2024年新高考數(shù)學一輪復(fù)習題型歸納與達標檢測第30講平面向量的數(shù)量積（達標檢測）

第30講平面向量的數(shù)量積（達標檢測）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會1．（2020春?隆回縣期末）已知，，則A．8 B．7 C． D．【分析】直接利用向量的坐標運算以及向量的數(shù)量積公式求解即可．【解答】解：，，則．故選：．2．（2020春?商洛期末）已知向量，，若，則A． B． C． D．【分析】利用平面向量坐標運算法則先求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)能求出．【解答】解：向量，，，，，解得．故選：．3．（2020春?漢臺區(qū)校級月考）已知向量，，且，則A．5 B． C． D．4【分析】根據(jù)即可求出，從而可得出的坐標，從而可得出的值．【解答】解：，，解得，，．故選：．3．（2020春?五華區(qū)校級期末）已知單位向量，滿足，則A． B．1 C． D．0【分析】對條件式兩邊平方計算，再計算．【解答】解：是單位向量，，，，故，．故選：．4．（2020?貴陽模擬）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】根據(jù)列方程得出，再代入向量的夾角公式即可得出答案．【解答】解：，，即，，，．故選：．5．（2020春?興寧區(qū)校級期末）已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：因為單位向量與的夾角為，所以向量在向量方向上的投影為；故選：．6．（2020春?內(nèi)江期末）已知向量，，，若，，則A．14 B． C．10 D．6【分析】通過向量的共線與垂直，求出，，然后求解向量的數(shù)量積即可．【解答】解：向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，則．故選：．7．（2020?石家莊模擬）設(shè)圓的半徑為1，，，是圓上不重合的點，則的最小值是A． B． C． D．【分析】用表示出，作，垂足為，設(shè)，，用，表示出即可得出最值．【解答】解：，由題意可知，，均為單位向量，故，連接，作，垂足為，設(shè)，，則，，，，，，當，時，取得最小值．故選：．8．（2020春?駐馬店期末）已知，，，若，則最大值為A． B． C． D．【分析】由平面向量數(shù)量積的定義可知，設(shè)，，則，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算和，可得，若令，，則點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，于是當、與三點共線位于和的中間），且點在的延長線上時，最大，為，從而得解．【解答】解：，，，即．設(shè)，，則，，，，，化簡整理得，，令，，則點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．，當、與三點共線位于和的中間），且點在的延長線上時，最大，為．故選：．9．（2020春?湖北期末）已知向量，滿足，且對任意的實數(shù)，不等式恒成立，設(shè)的夾角為，則的值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件，對兩邊平方，進行數(shù)量積的運算即可得出，從而得出△，進而得出，，從而可求出的值．【解答】解：，的夾角為，且對任意的實數(shù)，不等式恒成立，，，整理得，，△，，，且，，．故選：．10．（多選）（2020?青島模擬）已知向量，設(shè)的夾角為，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，求出、的坐標，據(jù)此分析選項，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，，則，，依次分析選項：對于，，，則不成立，錯誤；對于，，，則，即，正確；對于，，，不成立，錯誤；對于，，，則，，，則，則，正確；故選：．11．（多選）（2020?山東模擬）在平行四邊形中，，，，若為線段的中點，則A． B． C． D．【分析】畫出圖形，求出相關(guān)點的坐標，通過向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：在平行四邊形中，，，，若為線段中點，建立如圖所示的坐標系，則，，，則，，可得，，，，則；．故選：．12．（2020春?運城期末）已知，，且，則與夾角為．【分析】根據(jù)向量夾角的余弦公式即可得出，然后根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【解答】解：，，且，與的夾角為．故答案為：．13．（2020春?上高縣校級期末）已知向量，，若，則實數(shù)的值為．【分析】可以得出，然后根據(jù)即可得出，從而解出即可．【解答】解：，，，解得．故答案為：．14．（2020?寧波模擬）已知所在平面內(nèi)的兩點，滿足：，，是邊上的點，若，，，，則．【分析】由題意可判斷是的外心，是的垂心，結(jié)合，及可判斷為的中點，從而可計算．【解答】解：，，即，，同理可得：，，是的垂心，，，是的外心，，，下面證明：，延長交圓于，則，又，，同理可得：，四邊形是平行四邊形，，，設(shè)的中點為，則，，又，，與重合，故，．故答案為：15．（2020春?湖北期末）已知，，，，則．【分析】兩邊平方即可求出的值．【解答】解：，，，，，，，即，．故答案為：．16．（2020春?涼山州期末）已知，，．（1）求；（2）求與的夾角．【分析】（1）根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的運算即可求出；（2）可設(shè)與的夾角為，然后可求出的值，根據(jù)求出的值，從而可得出的值，進而得出的值．【解答】解：（1），，，；（2）設(shè)與的夾角為，由（1）與得，，，，且，，．17．（2020春?遼陽期末）已知單位向量，的夾角為，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求．【分析】（1）由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，求出的值．（2）由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求出的值，可得，從而求出．【解答】解：（1）單位向量，的夾角為，與不共線．向量，向量，若，則，．（2）若，．，求得，，．18．（2020春?瀘州期末）設(shè)平面向量，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若且，求實數(shù)的值．【分析】（Ⅰ）由題意利用兩個向量坐標形式的運算法則，求得的坐標，可得它的模．（Ⅱ）由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求得的值．【解答】解：（Ⅰ）向量，，0，，．（Ⅱ）若且，，，實數(shù)．19．（2020春?新余期末）如圖，在中，已知，，，為線段中點，為線段中點．（1）求的值；（2）求，夾角的余弦值．【分析】（1）建立坐標系，求出相關(guān)向量，利用向量的數(shù)量積求解即可．（2）求出，的坐標，利用向量的數(shù)量積求解兩個向量的夾角．【解答】解：（1）依題意可知為直角三角形，，如圖建立坐標系：則，，，，因為為的中點，故，，．（2）由為線段中點可知，，，．20．（2020春?濱州期末）如圖，在中，為邊上的一點，且與的夾角為．（1）設(shè)，求，的值；（2）求的值．【分析】（1）用表示出即可得出，的值；（2）表示出，，再計算的值．【解答】解：（1），，，，．（2），，，．[B組]—強基必備1．（2020春?焦作期末）在中，點，在線段上，，當點在線段上運動時，總有，則一定有A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，設(shè)，由，得，代入，再令，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再由判別式恒小于等于0求得的值，然后利用數(shù)量積的幾何意義可得，則答案可求．【解答】解：如圖，設(shè)，由，得，又，，即有，，令，則，即恒成立．可得．化為，則．，即在上的投影為的中點．．故選：．2．（2020春?桃城區(qū)校級期中）已知平面單位向量的夾角為，向量滿足，若對任意的，記的最小值為，則的最大值為A． B． C． D．【分析】由題意設(shè)，，，，化為，它表示圓；由表示該圓上的點到點的距離，即到直線的距離；得出距離的最小值，求得的最大值為．【解答】解：平面單位向量的夾角為，設(shè)，，，，由得，化簡得，它表示以點，為圓心，以為半徑的圓；又表示圓上的點到點的距離，即到直線的距離；距離的最小值為，由圓心，到直線的距離為，則的最大值為．故選：．3．（2020?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）已知平面向量，，，滿足，，，若平面向量，且，則的最小值是．【分析】由，可知，于是可分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標系，此外，不妨設(shè)，則，，，于是有，而，且，，所以點的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．再設(shè)的夾角為，可推知，的夾角為，將其代入，可得，最后結(jié)合雙曲線的定義、平面向量的減法運算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．【解答】解：，，即，不妨令，由于，所以，，如圖所示，分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標系，則，，，且，，點的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．，，如圖，設(shè)的夾角為，則，，，，即，的夾角為，，，，，當且僅當即時，取得等號．故答案為：．4．（2019?江蘇三模）在平面四邊形中，，，，若，則的最小值為．【分析】以為坐標原點，以為軸，