高考數(shù)學(xué)沖刺押題卷03（2024新題型）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷03（新題型）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為、、、、、、、、、，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B2．橢圓與橢圓的（）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【解析】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，所以，兩橢圓的焦距相等，長(zhǎng)軸長(zhǎng)不相等，短軸長(zhǎng)不相等，離心率也不相等.故選：D.3．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（）A．50 B．70 C．90 D．110【答案】B【解析】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：B.4．已知直線為異面直線，為不重合的兩個(gè)平面，則（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】若，，則可能，故A錯(cuò)誤；若，，則可能，故B錯(cuò)誤；若，，則，故C正確；若，，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（）A．564 B．484 C．386D．640【答案】A【解析】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點(diǎn)，當(dāng)成2人組時(shí)，其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；當(dāng)在4人組時(shí)，有種方法.第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)成2人組時(shí)，有種方法；當(dāng)在3人組時(shí)，有種方法.故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為.故選：A.6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，可得：.所以，，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，故.綜上所述：，故的最大值為.故選：D.7．若為銳角，且，則（）A．10° B．20° C．70° D．80°【答案】C【解析】由，又為銳角，∴．故選：C．8．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交于，且，當(dāng)時(shí)，雙曲線離心率的最大值為（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如下圖所示：不妨取漸近線方程為，又易知，則直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線，可得，所以；且，由雙曲線定義可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，解得；因此雙曲線離心率的最大值為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，依題意函數(shù)的周期為，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，即，又，所以，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，所以點(diǎn)不是的中心對(duì)稱，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D正確.故選:ABD.10．已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A．若，則B．若，則C．若復(fù)數(shù)，滿足，則D．若，則的最大值為3【答案】AD【解析】設(shè)、；對(duì)A：若，則有，即，，即有，故A正確；對(duì)B：若，則有，即，不能得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若復(fù)數(shù)，滿足，則有，即，化簡(jiǎn)得，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，則有，即，其中，即有，則，故當(dāng)時(shí)，有最大值且最大值為，即D正確.故選：AD.11．已知函數(shù)滿足，，則（）A．B．C．的定義域?yàn)镽D．的周期為4【答案】ABD【解析】令，則，即，A正確，令，則無(wú)意義，即的定義域不為R，C錯(cuò)誤；由可知，令，則，即，故，B正確；，故，即的周期為4，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)是.【答案】【解析】聯(lián)立可得，則，得原方程組有兩組解，即中有個(gè)元素.13．如圖，表面積為的球面上有四點(diǎn)，，，，是等邊三角形，球心到平面的距離為3，若平面平面，則三棱錐體積的最大值為．【答案】【解析】球的表面積為，球的半徑為，設(shè)的中心為，則，且平面，的外接圓半徑，連接并延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，且，顯然，而平面平面，平面平面，平面，則平面，令的外接圓圓心為，則平面，有，又平面，平面，，，平面，則平面，平面，，而平面平面，平面平面，平面，則平面，有，因此四邊形為平行四邊形，則，，的外接圓半徑，的外接圓上點(diǎn)到直線距離的最大值為，而點(diǎn)在平面上的射影落在直線上，于是到平面的距離最大值，是等邊三角形，外接圓半徑為4，由正弦定理的邊長(zhǎng)為，的面積為，棱錐體積的最大值為.14．定義表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，設(shè)，已知或，則的值為．【答案】【解析】設(shè)，，，且，則，，，所以，，若，則，故，設(shè)，因此，，故，即，若，則，即，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述，的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2），【解析】（1）因?yàn)椋?，又，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得或，令，解得，?duì)列表如下：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又，且，所以，即，所以，故函數(shù)在區(qū)間上的，.16．（15分）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取2個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等.（1）求取出的2個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）用X表示取出的2個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】（1）設(shè)一次取出的2個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為，則為一次取出的2個(gè)小球數(shù)字相同，所以，所以.（2）由題意所有可能的取值為：1，2，，，.；；；；．所以隨機(jī)變量的分布列為12345隨機(jī)變量的均值為．17．（15分）如圖，在三棱臺(tái)中，在邊上，平面平面，，，，，．（1）證明：；（2）若且的面積為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，解得，又，即，得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面ACFD，所以平面ABC，而平面ABC，則，又，，平面BDH，平面BDH，所以平面BDH，而平面，則，因?yàn)?，所以；?）在中，，，，所以，，所以，又，所以，則，由（1）知，平面ABC，所以可以H為原點(diǎn)，為y軸，為z軸，建系如圖所示，設(shè)平面ABD法向量為，則，即，取，則，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)CF與平面ABD所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值18．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)A，B和M，N.設(shè)線段，的中點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F為，雙曲線的漸近線方程為：，即，則，解得，故拋物線的方程為：.（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線的方程為，由得，，因?yàn)橹本€與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，所以，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線PQ的斜率，所以直線PQ的方程為，整理得，于是直線PQ恒過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線PQ的方程為，也過(guò)定點(diǎn).綜上，直線PQ恒過(guò)定點(diǎn).19．（17分）已知數(shù)列與數(shù)列滿足下列條件：①，；②，；③，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為.（1）若，，，，求；（2）是否存在，，，，使得，，，成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一組，，，；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明