2024年廣東省高考數(shù)學一輪復習第6章第3講：等比數(shù)列（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學一輪復習第6章第3講：等比數(shù)列

【考試要求】1.理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項公式與前”項和公式.3.了解等比數(shù)

列與指數(shù)函數(shù)的關系.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.等比數(shù)列有關的概念

(1)定義：如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母式qWO)表示.

(2)等比中項：如果在a與匕中間插入一個數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列,那么G叫做a與6

的等比中項，此時，G2=ah.

2.等比數(shù)列的通項公式及前"項和公式

(1)若等比數(shù)列｛飆｝的首項為“1，公比是4,則其通項公式為斯=生仁!.

(2)等比數(shù)列通項公式的推廣：如=小小一。

(3)等比數(shù)列的前〃項和公式：當q=l時，S,,=??.；當qWl時，&=a懺2=、三吆

1q1q

3.等比數(shù)列性質(zhì)

(1)若"?+〃=p+q,則血血”=能生,,其中加，H,p,q￡N*.特別地，若2勿=加+小則的綺=

星^其中m,mzo￡N”.

Q)cik,ak+my…仍是等比數(shù)列，公比為必2,m￡N*).

(3)若數(shù)列｛斯｝，｛為｝是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列,則數(shù)列｛而為｝,"?血)和｛版｝也是等比

數(shù)列3，p,qWO).

(4)等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S“，則S”S2n-Sn,S3,,一S2“仍成等比數(shù)列,其公比為4".(〃為

偶數(shù)且4=-1除外)

[ai>0,[ai<0,

⑸若jq>]或:o<q<]則等比數(shù)列｛?。f置

[0>0,[?1<0>

若或則等比數(shù)列｛0“｝遞減.

【常用結論】

1.等比數(shù)列｛斯｝的通項公式可以寫成斯=卬",這里cWO,q于0.

2.等比數(shù)列｛斯｝的前“項和S,可以寫成S“=4q"—A(4#0,q#l,0).

3.數(shù)列｛如｝是等比數(shù)列，S”是其前〃項和.

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(1)若?…S=/，則〃，號,會，…成等比數(shù)列.

⑵若數(shù)列｛知｝的項數(shù)為2〃，則金=0若項數(shù)為2〃+1,則差生=4,或盧一=4

3布3偶”3奇一斯

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)三個數(shù)a,b,C成等比數(shù)列的充要條件是〃=4C.(X)

⑵當公比4>1時，等比數(shù)列｛詼｝為遞增數(shù)列.(X)

(3)等比數(shù)列中所有偶數(shù)項的符號相同.(V)

(4)數(shù)列｛6｝為等比數(shù)列,則S4,58-54,S12—S8成等比等列.(X)

【教材改編題】

1.設a,b,c,d是非零實數(shù),則“〃=兒”是“a,b,c,4成等比數(shù)列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若a,b,c,d成等比數(shù)列，則ad=6c,

數(shù)列一1,一1,1,1.滿足一1X1=-1X1,但數(shù)列一1,一1,1,1不是等比數(shù)列，

即“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

2.設等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S,.若$2=3,54=15,則S6等于()

A.31B.32C.63D.64

答案C

解析根據(jù)題意知，等比數(shù)列｛〃”｝的公比不是一1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4—S2)2=SMS6-

S4),即122=3X(56-15),解得$6=63.

3.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13,積等于27,則這三個數(shù)為.

答案1,3,9或9,3,1

解析設這三個數(shù)為*a,aq,

〃+且+。4=13,〃=3,

解得(1。=3,

或'

｛吟aq=27,H一1q=3.

.,?這三個數(shù)為1,3,9或9,3,1.

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■探究核心題型

題型一等比數(shù)列基本量的運算

例1（1）（2022?全國乙卷）已知等比數(shù)列｛如｝的前3項和為168,6—的=42,則。6等于（）

A.14B.12C.6D.3

答案D

解析方法一設等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,易知qHL

[①+。2+仍=168,

由題意可得

[。2—45=42,

m（l+q+/）=168,卜尸96,

即/解得＜1

[aq（l—/）=42,卜=1

所以"6=44=3,故選D.

方法二設等比數(shù)列伍“｝的公比為q,

[53=168,

易知qWl.由題意可得，

02—45=42,

”=儂,iZi=96,

解得(1

即，

4=2，

4iq(l—r)=42,

所以06=。1爐=3,故選D.

⑵（2023?桂林模擬侏載墻（1536?1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，

他的著作《律學新說》中闡述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把

一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十

二等程律”.即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音的頻率是

最初那個音的2倍.設第二個音的頻率為力，第八個音的頻率為拉?貝哈等于（）

A.^/2B.-V2C.SD.4s

答案A

解析設第一個音的頻率為“，相鄰兩個音之間的頻率之比為q,那么斯=〃/門，

1

根據(jù)最后一個音的頻率是最初那個音的2倍，得03=2〃=的%即4=2日，

所以￡=詈=統(tǒng)=隹

思維升華等比數(shù)列基本量的運算的解題策略

⑴等比數(shù)列中有五個量a\,n,q,a?,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程（組）可迎刃

而解.

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(2)解方程組時常常利用“作商”消元法.

(3)運用等比數(shù)列的前〃項和公式時，一定要討論公比q=l的情形，否則會漏解或增解.

跟蹤訓練1(1)設正項等比數(shù)列｛如｝的前“項和為S”若S2=3,54=15,則公比q等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析VS2=3,54=15,

^i（l-172）

i1-q—3①

由題意,得《

11-4=1②

/=4,又q>0,..q=2.

⑵在1和2之間插入II個數(shù)使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的II個

數(shù)之和為插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為M則依此規(guī)則，下列說法錯誤的是()

A.插入的第8個數(shù)為的

B.插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的也倍

C.M>3

D.N<7

答案D

解析設該等比數(shù)列為｛斯｝,公比為q,

則“1=1,33=2,

故嚴="=2.

1a\

插入的第8個數(shù)為49=4|48=也，故A正確;

插入的第5個數(shù)為“6=0八插入的第1個數(shù)為42=。0所以^=喂=/=詆，故B正確;

?2（1-^"））（1—附）1

M=—；-----=

一q—電1-2^

要證M>3,即證一1——>3,

1-2萬

即證――>4,

2^-1

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5—

即證本>2口,

即證⑶2>2,

而On>?〉〉？成立，故C正確;

N=M+3.

所以申62-口,

所以一—>5,

2J

所以一1一-----r>4,即M>4,

1-2工

所以N=M+3>7,故D錯誤.

題型二等比數(shù)列的判定與證明

例2已知數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，記S,為｛斯｝的前"項和，從下面①②③中選取兩個作

為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛如｝是等比數(shù)列；②數(shù)歹U｛S“+0｝是等比數(shù)列；③z=2即

注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解選①②作為條件證明③：

設S"+a產(chǎn)Aq"r（AK0）,則5"=4/門一切，

當〃=1時，ai—S\—A—ai,所以A=2m；

當〃22時，斯=&-Si=4qL2（q-D，

因為｛““｝是等比數(shù)列，所以解得q=2,所以改=20.

選①③作為條件證明②：

因為4=2的，［〃｝是等比數(shù)列，所以公比4=2,

=

所以Sn-\0）=0（2"—1）,即+

因為汜抖=2,所以｛S“+G｝是等比數(shù)列.

品十〃1

選②③作為條件證明①：

設S,+ai=Aq"r（A#0）,則S“=A/r—0，

當”=1時，ai=Si=A—ai,所以A=2“i；

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=

當時，anSn—S1Li=Aq〃—1),

因為。2=2的，所以A(q—1)=4,解得4=2,

所以當時，4〃=S〃一S〃T=A/—20一1)=42〃-2=0.2廣|,

又因為7—=2(〃22),且。2=2〃],

a〃

所以｛〃"｝為等比數(shù)列.

思維升華等比數(shù)列的三種常用判定方法

(1)定義法：若如i=q(夕為非零常數(shù)，"CN*)或巫=以4為非零常數(shù)且〃22,”dN*),則｛斯｝

是等比數(shù)列.

(2)等比中項法:若數(shù)列｛為｝中，&W0且足+1=詼?斯+2(〃WN*),則｛%｝是等比數(shù)列.

(3)前〃項和公式法:若數(shù)列｛如｝的前〃項和S“=kq"-k(k為常數(shù)且上WO,q#O,l),則｛如｝是

等比數(shù)列.

跟蹤訓練2在數(shù)列｛〃“｝中，屆十]+2〃〃+i=斯&+2+。〃+即+2，且m=2,。2=5.

⑴證明:數(shù)列｛斯+1｝是等比數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛小｝的前〃項和S”.

⑴證明因為居+]+2。〃+1=ancin+2+?！?an+2，

所以伍葉1+1)2=3〃+l)(a”+2+1),

「斯+1+1斯-2+!

?！?1an+｝+V

因為的=2,。2=5,所以〃|+1=3,。2+1=6,

所以叫=2

<71+1

所以數(shù)列｛斯+1｝是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列.

⑵解由⑴知,斯+1=3?2〃」，所以斯=3?21-1,

所以二;')一“=3-2"一，L3.

題型三等比數(shù)列的性質(zhì)

例3(1)(2023?黃山模擬)在等比數(shù)列｛斯｝中，ai,a”是方程/-13x+9=0的兩根，則甯的

值為()

A.巾iB.3C.i\fl3D.±3

答案B

解析Vai,勿3是方程x2—13x+9=0的兩根，.??4]+。13=13,?！?。13=9,

03>°,〃「。13=〃2*〃12=山=9,

又數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同，可得。7=3,

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?〃2〃129

ai3

（2）已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前n項和為S〃且（8—254=6,則ag+so+mi+mz的最小值為

答案24

解析由題意可得S8—204=6,可得Sg—S4=S4+6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S4,S8fa2一比成等比數(shù)列,

2

則S4（512-S8）=（58-S4）,

綜上可得+〃12=S12—Sg=（4s_*=§4+*+12N24,

0404

當且僅當54=6時等號成立.綜上可得，“9+410+01+012的最小值為24.

思維升華（1）等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，

三是前"項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問

題的突破口.

⑵巧用性質(zhì)，減少運算量，在解題中非常重要.

跟蹤訓練3（1）（2023?六安模擬）在等比數(shù)列｛斯｝中，若ai+s=16,S+O4=24,則仍+制

等于（）

A.40B.36C.54D.81

答案C

解析在等比數(shù)列｛斯｝中，。1+〃2,的+。4,as+a6,。7+。8成等比數(shù)列，

\"at+a2=16,的+〃4=24,；.ai+痣=（的+"4）（：；機=24X篇=54.

（2）等比數(shù)列｛斯｝共有奇數(shù)個項，所有奇數(shù)項和5號=255,所有偶數(shù)項和5做=-126,末項是

192,則首項ai等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析Va?=192,

.Sg_____—126_-126

,,<?=5^-a?=255-192=63=-2,

又S~—S司+s偶,

ni—q

a\—192X(—2)

即-1/力—=255+(—126),

1—(—2)

解得0=3.

(3)在等比數(shù)列｛斯｝中，斯＞0,m+s+sH----1-48=4,。13??刈8=16,則;----的值

Cl\。2?8

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為()

A.2B.4C.8D.16

答案A

解析…。8=16,

**?a]〃8=a2a7=a3a6=a4a5=2,

年+%…+%《+J+6+J+(l+i)+(J+￡)

=2(^1+〃8)+￡(〃2+〃7)+^(43+干6)+￡(44+干5)

=￡(〃]+公+…+〃8)=2.

課時精練

過基礎保分練

1.（2023?岳陽模擬）已知等比數(shù)列｛〃〃｝滿足〃5—6=8,期一a4=24,則s等于（）

A.1B.-1C.3D.-3

答案A

解析設二的一。3=8,46—44=24,

]〃聞4—々聞2=8,

[〃同5—4q3=24,

1

a\=7：9i

解得j9??.43=4同2=§義32=1.

、q=3,

155

2.數(shù)列｛知｝中，m=2,am+n=aman,若像+i+a&+2H---Htu+io=2—2,則左等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析令加=1,則由而十〃=的〃,”得〃〃即:一=。1=2,所以數(shù)列｛〃“｝是首項為2,

公比為2的等比數(shù)列，所以a?=2n,所以或+1+公+2+…+a附1。=2*（的+痣+…+內(nèi)。）=

2A'X2X^*12）^2A+1X（210-1）^2I5-25^25X（2I0-1）,解得k=4.

3.若等比數(shù)列｛斯｝中的。5,。2019是方程列一4x+3=0的兩個根,則Iog30+log3〃2+log3a3

+…+log3〃2023等于（）

A.警^B.1011cA羅D.1012

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答案c

解析由題意得。5。2019=3,

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，

。以2023=42。2022=，，，=^1011^1013=。1012^1012=3,

于是0012=32,

則log3。1+10g3tZ2+10g3〃3H---H10g3〃2023

=10g3（4l〃2〃3…〃2023）

_izoion_2_023

一log3（3,3~）—2,

4.（2022?日照模擬）河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門

石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共

7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優(yōu)

美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構成一個數(shù)列｛斯｝,則10g2（a3Z5）的值為（）

A.16B.12C.10D.8

答案B

解析由題意，得｛為｝是以2為公比的等比數(shù)列，

67|（1—27）

.3=--']二2乂=1016,127al=1016,解得內(nèi)=8,

24

log2（43S）=log2（8X2X8X2）=12.

5.（多選）已知｛。“｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前“項和為S”，且｛S,｝是等差數(shù)列，則下

列結論正確的是（）

A.｛%+SJ是等差數(shù)列

B.｛為S｝是等比數(shù)列

C.｛屈｝是等差數(shù)列

D.拗是等比數(shù)列

答案ACD

解析由｛S〃｝是等差數(shù)列，可得2（0+〃2）=〃1+0+02+43,；?a2=a3,

;｛斯｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，.二〃2=〃24，可得4=1.1?斯=4]>0,

+S〃=（〃+1）0,???數(shù)列伍〃+S〃｝是等差數(shù)列，因此A正確；

屆=鬲，，｛忌｝是常數(shù)列,為等差數(shù)列，因此C正確；

中=0>0,.,.用是等比數(shù)列，因此D正確；

a〃S〃=〃詔，???｛〃〃&｝不是等比數(shù)列，因此B不正確.

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6.已知數(shù)列｛四｝是等比數(shù)列，若42=1，。5則ai。2+。2。34-------卜aa+1（〃WN*）的最小值

8'nn

為（）

8

A?B.1C.2D.3

答案c

解析由已知得數(shù)列｛如｝的公比滿足寸琮

解得q/，；.0=2,俏=；,故數(shù)列｛如%+|｝是首項為2,公比為翳蕓的等比數(shù)列，

乙乙aIc?2?

2［1-咖

，aQ+42a3H-------H。血+1=j

,-4

哥-枷+D,故選c

7.已知S“是等比數(shù)列｛〃〃｝的前n項和，且%>0,S+m=2,S3+a3=22,則公比q=,

S5+。5=?

答案3202

7

解析由題意得2c〃=2,???s=l.由“1+。q+2。1/=22,得夕=3或q=—2，???〃〃>（）,工4

7］義（］一多5）

=一彳不符合題意，故q=3,5s］一3+1X34—202.

8.已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，若數(shù)列｛3"—?。彩堑缺葦?shù)列，則數(shù)列｛斯｝的通項公式可以為

.（寫出一個即可）

答案斯=3"、（答案不唯一）

32

解析設等比數(shù)列｛"“｝的公比為q,令析=3"-a”,則仇=3—0,匕2=32—04,b3=3—al（］,

：｛6"）是等比數(shù)列，，從="加，即（32—aq）2=（3—0）（33—aq2）,可化為^2—6^+9=0,解

得q=3,取0=1,則斯=3"」（注：⑶的值可取任意非零實數(shù)）.

9.等比數(shù)列｛斯｝中，0=1,05—403.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）記&為｛斯｝的前〃項和,若S”=63,求機

解（1）設數(shù)列｛斯｝的公比為％由題設得

由已知得q4=4/，解得q=0（舍去），q=—2或q=2.

故斯=（一2）"「|或許=2"r（〃GN*）.

（2）若為=（—2）"-1,則S“=匕5?.

由S,“=63得（-2產(chǎn)=-188,此方程沒有正整數(shù)解.

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若a“=2"-i,則S.=2"—1.

由S“=63得2M=64,解得機=6.綜上，zn=6.

10.S.為等比數(shù)列｛%｝的前“項和,已知。4=9。2,53=13,且公比q>0.

(1)求斯及&；

(2)是否存在常數(shù)"使得數(shù)歹1」｛%+儲是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請說明

理由.

"aiq'=9aiq,

解(1)由題意可得＜“，二解得0=1,4=3,

1一3〃3〃一1

所以4=3"一|Sn=l-3=2-

(2)假設存在常數(shù)2,使得數(shù)列｛S.+7｝是等比數(shù)列.

因為Si+a=a+i,82+2=2+4,83+2=2+13,

S"+I+]

所以?+4)2=(/1+1)(/1+13),解得2=；,此時S〃+；=TX3〃,則------=3.

S,+]

故存在常數(shù)z=1,使得數(shù)列卜“+菩是等比數(shù)列.

%綜合提升練

11.(多選)在數(shù)列｛〃“｝中，“GN”,若a/2一%7;為常數(shù)),則稱｛呢｝為“等差比數(shù)列”，

an+\—an

下列關于“等差比數(shù)列”的判斷正確的是()

A.人不可能為0

B.等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”

C.等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”

D.”等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0

答案AD

解析對于A,左不可能為0,正確；

對于B,當如=1時，為等差數(shù)列，但不是“等差比數(shù)列"，錯誤；

對于C,當?shù)缺葦?shù)列的公比4=1時，%+1一m=0,分式無意義，所以｛斯｝不是“等差比數(shù)列”，

錯誤；

對于D,數(shù)列0,1,0,1,0,1,…，0」是“等差比數(shù)列”，且有無數(shù)項為0,正確.

12.記S”為等比數(shù)列｛斯｝的前”項和，已知0=8,加=一1,則數(shù)列｛%｝()

A.有最大項，有最小項

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B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項

D.無最大項，無最小項

答案A

解析根據(jù)題意，等比數(shù)列｛&｝中，出=8,出=-1,則/=券=-1,則q=T

若“為奇數(shù)，則S尸式1+列，此時有S|>S3>…>S">可；

若〃為偶數(shù)，則S,=紙1一出，此時有S2Vs4V…<5"<當，

故Si最大，S2最小.

13.設｛斯｝是公比為q的等比數(shù)列，\q\>\,令一=%+1(〃=1,2,…),若數(shù)列｛b｝有連續(xù)四項

在集合｛-53,—23,19,37,82｝中，則6q=.

答案一9

解析也｝有連續(xù)四項在｛-53,—23,19,37,82｝中，bn=a?+1,則%=6“T,｛斯｝有連續(xù)四

項在｛-54,-24,18,36,81｝中.又｛斯｝是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項則好0,且負數(shù)項為

相隔兩項，

等比數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值由小到大的順序排列上述數(shù)值：18,-24,36,

-54,81,

—24

相鄰兩項相除卞

很明顯，-24,36,—54,81是｛斯｝中連續(xù)的四項,

夕=—菠q=一|(|夕|>1,?,?此種情況應舍),

3.

?.q=一.?6g=9.

14.記S?為數(shù)列｛斯｝的前n項和，Sn=\—an,記著產(chǎn)卬俏+的。5T-----卜如-1儂+1，則an=

答案

1\Sn=\—a,n

解析由題思得。1=1—m,故。1=5.當〃時，由J得—m+斯-],則

乙S-1=1―斯-”

故數(shù)列｛%｝是以3為首項，聶公比的等比數(shù)列，故數(shù)列｛為｝的通項公式為斯=/由

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等比數(shù)列的性質(zhì)可得〃1。3=