2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高二年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)模擬試題1（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省石家莊市Iw)二下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

111H

-----的

25624oO6

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

【正確答案】C

【分析】觀察規(guī)律即可得到答案.

【詳解】數(shù)嗚《，聶即女，/，*，5…，故短T是第8項(xiàng),

故選：C

2.已知函數(shù)/(x)=SinX+ln(x+l),則尸(O)=()

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式求解即可.

【詳解】由題意，f'(x)=cosx+-1,故f'(0)=COSO+1=2.

故選：D

3.如圖，在四面體Q4BC中，G是BC的中點(diǎn)，設(shè)OA=a，OB=b，OC=3則AG=()

A.ci—b—cB.—a4—bτ—cC.—α+b+CD.—u—b—c

222222

【正確答案】B

【分析】根據(jù)三角形法則先求得向量A8、4C，進(jìn)而求得AG.

【詳解】解：AC=OC-OA=c-a,

AB=OB—OA=b—a，

AG=-^AC+AB^=-^-2a+b-^-cj=-a+^b+^c.

故選：B.

4.設(shè)不同直線4：2x-陽一1=0,l1.(∕n-l)Λ-y+l=0,則“加=2''是""4"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【詳解】當(dāng)加=2時(shí)，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立.當(dāng)//〃/2時(shí)，

2

顯然∕n≠0,從而有一=加一1,解得”?=2或機(jī)=—1,但當(dāng)根=—1時(shí)，兩直線重合，不合

m

要求，故必要性成立，故選C.

點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法.

1.定義法：直接判斷“若。則/'、“若夕則的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如=

為真，則。是4的充分條件.

2.等價(jià)法：利用Pnq與非q=非P,q=P與非P=非。，P=q與非4=非P的等價(jià)關(guān)系，

對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

3.集合法：若AUB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是B的充

要條件.

5.《算法統(tǒng)宗》是一部我國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著.《算法統(tǒng)宗》中記載

了如下問題情境：“遠(yuǎn)望魏魏塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，意思為：”一座7

層塔，共懸掛了381盛燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍”.在上述問題情

境中，塔的正中間一層懸掛燈的數(shù)量為()

A.12B.24C.48D.96

【正確答案】B

【分析】由題意可知每層燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2,然后由等

比數(shù)列的前7項(xiàng)和為381列式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)燈塔每層的燈數(shù)滿足數(shù)列｛%｝,頂層的燈數(shù)為4,前〃項(xiàng)和為5.，

則｛α,,｝為公比為2的等比數(shù)列，

根據(jù)題意有S,="S)=381，解得4=3,

.?.4=4X2'=3X2?=24,塔的正中間一層懸掛燈的數(shù)量為24.

故選:B.

6.若函數(shù)/(x)=Y-2t∕+χ有極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)C的取值范圍為()

【正確答案】D

【分析】由函數(shù)/(x)=x3-2"+x有極值點(diǎn)知方程3χ2-4cx+l=0有兩個(gè)不同的根，從而求出

實(shí)數(shù)C的范圍.

【詳解】?函數(shù)/(x)=x3-2c√+x有極大值點(diǎn)，

.?./(x)=3/-4Cr+1=O有兩個(gè)不同的根，

.?.Δ=(-4<.?)2-12>0,

烏

解得,c<-B或C

2,

2

母

卜

/-/正

+∞

即實(shí)數(shù)的范圍-8,-I2,

Ck

故選：D

7.數(shù)列｛?｝,｛?｝的通項(xiàng)公式分別為4=3〃T和2=4〃-3(〃∈N*),設(shè)這兩個(gè)數(shù)列的公共

項(xiàng)構(gòu)成集合4則集合Ac｛"H≤2023,weN*｝中元素的個(gè)數(shù)為()

A.167B.168C.169D.170

【正確答案】C

【分析】利用列舉法可知，將集合A中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成的數(shù)列記為｛%｝,可

知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，求出數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式，然后解不等式的42023,即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛%｝：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、L,

數(shù)列他｝：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、L,

將集合A中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成數(shù)列｛%｝：5、17、29、L,

易知數(shù)列｛c,J是首項(xiàng)為5,公差為12的等差數(shù)列，則1=5+12(〃-1)=12〃-7,

由g=⑵-7≤2023,可得"≤W1^=169+L

因此，集合AC{〃卜≤2023,〃eN*}中元素的個(gè)數(shù)為169.

故選：C.

■>

8.己知直線/過雙曲線C:/-21=i的左焦點(diǎn)尸，且與C的左、右兩支分別交于AB兩點(diǎn)，

3

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為AB的中點(diǎn)，若AOFP是以FP為底邊的等腰三角形，則直線/的斜率

為（）

A.±巫B.±姮C.±巫D.±巫

2235

【正確答案】D

【分析】由點(diǎn)差法得%“?Lu,=3,由條件知直線OP的傾斜角為AB傾斜角的兩倍，代入兩

直線的斜率關(guān)系式的,，?LUJ=3即可求得/的斜率.

【詳解】設(shè)A(XI,X),8(孫力)，P(??,%),

由AB均在Uχ2-22=1上，P為AB的中點(diǎn),

3

22

∫3x,=3+y1

得則3(Λ,-?)(X?+電)=3-%)(*+%)，

[3%j=3+>>2

.3=Kf/+%2%

設(shè)直線48的傾斜角為α,則砥B=tana,不妨設(shè)口為銳角,

?.?△OFP是以萬為底邊的等腰三角形，；.直線OP的傾斜角為"，則后尸=Ian2a.

；?tanα?tan2α=3,

..2tana?班由∕↑5

??tancc?--=3,解倚tuncc-..y......>

l-tan2a5

...由對(duì)稱性知直線/的斜率為±巫.

5

故選：D

中點(diǎn)弦定理：直線與橢圓(雙曲線)交于AB兩點(diǎn)，中點(diǎn)為P,則有的∕w=e2-1,(。為

坐標(biāo)原點(diǎn))

此題解答過程中中點(diǎn)弦定理起了核心作用，通過中點(diǎn)弦定理建立了與的關(guān)系，另一

方面通過AOFP是以叩為底邊的等腰三角形可能建立兩直線傾斜角的關(guān)系，從而得到所求

直線的斜率.

二、多選題

9.函數(shù)y=∕(χ)的導(dǎo)函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.χ=-3是函數(shù)y=F(χ)的極值點(diǎn)B.X=T是函數(shù)y=f(χ)的最小值點(diǎn)

C.y=f(χ)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)D.y=F(X)在X=O處切線的斜率小于0

【正確答案】AC

【分析】對(duì)A,根據(jù)極值點(diǎn)的定義判斷即可；對(duì)BC,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷；對(duì)

D,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.

【詳解】對(duì)A,由圖象可得/'(-3)=0且/'(X)在χ=-3左右兩邊異號(hào)，故》=一3是函數(shù)

y=∕(χ)的極值點(diǎn)，故A正確；

對(duì)B,在(T-I)上r(x)≥0,單調(diào)遞增，；.-1不是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)，故B不

正確；

對(duì)C,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知在xe(-3,1)時(shí)，∕,(x)≥0,

?.?函數(shù)y=∕(χ)在(-3,1)上單調(diào)遞增，故C正確;

對(duì)D,函數(shù)y=∕(x)在X=O處的導(dǎo)數(shù)大于0,???切線的斜率大于零，故D不正確.

故選：AC.

10.已知等差數(shù)列｛q,｝的前n項(xiàng)和為S,,,且%>OQ5+"“=(),則

A.?<0B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，S“取得最大值

C.D.滿足S,,>0的〃的最大值為12

SA=S9

【正確答案】ACD

由題可得q=-6d,d<0,Sz,=g"2-與〃，求出肉="<0可判斷A；利用二次函數(shù)的性

質(zhì)可判斷B；求出S4,Sg可判斷C；令S,,=g∕-與〃>o,解出即可判斷D.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列&｝的公差為"，則2%+%=2(4+4d)+4+l(W=0,解得q=-6d,

、八」八口Q〃(〃T)-d213d

「4>°,「.d<0,且S=ncι,Hd=-n----it,

w1222

對(duì)于A,ag=ci?+7d=-6d+7d=d<0,故A正確；

對(duì)于B,5,=3〃2-與〃的對(duì)稱軸為〃=￡,開口向下，故〃=6或7時(shí)，s,取得最大值，

故B錯(cuò)誤；

11z2/Jl27

對(duì)于C,5=-×16--×4=8√-26J=-18√,S=-×81--×9=-18√,故$=$9，故

422229

C正確：

對(duì)于D,令S),=5"2-與〃>0,解得0<〃<13,故"的最大值為12,故D正確.

故選：ACD.

方法點(diǎn)睛：由于等差數(shù)列5〃=，/+嗎辿4=+(%-3］是關(guān)于〃的二次函數(shù)，當(dāng)《與

d異號(hào)時(shí)，S”在對(duì)稱軸或離對(duì)稱軸最近的正整數(shù)時(shí)取最值；當(dāng)為與d同號(hào)時(shí)，S,,在〃=1取

最值.

II.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABC。-A4GA，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三

條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是()

A.⑷+AB+A0)'=2(ACyB.AC1(AB-AD)-O

C.向量5。與AA的夾角是60°D.BR與AC所成角的余弦值為半

【正確答案】AB

直接用空間向量的基本定理，向量的運(yùn)算對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.

【詳解】以頂點(diǎn)4為端點(diǎn)的三條棱長都相等，它們彼此的夾角都是60。，

可設(shè)棱長為1,則AA?A6=AA?AO=4D?A8=lxlxcos60o='

2

222

(AAi+AB+AD^=AA1+AB+AD+2AVAB+2AB-AD+2AAt-AD

=l+l+l+3χ2χ'=6

2

而2(AC)2=2(AB+AD^=2(A/+ALf+2ABAD^

=2(l+l+2x；[=2x3=6,所以A正確.

AG?(A8-AO)=(Λ4I+AB+AD)?(A8-AO)

22

=AAiAB-AA,AD+AB-AB-AD+AD-AB-AD=0,所以B正確.

向量4C=Λ1O,

顯然AA41O為等邊三角形，貝IJNAAQ=60°.

所以向量AO與伍的夾角是120°,向量Bc與A4l的夾角是120。,則C不正確

又叫=AD+A41-AB,AC=AB+AD

則IBDJ=y∣(λ∕)+AAt-ABy=夜,IAcI=J(A8+A可'=6

BD1-AC(AD+AAl-AB^AB+ADj=]

所以8sMAC)=周濡=號(hào)=器，所以D不正確?

故選：AB

本題考查空間向量的運(yùn)算，用向量求夾角等，屬于中檔題.

12.已知。:)2=2度(2>0)的焦點(diǎn)為尸，斜率為6且經(jīng)過點(diǎn)F的直線/與拋物線C交于點(diǎn)

AB兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)O,若IA尸|=4,則()

A.p=2B.F為線段AO的中點(diǎn)

C.?BD?=2?BF?D.?BF?=2

【正確答案】ABC

【分析】由題意可得直線/的方程為y=G[χ-5)聯(lián)立直線和拋物線方程得到XA=IP,

?=?P.求出P的值，

6

過點(diǎn)B作BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)N,得到F為線段AO的中點(diǎn)即得解.

【詳解】易知F(5,O),由題意可得直線/的方程為y=√^(χ-∣]?

消去了并整理，W12x2-20px+3p2=0,

31

解得XA=彳〃，XB=NP?

2O

由MH=X4+曰?=2p=4,得p=2,故A正確；

J.?BF?=XB+-^=^,故D錯(cuò)誤；

過點(diǎn)B作BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)N,易知/￡>3N=60。，

ΛI(xiàn)fiDl=J^L=J?=-,.?.∣B^≈2∣BF∣.故C正確.

11cos60ocos6003

Q4

?.?∣Z)Fl=Wq+忸F∣=]+]=4,.?.F為線段AO的中點(diǎn).故B正確;

故選：ABC.

三、填空題

13.若向量α=(l,∕l,㈤，?=(-2,1,1),“，8夾角為鈍角，則4的取值范圍是.

【正確答案】(-∞,-i)u(-^,1)

根據(jù)向量”與〃的夾角為鈍角，則“*<0,求得2的范圍，在將“與6共線且反向的情況排

除即可.

【詳解】；向量α與。的夾角為鈍角，

'?a`b~(14㈤,(-2,1,1)=-2+1λ<0

解得∕l<l.

當(dāng)“與人共線時(shí)，汲a=kb伙<0),

λ=k

l=-2k

解得

即當(dāng)Zl=-I時(shí)，向量α與6共線且反向,

此時(shí)“?6<0,但α與坂的夾角不是鈍角.

綜上：2的取值范圍是(-8,-/)=(-/,1).

故(-8,一萬)口(一］,1)

14.若數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S,,,且S,,=2a.+1,則4=.

【正確答案】-2w-'

【分析】由S“=2勺+1得q,=2%τ,所以數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-I,公比為2,即得

an-

【詳解】S,,=2?+∣,

，當(dāng)”=1時(shí)，q=2q+l,解得q=T.

當(dāng)“≥2時(shí)，an=Sn-=2α,,+1-(20,,-l+1),

即4=24τ,

數(shù)列｛風(fēng)｝是等比數(shù)列,首項(xiàng)為-1,公比為2.

故-2nl.

本題考查了遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

15.已知點(diǎn)P(x,y)是直線"+y+4=0(女＞0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA.PB^C-.X1+y1-Iy=Q

的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形R4CB的最小面積是2,則《=.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)圓的方程得出圓心和半徑，由圓的性質(zhì)，得到四邊形的面積S=2S△詠，再確

定的面積的最小值,得出當(dāng)取最小值時(shí)，儼到最??；根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，列出

SwJCIPel

方程求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】圓C:f+y2-2y=0的圓心為C(0,1),半徑為廠=1,

由圓的性質(zhì)可知，四邊形的面積S=2S"pc,

又四邊形的最小面積是則的最小值為

2,SMCS=I=gr∣PBin=JPBLIι,

則但BL=2,

因?yàn)楱OP3∣=Jpcf-/=Jpcf-I,所以當(dāng)IPCl取最小值時(shí)，IPM最?。?/p>

又點(diǎn)p(χ,y)是直線依+y+4=o上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)CP垂直于直線依+y+4=o時(shí)，IPCI最小，即為圓心C(0,1)到直線的距離；

所以上IL=VFTF=TL解得&=±2,

√?2+l

因?yàn)樽螅?,所以Z=2.

故答案為.2

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到點(diǎn)到直線的距離公式、圓的

切線長公式，圓的性質(zhì)和四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問題和解

答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于?？碱}型.

16.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)「、F2,M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且CoSNKMF2=；,記

橢圓和雙曲線的離心率分別為e2,則」一的最大值為.

e?e2

【正確答案】生叵/士歷

1515

【分析】利用橢圓和雙曲線的定義，在焦點(diǎn)三角形利用余弦定理得到5+5=8,再用基本

不等式求解.

【詳解】不妨設(shè)例為第一象限的點(diǎn)，F(xiàn)l為左焦點(diǎn)，

設(shè)橢圓的長半軸長為4,雙曲線的實(shí)半軸長為生，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得|"制+|"用=2“，

IM用TMKI=2%,所以用=4+生，∣M閭=4一生，

歸胤=2c,在仆MF1巴中，COSN耳MK=；,

22

由余弦定理得4c?2=(4+α2)+(α1-a2)-2(Λ1+α2)(a1-a2)cosZF1MF2,

35

化簡得3以：+5a；=8C2,即/+/=8.

的N35_JIr1^4√15

所以r+r=822,從而---≤--,

e?e1「紇"??

當(dāng)且僅當(dāng)N=與，且2+3=8,即q=3，%=立時(shí)等號(hào)成立.

。C2線4'222

故Ml

15

四、解答題

17.求下列直線的方程：

⑴曲線)，=丁+/+1在P(TI)處的切線;

⑵曲線y=f過點(diǎn)P(3,5)的切線.

【正確答案】(i)y=χ+2

(2)y=2x-l或y=IOx-25

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求導(dǎo)，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求解即可；

(2)設(shè)切點(diǎn)為(馬,看)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，再代入P(3,5)求解即可.

【詳解】(1)y'=3∕+2x,故曲線y=/+/+1在P(TI)處的切線斜率為

2

?=3×(-l)+2×(-l)=l,

故在P(—L1)處的切線方程為y-l=χ-(τ),即y=χ+2

⑵設(shè)切點(diǎn)為&芯)，因?yàn)閥'=2x,故曲線在&,片)處的切線方程為yT=2x°(x-x°),

化簡可得y=2x°X-/，代入P(3,5)可得5=6玉)-x：,

即(M-I)(M-5)=0,解得*=1或Xo=5,

代入切線方程可得y=2x-1或y=IOx-25

18.已知橢圓CJ+g?=i(">∕,>0)的離心率為孝，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

2.

(1)橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/：y=gx+加交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，且IABl=石，求m的值.

2

【正確答案】(1)—+√=i:(2)=±ι.

4m

【分析】(1)通過短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離可知。=2,進(jìn)而利用離心率的值計(jì)算即

得結(jié)論；

(2)設(shè)4(4乂)，8(x2,%).聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到關(guān)于X的一元二次方程，得

到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出.

a2=b2+c2=22

【詳解】解：(1)由題意可得《C￡，

—=--

a2

解得：a=2,b=T,

丫2

，橢圓C的方程為L+V=1;

(2)設(shè)Aa,y∣),B(x2,y2).

2

xl+x2=—2m,xix1=2m—2,

222

∣AB∣=?∣?+k1X1-x2?=-γ×?∣4m-Sm+8

=√5?√2-///3=√5>

解得W=±1.

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、韋達(dá)定理、弦長公式，屬于中檔題.

19.已知△ABC的頂點(diǎn)C(T,5),邊AB所在直線的方程為y=0,邊8C上的高AH所在直

線的方程為x-y-2=0.

(1)求頂點(diǎn)A與B的坐標(biāo)；

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若邊BC上存在點(diǎn)P使得IPAl+1Pa最小，求序所在直線的方程.

【正確答案】(l)A(2,0),β(4,0)

⑵2x-y-4=0

【分析】(1)由已知條件可得A為直線Y=O與x-y-2=0的交點(diǎn)，故將兩直線聯(lián)立即可求

出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由AH，BC即可求出直線BC的斜率，利用斜率的定義即可求出點(diǎn)8的坐

標(biāo)；

(2)作出。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q(X由∣P4∣+IpOl=IR4∣+∣PQ閆AQ∣,即可得知

當(dāng)Q,P,A三點(diǎn)共線時(shí)，∣R4∣+∣PO∣最小，即可求出E4所在直線的方程.

【詳解】(1)由題意知A為直線y=o與χ-y-2=0的交點(diǎn),

解方程組｛∣x3-y，-2=0,得zk?x=2。,,，即月⑵z。、),

設(shè)B(∕π,0),邊BC上的高AH所在直線的斜率為1,

?.?8CLA",二BC所在直線的斜率為-1,即S*=-l,解得加=4,即8(4,0).

m+1

(2)由(1)可得邊BC所在直線的方程為y=-χ+4,

A=I,

則卜。得忙。

即

設(shè)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q(AO,%),Q(4,4).

&=_a+4，

,22

?.?∣%+∣PO∣=∣PA∣+∣PQ∣≥M0,.?.Q,P,A三點(diǎn)共線時(shí)，IPAl+1Pol最小,

(即此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P所在的位置即為《)

此時(shí)點(diǎn)尸在邊8C上，且直線QA的斜率為汽=2,直線QA的方程為y=2(x-2),

4—2

直線∕?即為直線QA,所以∕?所在直線的方程為2x-y-4=0.

20.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S"，等比數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和為T.，且4=2,

4S,,=αj+2%+l，S7=77ζ+α4.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛a｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛a,,-bn｝的前n項(xiàng)和.

【正確答案】(1)4,=2"-1;b,,=2"

(2)6+(4/7-6)-2"

【分析】(1)利用5“-Si=4(〃≥2),求得｛%｝通項(xiàng)公式，利用｛4｝的前〃項(xiàng)公式求得心,

進(jìn)而求得也｝.

(2)利用錯(cuò)位求和法求得數(shù)列｛αn??｝的前”項(xiàng)和.

【詳解】(1)由題意知，4S,,=d+24,,+l①，∏TW45?_,=<l+2all,l+1(π≥2)@,

兩式相減得：4?=?-<,+2?-2αn-l,整理得：a；—dτ=2(%+%),

即一%)=2(4+4T),因?yàn)??！?gt;0,所以%-%τ=2.

2

令〃=1可得：4S∣=d+2q+l,解得αj-2q+l=0,BP(β,-l)=O,所以4=1.

所以q,=4+(〃-1”=2〃-1.

所以$=五3/=49,a4=7,所以4=6,又因?yàn)?=2,所以4=4,所以2=2”.

(2)令g=α,j%,前”項(xiàng)和為M”，

,23

則有：Mn=ci+c2+c3+LL+c〃T÷?,=1×2+3×2+5×2÷LL+(2〃-1>2",

23WM+1

等式兩邊同乘以2有：2MZ,=1×2+3×2+LL+(2∕I-3)?2+(2H-1).2,

兩式相減得：=2+2X[22+23+LL+2"]-(2M-1)?2,,+'=l+2×?1p^J-(2Λ-l)?2,,+l>

整理化簡得：M,,=6+(4n-6)?2".

21.已知函數(shù)/(x)="l∏Λ?+r∣~-(α+l)x.

(1)當(dāng)α=2時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；

⑵求函數(shù)/(x)單調(diào)區(qū)間.

【正確答案】(1)極大值為-g,極小值為21n2-4

(2)答案見解析

【分析】(1)對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值;

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)參數(shù)。分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】(1)當(dāng)α=2時(shí)，/(x)=2lnx+=-3x,則/⑺二+一=廠7*+2,

2XX

令/'(X)=O,解得X=I或2,

當(dāng)0<x<l或x>2時(shí)，∕,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)l<x<2時(shí)，f'(x)<O,/(X)單調(diào)遞減，

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+8)；

函數(shù)/S)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).

所以f(x)的極大值為/(D=-|,極小值為/(2)=21n2-4?

2

(2)*/f(x)=a?nx+-(a+l)?,(x>0)

.?./，㈤,+χτ4+i)=?-(α+l)x+j(XT)(A0),

XXX

當(dāng)α≤0時(shí)，xe(l,+8)時(shí)，∕,(x)>0；χ∈((U)時(shí)，∕,(x)<0；

即增區(qū)間為(1,”)，減區(qū)間為(0,1)；

當(dāng)0<。<耐，Xe(O,α)?<l,+∞)時(shí)，/'(x)>0;xe(4,l)時(shí)，f'(x)<0；

即增區(qū)間為(OM)和(1,+∞),減區(qū)間為(a,D；

當(dāng)。=1時(shí)，/'(X)≥0在(0,+8)上恒成立，即增區(qū)間為(0,y)；

當(dāng)α>l時(shí)，Xe(0,1)一(α,+∞)時(shí)，∕,(x)>O；xe(l,α)時(shí)，f?x)<O；

即增區(qū)間為(0,1)和(α,E),減區(qū)間為(1,。)；

綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，增區(qū)間為(L”)，減區(qū)間為(0,1)；

當(dāng)O<a<l時(shí)，增區(qū)間為(0,α)和(1,—),減區(qū)間為(“』)；

當(dāng)a=l時(shí)，增區(qū)間為(0,+∞),無減區(qū)間；

當(dāng)a>l時(shí)，增區(qū)間為(0,1)和(a,*o),減區(qū)間為(L。).

22

22.已知雙曲線C：m-強(qiáng)■=l(a>%>0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C的兩條

π

漸近線的夾角為A.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)/作直線/交C于P,Q兩點(diǎn),在X軸上是否存在定點(diǎn)M,使MP?MQ為定值？若存在,

求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說明理由.

【正確答案】⑴工-