高等數(shù)學課件D812矢量及其線性運算

高等數(shù)學課件D812：矢量及其線性運算目錄contents矢量基本概念與性質(zhì)坐標系中矢量表示矢量線性運算規(guī)則矢量數(shù)量積與點積矢量外積與叉積矢量混合積與幾何意義01矢量基本概念與性質(zhì)矢量是既有大小又有方向的量，用于表示物理量中的方向和數(shù)值。矢量通常用箭頭表示，箭頭長度代表矢量大小，箭頭方向代表矢量方向。在坐標系中，矢量可用起點和終點坐標或有序數(shù)對表示。矢量定義及表示方法表示方法矢量定義矢量大小即矢量的模，表示矢量所代表的物理量的大小，用絕對值符號表示。矢量大小矢量方向表示矢量所代表的物理量的指向，與正方向相同或相反。在平面直角坐標系中，可用角度表示矢量方向。矢量方向矢量大小與方向兩個矢量若大小相等、方向相同，則稱這兩個矢量相等。矢量相等兩個矢量若大小相等、方向相反，則稱這兩個矢量互為相反矢量。矢量相反矢量相等與相反零矢量大小為零的矢量稱為零矢量，它沒有方向，與任何矢量平行。單位矢量模為1的矢量稱為單位矢量，它只表示方向，不表示大小。在坐標系中，單位矢量可沿坐標軸正方向或負方向。零矢量與單位矢量02坐標系中矢量表示直角坐標系中矢量的加法和數(shù)乘運算對應坐標值的加法和數(shù)乘，易于理解和計算。矢量在直角坐標系中表示為有序數(shù)組，如二維空間中的矢量可表示為((x,y))，三維空間中的矢量可表示為((x,y,z))。直角坐標系中矢量的模長和方向角可以通過坐標值計算得到，模長為(sqrt{x^2+y^2+z^2})（三維情況下），方向角則通過反正切等三角函數(shù)計算。直角坐標系中矢量表示

平面極坐標系中矢量表示平面極坐標系中，矢量表示為模長和幅角的有序?qū)Γ?(r,theta))，其中(r)為模長，(theta)為幅角。模長和幅角可以直接描述矢量的長度和方向，與直角坐標系中的表示方式相互轉(zhuǎn)換時需要用到三角函數(shù)。平面極坐標系中矢量的加法和數(shù)乘運算相對復雜，需要先將矢量轉(zhuǎn)換為直角坐標系中的表示，進行運算后再轉(zhuǎn)換回極坐標系中的表示?？臻g柱坐標系中，矢量表示為((r,theta,z))，其中(r)和(theta)表示矢量在底面上的投影的極坐標，(z)表示矢量在高度方向上的分量。球坐標系中，矢量表示為((r,phi,theta))，其中(r)為矢量的模長，(phi)和(theta)分別為矢量的兩個方向角?？臻g柱坐標系和球坐標系中矢量的表示方式適用于描述三維空間中矢量的長度、方向和位置，但加法和數(shù)乘運算同樣相對復雜。空間柱坐標系和球坐標系中矢量表示矢量在不同坐標系下的表示方式雖然不同，但矢量的本質(zhì)屬性不變，如模長、方向等。坐標變換下，矢量的分量會發(fā)生變化，但矢量的模長和方向保持不變，這是矢量不變性的體現(xiàn)。在進行坐標變換時，需要注意不同坐標系下矢量分量的變換關(guān)系以及變換矩陣的推導和應用。坐標變換下矢量不變性03矢量線性運算規(guī)則加法運算規(guī)則及幾何意義矢量加法滿足交換律和結(jié)合律，即對于任意矢量A和B，有A+B=B+A，且(A+B)+C=A+(B+C)。加法運算規(guī)則矢量加法在幾何上表現(xiàn)為平行四邊形法則或三角形法則。對于兩個矢量A和B，以它們的起點為同一點，將它們的終點連接起來，形成一個平行四邊形或三角形，對角線或第三條邊就代表了A+B的結(jié)果。幾何意義數(shù)乘運算規(guī)則數(shù)乘是將一個標量與一個矢量相乘，得到一個與原矢量方向相同或相反的新矢量。對于任意標量k和矢量A，有kA=|k||A|*(單位矢量)，其中單位矢量與原矢量A方向相同或相反，取決于k的正負。幾何意義數(shù)乘在幾何上表現(xiàn)為對矢量的伸縮變換。當k>0時，kA與原矢量A方向相同，長度為k倍；當k<0時，kA與原矢量A方向相反，長度為|k|倍。數(shù)乘運算規(guī)則及幾何意義線性組合與線性表示線性組合對于一組矢量A1,A2,...,An和一組標量k1,k2,...,kn，線性組合是指k1A1+k2A2+...+knAn所得到的矢量。線性表示如果一個矢量B可以表示為一組矢量A1,A2,...,An的線性組合，即存在一組標量k1,k2,...,kn，使得k1A1+k2A2+...+knAn=B，則稱B可以由A1,A2,...,An線性表示。線性運算滿足性質(zhì)交換律矢量加法滿足交換律，即A+B=B+A。結(jié)合律矢量加法滿足結(jié)合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。分配律數(shù)乘對矢量加法滿足分配律，即k(A+B)=kA+kB；同時，(k1+k2)A=k1A+k2A。零元與負元存在零矢量0，對于任意矢量A，有A+0=A；同時，對于任意矢量A，存在負矢量-A，使得A+(-A)=0。04矢量數(shù)量積與點積兩個矢量$vec{A}$和$vec{B}$的數(shù)量積是一個標量，記作$vec{A}cdotvec{B}$，其大小等于$|vec{A}|times|vec{B}|timescostheta$，其中$theta$為兩矢量的夾角。數(shù)量積定義數(shù)量積滿足交換律、分配律和與數(shù)乘的結(jié)合律，即$vec{A}cdotvec{B}=vec{B}cdotvec{A}$，$(vec{A}+vec{B})cdotvec{C}=vec{A}cdotvec{C}+vec{B}cdotvec{C}$，$k(vec{A}cdotvec{B})=(kvec{A})cdotvec{B}=vec{A}cdot(kvec{B})$。數(shù)量積性質(zhì)數(shù)量積定義及性質(zhì)點積計算方法對于兩個矢量$vec{A}=(A_1,A_2,A_3)$和$vec{B}=(B_1,B_2,B_3)$，它們的點積為$vec{A}cdotvec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3$。點積物理意義點積表示了兩個矢量的"相似度"，當兩矢量同向時，點積最大；當兩矢量垂直時，點積為0；當兩矢量反向時，點積最小。此外，點積還可以表示一個矢量在另一個矢量上的投影長度。點積計算方法及物理意義VS兩矢量的夾角余弦值可以通過它們的點積和模長計算得到，即$costheta=frac{vec{A}cdotvec{B}}{|vec{A}|times|vec{B}|}$。當$costheta$接近1時，表示兩矢量夾角很小，方向相近；當$costheta$接近-1時，表示兩矢量夾角很大，方向相反。相似度度量在機器學習和數(shù)據(jù)挖掘中，經(jīng)常使用余弦相似度來度量兩個特征向量的相似程度。余弦相似度的取值范圍為[-1,1]，值越大表示相似度越高。夾角余弦值夾角余弦值與相似度度量在物理學中，力做功的大小等于力和位移的點積，即$W=vec{F}cdotvec{s}$。當力和位移同向時，做功最大；當力和位移垂直時，不做功；當力和位移反向時，做功最小。一個矢量在另一個矢量上的投影長度可以通過它們的點積和模長計算得到，即$proj_{length}=|vec{A}|timescostheta=frac{vec{A}cdotvec{B}}{|vec{B}|}$。投影長度表示了一個矢量在另一個矢量方向上的"分量"大小。力做功投影長度應用舉例：力做功、投影長度等05矢量外積與叉積定義矢量外積是一種二元運算，作用于兩個三維矢量，結(jié)果是一個三維矢量，其方向與這兩個矢量都垂直，并且符合右手定則，大小等于這兩個矢量的大小與它們之間夾角的正弦值的乘積。性質(zhì)外積運算不滿足交換律，但滿足反交換律，即兩矢量外積的順序不同，結(jié)果矢量的方向相反；外積運算滿足分配律和結(jié)合律。外積定義及性質(zhì)計算方法兩個矢量A和B的叉積可以表示為A×B，其計算方式為一個三階行列式，第一行為矢量A的坐標，第二行為矢量B的坐標，第三行為單位矢量的坐標。要點一要點二物理意義叉積在物理學中有廣泛的應用，如表示力矩、角速度等物理量。力矩是力和力臂的叉積，角速度是角位移矢量對時間的導數(shù)，其結(jié)果也是一個矢量，方向與旋轉(zhuǎn)軸相同。叉積計算方法及物理意義右手定則用于判斷叉積結(jié)果的方向。將右手四指從第一個矢量彎曲到第二個矢量，大拇指所指的方向就是叉積結(jié)果的方向。方向判斷在三維空間中，兩個矢量的叉積結(jié)果的方向總是與這兩個矢量都垂直，因此可以用于構(gòu)建坐標系或判斷兩個矢量的相對位置關(guān)系。右手定則與方向判斷在力學中，力矩是力和力臂的叉積。力臂是從轉(zhuǎn)動軸到力的作用線的垂直距離，因此力矩的方向總是垂直于轉(zhuǎn)動軸和力的作用線所確定的平面。力矩的大小和方向決定了物體繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動效果。力矩在剛體繞定軸轉(zhuǎn)動中，角速度是描述剛體轉(zhuǎn)動快慢的物理量。角速度是矢量，其方向與轉(zhuǎn)動軸相同，大小等于單位時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)過的角度。角速度可以通過矢量的叉積來計算，如角速度是角位移矢量對時間的導數(shù)。角速度應用舉例：力矩、角速度等06矢量混合積與幾何意義03符號判定混合積的符號由右手定則確定，即當A、B、C按右手定則方向排列時，混合積為正。01混合積定義給定三個矢量A、B、C，它們的混合積是一個標量，記作(A,B,C)，其絕對值為以A、B、C為棱的平行六面體的體積。02混合積性質(zhì)混合積滿足交換律、分配律以及與數(shù)乘的結(jié)合律等重要性質(zhì)?；旌戏e定義及性質(zhì)混合積的絕對值表示以三個矢量為棱的平行六面體的體積，反映了矢量間的空間關(guān)系。體積表示垂直判定方向關(guān)系若三個矢量的混合積為零，則它們共面或其中至少有兩個矢量線性相關(guān)。混合積的符號反映了三個矢量的相對方向，可用于判斷矢量的排列順序。030201幾何意義解釋利用混合積可以方便地計算平行六面體的體積，進而求解空間幾何問題。體積計算混合積可用于判斷點、線、面之間的相對位置關(guān)系，如點到平面的距離、兩直線是否異面等。空間位置關(guān)系在力學中，混合積可用于計算力矩、角