邏輯函數(shù)及其簡化

關于邏輯函數(shù)及其簡化本章第一次課邏輯代數(shù)及運算小問題什么是與？寫出表達式，符號，真值表。什么是或？寫出表達式，符號，真值表。什么是非？寫出表達式，符號，真值表。什么是異或？寫出表達式，符號，真值表。什么是同或？寫出表達式，符號，真值表什么是真值表？什么時候邏輯函數(shù)相等？如何檢驗一個邏輯公式是否正確？掌握邏輯運算的優(yōu)先級。根據(jù)基本概念理解并記憶常用公式。理解原函數(shù)、對偶函數(shù)、反函數(shù)概念。何為對偶規(guī)則？何為反演規(guī)則？第2頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1邏輯代數(shù)英國數(shù)學家喬治·布爾(GeorgeBoole)：1849年布爾代數(shù)（BooleanAlgebra）研究邏輯變量間的相互關系，分析和設計邏輯電路邏輯變量：兩種取值，真或假、高或低、1或0

邏輯代數(shù)（LogicAlgebra）第3頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1.1基本邏輯S1S2F000110110001與邏輯的真值表F=S1·Ｓ2或F=S1S2函數(shù)表達式：

最基本的邏輯關系有：與、或、非

1.邏輯與

全部條件同時具備時，該事件才發(fā)生：邏輯乘

第4頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.邏輯或F=S1+S2

一個或一個以上具備時，該事件都會發(fā)生：邏輯加。S1S2F000110110111或邏輯的真值表函數(shù)表達式：F=A+1＝1F=A+0＝AF＝A+A＝A第5頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3.邏輯非 條件具備時，該事件不發(fā)生；不具備時，事件發(fā)生，邏輯反。SF0110非邏輯的真值表第6頁,共71頁，2024年2月25日，星期天邏輯符號圖形國家標準第7頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1.2基本邏輯運算

1、邏輯加（或）

P=A+B（A、B中只要有1個為1，則P為1）

A+0=0 A+1=1 A+A=A第8頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2、邏輯乘（與）P＝AB（A、B均為1，則P才為1）A?1=AA?0=0A?A=A第9頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3、邏輯非（非）第10頁,共71頁，2024年2月25日，星期天4、復合邏輯運算ABP（同或）P（異或）0001101110010110同或/異或邏輯的真值表第11頁,共71頁，2024年2月25日，星期天同或、異或的性質第12頁,共71頁，2024年2月25日，星期天門電路輸出和輸入之間具有一定邏輯關系的電路稱為邏輯門電路，簡稱門電路。第13頁,共71頁，2024年2月25日，星期天小結基本邏輯：與或非復合邏輯與非或非異或同或含義符號簡單公式真值表第14頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1.3真值表與邏輯函數(shù)真值表：左邊：所有輸入信號的全部組合。右邊：相應的輸出由真值表獲得邏輯函數(shù)。 與或表達式 或與表達式第15頁,共71頁，2024年2月25日，星期天A B C P0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1真值表與或式或與式P=1的對應組合：1為原變量，0為反變量P=0的對應組合：0為原變量，1為反變量輸入輸出第16頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1.4邏輯函數(shù)相等邏輯函數(shù)相等：所有輸入變量的全部組合情況下，若兩個函數(shù)是所有輸出都相同，則認為這兩個函數(shù)相同。例2-2F(A,B,C)=A(B+C)G(A,B,C)=AB+ACA B C F G0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1第17頁,共71頁，2024年2月25日，星期天1、變量和常量第18頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2、交換率、結合律、分配率交換率結合律分配率第19頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3、邏輯代數(shù)的特殊規(guī)律重疊率反演率調(diào)換率由調(diào)換率可得第20頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1.5三個規(guī)則

1.代入規(guī)則

在一個邏輯等式兩邊出現(xiàn)某個變量（或表示式）的所有位置都代入另一個變量（或表達式），則等式仍然成立。

例如:已知，在等式兩邊出現(xiàn)B的所有位置都代入BC，則等式仍然成立，即

第21頁,共71頁，2024年2月25日，星期天邏輯運算優(yōu)先級規(guī)則非與或異或、同或高低優(yōu)先級第22頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.反演規(guī)則例如:則將所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，

“0”換成“1”，“1”換成“0”，

原變量換成反變量，反變量換成原變量

得到函數(shù)F的反函數(shù)F

要注意:保持原函數(shù)中邏輯運算的優(yōu)先順序；不是單個變量上的反號保持不變。

第23頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3.對偶規(guī)則將所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”

“0”換成“1”，“1”換成“0”，

函數(shù)F的對偶函數(shù)F′。

例如:

F1=A·(B+C)，F(xiàn)1*=A+B·C

F2=A·B+A·C，F(xiàn)2*=(A+B)·(A+C)

如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)亦相等。這就是對偶規(guī)則。例如:已知

A·(B+C)=A·B+A·C

則A+B·C=(A+B)·(A+C)第24頁,共71頁，2024年2月25日，星期天課后作業(yè)P47(P51)1、（2）（3）2、（1）（3）3、（2）（4）5、（1）（3）（5）第25頁,共71頁，2024年2月25日，星期天本章第2次課（公式法化簡）基本要求掌握3個常用公式。可利用常用公式對簡單的函數(shù)進行化簡。何為最小項表達式？如何根據(jù)原函數(shù)的最小項表達式來求其對偶函數(shù)、反函數(shù)的最小項表達式？何為最大項表達式？如何根據(jù)原函數(shù)的最大項表達式來求其對偶函數(shù)、反函數(shù)的最大項表達式？從最?。ù螅╉椑斫庠瘮?shù)、對偶函數(shù)、反函數(shù)概念。第26頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1.6常用公式（本章第2次課開始）下面列出一些常用的邏輯代數(shù)公式，利用前面介紹的基本公式可以對它們加以證明。

（1）第27頁,共71頁，2024年2月25日，星期天（2）A+A·B=A

證明:A+A·B=A·1+A·B=A·(1+B)=A·1=A在一個與或表達式中，如果一個與項是另一個與項的一個因子，則另一個與項可以不要。這一公式稱為吸收律。例如:吸收律第28頁,共71頁，2024年2月25日，星期天（3）證明:在一個與或表達式中，如果一個與項的反是另一個與項的一個因子，則這個因子可以不要。例如:第29頁,共71頁，2024年2月25日，星期天（4）證明:公式的含義是:在一個與或表達式中，如果一個與項中的一個因子的反是另一個與項的一個因子，則由這兩個與項其余的因子組成的與項是可要可不要的。第30頁,共71頁，2024年2月25日，星期天（5）證明:第31頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.1.7邏輯函數(shù)的標準形式最小項表達式（標準與或表達式）標準與或表達式是一種特殊的與或表達式，其中的每個與項都包含了所有相關的邏輯變量，每個變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項稱為標準與項，又稱最小項。例如：第32頁,共71頁，2024年2月25日，星期天最小項的主要性質(1)每個最小項都與變量的惟一的一個取值組合相對應，只有該組合使這個最小項取值為1，其余任何組合均使該最小項為0。

(2)所有不同的最小項相或，結果一定為1。

(3)任意兩個不同的最小項相與，結果一定為0。求最小項對應的變量取值組合時，如果變量為原變量，則對應組合中變量取值為1；如果變量為反變量，則對應組合中變量取值為0。第33頁,共71頁，2024年2月25日，星期天或或法2第34頁,共71頁，2024年2月25日，星期天ABCF00000101001110010111011101101001當變量A、B、C取001、010、100、111時，函數(shù)F的值為1。對應于：所以：第35頁,共71頁，2024年2月25日，星期天原函數(shù)、反函數(shù)、對偶函數(shù)關系總結：反函數(shù)＝原函數(shù)中沒有的最小項之和對偶函數(shù)＝（2n－1－原函數(shù)中沒有的最小項編號）的最小項之和從最小項的形式看變量取反第36頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2)最大項表達式（標準或與表達式）每個或項都包含了所有相關的邏輯變量，每個變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項稱為標準或項，又稱最大項。第37頁,共71頁，2024年2月25日，星期天最大項的主要性質(1)每個最大項都與變量的惟一的一個取值組合相對應，只有該組合使這個最大項取值為0，其余任何組合均使該最大項為1。(2)所有不同的最大項相與，結果一定為0。(3)任意兩個不同的最大項相或，結果一定為1。求最大項對應的變量取值組合時，如果變量為原變量，則對應組合中變量取值為0；如果變量為反變量，則對應組合中變量取值為1。第38頁,共71頁，2024年2月25日，星期天寫出函數(shù)的最大項表達式解：第39頁,共71頁，2024年2月25日，星期天ABCF00000101001110010111011110010110解：根據(jù)真值表寫出函數(shù)的最小項、最大項表達式。第40頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3)標準與或表達式和標準或與表達式之間的轉換同一函數(shù),其最小項表達式中最小項的編號和其最大項表達式中最大項的編號是互為補充的。最大項表達式與最小項表達式之間的關系：第41頁,共71頁，2024年2月25日，星期天4)標準異或表達式由數(shù)學歸納法：同理：第42頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2-7將轉化為異或標準形式解：可將其化為只包含原變量的形式：第43頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.2邏輯函數(shù)的化簡同一個邏輯函數(shù)可以寫成不同的表達式。表達式越簡單，需用門電路的個數(shù)就越少，就越經(jīng)濟可靠。最簡表達式有很多種：最簡與或表達式最簡或與表達式不同類型的邏輯函數(shù)表達式，最簡的定義也不同。第44頁,共71頁，2024年2月25日，星期天用公式法化簡下式解：第45頁,共71頁，2024年2月25日，星期天公式法化簡解：第46頁,共71頁，2024年2月25日，星期天公式法化簡解：第47頁,共71頁，2024年2月25日，星期天公式法化簡解：利用前2項生成AD第48頁,共71頁，2024年2月25日，星期天公式法化簡解：第49頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2-12化簡函數(shù)解：第50頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2-13化簡函數(shù)解：第51頁,共71頁，2024年2月25日，星期天課后作業(yè)（本章第2次）P514、（1）（3）（5）6、（2）7、（1）（3）8、（1）（3）（5）第52頁,共71頁，2024年2月25日，星期天本章第3次課要求何為卡諾圖？如何根據(jù)最?。ù螅╉棻磉_式畫卡諾圖？如何由卡諾圖得到最?。ù螅╉棻磉_式？如何由與或表達式畫卡諾圖？如何由卡諾圖得（最簡）與或表達式？什么是任意項？什么是約束項？什么是無關項？與卡諾圖化簡有什么關系？第53頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.2.2圖解法（卡諾圖圖法）

已知邏輯函數(shù)的真值表，要畫出函數(shù)的卡諾圖，只需找出真值表中函數(shù)值為1的變量組合，確定其大小編號，并在卡諾圖中具有相應編號的方格中標上1，即得到該函數(shù)的卡諾圖。

卡諾圖：行、列變量按單位間距碼排列

第54頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3變量卡諾圖的一般形式4變量卡諾圖的一般形式第55頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例：從上面例子可以看出：一個與項如果缺少一個變量，對應卡諾圖中兩個方格一個與項如果缺少兩個變量，對應卡諾圖中四個方格一個與項如果缺少n個變量，則對應卡諾圖中2n個方格0123456701232315第56頁,共71頁，2024年2月25日，星期天1)卡諾圖化簡法的步驟畫出函數(shù)的卡諾圖，將卡諾圖中的1方格按邏輯相鄰特性進行分組劃圈。每個圈得到一個簡化的與項，與項中只包含在圈中取值沒有變化過的變量，值為1的以原變量出現(xiàn)，值為0的以反變量出現(xiàn)。將所得各個與項相或，得到該函數(shù)的最簡與或表達式。第57頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2）用卡諾圖化簡法的原則每個值為1的方格至少被圈一次。當某個方格被圈多于一次時，相當于對這個最小項使用同一律A+A=A，并不改變函數(shù)的值。每個圈中至少有一個1方格是其余所有圈中不包含的。如果一個圈中的任何一個1方格都出現(xiàn)在別的圈中，則這個圈就是多余的。任一圈中都不能包含取值為0的方格。圈的個數(shù)越少越好。圈的個數(shù)越少，得到的與項就越少。圈越大越好。圈越大，消去的變量越多，所得與項包含的因子就越少。每個圈中包含的1方格的個數(shù)必須是2的整數(shù)次方。第58頁,共71頁，2024年2月25日，星期天寫出函數(shù)的最簡與或表達式：解:首先將函數(shù)F轉換為一般與或表達式:第59頁,共71頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)化簡F（A,B,C,D）＝

m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)解：第60頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3）帶無關項邏輯函數(shù)的化簡1.邏輯函數(shù)中的無關項

在實際的邏輯關系中，有時會遇到這樣一種情況，即變量的某些取值組合是不會發(fā)生的，這種加給變量的限制稱為變量的約束，而這些不會發(fā)生的組合所對應的最小項稱為約束項。

對變量約束的具體描述叫做約束條件。例如，AB+AC=0，∑(5,6,7)=0,∑d(5,6,7)等。在真值表和卡諾圖中，約束一般記為“×