整式的乘除與因式分解知識點及題型匯編

整式的乘除與因式分解知識點及題型匯編同底數(shù)冪的乘法【知識盤點】假設m、n均為正整數(shù)，那么am·an=_______，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)______，指數(shù)_____．【應用拓展】1．計算：〔1〕64×〔－6〕5〔2〕－a4〔－a〕4〔3〕－x5·x3·〔－x〕4〔4〕〔x－y〕5·〔x－y〕6·〔x－y〕72．計算：〔1〕〔－b〕2·〔－b〕3+b·〔－b〕4〔2〕a·a6+a2·a5+a3·a4〔3〕x3m－n·x2m－3n·xn－m〔4〕〔－2〕·〔－2〕2·〔－2〕3·…·〔－2〕1007．ax=2，ay=3，求ax+y的值．8．4·2a·2a+1=29，且2a+b=8，求ab的值．積的乘方【知識盤點】積的乘方法那么用字母表示就是：當n為正整數(shù)時，〔ab〕n=_______．【應用拓展】1．計算：〔1〕〔－2×103〕3〔2〕〔x2〕n·xm－n〔3〕a2·〔－a〕2·〔－2a2〕3〔4〕〔－2a4〕3+a6·a6〔5〕〔2xy2〕2－〔－3xy2〕22．先完成以下填空：〔1〕26×56=〔〕6=10()〔2〕410×2510=〔〕10=10()你能借鑒以上方法計算以下各題嗎？〔3〕〔－8〕10×0.12510〔4〕0.252007×42006〔5〕〔－9〕5·〔－〕5·〔〕53．xn=2，yn=3，求〔x2y〕2n的值．4．一個立方體棱長為2×103厘米，求它的外表積〔結果用科學記數(shù)法表示〕．【綜合提高】10．觀察以下等式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；〔1〕請你寫出第5個式子：______________〔2〕請你寫出第10個式子：_____________〔3〕你能用字母表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？試一試!冪的乘方【知識盤點】假設m、n均為正整數(shù)，那么〔am〕n=_____，即冪的乘方，底數(shù)_____，指數(shù)_______．【應用拓展】1．計算：〔1〕〔y2a+1〕2〔2〕[〔－5〕3]4－〔54〕3〔3〕〔a－b〕[〔a－b〕2]52．計算：〔1〕〔－a2〕5·a－a11〔2〕〔x6〕2+x10·x2+2[〔－x〕3]48．用冪的形式表示結果：〔1〕〔23〕2=______；〔22〕3=________；〔2〕〔35〕7=______；〔37〕5=________；〔3〕〔53〕4=______；〔54〕3=________．你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用式子表示出來．同底數(shù)冪的除法知識點：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減：底數(shù)a可以是一個具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式。強調a≠0的必要性2、a0=1(a≠0)練習：一、填空題1.計算：=，=.2.在橫線上填入適當?shù)拇鷶?shù)式：，.3.計算：=，=．4.計算：=.5.計算：＝___________．二、解答題1.計算：1、；2、；3、；4、.2.計算：1、；2、；3、；4、.3.地球上的所有植物每年能提供人類大約大卡的能量，假設每人每年要消耗大卡的植物能量，試問地球能養(yǎng)活多少人？4.觀察以下算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，那么89的個位數(shù)字是〔〕A.2；B．4；C．8；D．6.5.如果，，那么=.6.解方程：〔1〕；〔2〕.7.,求的值.8.,求(1)；(2).零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪知識點：1、零指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.零的零次冪沒有意義！”50=1，100=1，a0=1〔a≠0〕:2.負整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的－n〔n為正整數(shù)〕次冪，等于這個數(shù)的n

次冪的倒數(shù).例題〔1〕3-2〔2〕計算：〔1〕〔-0.1〕0；〔2〕；〔3〕2-2；〔4〕.知識點：科學記數(shù)法科學計數(shù)法：把一個數(shù)記作a×10n形式〔其中1≤a＜10，n為正整數(shù)。〕將一個數(shù)用科學計數(shù)法表示的時候，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，例如原數(shù)有6位，那么10的指數(shù)為5。確定a值的時候，一定要注意a的范圍1≤a＜10。將一個用科學計數(shù)法表示的數(shù)寫出原數(shù)的時候，10n=100……0〔共有n個0〕即a×10n=a×100……0〔共有n個0〕1、3.65×10175是位數(shù)，0.12×1010是位數(shù)；2、把3900000用科學記數(shù)法表示為，把1020000用科學記數(shù)法表示為；3、用科學記數(shù)法記出的數(shù)5.16×104的原數(shù)是，2.236×108的原數(shù)是；4、比擬大小：3.01×1049.5×103；3.01×1043.10×104；5、地球的赤道半徑是6371千米，用科學記數(shù)法記為千米22、a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，，，求的值.〔4分〕23、a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，求的值.〔4分〕24、假設，求的值.〔4分〕單項式的乘法知識點一、單項式與單項式相乘單項式相乘，把它們的系數(shù)相乘，字母局部的同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式。根底穩(wěn)固1.(－2a4b2)(－3a)2的結果是()A.－18a6b2 B.18a6b2C.6a5b2 D.－6a5b22.假設(am+1bn+2)·(a2n－1b2m)=a5b3,那么m+n等于()A.1 B.2C.3 D.－33.式子－()·(3a2b)=12a5b2c成立時，括號內應填上()A.4a3bc B.36a3bcC.－4a3bc D.－36a3bc4.下面的計算正確的選項是( )A．a2·a4＝a8 B．(－2a2)3＝－6a6 C．(an＋1)2＝a2n＋1 D．an·a·an－1＝a2n5.⑴－3x3y·2x2y2＝ ⑵am＋1· ＝a2m6.⑴3x3y(－5x3y2)=_____⑵(a2b3c)·(ab)=_____⑶5×108·(3×102)=_____⑷3xy(－2x)3·(－y2)2=_____⑸ym－1·3y2m－1=_____⑹4m(m2+3n+1)=_____;⑺(－y2－2y－5)·(－2y)=_____⑻－5x3(－x2+2x－1)=_____;7.計算：(1)(2xy2)·(xy);(2)(－2a2b3)·(－3a);(3)(4×105)·(5×104);(4)(－3a2b3)2·(－a3b2)5;(5)(－a2bc3)·(－c5)·(ab2c)8.計算：(1)2ab(5ab2+3a2b)(2)(ab2－2ab)·ab(3)－6x(x－3y)(4)－2a2(ab+b2).能力拓展9.2x2y·(－3xy+y3)的計算結果是()A.2x2y4－6x3y2+x2yB.－x2y+2x2y4C.2x2y4+x2y－6x3y2D.－6x3y2+2x2y410．以下計算中正確的選項是()A.3b2·2b3=6b6B.(2×104)×(－6×102)=－1.2×106C.5x2y·(－2xy2)2=20x4y5D.(am+1)2·(－a)2m=－a4m+2(m為正整數(shù))11．計算4m(m2+3n+1)=_____;(－y2－2y－5)·(－2y)=_____;－5x3(－x2+2x－1)=_____.12．式子－()·(3a2b)=12a5b2c成立時，括號內應填上的代數(shù)式是。13.(教材課內練習第3題變式)計算：〔1〕(a2b3c)2(2a3b2c4)〔2〕(ab2－2ab+b)(－ab)〔3〕(－a2n+1bn－1)(－2.25an－2bn+1)(一題多解)ab2=－6,求－ab(a2b5－ab3－b)的值.25、〔4分〕〔1〕據(jù)統(tǒng)計，全球每分鐘約有8500000t污水排入江河湖海，這個排污量用科學記數(shù)法表示應為多少？〔2〕自從掃描隧道顯微鏡創(chuàng)造后，世界上便誕生了一門新學科，這就是“納米技術”.52個納米長為0.000000052m，用科學記數(shù)法表示此數(shù)為多少米？多項式乘多項式知識點：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。練習一、選擇題計算(2a－3b)(2a＋3b)的正確結果是()A．4a2＋9b2 B．4a2－9b2 C．4a2＋12ab＋9b2 D．4a2－12ab＋9b2假設(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，那么k的值為()

A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a計算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正確結果是()

A．(2x－3y)2 B．(2x＋3y)2 C．8x3－27y3 D．8x3＋27y3(x2－px＋3)(x－q)的乘積中不含x2項，那么()

A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．無法確定假設0＜x＜1，那么代數(shù)式(1－x)(2＋x)的值是()

A．一定為正 B．一定為負 C．一定為非負數(shù) D．不能確定計算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正確結果是()

A．2(a2＋2) B．2(a2－2) C．2a3 D．2a6方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是()

A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40假設2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c應為()

A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1

C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2假設6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，那么ac＋bd等于()

A．36 B．15 C．19 D．21(x＋1)(x－1)與(x4＋x2＋1)的積是()

A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1二、填空題(3x－1)(4x＋5)＝_________．(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________．(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________．(y－1)(y－2)(y－3)＝__________．(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展開式中，x4的系數(shù)是__________．假設(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，那么a＝__________，b＝__________．假設a2＋a＋1＝2，那么(5－a)(6＋a)＝__________．當k＝__________時，多項式x－1與2－kx的乘積不含一次項．假設(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘積中不含x2和x3項，那么a＝_______，b＝_______．如果三角形的底邊為(3a＋2b)，高為(9a2－6ab＋4b2)，那么面積＝__________．三、解答題1、計算以下各式

(1)(2x＋3y)(3x－2y)(2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)

(3)(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1)(4)(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)

2、求(a＋b)2－(a－b)2－4ab的值，其中a＝2009，b＝2010．

3、求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x2－eq\f(5,2)y)，其中x＝－1，y＝2．

4、解方程組eq\b\lc\{(\a\al((x－1)(2y＋1)＝2(x＋1)(y－1),x(2＋y)－6＝y(tǒng)(x－4)))四、探究創(chuàng)新樂園1、假設(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的積中，x3的系數(shù)為5，x2的系數(shù)為－6，求a，b．2、根據(jù)(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，直接計算以下題(1)(x－4)(x－9)(2)(xy－8a)(xy＋2a).五、數(shù)學生活實踐一塊長acm，寬bcm的玻璃，長、寬各裁掉1cm后恰好能鋪蓋一張辦公桌臺面(玻璃與臺面一樣大小)，問臺面面積是多少?六、思考題：請你來計算：假設1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋…＋x2012的值．乘法公式的復習一、復習:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式：①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦連用公式變化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例1．，，求的值。例2．，，求的值。例3：計算19992-2000×1998例4：a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。例5：x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判斷〔2+1〕〔22+1〕〔24+1〕……〔22048+1〕+1的個位數(shù)字是幾？例7．運用公式簡便計算〔1〕1032〔2〕1982例8．計算〔1〕a4b3ca4b3c〔2〕3xy23xy2例9．解以下各式〔1〕a2b213，ab6，求ab2，ab2的值?！?〕ab27，ab24，求a2b2，ab的值?！?〕aa1a2b2，求的值。〔4〕，求的值。例10．四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？。例11．計算〔1〕x2x12〔2〕3mnp2二、乘法公式的用法(一)、套用:例1.計算：(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2.計算：例3.計算：三、逆用:學習公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例4.計算：四、變用:題目變形后運用公式解題。例5.計算：五、活用:把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經過變形或重新組合，可得如下幾個比擬有用的派生公式：靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例6.，求的值。例7.計算：例8.實數(shù)x、y、z滿足，那么〔〕三、學習乘法公式應注意的問題〔一〕、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)”．例1計算(-2x2-5)(2x2-5)例2計算(-a2+4b)2〔二〕、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．例4計算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2例5計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．〔三〕、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可表達為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍．例6計算(2x+y-3)2以下各題，難不倒你吧？！1、假設a+=5，求〔1〕a2+，〔2〕〔a－〕2的值．2、求〔2+1〕〔22+1〕〔24+1〕〔28+1〕〔216+1〕〔232+1〕〔264+1〕+1的末位數(shù)字．五、乘法公式應用的五個層次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．第一層次──正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用．例1計算(2)(－2x－y)(2x－y)．第二層次──逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用．例2計算(1)19982－1998·3994＋19972；第三層次──活用：根據(jù)待求式的結構特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應用公式．例3化簡：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．例4計算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)第四層次──變用：解某些問題時，假設能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，那么求解十分簡單、明快．例5a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．第五層次──綜合后用：將(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2綜合，可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷．例6計算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學過假設干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：〔1〕(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.是的三邊，且，那么的形狀是〔〕A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形三、分組分解法.〔一〕分組后能直接提公因式例1、分解因式：解：原式==每組之間還有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式=原式=====練習：分解因式1、2、〔二〕分組后能直接運用公式例3、分解因式：例4、分解因式：練習：分解因式3、4、綜合練習：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕四、十字相乘法.〔一〕二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式——進行分解。特點：〔1〕二次項系數(shù)是1；〔2〕常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；〔3〕一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么根本規(guī)律？例.0＜≤5，且為整數(shù)，假設能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：但凡能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c，都要求>0而且是一個完全平方數(shù)。于是為完全平方數(shù)，例5、分解因式：分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法進行分解的關鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6〔-1〕+〔-6〕=-7練習5、分解因式(1)(2)(3)練習6、分解因式(1)(2)(3)〔二〕二次項系數(shù)不為1的二次三項式——條件：〔1〕〔2〕〔3〕分解結果：=例7、分解因式：分析：1-23-5