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文檔簡介
2023-2024學(xué)年北京四中學(xué)中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.在一些美術(shù)字中,有的漢字是軸對稱圖形.下面4個(gè)漢字中,可以看作是軸對稱圖形的是()A. B. C. D.2.如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=1,CE=3,CH┴AF與點(diǎn)H,那么CH的長是()A. B. C. D.3.內(nèi)角和為540°的多邊形是()A. B. C. D.4.下列計(jì)算正確的是A. B. C. D.5.如圖,AD是⊙O的弦,過點(diǎn)O作AD的垂線,垂足為點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作⊙O的切線,交OF的延長線于點(diǎn)E.若CO=1,AD=2,則圖中陰影部分的面積為A.4-π B.2-πC.4-π D.2-π6.由一些大小相同的小正方形搭成的幾何體的左視圖和俯視圖,如圖所示,則搭成該幾何體的小正方形的個(gè)數(shù)最少是()A.4 B.5 C.6 D.77.小手蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)可能為()A. B. C. D.8.如右圖是用八塊完全相同的小正方體搭成的幾何體,從正面看幾何體得到的圖形是()A. B.C. D.9.下列計(jì)算正確的是()A.2x2-3x2=x2 B.x+x=x2 C.-(x-1)=-x+1 D.3+x=3x10.下列四張正方形硬紙片,剪去陰影部分后,如果沿虛線折疊,可以圍成一個(gè)封閉的長方體包裝盒的是()A. B. C. D.二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.如圖,正△ABC的邊長為2,點(diǎn)A、B在半徑為2的圓上,點(diǎn)C在圓內(nèi),將正ΔABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時(shí),旋轉(zhuǎn)角的正切值為_______________12.如圖所示,直線y=x+1(記為l1)與直線y=mx+n(記為l2)相交于點(diǎn)P(a,2),則關(guān)于x的不等式x+1≥mx+n的解集為__________.13.的相反數(shù)是______,的倒數(shù)是______.14.如圖,ABCD是菱形,AC是對角線,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),過點(diǎn)E作對角線AC的垂線,垂足是點(diǎn)M,交AD邊于點(diǎn)F,連結(jié)DM.若∠BAD=120°,AE=2,則DM=__.15.在由乙猜甲剛才想的數(shù)字游戲中,把乙猜的數(shù)字記為b且,a,b是0,1,2,3四個(gè)數(shù)中的其中某一個(gè),若|a﹣b|≤1則稱甲乙”心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲,得出他們”心有靈犀”的概率為_____.16.如圖,五邊形是正五邊形,若,則__________.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)先化簡,再求值:(﹣a)÷(1+),其中a是不等式﹣<a<的整數(shù)解.18.(8分)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,連結(jié)CD.求該拋物線的表達(dá)式;點(diǎn)P為該拋物線上一動點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動時(shí),求△PBC的面積的最大值;②該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.19.(8分)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AD與過點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,直線DC與AB的延長線相交于點(diǎn)P,弦CE平分∠ACB,交AB點(diǎn)F,連接BE.(1)求證:AC平分∠DAB;(2)求證:PC=PF;(3)若tan∠ABC=,AB=14,求線段PC的長.20.(8分)為落實(shí)黨中央“長江大保護(hù)”新發(fā)展理念,我市持續(xù)推進(jìn)長江岸線保護(hù),還洞庭湖和長江水清岸綠的自然生態(tài)原貌.某工程隊(duì)負(fù)責(zé)對一面積為33000平方米的非法砂石碼頭進(jìn)行拆除,回填土方和復(fù)綠施工,為了縮短工期,該工程隊(duì)增加了人力和設(shè)備,實(shí)際工作效率比原計(jì)劃每天提高了20%,結(jié)果提前11天完成任務(wù),求實(shí)際平均每天施工多少平方米?21.(8分)先化簡,再求值:﹣1,其中a=2sin60°﹣tan45°,b=1.22.(10分)如圖,熱氣球的探測器顯示,從熱氣球A看一棟髙樓頂部B的仰角為30°,看這棟高樓底部C的俯角為60°,熱氣球A與高樓的水平距離為120m,求這棟高樓BC的高度.23.(12分)先化簡代數(shù)式,再從范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值。24.制作一種產(chǎn)品,需先將材料加熱達(dá)到60℃后,再進(jìn)行操作,設(shè)該材料溫度為y(℃)從加熱開始計(jì)算的時(shí)間為x(min).據(jù)了解,當(dāng)該材料加熱時(shí),溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系:停止加熱進(jìn)行操作時(shí),溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系(如圖).已知在操作加熱前的溫度為15℃,加熱5分鐘后溫度達(dá)到60℃.分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式;根據(jù)工藝要求,當(dāng)材料的溫度低于15℃時(shí),須停止操作,那么從開始加熱到停止操作,共經(jīng)歷了多少時(shí)間?
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、A【解析】
根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可.【詳解】A、是軸對稱圖形;B、不是軸對稱圖形;C、不是軸對稱圖形;D、不是軸對稱圖形.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.2、D【解析】
連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,∠ACD=∠GCF=45°,再求出∠ACF=90°,然后利用勾股定理列式求出AF,最后由直角三角形面積的兩種表示法即可求得CH的長.【詳解】如圖,連接AC、CF,∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,∴AC=,CF=3,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,由勾股定理得,AF=,∵CH⊥AF,∴,即,∴CH=.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的面積,熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】試題分析:設(shè)它是n邊形,根據(jù)題意得,(n﹣2)?180°=140°,解得n=1.故選C.考點(diǎn):多邊形內(nèi)角與外角.4、C【解析】
根據(jù)同類項(xiàng)的定義、同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則和積的乘方逐一判斷即可.【詳解】、與不是同類項(xiàng),不能合并,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;、,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;、,此選項(xiàng)正確;、,此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查的是整式的運(yùn)算,掌握同類項(xiàng)的定義、同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則和積的乘方是解決此題的關(guān)鍵.5、B【解析】
由S陰影=S△OAE-S扇形OAF,分別求出S△OAE、S扇形OAF即可;【詳解】連接OA,OD
∵OF⊥AD,
∴AC=CD=,
在Rt△OAC中,由tan∠AOC=知,∠AOC=60°,
則∠DOA=120°,OA=2,
∴Rt△OAE中,∠AOE=60°,OA=2
∴AE=2,S陰影=S△OAE-S扇形OAF=×2×2-.故選B.【點(diǎn)睛】考查了切線的判定和性質(zhì);能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中,是解答此題的關(guān)鍵要證某線是圓的切線,對于切線的判定:已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.6、C【解析】試題分析:由題中所給出的左視圖知物體共兩層,每一層都是兩個(gè)小正方體;從俯視圖可以可以看出最底層的個(gè)數(shù)所以圖中的小正方體最少2+4=1.故選C.7、B【解析】
根據(jù)題意,小手蓋住的點(diǎn)在第四象限,結(jié)合第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),分析選項(xiàng)可得答案.【詳解】根據(jù)圖示,小手蓋住的點(diǎn)在第四象限,第四象限的點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)是:橫正縱負(fù);分析選項(xiàng)可得只有B符合.故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)的坐標(biāo),解題的關(guān)鍵是記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號,進(jìn)而對號入座,四個(gè)象限的符號特點(diǎn)分別是:第一象限(+,+);第二象限(?,+);第三象限(?,?);第四象限(+,?).8、B【解析】
找到從正面看所得到的圖形即可,注意所有從正面看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.【詳解】解:從正面看該幾何體,有3列正方形,分別有:2個(gè),2個(gè),2個(gè),如圖.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識,主視圖是從物體的正面看到的視圖,屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】
根據(jù)合并同類項(xiàng)法則和去括號法則逐一判斷即可得.【詳解】解:A.2x2-3x2=-x2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B.x+x=2x,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C.-(x-1)=-x+1,故此選項(xiàng)正確;
D.3與x不能合并,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減,熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】A、剪去陰影部分后,組成無蓋的正方體,故此選項(xiàng)不合題意;B、剪去陰影部分后,無法組成長方體,故此選項(xiàng)不合題意;C、剪去陰影部分后,能組成長方體,故此選項(xiàng)正確;D、剪去陰影部分后,組成無蓋的正方體,故此選項(xiàng)不合題意;故選C.二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11、3【解析】
作輔助線,首先求出∠DAC的大小,進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)的角度,即可得出答案.【詳解】如圖,分別連接OA、OB、OD;∵OA=OB=2,AB=2,∴△OAB是等腰直角三角形,∴∠OAB=45°;同理可證:∠OAD=45°,∴∠DAB=90°;∵∠CAB=60°,∴∠DAC=90°?60°=30°,∴旋轉(zhuǎn)角的正切值是33故答案為:33【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,解直角三角形,解題關(guān)鍵在于作輔助線.12、x≥1【解析】
把y=2代入y=x+1,得x=1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2),根據(jù)圖象可以知道當(dāng)x≥1時(shí),y=x+1的函數(shù)值不小于y=mx+n相應(yīng)的函數(shù)值,因而不等式x+1≥mx+n的解集是:x≥1,故答案為x≥1.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式(組)的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形,注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(交點(diǎn)、原點(diǎn)等),做到數(shù)形結(jié)合.13、2,【解析】試題分析:根據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的定義分別進(jìn)行求解,﹣2的相反數(shù)是2,﹣2的倒數(shù)是.考點(diǎn):倒數(shù);相反數(shù).14、.【解析】
作輔助線,構(gòu)建直角△DMN,先根據(jù)菱形的性質(zhì)得:∠DAC=60°,AE=AF=2,也知菱形的邊長為4,利用勾股定理求MN和DN的長,從而計(jì)算DM的長.【詳解】解:過M作MN⊥AD于N,∵四邊形ABCD是菱形,∴∵EF⊥AC,∴AE=AF=2,∠AFM=30°,∴AM=1,Rt△AMN中,∠AMN=30°,∴∵AD=AB=2AE=4,∴由勾股定理得:故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理及直角三角形30度角的性質(zhì),熟練掌握直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半.15、【解析】
利用P(A)=,進(jìn)行計(jì)算概率.【詳解】從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)則|a﹣b|≤1的情況有0,0;1,1;2,2;3,3;0,1;1,0;1,2;2,1;2,3;3,2;共10種情況,甲乙出現(xiàn)的結(jié)果共有4×4=16,故出他們”心有靈犀”的概率為.故答案是:.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的簡單計(jì)算能力,是一道列舉法求概率的問題,屬于基礎(chǔ)題,可以直接應(yīng)用求概率的公式.16、72【解析】分析:延長AB交于點(diǎn)F,根據(jù)得到∠2=∠3,根據(jù)五邊形是正五邊形得到∠FBC=72°,最后根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求出.詳解:延長AB交于點(diǎn)F,∵,∴∠2=∠3,∵五邊形是正五邊形,∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案為:72°.點(diǎn)睛:此題主要考查了平行線的性質(zhì)和正五邊形的性質(zhì),正確把握五邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.三、解答題(共8題,共72分)17、,1.【解析】
首先化簡(﹣a)÷(1+),然后根據(jù)a是不等式﹣<a<的整數(shù)解,求出a的值,再把求出的a的值代入化簡后的算式,求出算式的值是多少即可.【詳解】解:(﹣a)÷(1+)=×=,∵a是不等式﹣<a<的整數(shù)解,∴a=﹣1,1,1,∵a≠1,a+1≠1,∴a≠1,﹣1,∴a=1,當(dāng)a=1時(shí),原式==1.18、(1)y=x2+6x+5;(2)①S△PBC的最大值為;②存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣,﹣)或(0,5).【解析】
(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求出二次函數(shù)解析式;(2)①如圖1,過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G,將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線BC的表達(dá)式為:y=x+1,設(shè)點(diǎn)G(t,t+1),則點(diǎn)P(t,t2+6t+5),利用三角形面積公式求出最大值即可;②設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí),求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣),過該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1,求出直線BC中垂線的表達(dá)式為:y=﹣x﹣4…③,同理直線CD的表達(dá)式為:y=2x+2…④,、聯(lián)立③④并解得:x=﹣2,即點(diǎn)H(﹣2,﹣2),同理可得直線BH的表達(dá)式為:y=x﹣1…⑤,聯(lián)立⑤和y=x2+6x+5并解得:x=﹣,即可求出P點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)P(P′)在直線BC上方時(shí),根據(jù)∠PBC=∠BCD求出BP′∥CD,求出直線BP′的表達(dá)式為:y=2x+5,聯(lián)立y=x2+6x+5和y=2x+5,求出x,即可求出P.【詳解】解:(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:,解得:,故拋物線的表達(dá)式為:y=x2+6x+5…①,令y=0,則x=﹣1或﹣5,即點(diǎn)C(﹣1,0);(2)①如圖1,過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G,將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線BC的表達(dá)式為:y=x+1…②,設(shè)點(diǎn)G(t,t+1),則點(diǎn)P(t,t2+6t+5),S△PBC=PG(xC﹣xB)=(t+1﹣t2﹣6t﹣5)=﹣t2﹣t﹣6,∵-<0,∴S△PBC有最大值,當(dāng)t=﹣時(shí),其最大值為;②設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí),∵∠PBC=∠BCD,∴點(diǎn)H在BC的中垂線上,線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣),過該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1,設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為:y=﹣x+m,將點(diǎn)(﹣,﹣)代入上式并解得:直線BC中垂線的表達(dá)式為:y=﹣x﹣4…③,同理直線CD的表達(dá)式為:y=2x+2…④,聯(lián)立③④并解得:x=﹣2,即點(diǎn)H(﹣2,﹣2),同理可得直線BH的表達(dá)式為:y=x﹣1…⑤,聯(lián)立①⑤并解得:x=﹣或﹣4(舍去﹣4),故點(diǎn)P(﹣,﹣);當(dāng)點(diǎn)P(P′)在直線BC上方時(shí),∵∠PBC=∠BCD,∴BP′∥CD,則直線BP′的表達(dá)式為:y=2x+s,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得:s=5,即直線BP′的表達(dá)式為:y=2x+5…⑥,聯(lián)立①⑥并解得:x=0或﹣4(舍去﹣4),故點(diǎn)P(0,5);故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣,﹣)或(0,5).【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù),熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19、(1)(2)證明見解析;(3)1.【解析】
(1)由PD切⊙O于點(diǎn)C,AD與過點(diǎn)C的切線垂直,易證得OC∥AD,繼而證得AC平分∠DAB;
(2)由條件可得∠CAO=∠PCB,結(jié)合條件可得∠PCF=∠PFC,即可證得PC=PF;
(3)易證△PAC∽△PCB,由相似三角形的性質(zhì)可得到,又因?yàn)閠an∠ABC=,所以可得=,進(jìn)而可得到=,設(shè)PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2,進(jìn)而可建立關(guān)于k的方程,解方程求出k的值即可求出PC的長.【詳解】(1)證明:∵PD切⊙O于點(diǎn)C,∴OC⊥PD,又∵AD⊥PD,∴OC∥AD,∴∠ACO=∠DAC.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;(2)證明:∵AD⊥PD,∴∠DAC+∠ACD=90°.又∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.∴∠PCB+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠PCB.又∵∠DAC=∠CAO,∴∠CAO=∠PCB.∵CE平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF,∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,∴∠PFC=∠PCF,∴PC=PF;(3)解:∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,∴△PAC∽△PCB,∴.又∵tan∠ABC=,∴,∴,設(shè)PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,∵PC2+OC2=OP2,∴(4k)2+72=(3k+7)2,∴k=6(k=0不合題意,舍去).∴PC=4k=4×6=1.【點(diǎn)睛】此題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目,用到的知識點(diǎn)有:切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì).20、1平方米【解析】
設(shè)原計(jì)劃平均每天施工x平方米,則實(shí)際平均每天施工1.2x平方米,根據(jù)時(shí)間=工作總量÷工作效率結(jié)合提前11天完成任務(wù),即可得出關(guān)于x的分式方程,解之即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)原計(jì)劃平均每天施工x平方米,則實(shí)際平均每天施工1.2x平方米,根據(jù)題意得:﹣=11,解得:x=500,經(jīng)檢驗(yàn),x=500是原方程的解,∴1.2x=1.答:實(shí)際平均每
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