠2=180°?130°=50°，進(jìn)而可求出∠EPF的度數(shù)；（2）首先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠PEA=∠NPE，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠FPN=∠PFC，進(jìn)而可得到∠PFC=∠PEA+∠EPF；（3）首先根據(jù)兩直線(xiàn)平分線(xiàn)內(nèi)錯(cuò)角相等得到∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的概念得到∠HGE=∠AEG=1【詳解】（1）解：∵AB∥∴∠1=∠AEP=40°．∵AB∥∴PM∥∴∠2+∠PFD=180°．∵∠PFD=130°，∴∠2=180°?130°=50°．∴∠1+∠2=40°+50°=90°．即∠EPF=90°．（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF．理由：∵PN∥∴∠PEA=∠NPE，∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，∵PN∥∴PN∥∴∠FPN=∠PFC，∴∠PFC=∠PEA+∠FPE．（3）解：∵GH∥∴GH∥∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，又∵∠PEA的平分線(xiàn)和∠PFC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，∴∠HGE=∠AEG=1由（2）可知，∠CFP=∠FPE+∠AEP，∴∠HGF=1∴∠EGF=∠HGF?∠HGE=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的概念，熟練掌握平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022·陜西漢中·七年級(jí)期末）如圖1，直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1+∠2=180°．(1)試判斷直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則PF與【答案】(1)AB∥CD，見(jiàn)解析(2)平行，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行即可得到結(jié)論；（2）先求得∠EPF=90°，則EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：AB∥CD理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴AB∥（2）解：由（1）知，AB∥∴∠BEF+∠EFD=180°．

∵AB∴∠EPQ=∠BEP=1∴∠FPQ=∠PFD=1∴∠EPQ+∠FPQ=∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，∴PF∥【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解題解題的關(guān)鍵．26．（2021·四川資陽(yáng)·七年級(jí)期末）已知，O是直線(xiàn)上一點(diǎn)，∠AOC=2∠BOC，將一直角三角板DOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，其中∠DOE=90°，∠D=45°．(1)如圖1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度數(shù)；(2)如圖2，若DE∥OC，求∠BOE的度數(shù)．【答案】(1)30°(2)165°【分析】（1）根據(jù)平角定理和∠AOC=2∠BOC，可知∠AOC=120°，∠BOC=60°，再依據(jù)OC平分∠BOE，可得∠BOE=2∠BOC=120°，又根據(jù)∠DOE=90°，進(jìn)而可知∠BOD=∠BOE?∠DOE=30°；（2）根據(jù)DE∥OC，可知∠COD=∠D=45°，再由∠AOD=180°?∠BOC?∠COD，可求出∠AOD=75°，又根據(jù)∠DOE=90°，可得∠AOE=15°，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=2∠BOC，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°∵OC平分∴∠BOE=2∠BOC=120°又∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE?∠DOE=30°．（2）解：∵DE∥OC，∴∠COD=∠D∵∠D=45°，∴∠COD=45°∵∠AOD=180°?∠BOC?∠COD，∴∠AOD=75°又∵∠DOE=90°，∴∠AOE=15°∴∠BOE=180°?∠AOE=165°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)定義，角的計(jì)算應(yīng)用等知識(shí)，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形求出各個(gè)角的度數(shù)．27．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AB,CD分別交于點(diǎn)E,F，∠1與∠2互補(bǔ)．(1)如圖1，求證AB∥CD；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，EP的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且PF∥GH，求證：GH⊥EG；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于點(diǎn)Q，∠QPF:∠HPK=3:2，求∠HPF的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)18°．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定方法求證即可；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，求得∠EPF=90°，即可求解；（3）設(shè)∠HPK=2x°，則∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，列方程求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可得：∠1+∠2=180°，∠1+∠BEF=180°∴∠2=∠BEF，∴AB（2）證明：由題意可得：EP平分∠BEF，F(xiàn)P平分∠EFD，∴∠PEF=12∵AB∥∴∠EFD+∠BEF=180°∴∠PFE+∠PEF=1∴∠EPF=90°，∵PF∥GH，∴∠PGH=90°，即GH⊥EG；（3）設(shè)∠HPK=2x°，則∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°∵PF∥GH，∴∠PHK=∠FPH=2x°，∴∠QPK=7x°，又∵PQ平分∠EPK，∴∠EPQ=∠QPK=7x°，由（2）得：∠EPF=∠EPQ+∠QPF=90°，即3x°+7x°=90°解得x=9，∴∠HPF=18°．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的定義，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，垂直的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．28．（2022·四川·天池中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）問(wèn)題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師組織七年級(jí)（2）班的同學(xué)開(kāi)展了探究?jī)山侵g數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知射線(xiàn)AM∥BN，連接AB，點(diǎn)P是射線(xiàn)AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C，探索發(fā)現(xiàn)：“快樂(lè)小組”經(jīng)過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)∠A=60°時(shí)，求證：(2)不斷改變∠A的度數(shù)，∠CBD與∠A卻始終存在某種數(shù)量關(guān)系，當(dāng)∠A=40°則當(dāng)∠A=x°時(shí)，則∠CBD=_______度，（用含操作探究：(3)“智慧小組”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關(guān)系．他們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)論點(diǎn)P在AM上的什么位置，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請(qǐng)寫(xiě)出它們的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

70

90?(3)∠APB=2∠ADB，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求得∠ABN=120°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求得