2021年高考數(shù)學(xué)模擬試卷二(理科)附答案解析

2021年高考數(shù)學(xué)模擬試卷二（全國卷1）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知集合2={0,2,4},B={y\y=2x,x&A},則4CB=（）

A.{0,2,4}B.{4}C.{2,4}D.[0.1,2,4}

2.設(shè)命題p：%2+2x-3<0q：-5<%<1,則命題p成立是命題q成立的（）條

件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

3.已知％=20.4,y=lg1,z=（20.4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.x<y<zB.y<z<xC,z<y<xD.z<x<y

4.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA，平面ABC,且

PA=2,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.如B.20兀C.48兀D.282

33

5.設(shè){%}為等比數(shù)列,{、}為等差數(shù)列,且不為數(shù)列{1}的前"項和.若。2=1，

40=16且=%，貝1邑1=（）

A.20B.30C.44D.88

6.（K―1）?！?）7的展開式中好的系數(shù)為（）

A.14B.28C.70D.98

7.將函數(shù)y=2sm（2x+斑）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的1,縱坐標(biāo)不變，再

343

向右平移21個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則下列說法正確的是（）

8

A.函數(shù)g（X）的一條對稱軸是％=兀

4

B.函數(shù)g（x）的一個對稱中心是（爐）

C.函數(shù)g（%）的一條對稱軸是％=；

D.函數(shù)或式）的一個對稱中心是件,0）

8

8.如圖所示，直線/為雙曲線C丘—星=19>0方>0）的一條漸近線，F(xiàn).與是

雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，々關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為FJ且4'是以尸2為圓心，以半

焦距C為半徑的圓上的一點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）

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A.V2B.V3C.2D.3

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.2020年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，全國各地房價“跳水”嚴(yán)重，但某地

二手房交易卻“逆市”而行.下圖是該地某小區(qū)2019年12月至2020年12月間，

當(dāng)月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點(diǎn)圖.（圖中月份代碼1?13分別對

應(yīng)2019年12月?2020年12月）

,f當(dāng)月在售一丁-

13.房均價）

1.02......一

1.00>?,

0.98?*,

096；.

0.94

O12345678910111213

根據(jù)散點(diǎn)圖選擇y=a+和y=c+dm尤兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得

到的兩個回歸方程分別為y=0,9369+0.0285依和y=0.9554+0.0306仇久，并

得到以下一些統(tǒng)計量的值：

y=0.9369+0.0285依y=0.9554+0.0306仇%

R20.9230.973

注：x是樣本數(shù)據(jù)中x的平均數(shù)，y是樣本數(shù)據(jù)中y的平均數(shù)，則下列說法正確的

是（）

A.當(dāng)月在售二手房均價y與月份代碼x呈負(fù)相關(guān)關(guān)系

B.由亍=0,9369+0.0285依預(yù)測2021年3月在售二手房均價約為1.0509萬元/

平方米

C,曲線丫=0.9369+0.0285依與y=0.9554+0.0306）％都經(jīng)過點(diǎn)（羽外

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D.模型y=0.9554+0Q306仇x回歸曲線的擬合效果比模型y=0.9369+

0.0285百的好

10.下列命題中，真命題的是()

A.若乙為實(shí)數(shù)，貝Uz=zB?若z=z,則？為實(shí)數(shù)

C.若z為實(shí)數(shù)，貝Hz-z為實(shí)數(shù)D.若z.z為實(shí)數(shù)，貝也為實(shí)數(shù)

11.拋物線*=4y的焦點(diǎn)為尸，A,B是拋物線上兩動點(diǎn)，P(2,2)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，下

列說法正確的有()

A.準(zhǔn)線方程為x=1

B.若|4F|+|BF|=8,則線段AB中點(diǎn)到x軸為3

C.AAPF的周長的最小值為VK+3

D.以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切

12.已知函數(shù)y=/(%)在R上可導(dǎo)且/(0)=1,其導(dǎo)函數(shù)/'(x)滿足Q+l)[f(x)

/(%)]>0,對于函數(shù)g(x)=3,下列結(jié)論正確的是()

ex

A.函數(shù)g(x)在(oo,1)上為增函數(shù)

B.x=1是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)

C.函數(shù)。(無)必有2個零點(diǎn)

D.e2/(e)>eef(2)

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知函數(shù)/"(幻=？支28,則不等式/(2x+l)+/(l)20的解集是

14.在直角三角形A8C中，ZC=90°,AB=4,AC=2,若而=&訪，則詼?

2

CB=.

15.若ae(?兀),cos2a=j則涅=____.

225sm「*+a)

16.紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者的近距離接觸，降低潛在的病毒

感染風(fēng)險，為防控新冠肺炎，某廠生產(chǎn)的紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服

從正態(tài)分布N(0.1,0.32),從已經(jīng)生產(chǎn)出的測溫門中隨機(jī)取出一件，則其測量體溫

誤差在區(qū)間(040.7)內(nèi)的概率為.(附：若隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布

N(〃,<T2),則P(〃+68.27%,P(ji2<J<f<〃+2<r)=

95.45%)

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.設(shè)各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列｛aj滿足：對任意neN*,有與<%+i?記幺=

a

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(1)若數(shù)列｛4｝是首項4=1,公比q=2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛、｝的通項公式；

(2)若q=3n,證明：4=2；

(3)若數(shù)列｛%｝的首項4=1,%=｛%｝是公差為1的等差數(shù)列.記

—2…95"=%d2-dn_r%問：使S“小2m>50成立的最小正

整數(shù)"是否存在？并說明理由.

18.在A/IBC中，a,b,c分別為角A,B,C對邊，且△ABC同時滿足下列四個條件

中的三個：①a2c2=b2一皿ac;@1cos2A=2sin2③a=百；④b=

2.

(1)滿足△ABC有解的序號組合有哪些？

(2)在(1)的組合中任選一組，求△ABC的面積.

19.在一段時間內(nèi)，分5次測得某種商品的價格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)

為:

12345

價格X1.41.61.822.2

需求量y1210753

己知己=1年刀=62,￡.=1x2=16.6.

(1)求出y對x的線性回歸方程；

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(2)如價格定為1.9萬元，預(yù)測需求量大約是多少？(精確至UO.Olt).

參考公式：b=^uixtvinxy,a=ybx-

￡匕4九%2

20.如圖，在四棱錐P4BCD中，底面ABC。是邊長為2

的正方形，ABAP=乙BCP=90°,

(1)證明：PDABCD-

(2)若直線BD與平面P2C所成的角為30。，求二面角

DPBC的大小.

21.已知橢圓G：止+以=l(a>b>0)的離心率為金，經(jīng)過點(diǎn)設(shè)橢圓G的右

a2b22

頂點(diǎn)為A,過原點(diǎn)。的直線/與橢圓G交于尸，。兩點(diǎn)(點(diǎn)Q在第一象限)，且與

線段AB交于點(diǎn)M.

(I)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)是否存在直線/，使得AB0P的面積是ABMQ的面積的3倍？若存在,求直線

/的方程；若不存在，請說明理由.

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22.已知aeR,函數(shù)f(x)=(-%2+ax')-ex.

(l)a=2時，求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)八%)在(-1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:B={1,4,16}；

AC\B={4}.

故選：B.

可求出集合8,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

考查描述法、列舉法的定義，元素與集合的關(guān)系，以及交集的運(yùn)算.

2.【答案】A

【解析】解：命題P：%2+2X-3<0,解得一3<x<l.

又q：—5<%<1,

則命題P成立是命題q成立的充分不必要條件.

故選：A.

命題p：%2+2X-3<0,解得—3<1.即可判斷出命題p與q關(guān)系.

本題考查了一元二次不等式的解法、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：???20,4>20=1,1g2<Igl=0,0<(2)0.4<(2)o=1,

555

--y<z<x.

故選：B.

由204>l,lg2<0,0<(2)0,4<1,可得出x,y,z的大小關(guān)系.

55

本題考查了指數(shù)值和對數(shù)值大小的比較，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查的知識要點(diǎn)：面面垂直的判定，勾股定理的應(yīng)用，球心的確定，球的表面積

公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

由于球中球心與球的小圓圓心的連線垂直于這個小圓，利用PA也垂直于這個小圓，即

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可利用球心與小圓圓心建立起直角三角形，d=00'=1PA=1,根據(jù)題意可求出廠是

2

底面三角形的外接圓的半徑，利用d=癡=H計算E即可，最后即可求出球的表面

積.

【解析】

解：如圖，P2,平面ABC,連結(jié)尸0,延長至圓上交于X,

過O作007/P4交平面ABC于。，

則△PAH為RtA,0為斜邊PH的中點(diǎn)，

。0,為APAH的中位線，0,為小圓圓心，則。'為的中點(diǎn)，

則絲=02L=l,

PAAH2

O'H=AO'=2缶-12=應(yīng)，00'=工pa=1,

332

則球的半徑R=OH=+O'H2=/L+2=血，

33

球的表面積為4TTR2=的L.

3

故選：D.

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為,，由4=1，％。=16，

得3=喂=16,得q2=2.

???a,=1a04=4,即?=b=4,

6266

又鼠為等差數(shù)列｛b/的前n項和，

...S==llb=44.

1126

故選：C.

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,由&2=1,40=16列式求得平，進(jìn)一步求出口6，可得

b再由等差數(shù)列的前〃項和公式求解S”.

O11

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，訓(xùn)練了等差數(shù)列前〃項和的求法，

是中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：(%-1)(%-2)7=x(x-2)7-(X-2)7

故展開式中比6的系數(shù)為q-(-2)2-1.Cl-(-2)=98,

故選：D.

第8頁，共19頁

把。-2）7按照二項式定理展開，可得（X-1）（%-2）7的展開式中X6的系數(shù).

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于

基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：將函數(shù)y=2s譏（2%+?。﹫D象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的工，

343

可得y=2sin（2x+加）的圖象，

4

然后縱坐標(biāo)不變，再向右平移21個單位長度，

8

得到函數(shù)y=g（%）=2sin（2x--+—）=2cos2》的圖象，

44

令％=巴求得g（%）=0,

4

可得住,0）是9。）的一個對稱中心，故排除A；

4

令x=1,求得g（x）=-1,

可得％=:是g（x）的圖象的一條對稱軸，故排除2,故C正確；

令％=巴求得g（x）=或，可得》=正不是9。）的圖象的對稱中心，故排除，

88

故選：C.

利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=4s譏（3X+0）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

的對稱性，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.

本題主要考查誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=4s譏（3%+0）的圖象變換規(guī)律，以及正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，點(diǎn)的對稱問題，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中

檔題.

先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)是以弓為圓心，以半焦距c為半徑的圓上的一點(diǎn)，可得

（星工—C）2+（一皿—O）2=C2,整理化簡即可求出.

CC

【解答】

第9頁，共19頁

解：直線/為雙曲線C：迄一出=l(a>0,b>0)的一條漸近線，則直線/為y=2%,

a2b2a

1?,F1,尸2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，

.?.々(―c,0),F(c,0),

???1關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)為FJ設(shè)々'為(%,y)，

/.-X-=_區(qū)，如_=立.七工，

xcb2a2

解得％=尼皿，y=—辿，

cC

P(匕2一。2,_避)，

1cC

???FJ是以尸2為圓心，以半焦距C為半徑的圓上的一點(diǎn)，

...(0顯_C)2-0)2=C2,

cc

整理可得4a2=C2,

即2a=c,

???e="=2,

a

故選：c.

9.【答案】BD

【解析】解：由散點(diǎn)圖可知，y隨犬的增加而增加，故A錯誤；

2021年3月，此時欠=16,代入y=0.93690.0285Vx,求得L0509,故5正確；

曲線y=0.93690.0285夜經(jīng)過點(diǎn)元刃，曲線］=0.95540.0306M%經(jīng)過點(diǎn)

(lnx,y),故C錯誤；

因?yàn)?.973>0.923,所以模型j=0.95540.0306仇％回歸曲線的擬合效果比模型j=

0.93690.0285夜的好，故。正確.

故選：BD.

直接由散點(diǎn)圖判斷A;取久=16求得y值判斷2；分別寫出兩回歸方程所過樣本點(diǎn)的中

心判斷C；由對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)的平方判斷

本題考查散點(diǎn)圖，考查兩隨機(jī)變量間的關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：對于A,設(shè)z=abi,因?yàn)閦為實(shí)數(shù)，所以b=0,于是2=a-bi=

a,為實(shí)數(shù)，所以A對；

第10頁，共19頁

對于8,設(shè)2=(1+沉，貝1]z=abi,因?yàn)閦=z,所以b=b,于是b=0,所以z為

實(shí)數(shù)，所以B對；

對于C,因?yàn)閦為實(shí)數(shù)，由4知2=2,所以Z-Z=Z2為實(shí)數(shù)，所以C對；

對于￡),舉反例，令z=l+i,則z=13所以z-z=2,即z-z為實(shí)數(shù)，但z不為

實(shí)數(shù)，所以D錯.

故選：ABC.

分別用復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算判斷即可.

本題以命題真假判斷為載體，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

1L【答案】BC

【解析】解:拋物線鎮(zhèn)=4y的焦點(diǎn)為

F(0,l),準(zhǔn)線方程為y=l，故A錯

誤；

設(shè)42的縱坐標(biāo)分別為y,y2,可得

\AF\+\BF\=兀+/+2=8,即無+

y2=6,

則A,8的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,即線段

的中點(diǎn)到x軸的距離為3,故8正確;

設(shè)4為A在準(zhǔn)線上的射影，

由拋物線的定義可得|4F|=\AA'\,則|4P|+\AF\>PA'\=3,當(dāng)且僅當(dāng)P,A,4三

點(diǎn)共線時，取得等號，

所以A4PF的周長的最小值為|PF|+\PA'\=V5+3,故C正確；

因?yàn)辄c(diǎn)4B沒有任何條件限制條件，可以是拋物線上任意兩點(diǎn)，

所以以線段A8為直徑的圓與準(zhǔn)線不一定相切，故。錯誤.

故選：BC.

求得拋物線的準(zhǔn)線方程，可判斷A;由拋物線的定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可判斷8；由

拋物線的定義和三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，可判斷G由于48兩點(diǎn)不確定，可判斷

D.

本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】BD

第11頁，共19頁

【解析】解：g'O)=%皿)，

ex

?.-(x+i)［r(%)/(%)］>o,

???當(dāng)久<i時，/(%)/(%)<o,當(dāng)%>i時，/'(%)/(%)>o,

?,?當(dāng)》<1時，g'(%)<0,當(dāng)%>1時，g'(x)>0,

???g(x)在g1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

x=1是g(x)的極小值點(diǎn)，故3正確；

9(%)的極小值為9(1)=ef(l),故當(dāng)g(l)>0時，g(%)沒有零點(diǎn)，故C錯誤；

由g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增可得g(2)<g(e),即V3,...決/(2)<u2f(e),故

e2ee

D正確.

故選：BD.

利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，再根據(jù)極小值和單調(diào)性判斷.

本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值與零點(diǎn)個數(shù)判斷，函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用，

屬于中檔題.

13.【答案】［1,+8)

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/'(%)=2x2x,有f(x)=2方2x=(2x2x)=

/(x),則函數(shù)TO)為奇函數(shù)，

又由r(x)=2,)2+2xZn2=(2x+2x)/n2>0,函數(shù)f(尤)在R上為增函數(shù)；

f(2x+1)+/(l)>0=>f(2x+1)>/(I)=>f(2x+1)>/(l)2x+1>1,

解可得x>1；

即不等式的解集為［1,+8),

故答案為：［L+8)

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可以將/(2x+l)+

/(I)20轉(zhuǎn)化為/(2x+1)2/(I)BP2%+1>1,解可得x的取值范圍，即可得答

案.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，注意分析函數(shù)ro)的奇偶性與單調(diào)性.

14.【答案】18

【解析】解：在直角三角形ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=2

AC1

cosZ-CAB=--=-

AB2

若麗=3而■，則的?麗=(而XC)?(ABZC)

2

第12頁，共19頁

_____—_____33_______—______——

=AD^AB-AD-AC-AC-AB+AC2=-AB2--AB?AC-AC-AB+AC2

22

351

=_xl6--x4x2x-+4=18

222

故答案為：18.

在直角三角形ABC中，求得cosaCAB=箜=工，再由向量的加減運(yùn)算，運(yùn)用平面向量

AB2

基本定理，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可

得到所求值.

本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，

考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15.【答案】a

4

【解析】解：因?yàn)閍6(巫,兀),cos2a=工==1-埔

225cos2a+sin2?1+tan2a

整理可得ta琛a=—,可得tcma=

164

則—^=-tana=±

、」sin("+a)-cosa4,

2

故答案為:3.

4

利用二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知可求tana的值，利用誘導(dǎo)

公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可得解.

本題主要考查了二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)

化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】13.59%

【解析】解：由紅外線自動測溫門測量體溫誤差服從正態(tài)分布N(0.1,0.32),

得〃=0.1,<7=0.3.

???測量體溫誤差在區(qū)間(0.4,0.7)內(nèi)的概率為：

P(0.4<f<0.7)=P(〃+cr<§</I+2。)=1[P(〃-2。<f<“+2.0)—P(ji—u<

f</z+。)]=13.59%.

故答案為:13.59%.

由已知可得正態(tài)分布曲線的對稱軸，結(jié)合c與2。原則求解測量體溫誤差在區(qū)間(0.4,0.7)

內(nèi)的概率.

本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個血和。的應(yīng)

第13頁，共19頁

用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)?.?數(shù)列｛4｝是首項4=1，公比q=2的等比數(shù)列，

???a=2m,

n

；?b=a=a=1,b=a=a,=22mi

旬1nan2ni'

(2)根據(jù)反證法排除％=1和%>3.

證明：假設(shè)出。2,?,?4=1和%>3

①當(dāng)a=1時，b=a=a=1與b=3矛盾，.??aW1；

②當(dāng)4>3時,即4>3=b1=aalf又an<1,

4<1與4>3矛盾；

由①②可知=2.

(3)首先｛a,是公差為1的等差數(shù)列，

證明如下：,

??.n>2時，a,<a,

nln

a>a1,

nnl

???a幾>。徵(nm)(m<n),

???a，之a(chǎn)1L[a11v(a1y)j]即c,c>a4a,f

anl1anlnlnnlnnln

由題設(shè)IN%

又%"

CLnlan=1,

即｛%｝是等差數(shù)列.

又｛%｝的首項4=1,

a=n,

n

：.S=(22-223?23n-2n),對此式兩邊乘以2,得2s=222?23

nv/n

3,24…?!,2九1

兩式相減得S九=22223…2nn-2m=2九1n-2m2s九n-2m：

2m2,Sn-2m>50,

n

即2九i>52,

當(dāng)九25時，2"i=64>52,即存在最小正整數(shù)5使得工n-2m>50成立.

【解析】本題考查數(shù)列的通項與求和，掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項與求和是關(guān)

鍵，屬于中檔題.

(1)利用等比數(shù)列的通項公式求出4=2迅，再求數(shù)列出’的通項公式；

第14頁，共19頁

（2）根據(jù)反證法排除％=1和423,即可證明：4=2；

（3）首先是公差為1的等差數(shù)列，an=n,再利用錯位相減法，即可得出結(jié)論.

18.【答案】解：（1）由條件①得c0s8=g^=縊acx」-=

2ac32ac3

由條件②得12cos241=1cosA,即2cos2ZcosA1=0,

解得COSZ=:或COS/=1（舍去），因?yàn)?G（0,兀），所以/=

因?yàn)镃OSB=叵<I=COS亞，且Be（0,兀），

323

而丫=COS%在（0,7T）單調(diào)遞減，所以年<8<幾，

所以/B>-—=7T,與/B<7T矛盾，

33

所以△ABC不能同時滿足①②，

當(dāng)①③④作為條件時：有匕2=a2c2laccosB,即C22c=1,解得c=V2

1,

所以△ABC有解，

當(dāng)②③④作為條件時，有4=石，即￡=號，解得sE8=l,

sinAsinBysinb

2

因?yàn)?G（0,兀），

所以B=J△ABC為直角三角形，

2

所以△ABC有解，

綜上所述，滿足有解三角形的所有組合為：①③④或②③④；

（2）若選擇組合①③④，因?yàn)锽6（0,兀），

所以Si?lB=V1COS2S=V1（藥2=魚，

33

所以△4BC的面積S=1acsinB=1xV3x（VI1）x瓶=2-^,

2232

若選擇組合②③④，因?yàn)?=；,

所以C=-22（V3）2=1,

所以△ABC的面積s=ixlxV3=^.

22

【解析】（1）利用余弦定理由條件①得cosB=金，由條件②得4=工，由于4B>

33

國豌=77■，與AB〈兀矛盾，所以△ABC不能同時滿足①②，

33

經(jīng)驗(yàn)證①③④作為條件和②③④作為條件，△ABC都有解，

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(2)若選擇組合①③④，由cosB計算出sinB,再利用三角形面積公式即可求出結(jié)果,

若選擇組合②③④，因?yàn)槔霉垂啥ɡ砬蟪鯿的值，再利用三角形面積公式

即可求出結(jié)果.

本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考差了考生的計算能力和

解決問題的能力，是中檔題.

19.【答案】解：(1)：%=；(1.4+1.6+1.8+2+2.2)=1.8，

y=1(12+10+7+5+3)=7.4,

5

\=1x.y.=62,￡曰4=16.6,

...b=邛]%尸步％y—625x1.8x7.4=]]5,

EL%"%216.65x1.82

a=ybx=7.4+11.5x1,8=28.L

故y對x的線性回歸方程為y=28,111.5%；

(2)當(dāng)％=1.9時，

y=28.111.5x1,9=6.25(f).

故價格定為19萬元時，預(yù)測需求量大約是6.25()

【解析】本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，是中檔題.

(1)由已知表格中的數(shù)據(jù)求得，與聯(lián)的值，則線性回歸方程可求；

(2)在(1)中求得的回歸方程中，?。?1.9求得y值即可.

20.【答案】證明：(1)由A8CO為正方形，可得

BC1CD,

又乙BCP=90°,BC1CP,

又CDnCP=C,???BC1平面PCD,

而PDu平面PCD,：.BC1PD,

同理可得而=x

.-.PD1平面ABCD-

解：(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM,DC,。尸所在直線為無，y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.

設(shè)DP=a(a>0),則4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,a),

BC=(2,0,0),CP=(0,2,a),DB=(2,2,0),

設(shè)平面PBC的一個法向量為沅=(x‘y,Zi),

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l.(m-BC=—=0_/曰一c、

則|一1,取Z[=2,侍m=(O,a,2)；

1

[m-CP=-2y±+az1=0

由直線BD與平面尸BC所成的角為30。，

可得si?i30。=版晅=i,解得a=2,則而=(0,0,2),

\m\\DB\2

設(shè)平面PBD的一個法向量為八=(x2,y2,z2),

^fn-￡P(guān)-2Z2-0,取々=_[,#n=(-1,1,0).

2

(n-DB=2X2+2y2=0

???cos<m,n>=m?五=2=工.

|?n|-|n|2-/2--/22

由圖可知二面角D-PB-C為銳二面角,則二面角D-PB-C的大小為多

【解析】(1)由ABC。為止方形，可得BC1CO,再由NBCP=90。，得BC，CP,由直

線與平面垂直的判定可得BC_L平面尸CD,得到BC_LPD,同理可得82_LPD,再由直

線與平面垂直的判定得PD1平面ABCA；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,。尸所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)DP=a(a>0),求出平面PBC的一個法向量，由線面角的正弦值求得。，然后

再求出平面PBD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角。-PB-C的

大小.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用

空間向量求解空間角，是中檔題.

b=1M