向量線性組合歸納(全)_第1頁
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文檔簡介

向量線性組合歸納(全)向量的線性組合是指用常數(shù)乘以一些向量，再將它們相加得到的向量。通常情況下，我們用向量的線性組合來表示一個(gè)向量空間中的任意向量。對于向量y，如果它可以由向量集合S中的向量線性組合得到，那么我們就稱y是向量集合S的線性組合，向量集合S生成向量y。向量線性組合的性質(zhì)：1.向量的線性組合仍然是一個(gè)向量。2.用向量線性組合表示的向量一定屬于與這些向量生成的向量空間。3.如果向量集合S中有一個(gè)向量可以被其他向量線性表示出來，那么我們可以將這個(gè)向量從S中去掉而不改變S生成的向量空間。4.如果向量組S1是向量組S2的子集且S1與S2生成相同的向量空間，則S1和S2中任意一個(gè)向量集合都可以表示這些向量生成的向量空間。歸納證明：假設(shè)向量集合S的前k個(gè)向量的線性組合可以表示出任意向量y，我們要證明第k+1個(gè)向量的加入不會(huì)改變向量集合S生成的向量空間。因?yàn)橄蛄考蟂中的前k個(gè)向量的線性組合能夠生成向量空間V，由此可得線性方程ax+by+cz=d，其中x、y、z是向量集合S的前k個(gè)向量的線性組合，a、b、c是任意常數(shù)，d是向量空間V中的任意向量?，F(xiàn)在將第k+1個(gè)向量加入向量集合S，設(shè)為v，那么我們要證明通過向量集合S和向量v的線性組合，我們?nèi)匀豢梢员硎境鱿蛄靠臻gV中的任意向量。設(shè)任意向量為t，那么有線性方程ux+vy=t，其中x是向量集合S的前k個(gè)向量的線性組合，u、v是任意常數(shù)?，F(xiàn)在我們需要用v來表示出向量v，因?yàn)槿绻荒埽敲碫就無法用向量集合S和向量v的線性組合表示出來。因?yàn)橄蛄縱可以由向量集合S和向量v的線性組合表示出來，所以它也屬于向量集合S和向量v生成的向量空間，即它屬于向量集合S和向量v的線性組合生成的向量空間。由此可得，歸納證明完畢。無論向量集合S中有多少個(gè)向量，只要它

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