高等數(shù)學(xué)課件D812矢量及其線性運(yùn)算

高等數(shù)學(xué)課件D812：矢量及其線性運(yùn)算目錄contents矢量基本概念與性質(zhì)坐標(biāo)系中矢量表示矢量線性運(yùn)算規(guī)則矢量數(shù)量積與點(diǎn)積矢量外積與叉積矢量混合積與幾何意義01矢量基本概念與性質(zhì)矢量是既有大小又有方向的量，用于表示物理量中的方向和數(shù)值。矢量通常用箭頭表示，箭頭長(zhǎng)度代表矢量大小，箭頭方向代表矢量方向。在坐標(biāo)系中，矢量可用起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)或有序數(shù)對(duì)表示。矢量定義及表示方法表示方法矢量定義矢量大小即矢量的模，表示矢量所代表的物理量的大小，用絕對(duì)值符號(hào)表示。矢量大小矢量方向表示矢量所代表的物理量的指向，與正方向相同或相反。在平面直角坐標(biāo)系中，可用角度表示矢量方向。矢量方向矢量大小與方向兩個(gè)矢量若大小相等、方向相同，則稱這兩個(gè)矢量相等。矢量相等兩個(gè)矢量若大小相等、方向相反，則稱這兩個(gè)矢量互為相反矢量。矢量相反矢量相等與相反零矢量大小為零的矢量稱為零矢量，它沒有方向，與任何矢量平行。單位矢量模為1的矢量稱為單位矢量，它只表示方向，不表示大小。在坐標(biāo)系中，單位矢量可沿坐標(biāo)軸正方向或負(fù)方向。零矢量與單位矢量02坐標(biāo)系中矢量表示直角坐標(biāo)系中矢量的加法和數(shù)乘運(yùn)算對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值的加法和數(shù)乘，易于理解和計(jì)算。矢量在直角坐標(biāo)系中表示為有序數(shù)組，如二維空間中的矢量可表示為((x,y))，三維空間中的矢量可表示為((x,y,z))。直角坐標(biāo)系中矢量的模長(zhǎng)和方向角可以通過坐標(biāo)值計(jì)算得到，模長(zhǎng)為(sqrt{x^2+y^2+z^2})（三維情況下），方向角則通過反正切等三角函數(shù)計(jì)算。直角坐標(biāo)系中矢量表示

平面極坐標(biāo)系中矢量表示平面極坐標(biāo)系中，矢量表示為模長(zhǎng)和幅角的有序?qū)?，?(r,theta))，其中(r)為模長(zhǎng)，(theta)為幅角。模長(zhǎng)和幅角可以直接描述矢量的長(zhǎng)度和方向，與直角坐標(biāo)系中的表示方式相互轉(zhuǎn)換時(shí)需要用到三角函數(shù)。平面極坐標(biāo)系中矢量的加法和數(shù)乘運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜，需要先將矢量轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系中的表示，進(jìn)行運(yùn)算后再轉(zhuǎn)換回極坐標(biāo)系中的表示?？臻g柱坐標(biāo)系中，矢量表示為((r,theta,z))，其中(r)和(theta)表示矢量在底面上的投影的極坐標(biāo)，(z)表示矢量在高度方向上的分量。球坐標(biāo)系中，矢量表示為((r,phi,theta))，其中(r)為矢量的模長(zhǎng)，(phi)和(theta)分別為矢量的兩個(gè)方向角?？臻g柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中矢量的表示方式適用于描述三維空間中矢量的長(zhǎng)度、方向和位置，但加法和數(shù)乘運(yùn)算同樣相對(duì)復(fù)雜?？臻g柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中矢量表示矢量在不同坐標(biāo)系下的表示方式雖然不同，但矢量的本質(zhì)屬性不變，如模長(zhǎng)、方向等。坐標(biāo)變換下，矢量的分量會(huì)發(fā)生變化，但矢量的模長(zhǎng)和方向保持不變，這是矢量不變性的體現(xiàn)。在進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)，需要注意不同坐標(biāo)系下矢量分量的變換關(guān)系以及變換矩陣的推導(dǎo)和應(yīng)用。坐標(biāo)變換下矢量不變性03矢量線性運(yùn)算規(guī)則加法運(yùn)算規(guī)則及幾何意義矢量加法滿足交換律和結(jié)合律，即對(duì)于任意矢量A和B，有A+B=B+A，且(A+B)+C=A+(B+C)。加法運(yùn)算規(guī)則矢量加法在幾何上表現(xiàn)為平行四邊形法則或三角形法則。對(duì)于兩個(gè)矢量A和B，以它們的起點(diǎn)為同一點(diǎn)，將它們的終點(diǎn)連接起來，形成一個(gè)平行四邊形或三角形，對(duì)角線或第三條邊就代表了A+B的結(jié)果。幾何意義數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則數(shù)乘是將一個(gè)標(biāo)量與一個(gè)矢量相乘，得到一個(gè)與原矢量方向相同或相反的新矢量。對(duì)于任意標(biāo)量k和矢量A，有kA=|k||A|*(單位矢量)，其中單位矢量與原矢量A方向相同或相反，取決于k的正負(fù)。幾何意義數(shù)乘在幾何上表現(xiàn)為對(duì)矢量的伸縮變換。當(dāng)k>0時(shí)，kA與原矢量A方向相同，長(zhǎng)度為k倍；當(dāng)k<0時(shí)，kA與原矢量A方向相反，長(zhǎng)度為|k|倍。數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則及幾何意義線性組合與線性表示線性組合對(duì)于一組矢量A1,A2,...,An和一組標(biāo)量k1,k2,...,kn，線性組合是指k1A1+k2A2+...+knAn所得到的矢量。線性表示如果一個(gè)矢量B可以表示為一組矢量A1,A2,...,An的線性組合，即存在一組標(biāo)量k1,k2,...,kn，使得k1A1+k2A2+...+knAn=B，則稱B可以由A1,A2,...,An線性表示。線性運(yùn)算滿足性質(zhì)交換律矢量加法滿足交換律，即A+B=B+A。結(jié)合律矢量加法滿足結(jié)合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。分配律數(shù)乘對(duì)矢量加法滿足分配律，即k(A+B)=kA+kB；同時(shí)，(k1+k2)A=k1A+k2A。零元與負(fù)元存在零矢量0，對(duì)于任意矢量A，有A+0=A；同時(shí)，對(duì)于任意矢量A，存在負(fù)矢量-A，使得A+(-A)=0。04矢量數(shù)量積與點(diǎn)積兩個(gè)矢量$vec{A}$和$vec{B}$的數(shù)量積是一個(gè)標(biāo)量，記作$vec{A}cdotvec{B}$，其大小等于$|vec{A}|times|vec{B}|timescostheta$，其中$theta$為兩矢量的夾角。數(shù)量積定義數(shù)量積滿足交換律、分配律和與數(shù)乘的結(jié)合律，即$vec{A}cdotvec{B}=vec{B}cdotvec{A}$，$(vec{A}+vec{B})cdotvec{C}=vec{A}cdotvec{C}+vec{B}cdotvec{C}$，$k(vec{A}cdotvec{B})=(kvec{A})cdotvec{B}=vec{A}cdot(kvec{B})$。數(shù)量積性質(zhì)數(shù)量積定義及性質(zhì)點(diǎn)積計(jì)算方法對(duì)于兩個(gè)矢量$vec{A}=(A_1,A_2,A_3)$和$vec{B}=(B_1,B_2,B_3)$，它們的點(diǎn)積為$vec{A}cdotvec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3$。點(diǎn)積物理意義點(diǎn)積表示了兩個(gè)矢量的"相似度"，當(dāng)兩矢量同向時(shí)，點(diǎn)積最大；當(dāng)兩矢量垂直時(shí)，點(diǎn)積為0；當(dāng)兩矢量反向時(shí)，點(diǎn)積最小。此外，點(diǎn)積還可以表示一個(gè)矢量在另一個(gè)矢量上的投影長(zhǎng)度。點(diǎn)積計(jì)算方法及物理意義VS兩矢量的夾角余弦值可以通過它們的點(diǎn)積和模長(zhǎng)計(jì)算得到，即$costheta=frac{vec{A}cdotvec{B}}{|vec{A}|times|vec{B}|}$。當(dāng)$costheta$接近1時(shí)，表示兩矢量夾角很小，方向相近；當(dāng)$costheta$接近-1時(shí)，表示兩矢量夾角很大，方向相反。相似度度量在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘中，經(jīng)常使用余弦相似度來度量?jī)蓚€(gè)特征向量的相似程度。余弦相似度的取值范圍為[-1,1]，值越大表示相似度越高。夾角余弦值夾角余弦值與相似度度量在物理學(xué)中，力做功的大小等于力和位移的點(diǎn)積，即$W=vec{F}cdotvec{s}$。當(dāng)力和位移同向時(shí)，做功最大；當(dāng)力和位移垂直時(shí)，不做功；當(dāng)力和位移反向時(shí)，做功最小。一個(gè)矢量在另一個(gè)矢量上的投影長(zhǎng)度可以通過它們的點(diǎn)積和模長(zhǎng)計(jì)算得到，即$proj_{length}=|vec{A}|timescostheta=frac{vec{A}cdotvec{B}}{|vec{B}|}$。投影長(zhǎng)度表示了一個(gè)矢量在另一個(gè)矢量方向上的"分量"大小。力做功投影長(zhǎng)度應(yīng)用舉例：力做功、投影長(zhǎng)度等05矢量外積與叉積定義矢量外積是一種二元運(yùn)算，作用于兩個(gè)三維矢量，結(jié)果是一個(gè)三維矢量，其方向與這兩個(gè)矢量都垂直，并且符合右手定則，大小等于這兩個(gè)矢量的大小與它們之間夾角的正弦值的乘積。性質(zhì)外積運(yùn)算不滿足交換律，但滿足反交換律，即兩矢量外積的順序不同，結(jié)果矢量的方向相反；外積運(yùn)算滿足分配律和結(jié)合律。外積定義及性質(zhì)計(jì)算方法兩個(gè)矢量A和B的叉積可以表示為A×B，其計(jì)算方式為一個(gè)三階行列式，第一行為矢量A的坐標(biāo)，第二行為矢量B的坐標(biāo)，第三行為單位矢量的坐標(biāo)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二物理意義叉積在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如表示力矩、角速度等物理量。力矩是力和力臂的叉積，角速度是角位移矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果也是一個(gè)矢量，方向與旋轉(zhuǎn)軸相同。叉積計(jì)算方法及物理意義右手定則用于判斷叉積結(jié)果的方向。將右手四指從第一個(gè)矢量彎曲到第二個(gè)矢量，大拇指所指的方向就是叉積結(jié)果的方向。方向判斷在三維空間中，兩個(gè)矢量的叉積結(jié)果的方向總是與這兩個(gè)矢量都垂直，因此可以用于構(gòu)建坐標(biāo)系或判斷兩個(gè)矢量的相對(duì)位置關(guān)系。右手定則與方向判斷在力學(xué)中，力矩是力和力臂的叉積。力臂是從轉(zhuǎn)動(dòng)軸到力的作用線的垂直距離，因此力矩的方向總是垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸和力的作用線所確定的平面。力矩的大小和方向決定了物體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效果。力矩在剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量。角速度是矢量，其方向與轉(zhuǎn)動(dòng)軸相同，大小等于單位時(shí)間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)過的角度。角速度可以通過矢量的叉積來計(jì)算，如角速度是角位移矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。角速度應(yīng)用舉例：力矩、角速度等06矢量混合積與幾何意義03符號(hào)判定混合積的符號(hào)由右手定則確定，即當(dāng)A、B、C按右手定則方向排列時(shí)，混合積為正。01混合積定義給定三個(gè)矢量A、B、C，它們的混合積是一個(gè)標(biāo)量，記作(A,B,C)，其絕對(duì)值為以A、B、C為棱的平行六面體的體積。02混合積性質(zhì)混合積滿足交換律、分配律以及與數(shù)乘的結(jié)合律等重要性質(zhì)。混合積定義及性質(zhì)混合積的絕對(duì)值表示以三個(gè)矢量為棱的平行六面體的體積，反映了矢量間的空間關(guān)系。體積表示垂直判定方向關(guān)系若三個(gè)矢量的混合積為零，則它們共面或其中至少有兩個(gè)矢量線性相關(guān)。混合積的符號(hào)反映了三個(gè)矢量的相對(duì)方向，可用于判斷矢量的排列順序。030201幾何意義解釋利用混合積可以方便地計(jì)算平行六面體的體積，進(jìn)而求解空間幾何問題。體積計(jì)算混合積可用于判斷點(diǎn)、線、面之間的相對(duì)位置關(guān)系，如點(diǎn)到平面的距離、兩直線是否異面等?？臻g位置關(guān)系在力學(xué)中，混合積可用于計(jì)算力矩、角