陜西省西安市部分學(xué)校2024屆高三年級(jí)上冊(cè)普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（含答案）

陜西省西安市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期普通高等學(xué)校招

生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{x|-l<x<l}D.0

2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，meR）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，那么閆=（）

3.向量a,b滿(mǎn)足忖=4,|可=1,（2a-3b>6=3,則向量〃，6夾角的余弦值為（）

2332

A.—B.-C.—D.—

3443

4.雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)片，B在X軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C的一條漸近線(xiàn)方程為y=

一2

則其離心率為（）

A.-B.0C.逝D.2

22

5.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,8,該梭臺(tái)的表面積為148,則側(cè)棱長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

6.己知等差數(shù)列{%}中，/是函數(shù)/（尤）=5川2苫-2）的極大值點(diǎn)，則tan3+%）的值

為（）

A.B.73C.土拒D.—>/3

3

2x-y>2,

7.設(shè)集合4=<（尤,可尤-4”2,>〉,則（

ax+y>4J

A.VaeR,（2,l）eAB.VaeR,（2,l）gA

3

C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2,1）eAD.當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)，（2,1）e4

2

8.如圖是某兩位體育愛(ài)好者的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)測(cè)評(píng)圖,其中每項(xiàng)能力分為三個(gè)等級(jí)，“一般”

記為4分，“較強(qiáng)”記為5分，“很強(qiáng)”記為6分，把分值稱(chēng)為能力指標(biāo)，則下列判斷不正

確的是（）

A.甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的平均值相同

B.甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的方差相同

C.如果從長(zhǎng)跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)

D.如果從足球、長(zhǎng)跑、籃球考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)

9.函數(shù)f（x）=2sin"-；）,9（5==（閨，則當(dāng)°取最小正值時(shí)，9（兀）=（）

A.-0B.6c.-72D.忘

...Vio則sin(2A-?]=()

10.在ABC中，sinA—cosA=-----,1

5I4j

2忘R3A/2D.迤

A.D.--------

"I-2510

11.分別以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為

（）

A.4B.3C.2D.V3

12.方程加一'=*+1有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍為（）

A.[!,o[B.1一1,臼C.1河D.（一川

二、填空題

13.函數(shù)/(x)=UN

14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出結(jié)果是s=3,貝心=

x+11的展開(kāi)式中》的系數(shù)為

15.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

2021]

16.數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足：@a?eN；②,“-必最小.則生=___,￡—=_____.

??n=l冊(cè)

三、解答題

17.在平面四邊形ABCD中，ZCBZ>=30°,ZR4D=60°,BC=4,BD=2q.

(1)若=求，ACD的面積.

(2)求AC的最大值.

18.如圖，三棱柱ABC-ABIG中，BC±AC,A.BLAQ,AC=凡=23。，點(diǎn)p滿(mǎn)

足AP=/L4C(0<A<l).

(1)求證：平面AACG，平面ABC.

⑵若ZA.AC=60。，是否存在力,使二面角B-A.P-C的平面角的余弦值為心?若存在，

4

求出2的值；若不存在，說(shuō)明理由.

19.橢圓C:；+[=l(a>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,離心率為石，R為橢圓C

上任意一點(diǎn)，R不在*軸上，鳥(niǎo)的面積的最大值為VL

⑴求橢圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)尸(1，T)的直線(xiàn)/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)5(0,1),求證：直線(xiàn)BM,BN

的斜率之和kBM+kBN為定值，并求出定值.

20.小梅參加甲、乙兩項(xiàng)測(cè)試，每次測(cè)試結(jié)果只有3種，分別是優(yōu)秀、良好、合格，結(jié)

果為優(yōu)秀得3分、良好得1分、合格得0分，小梅參加甲項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為g,

良好的概率為：，參加乙項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為《，良好的概率為兩項(xiàng)測(cè)試互

不影響，兩項(xiàng)測(cè)試結(jié)束后，小梅得分之和為獲

(1)求小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格的概率；

(2)求J的分布列與數(shù)學(xué)期望.

21.已知函數(shù)°(x)=e2x-2儲(chǔ)x,其中;130,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，以2.71828…

⑴求函數(shù)夕（X）的極值；

（2）當(dāng)X>e時(shí)，證明：函數(shù)0（x）有兩個(gè)零點(diǎn)4，x,（占<%）,且9-%>ln—.

e

1

x=-t

2

22.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)/的參數(shù)方程為廣。為參數(shù)），以坐標(biāo)

y=-t

I2

原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)。的極坐標(biāo)方程為

02+20sine-3=O,點(diǎn)P的極坐標(biāo)是（4,3.

（1）求直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)尸到直線(xiàn)/的距離；

（2）若直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn)，求一R45的面積.

23.設(shè)a,b,。為正實(shí)數(shù),且a+Z?+c=l.

（1）證明：ab+bc+ca<^.

（2）證明：（片+/+片）（/上+上

-cc+aa+b)2

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)一元二次不等式以及分式不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，即可由交運(yùn)算求解.

【詳解】由“={尤€7尤2+》一24。}得

M={xeZ|%2+x-2<0}={xeZ|-2<x<l}={-2,-l,0,l),

由N=[xy=-^==pfN=[x\x>-1},

所以McN={01},

故選：B

2.C

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，實(shí)部為零列方程，即可求解.

2+mi(2+mi)(l-3i)(2+3m)+(m-6)i(2+3m)(m-6).

【角星1z=-==Ii,

吠圻l+3i(l+3i)(l-3i)101010

2

因其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則2+3〃?=0,得加=-§,

則2=-手，則忖六.

故選：C

3.B

【分析】由同=4,忖=1,且(2d-36)為=2,從而可求解.

【詳解】由題意知同=4,忖=1,

又因?yàn)?2a-3b)/=2a-b-3b2=2|a||/>|cos^,/?^-3|z?|=3,

解之得：cos(a,b)=),故B項(xiàng)正確.

故選：B.

4.C

【分析】由雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在無(wú)軸上，且一條漸近線(xiàn)方程為y=^x,即2=1,從而可求解.

2a2

22

【詳解】由題意得雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在X軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可設(shè)雙曲線(xiàn)C：-—當(dāng)=1S，6>0),

ab

因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=^x,所以：2

2a2

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

故選：c.

5.C

【分析】先求得側(cè)面的高，進(jìn)而求得側(cè)棱長(zhǎng).

【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)側(cè)面的高為〃，則22+8'+笠64=148,1,

所以側(cè)棱長(zhǎng)為14=5.

故選：C

Dia

6.D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得。8,然后由等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式可得.

【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)2x-：=—+2E,即％=G+E,A￡Z時(shí),

623

函數(shù)/(x)=Sin"力取得極大值，

兀

所以為=§+E,kGZ,

2兀

由等差數(shù)列性質(zhì)可知,生+%=2%=可+2版,keZ,

PJj,以tan(。5+a”)=tan―F2ATI)=tan=tan(TT——=_tan—=一^\/3,

故選：D

7.D

【分析】利用取值判斷。，再反判斷點(diǎn)是否在集合中.

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

33

【詳解】若(2,De4,代入集合可得2—。＜2=。20,2。+1＞4=＞。＞—,所以—,故AB

22

錯(cuò)誤；

3

所以由原命題的逆否命題同真同假可知，當(dāng)且僅當(dāng)9時(shí)，(2,1)任4,故C錯(cuò)，D正確；

2

故選：D

8.D

【分析】由運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)測(cè)評(píng)圖可以求得平均值以及方差，通過(guò)識(shí)圖可判斷甲乙運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)的高低.

【詳解】由圖可知：甲的平均值為6+4+；+4+5=4.8,

乙的平均值為6+5+；+5+4=4.8,人正確；

甲的方差為s；=1J-4.8)2+(4-4.8)2+(5-4.8)2+(4-4.8)2+(5-4.8)2=0.56,

乙的方差為s；4.8)2+(5-4.8)2+(4-4.8)2+(5-4.8)2+(4-4.8)2=0.56,

B正確；

從長(zhǎng)跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲三方面的分值和為5+4+5=14,乙三方面的分值和為4+5+4=13,

乙小于甲，C正確；

從足球、長(zhǎng)跑、籃球考慮，甲三方面的分值和為6+5+4=15,乙三方面的分值和為

6+4+5=15,乙與甲相同，D錯(cuò)誤.

故選：D

9.B

【分析】由題“41ax=可求出0,進(jìn)而求得答案.

匚0、1?（71兀）1目口兀兀兀

【詳解】因?yàn)?(》)1mx=/所以SHI—CD——=1,即一G——=—+2Z：7l,上eZ,

（63）632

化簡(jiǎn)得G=5+12左，左eZ,所以①的最小正值為5,此時(shí)=2sin15x-1

/（7t）=2sin|5K--|=2sin—=.

故選：B.

10.D

【分析】由已知可得sin2A=1、sinAcosA=,結(jié)合cosA=sinA-也。求得sinA二萬(wàn)京,

5105V10

4

二倍角公式求得cos2A=-1,最后應(yīng)用差角正弦公式求結(jié)果.

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

2

【詳解】由(sinA-cosA)?=sin2A-2sinAcosA+cos2A=1-2sinAcos^=~，

所以sinAcosA=吃,而cosA=sin,則10sin2A-2A/10sinA-3=0,

3

所以G/I^sinA—3)(\/i^sinA+l)=0,又sinA>0,sinA=—j=,

A/10

3c94

由上sin2A=—,cos2A=l-2sin2A=l-2x一=——,

5105

.兀［應(yīng)/.c八_7四

sin2A.—|=—(sin2A—cos2A)=------.

I4j210

故選：D

11.B

【分析】由題意知，外接球與內(nèi)切球的表面積之比等于半徑的平方之比，所以需要求外接球

與內(nèi)切球的半徑，外接球的半徑為正方體棱長(zhǎng)的一半，運(yùn)用等體積法可求內(nèi)切球半徑，然后

求表面積之比即可.

【詳解】如圖所示，

不妨設(shè)正方體ABC。-4月。|"的棱長(zhǎng)為20，各個(gè)面的中心分別是/,J,K,L,M,

N,

正方體ABCD-AAG。的中心為0,

分別以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為IJKLMN,是由正四棱錐N-JKLM和

組成，

因?yàn)镸=20,所以外接球半徑R=0,內(nèi)切球半徑「等于。到面KW的距離，

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

如圖，連接4月，ADX,B、D\,所以?xún)z是2ABi的中位線(xiàn)，

由正方體的棱長(zhǎng)為2應(yīng)，所以O(shè)Z=OK=夜，44=4,所以&V=；ABj=2,

同理儂=KL=ZN=2,

在三棱錐O-KLN中VN一OKL~%-KLN，

由等體積法知：g倉(cāng)*應(yīng)創(chuàng)￡應(yīng)=g倉(cāng)42倉(cāng)必爭(zhēng)廠，

解得：r=，

3

所以外接球與內(nèi)切球的表面積之比為與=3.

r

故選：B

12.C

【分析】變形為a=(x+l)e*有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造g(x)=(x+l)e［求導(dǎo)，得到單調(diào)性

和極值情況，又當(dāng)x>-l時(shí)，g(x)>0恒成立，當(dāng)x<-l時(shí)，g(x)<0恒成立，從而得到答

案.

【詳解】由題意得。=(x+l)e2有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，

令g(x)=(x+l)e*,定義域?yàn)镽,

g")=(x+2)e=當(dāng)彳>-2時(shí)，g,x)>0,g(x)=(x+l戶(hù)單調(diào)遞增,

當(dāng)x<-2時(shí)，g,(x)<0,g(x)=(x+l)e”單調(diào)遞減，

故g(x)=(x+1)e*在x=-2時(shí)取得極小值，也是最小值，

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

故g(-2)=(-2+1”2=一，，

又當(dāng)x>-l時(shí)，g(x)>0恒成立,當(dāng)x<-l時(shí),g(x)<0恒成立，

故要想a=(x+l)e*有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則

故選：C

13.號(hào)

9

【分析】先計(jì)算出了=-2,然后再求解/(-2)從而求解.

【詳解】由題意得/1)=1鳴:=-2,

所以小0=〃一2)=1一3-2=；.

Q

故答案為：—.

14.12

【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S,〃的值，當(dāng)〃=4時(shí)應(yīng)該不滿(mǎn)足條

件〃<4,輸出$的值為3,從而可得輸入框中的左的值.

【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖，可得

n=l,s=k

kk

滿(mǎn)足條件〃<4,則〃=2,s=k--=—

22

k

滿(mǎn)足條件〃<4,則〃=3,k?k

s———=—

233

k

滿(mǎn)足條件〃<4,貝lj〃=4,k飛k

s=------=一

344

k

不滿(mǎn)足條件”4,貝愉出s=?=3

4

所以左二12.

故答案為：12.

15.-35

【分析】由條件利用二項(xiàng)式定理，分類(lèi)討論求得［x+1］的展開(kāi)式中X項(xiàng)的系數(shù).

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】3-梳+”表示5個(gè)因式工-5+1的乘積，

在這5個(gè)因式中，有1個(gè)因式選x,其余4個(gè)因式選1,相乘可得含x的項(xiàng);

或者有3個(gè)因式選九，1個(gè)因式選-彳，1個(gè)因式選1,相乘可得含1的項(xiàng)；

故）項(xiàng)的系數(shù)為:C；xC：+C；xC；x（—2）xC；=—35.

故答案為：-35.

【分析】根據(jù)L2與e的差值大小判斷出出的值；根據(jù)條件先分析出4=左（左￡N）時(shí)〃的個(gè)

數(shù)表達(dá)式，然后再求和求解出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?41,2],4=N,

若〃2=°,貝1J,2-四=O，

若。2=1，則,2-3|=忘一1，則血〉3-1，

若。2=2,貝川%-血|=2-3,且2-0>0-1，

若出23,貝|23—A/^>2—,

綜上可知，〃2=1；

不妨設(shè)"”=KkeN時(shí)，,“一時(shí)取最小值，

k-1-Vnl>k-Vnl

則一定有二」，化簡(jiǎn)可得,

卜+1_1川〉心一叫

所以％-4<G<k+—,

22

所以左2一左十:<:,所以左2—左+1工〃4左

44

所以滿(mǎn)足=左的〃有左2+左—（左2—左+1）+1=2左個(gè)，

又因?yàn)?52-45+142021<452+45,即198”2021<2070,

所以滿(mǎn)足為=45的〃有2021-1981+1=41個(gè)，

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

+…+巴竺=2x44++也

44454545

4001

故答案為：1;

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在數(shù)列背景下考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，著重考查學(xué)生的分

析轉(zhuǎn)化能力，難度較大.解答本題的關(guān)鍵在于：通過(guò)差的絕對(duì)值取最小值，分析出左時(shí)〃

關(guān)于上的表達(dá)式.

17.⑴G

⑵2+2百

【分析】(1)由題意計(jì)算出8、AQ及NADC,借助面積公式即可得；

(2)借助△A3。中80定長(zhǎng)，1540定角，則△A3。外接圓圓心到A點(diǎn)的距離為定值，再

計(jì)算出圓心到點(diǎn)C的距離，由三角形三邊關(guān)系即可得.

■C

D：\

【詳解】(1)I

*?

產(chǎn)

由NCB￡>=30。，BC=4,BD=2^/3,

則CD2=BD2+CD2-2BD-CDcosNCBD=4,

即C￡>=2,有CO?+BO?=CD?,故N8￡>C=90。，

由AD=AB,ZBAD=60°,則△AB。為正三角形，

即有AO=A8=8Z)=26，ZADC=90°+60°=150°,

則sArn=-AD^DsinADC='倉(cāng)必62?-百；

222

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

由20=2VLZBAE>=60°,

作出△AB。外接圓，令圓心為0,

則△ABD外接圓半徑R」BD=2

2sinZBAD

即有04=05=2,Z.DOB=2ABAD=120°,

1QAO_120。

則ZDBO=-----------=30°,則ZCBO=30°+30°=60°,

即有CO2=BC2+BO2-2BC-BOcosNCBO=12,

即CO=2。

則AC4AO+OC=2+27^,當(dāng)且僅當(dāng)A、0、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立,

即AC的最大值為2+2班.

18.(1)證明見(jiàn)解析.

3

(2)存在，A=-.

【分析】(1)先根據(jù)題意，得四邊形AACG為菱形，ACLAG；再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定

理和性質(zhì)定理，得3cl平面AACG；最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得平面AACG，

平面ABC

(2)先建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)和向量的坐標(biāo)；再求出平面B4尸與平面A/C的法向

量；最后根據(jù)面面所成角的向量計(jì)算方法即可求解.

【詳解】(1)連接4c.

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

%

在三棱柱ABC-A瓦G中，AC=AAl,

四邊形AACG為菱形，

A^C±AC1.

_LAC】，ABcAC=ArA]Bu平面A]BC,4cu平面A^BC,

AG，平面ABC.

又BCu平面ABC,

Aq±BC.

又「BCA.AC,ACnACt=A,ACu平面AACG，AC】u平面AACC1，

3cl平面AACG.

又,，BCu平面ABC,

二.平面AACCJ平面ABC.

(2)假設(shè)存在2,使二面角8-4/-C的平面角的余弦值為1,此時(shí)彳=：.

44

在平面AACG內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作CD，AC交AG于點(diǎn)。.

?平面AACC]J_平面ABC,平面aACC]c平面ABC=AC,CDu平面AACC1

CDmABC.

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB、8所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所不：

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

加

設(shè)AC=M=2BC=2a.

AC=60°,

CD=^3a.

則C（0,0,0）,A（2a,0,0）,B（0,a,0）,A（a,0,ga）.

所以AC=（-2a,0,0）,BA=（2a,-a,0）,BA,=（a,-a,^a）.

?點(diǎn)尸滿(mǎn)足AP=XA?（OO<W1）

AP=2AC=（-2a2,0,0）,

則BP=BA+AP=（~2aA+2a,-a,0）.

設(shè)平面B\P的法向量為〃=(x,y,z),

小網(wǎng)=0ax—ay+<3az=0

則即、令％=1得〃=1,2-22,

nBP=0［（-2Q4+2a）x-ay=0

5cl平面AACG.

平面APC的一個(gè)法向量為BC=(0,-a,0).

二面角B-AP-C的平面角的余弦值為手.

34

解得：『或人了

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

故當(dāng)2=1時(shí)，二面角B-AP-c的平面角的余弦值為W.

44

丫2

19.（1）—+/=1

4

⑵定值，—2

【分析】（1）根據(jù)題意列出方程即可;

（2）設(shè)出/直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓方程，列出表達(dá)式利用韋達(dá)定理計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為正，所以￡=走，

2a2

設(shè)R到片8的距離為d,因?yàn)閃名|=2c,

R叱2=f耳&S=cd，易得當(dāng)d=6時(shí)面積取得最大值,

所以S

所以％0=豆，因?yàn)椤?="-/,

所以/=4,〃=i,所以橢圓C的方程為工+丁=1；

4'

（2）證明：如圖，易知點(diǎn)尸在橢圓外,

M(%，x),N5,%),

二+2-1

:2222

由，4,(m+4)y+(2m+2m)y+m+2m—3=0,

x=my+m+l

2m2+2mm2+2m-3

所以A>0,%+%=—^r，

m+4m+4

所以戲M=9,k,二.2T

因?yàn)?(0,1),

百'BN

_%T「2-1」2(X—D+%(%T)

所以^BM+^BN-i-

x{x2

所以

(my2+m+l)(y1—1)+(加必+m+l)(y2-1)2myy+y+y-2m—2

^BM+^BN={212

機(jī)2yly2+(加,22+m

(mjj+m+l)(my2+m+l))(%+%)+/+2m+1

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

2m(m+3)(m—1)2m2+2m

ei?r，k+k_療+4一療+4____2(_8%―4)廠

所以.的,”2(祖+3)(*1)2皿"+1乂/+時(shí)一8祖+4一?

)rI772II1

m+4m+4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第(2)問(wèn)的化簡(jiǎn)，這里化簡(jiǎn)主要是利用了韋達(dá)定理和直線(xiàn)的

方程，在化簡(jiǎn)過(guò)程中同時(shí)涉及到通分，計(jì)算比較復(fù)雜，要認(rèn)真計(jì)算.

20.(1)—

10

⑵分布列見(jiàn)解析，萬(wàn)信)=941

【分析】(1)小梅恰有一次為合格這個(gè)事件可拆分為四個(gè)互斥事件的和：甲項(xiàng)合格乙項(xiàng)優(yōu)秀，

甲項(xiàng)合格乙項(xiàng)良好，甲項(xiàng)優(yōu)秀乙項(xiàng)合格，甲項(xiàng)良好乙項(xiàng)合格，由互斥事件和獨(dú)立事件的概率

公式可得；

(2)J的所有取值為0,1,2,3,4,6,分別求得其概率及其分布列，再由期望公式計(jì)算出期望.

【詳解】(1)記4為事件“小梅參加甲項(xiàng)測(cè)試的得分為i分”(i=0,1,3),

則尸(&)=：,m)=p*4)=1—=%

記8,為事件“小梅參加乙項(xiàng)測(cè)試的得分為i分”。=0,1,3)

131Q1

則尸(鳥(niǎo))=,尸(4)=二，P(綜)=1-二丁不

記D為事件“小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格”，

由題意，D=A4)+A4)+44+4員，

由事件的獨(dú)立性和互斥性，

p(D)=p(A叫+A穌+4與+4片)=P(4風(fēng))+WA用)+*4旦)+網(wǎng)4星)

=P(A)P聞+P(A)P闖+P(4)P⑸+P(4)P(片)

111113113

=—X—H-—X--1——X1——X—=——

2535656510

3

所以小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格的概率為歷；

(2)由題意，隨機(jī)變量占可能的取值為0,1,2,3,4,6,

由事件的獨(dú)立性與互斥性，得：

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

產(chǎn)（。=°）=尸（4穌）="=:，

尸信=1）=尸（4穌+46）=尸（A2o）+P（42j=gxg+gxg=g,

131

P（^=2）=P（4B1）=-x-=-）

%=4）=.4+的）=「也與）+"例）=照+吳=焉

乙JJJJU

P（^=6）=P（A,B3）=|X1=^.

可得隨機(jī)變量4的分布列為:

012346

1112111

P

3065153010

所以數(shù)學(xué)期望￡（9=0義±+卜！+2':+3'4+4、9+6X4=2

5UOJ1JJU1U3U

21.(1)答案見(jiàn)解析:

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)分類(lèi)討論彳的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得極值；

(2)根據(jù)函數(shù)°(x)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)0(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)2>e

時(shí)以旦面二例卜㈤<0,構(gòu)造函數(shù)g(㈤=分-41114且2>e,利用導(dǎo)數(shù)證明g(4)>g(e)>0,

即得到O(x)在(In42In2)上有一個(gè)零點(diǎn),進(jìn)而證明不等式.

【詳解】⑴由題設(shè)］(尤)=2七2工一/)=2(2+刃(1一為,

當(dāng)力>0,令。(尤)=0=>x=In彳，

x>ln九時(shí)夕'(尤)>0,則。(無(wú))單調(diào)遞增；

x<1112時(shí)0'0)<。則。(%)單調(diào)遞減；

此時(shí)x=In2時(shí)，叭X)有極小值？(lnZ)=e21n"-2A2ln2=22(l-21n2)；

當(dāng);l<0,令e'(x)=0n尤=ln(-4),

x>ln(-2)時(shí)<p(x)>0,則0(x)單調(diào)遞增；

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

x<ln(-2)時(shí)，(x)<0,則?(無(wú))單調(diào)遞減;

此時(shí)x=ln(-2)時(shí),(p(x)有極小值例皿-㈤]=e21n(-2)-222ln(-2)=22[1-2ln(-A)]；

綜上，冬>0時(shí)夕(無(wú))有極小值力(1—21n4),無(wú)極大值；

2<0時(shí)9⑴有極小值萬(wàn)口-2ln(-A)],無(wú)極大值；

(2)由2>e,結(jié)合(1)知在(-?,In4)上遞減,在(In2,”)上遞增,所以9(x)至多有

兩個(gè)零點(diǎn)，

又奴0)=1,^(1)=e2-222<0,即9(x)在(0,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

止匕時(shí)夕(外疝。=0(InA)=A2(l-21n2)<0,^(21n2)=22(22-41n2),

4ga)=A2-41nZMA>e,則g(X)=2：一芻="一、)>0,

AA

所以g(4)在(e,+(?)上遞增,則g(4)>g(e>=e2-41ne=e2i4>0,即。(21n4)>0,

所以9(x)在(In尢2In㈤上存在一個(gè)零點(diǎn),

綜上，九>6時(shí)函數(shù)05)有兩個(gè)零點(diǎn)4，巧，且?！从馽lclnXv%<21nX,

貝!J%—再>InX—1=In—,得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，首先利用零點(diǎn)存在性定理確定9(幻在(0,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),

再由9(%)min=9(ln/l)<。，^(21n2)=22(22-4In2),構(gòu)造g(X)=力—41n/l且4>e研究

。(2In㈤的符號(hào)為關(guān)鍵.

jr

22.(1)6>=y(peR),d=2；(2)

x=-t

【分析