2021年新高考Ⅰ卷數(shù)學試題及答案

2021年新高考I卷數(shù)學真題及答案

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座

位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應

位置上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用28鉛筆在答題卡上對應題

目選項

的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，

答案不

能答在試卷上，

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題

卡各題目

指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上

新答案：不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將試卷和答題卡一井交

回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合人={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5}力!）AAB=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

2.已知z-2~i,則(z(z+i)~

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為口，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的

母線長為

A.2B.筆C.4D.4m

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin(x-％)單調遞增的區(qū)間是

nn3x3n

A.(0,2)B.(2,刈)C.(n,2)D.(2,2")

22

5.已知F,F是橢圓C：/&/的兩個焦點，點M在C上，則

12

IMF|?|MF|的最大值為

12

A.13B.12C.9D.6

sin0(1+sin20)

6.若tano二一2,貝！Jsin。+cos。

6

A.Z

2

B.Z

2

c.W

6

D.

7.若過點（a,b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則

A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機

取兩次,每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，

乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件”兩次取出

的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,

則

A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出

的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得

2分，有選錯的得。分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)x,x,…，x,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y,

12n1

y，…,y,其中

2n

y=x+c(i=l,2,???,n),c為非零常數(shù)，則

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知0為坐標原點，點P(cosa,sina),P(cosB,-sin

12

B),P(cos(a+B),sin(a+B)),A(l,0),則

3

A.IOP/^IOPJI

B.lAP^klAPjl

IIIII

C.OA?OPn=OP.?0P2

III

D.OA?OP1=OR?0P3

11.已知點P在圓(X-5)2+3-5)2=16上，點A(4,0),B(0,2),則

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當NPBA最小時，|PB|二R§

D.當NPBA最大時，|PB|二R5

12.在正三棱柱ABC-/百百中，AB=A4=1,點P滿足％=“就，

其中Xe[0,1],z/e[o,1],則

A.當人=1時，△叫P的周長為定值

B,當”=1時，三棱錐PfBc的體枳為定值

1

C.當人=5時，有且僅有一個點P,使得月1尸，取

1

D.當u=5時，有且僅有一個點P,使得4BJ_平面A4P

三.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)f(X)=*3Q?2"-2-*)是偶函數(shù)，則a=

14.已知0為坐標原點,拋物線C：y2=2Pxe>0)的焦點為F,P為C上一點,

PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQJ_0P,若|FQ|=6,貝i」C的準線方程

為—

15.函數(shù)f(x)=|2xT21nx的最小值為

16.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)此紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格

為20dmXI2dm的長方形紙.對折1次共可以得到10dmX2dm.20dmX6dm兩種規(guī)格的

圖形，它們的面積之和8=240dm2,對折2次共可以得5dmX12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三種規(guī)格的圖形它們的面積之不格-180dm2.以此類推.則對折4次共可以得

n

到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為如果對折n次，那么二產=dm2

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟。

/an+1.n為奇數(shù)

17.（10分）已知數(shù)列｛■滿足噸=1,'一R+2,n為偶數(shù)

⑴記％=%），寫出牝%，并求數(shù)列即的通項公式;

⑵求同的前20項和

18.（12分）

某學校組織“一帶一路"知識競賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學先在兩類

問題中選擇類并從中隨機抽取一個問題問答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確

則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問

題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，

否則得0分。

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6.且能

正確回答問題的概率與回答次序無關。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列：

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？

并說明理由。

19.（12分）

記SBC的內角A,B,C的對邊分別為a.,b.,c,已知左ac,點D在邊AC上，

BDsinzABC=asinC.

⑴證明：BD=b:

⑵若AD=2DC.求coszABC.

20.(12分)

如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD，平面,

BCD,AB=AD.O為BD的中點.

Q)證明：OA^CD:

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形.點E在棱AD上.DE=2EA.且二面角

E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

21.(12分)

在平面直角坐標系xOy中，己知點-717,0),5(“7,系，點M滿足|MFJ-|MF2|=2.

記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

I

(2)設點T在直線'5上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點且

|TA||TB|=|TP||TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)

(1)討論f(x)的單調性

(2)設a.b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b證

11

明產"

新高考I卷數(shù)學答案解析

1.B

2.C

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.CD

10.AC

11.ACD

12.BD

13.a=l

14」=」

15.1

17.

(1)解：由題意得b=a=a+1=2,b=a=a+1=5

121243

?b二a=a+1,??a—a—1.

12121

b=a=a+1=a+3/.a-a=3.

243242

同理a-a=3

64

b二a—a=3.

n2n2n-2

疊加可知a-a=1+3(n-1)

2n1

/.a=3n-l

2n

.*.b=3n-l.驗證可得b=a=2,符合上式.

n12

(2)解：Va=a+1

2n2nT

??a二a一1=3n—2.

2n-l2n

，設｛a｝前20項和為S

n20

/.S=(a+a+---+a)+(a+a+?,+a)

2013192420

=145+155=300

18.

(1)解：

由題意得x=0,20,100.

P(x=0)=0.2

P(x=20)=0.8X0.4=0.32

P(x=100)=0.48

X020100

p0.0.30.4

228

(2)解:

小明先選擇B,得分為y

.*.y=0,80,100

P(y=0)=0.4

P(y=80)=0.6X0.2=0.12

P(y=100)=0.6X0.8=0.48

y080100

P0.0.10.4

428

Ex=54.4Ey=57.6

???小明應先選擇B.

19.

(1)由正弦定理

bcbsinc

得sin/ABCsine,sin^ABCrc

bsinc

又由BDS〃?N翹t=asinc,得BD、=asinc,

BD?b=

即1/=ac尸BD=b

由將%=加即從第五

⑵AD=2DC,

=>I12=51JSJ12+$1I2+#,比

144ac-b2

=>。="2+嬴+4?a2ac

22?

r3c+6n=6』,

b;&c■-llac+3r^0

31_

na二t；c或a—,5C

(a=-c212937

3=_cnNABC=--------------——=-

1.2316

②1°=a°cos2c7(x)

綜上

cosNABCT

20.

⑴證明：

由已知，AABD中AB=AD且。為BD中點

A01BD

又平面ABD_L平面BCD

AOJ_平面BCD且CDu平面BCD

AO±CD

⑵由于aoCD為正三角形，邊長為1

OB=OD=OC=CD

,ZBCD=90°

取0D中點H,連結CH,則CHLOD

以H為原點，HC,HD,HZ為x,y,z軸建立空間直角坐標系

由①可知，平面BCD的法向量I=(o,o,D

設C(￡"")，B(0,-?6),D(0,?6)

貝！J,zJ=@-l.h)

DE=2EA

22、

S,

42II433

:.BE=DE-DB

設〃_L平面BEC/產(x,y,z)

(6x+3y=G

n9BC=642

□匚

NBE二G,即

??n西-4

由于二面角E-BC-D為E

：?cos45°=~=/cos市甸/

11434

*v——當易力*力—三~X2X1=—

?Y三技推A-BOT3~3/6

21.(1)°二v'77,2a=2,a=1,b=4

2

2v

。表示雙曲線的右支方程：二一潺二/儀2D

⑵設K加，設直線AB的方程為'="卜一勺川勺,小即？.嗎

y=易k一,，加

16x-y=16得，#-曖產-*+,+-,+m]=16

(16-+(k；-2k同x~+kp-m-16=C

.：|*|用=(/

+-I

12klm-勺1

-m-12

4

216-g=(F

I陰陽=(1+

2

,2\而*12.”+12

-=0

所以《-16,扁—76

得4-16M=g-16J(

：,k,#k..：k,二

即的+&='

22.(1)f(x)=x-xlnx

f9(x)=1-Inx-1=-Inx(x>0)

令f'(x)>0,則0<xVl,

令f