清單02 直線的交點(diǎn)、距離公式與對稱、最值問題（8個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）

清單02直線的交點(diǎn)、距離公式與對稱、最值問題（8個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識清單】1、直線的交點(diǎn)求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．2、兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)，間的距離公式為．3、點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為．4、兩平行線間的距離直線與直線的距離為．5、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為6、點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．7、直線關(guān)于點(diǎn)對稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．8、直線關(guān)于直線對稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程9、常見的一些特殊的對稱點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：兩直線的交點(diǎn)問題例1．（2023·廣東東莞·高二東莞市東華高級中學(xué)校考期中）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，解方程組得，由題知，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A例2．（2023·海南·高二校聯(lián)考期中）已知直線：與直線：的交點(diǎn)在軸上，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直線方程中，令，得，即直線與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以：，即，所以直線的斜率為.故選：D.例3．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎本€方程為，直線方程為，則兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，解得，因此，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.例4．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知，是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況，下列說法正確的是（

）A．無論，，如何，總是無解B．無論，，如何，總有唯一解C．存在，，，使是方程組的一組解D．存在，，，使之有無窮多解【答案】B【解析】直線的斜率存在，∴，由題意，則，故：與：相交，∴方程組總有唯一解，A，D錯誤，B正確；若是方程組的一組解，則，則點(diǎn)，在直線，即上，但已知這兩個點(diǎn)在直線上，而這兩條直線不是同一條直線，∴不可能是方程組的一組解，C錯誤.故選：B.例5．（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┲本€與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，解得，則交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D例6．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）已知直線，直線與直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】由解得，即.由整理得，由解得，所以直線過定點(diǎn)，，，則當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，.故選：A例7．（2023·北京朝陽·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線l：與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立得，所以，解得，所以直線的傾斜角的范圍為.故選：B.考點(diǎn)2：兩點(diǎn)的距離例8．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，則兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，，解得，故，則兩點(diǎn)間的距離為.故選：C例9．（2023·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)校考期中）設(shè)，過定點(diǎn)A的直線和過定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)P．線段AB中點(diǎn)為Q，則的值為（

）A． B． C． D．與m的取值有關(guān)【答案】A【解析】由于經(jīng)過的定點(diǎn)為，所以，直線變形為，所以經(jīng)過定點(diǎn)，故，且兩直線垂直，因此為直角三角形，所以，故選：A例10．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三頂點(diǎn)為、、，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，，，∴，即，∴是直角三角形.故選：B.例11．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知三點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由兩點(diǎn)間的距離公式，及可得：，解得.故選：A例12．（2023·河北衡水·高二?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)與之間的距離是5，則y=（

）A． B． C．或 D．12【答案】C【解析】由題意，即，解得或．故選：C．例13．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知，，若，到直線的距離都等于，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】當(dāng)位于直線同側(cè)時(shí)，只有時(shí)，且兩平行線之間的距離為時(shí)，滿足條件，這樣的直線有2條；又，所以位于直線兩側(cè)時(shí)，只有當(dāng)直線恰為直線的中垂線時(shí)，滿足條件，此時(shí)的直線有1條.綜上所述，滿足條件的直線共有3條.故選：C．考點(diǎn)3：點(diǎn)到直線的距離例14．（2023·海南·高二校聯(lián)考期中）已知，，，設(shè)中邊上的高所在的直線為，則點(diǎn)到的距離為．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以的方程為，即為，所以到的距離為，故答案為：.例15．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知直線的方程為，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.【答案】/【解析】將直線化為一般方程可得，由點(diǎn)到直線距離公式可得坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：例16．（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谥校┮阎?，，若的面積不超過2，則的取值范圍是.【答案】或【解析】直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，舍.直線的斜率存在時(shí)，，整理得到：.故到直線的距離為，又，故，所以即，因?yàn)闃?gòu)成三角形，故，所或，故答案為：或.例17．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）若恰有兩組的實(shí)數(shù)對滿足關(guān)系式，則符合題意的的值為.【答案】/【解析】可以看成點(diǎn)到直線：的距離，可以看成點(diǎn)到直線：的距離，由已知可得，，：不過原點(diǎn)，又由恰有兩組的實(shí)數(shù)對滿足關(guān)系式，所以可以看成有且僅有兩條直線滿足，直線方程：，所以滿足題意的直線：第一條是線段的垂直平分線，當(dāng)：是的垂直平分線時(shí)，因?yàn)椋?，符合題意；第二條只能取自與直線平行的兩條直線中的一條，且此時(shí)另一條直線過原點(diǎn)，此時(shí)第二條直線的方程為，所以此時(shí)，即，符合題意；所以.故答案為：.例18．（2023·湖北·高二湖北省羅田縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若非零實(shí)數(shù)對滿足關(guān)系式，則．【答案】或【解析】由，可得，可以看成點(diǎn)到直線的距離，可以看成點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)椋?因?yàn)?，，所以?dāng)點(diǎn)，在直線同側(cè)時(shí)，直線與直線平行，當(dāng)點(diǎn)，在直線異側(cè)時(shí)，，關(guān)于直線對稱，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率為，所以或，所以或.故答案為：或.例19．（2023·北京順義·高二牛欄山一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)到直線的距離為2，則．【答案】【解析】由題意可得，故答案為：例20．（2023·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期中）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程為.【答案】或【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)直線時(shí)，顯然點(diǎn)，到直線的距離相等，如下圖：則此時(shí)，由，且直線過，則直線的方程為，整理可得；當(dāng)直線與直線相交時(shí)，作于，于，如下圖：若，由，，則，可得，即為的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，此時(shí)直線的斜率，直線的方程為，整理可得.故答案為：或.例21．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中）已知，兩點(diǎn)到直線l：的距離相等，則．【答案】1或【解析】由題意得，即，所以或，解得或．故答案為：1或.考點(diǎn)4：兩平行直線的距離例22．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期中）已知兩條平行直線：，：間的距離為，則．【答案】或16【解析】因?yàn)椋?，解得，則：，可化直線為，所以與的距離為，解得或則或．例23．（2023·廣東江門·高二臺山市第一中學(xué)?？计谥校┲本€平行于直線，則這兩條直線的距離等于．【答案】/【解析】因?yàn)橹本€平行于直線，所以，得，所以直線化為，由，得，所以兩平行線間的距離為，故答案為：例24．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）若直線與直線平行，則與之間的距離為．【答案】【解析】據(jù)兩直線平行，可得，解得，所以兩直線的方程，，整理得，根據(jù)平行線間的距離公式可得，兩平行線間的距離．故答案為：例25．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）直線與之間的距離相等，則直線的方程是.【答案】【解析】顯然直線平行，所以要求的直線也與平行，設(shè)直線的方程為，則由平行線間的距離公式得，解得，所以直線的方程為.故答案為：.例26．（2023·北京朝陽·高二?？计谥校┑街本€的距離等于的直線方程為.【答案】或【解析】設(shè)所求直線方程為，由，得或,所以所求的直線方程為或，故答案為：或例27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）與直線平行且與它的距離為的直線的方程為．【答案】或【解析】設(shè)所求直線方程為，則，解得或，故答案為：或考點(diǎn)5：點(diǎn)線對稱例28．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：例29．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高二校聯(lián)考期中）已知直線與直線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)A，所以聯(lián)立，解得，即.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故，解得，即點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：.例30．（2023·四川眉山·高二仁壽一中校考期中）點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為【答案】【解析】設(shè)對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得，解得；所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：例31．（2023·吉林長春·高二長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】由直線方程，則其斜率，與直線垂直的直線斜率，設(shè)直線過，可得其直線方程，整理可得，聯(lián)立可得，解得，交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)關(guān)于直線對稱點(diǎn)坐標(biāo)，則，解得，所以關(guān)于直線對稱點(diǎn)坐標(biāo).故答案為：.例32．（2023·重慶·高二重慶市育才中學(xué)?？计谥校┮阎肷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)被軸反射后，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為.【答案】【解析】由題意利用反射定律可得，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，故反射光線所在直線的方程為，化簡可得.故答案為：．例33．（2023·北京·高二北京市第三十五中學(xué)?？计谥校c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：考點(diǎn)6：線點(diǎn)對稱例34．（2023·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考期中）直線l：關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椴辉谥本€l：上，所以可設(shè)直線l：關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為，則，解得或（舍去），故所求直線方程為：.故選：A例35．（2023·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習(xí)）不論實(shí)數(shù)取何值時(shí)，直線都過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得：，令，解得：，所以，設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線方程為：，則到直線與的距離相等，所以，解得：，即（舍去）或.故直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線方程為：.故選：D.例36．（2023·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【解析】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于對稱點(diǎn)為，又因?yàn)樵谏希?，即。故選：B例37．（2023·高二單元測試）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為2x＋3y＋12＝0．故選：B．例38．（2023·高二單元測試）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.例39．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)P（2，3）對稱的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹完P(guān)于點(diǎn)對稱，則兩直線平行，可設(shè)方程為（），點(diǎn)P到兩直線的距離相等，則，解得或3（舍去），所以直線的方程是.故選：A.考點(diǎn)7：線線對稱例40．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若動點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點(diǎn)到直線l的距離即得解.依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得M到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選：A.例41．（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校┲本€關(guān)于x軸對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】直線的斜率為2，與x軸交于點(diǎn)，則與關(guān)于x軸對稱的直線斜率為，并過點(diǎn)，所以，所求方程為，即.故選：D例42．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谥校┰O(shè)直線，直線，則關(guān)于對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，解得，∵點(diǎn)在直線上，即，∴，化簡得，即為所求直線方程.故選：B.例43．（2023·廣東深圳·高二深圳市高級中學(xué)?？计谥校┡c直線關(guān)于軸對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在所求直線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線上，故所求直線方程為，即.故選：A.例44．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A例45．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？计谥校┡c直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】將直線的換為，就可以得出直線關(guān)于軸對稱的直線方程為：.故選：C.考點(diǎn)8：兩線段和與差的最值問題例46．（2023·山東·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解析：設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以，解得:，所以：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值：，所以：的最小值等于.故D項(xiàng)正確.故選：D.例47．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楸硎局本€上一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以，解得，即，所以，即的最小值為.故選：C.例48．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C．108 D．117【答案】A【解析】∵∴該式表示直線l：上一點(diǎn)到，兩點(diǎn)距離之和的最小值．易知P，Q兩點(diǎn)在l的同一側(cè)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于l對稱的點(diǎn)，則，解得，∴，故．故選：A.例49．（2023·北京·高二大峪中學(xué)?？计谥校┤簦謩e為與上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得兩條直線相互平行，的最小值是平行線之間的距離，直線可變形為則的最小值為．故選：C例50．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】表示直線上一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和，如圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以對稱點(diǎn)為，則由圖知：的最小值為，故選：D例51．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線：恒過點(diǎn)A，已知，動點(diǎn)P在直線：上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由化簡得，所以，如下圖所示：由圖形可知，點(diǎn)A、B在直線的同側(cè)，且直線的斜率為1，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，解得，，即點(diǎn)，由對稱性可知，故選：D例52．（2023·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】就是到原點(diǎn)距離，到原點(diǎn)距離的最小值為則的最小值為2，故選：B.例53．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【解析】直線可得，直線可整理為，令，解得，所以，因?yàn)椋灾本€與直線垂直，則，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：.例54．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事修．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最大值為．【答案】【解析】，可轉(zhuǎn)化成x軸上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差.，所以的最大值為.故答案為：例55．（2023·廣東廣州·高二廣東廣雅中學(xué)?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)滿足，則的最大值是．【答案】【解析】表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以的最大值為.故答案為：.【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，邊上中線所在的直線方程為，則高的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得.（1）由題意知：點(diǎn)在直線上，則可設(shè)，則中點(diǎn)為在直線上，可得，解得：，即，因?yàn)?，可設(shè)直線方程為：，代入可得：，解得，即直線方程為：，聯(lián)立方程，解得，即，所以直線的方程為：，即；（2）當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，則直線斜率，所以直線方程為，即；當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，即；綜上所述：直線方程為或.18．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知在中，點(diǎn)，角的角平分線為邊上的中線所在直線為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求邊所在直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）將中點(diǎn)