傅里葉變換定理、線性系統(tǒng)

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{1}=x011f0{rect(x)}

=F.T.d(fx,fy)sinc(fx)1f01F.T.x1-1/21/2二維傅里葉變換2-DFourierTransform傅里葉變換和傅里葉逆變換{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

設(shè)g(x,y)

G(fx,fy),F.T.重要性質(zhì)：{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則∫|g(x)|2dx

代表信號(hào)的總能量(或總功率)|G(f)|2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parseval定理說明,信號(hào)的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒四、F.T.定理--Parseval定理的證明交換積分順序,先對(duì)x求積分:利用復(fù)指函數(shù)的F.T.利用d函數(shù)的篩選性質(zhì)

二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理5.卷積定理空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積,其F.T.是各自F.T.的乘積.{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中兩個(gè)函數(shù)的乘積,其F.T.是各自F.T.的卷積.將時(shí)、空域的卷積運(yùn)算，化為頻域的乘積運(yùn)算，特別有用.亦可用于求復(fù)雜函數(shù)的F.T.和復(fù)雜函數(shù)的卷積二維傅里葉變換FourierTransform

卷積定理的證明交換積分順序:應(yīng)用位移定理應(yīng)用F.T.定義二維傅里葉變換FourierTransform

利用卷積定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}?{rect(x)}=sinc(f)?sinc(f)=sinc2(f)rect(x)x01/2-1/21rect(x)x01/2-1/21*tri(x)x01-11fsinc(f)01-11fsinc(f)01-11

xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T.

{tri(x)}=sinc2(f)

二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理6.相關(guān)定理自相關(guān)與功率譜的關(guān)系:作為練習(xí)自己證明。提示:利用卷積定理、相關(guān)定義和共軛函數(shù)的F.T.

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),

F.T.反過來有:{g(x,y)☆

g(x,y)}=|G(fx,fy)|2{|g(x,y)|2}=

G(fx,fy)☆G(fx,fy)

二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理7.F.T.積分定理在函數(shù)g的各連續(xù)點(diǎn)上,留作習(xí)題自證.-1{g(x,y)}=-1

{g(x,y)}=g(x,y){g(x,y)}=-1

-1{g(x,y)}=g(-x,-y)通常g(x,y)是可分離變量的函數(shù),即兩個(gè)獨(dú)立一元函數(shù)的乘積:g(x,y)=g1(x)g2(y)=G1(fx)

G2(fy)

按二維F.T.的定義:其傅里葉變換也是可分離變量的函數(shù)

將二維函數(shù)的F.T.化為二個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)上的一維函數(shù)的F.T.的乘積。物理上的大多數(shù)函數(shù)可以這樣處理。注意:不可與兩個(gè)函數(shù)乘積的F.T.相混淆!二維傅里葉變換FourierTransform

五、可分離變量函數(shù)的變換

傅里葉變換2-DFourierTransform

傅里葉變換的計(jì)算方法1.用定義直接計(jì)算:rect(x),circ(r),...2.用廣義傅里葉變換的定義計(jì)算并求極限:1...3.用傅里葉變換的性質(zhì)間接導(dǎo)出:

F.T.的積分定理

F.T.的卷積定理

傅里葉變換FourierTransform

常用傅里葉變換對(duì)

1.{1}=d(fx,fy); {d(fx,fy)}=1 1與d函數(shù)互為F.T.

4.{Gaus(x)}=Gaus(f

)高斯函數(shù)的F.T.仍為高斯函數(shù)

3.{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}=rect(f)

rect與sinc

函數(shù)互為F.T.2.梳狀函數(shù)的F.T.仍為梳狀函數(shù)傅里葉變換FourierTransform

常用傅里葉變換對(duì)

5.{d(x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}=d(fx-fa)

7.{tri(x)}=sinc2(f)6.利用歐拉公式和5的結(jié)果8.作業(yè)

1-16:已知復(fù)函數(shù)g(x,y)的傅里葉變換式為G(fx,fy),證明：1-17:若F{g(x,y)}=G(fx,fy)，F(xiàn){h(x,y)}=H(fx,fy),求證

(1)F{g*(x,y)h(x,y)}=

G(fx,fy)★

H(fx,fy)

（2）F{g(x,y)★h(x,y)}=

G*(fx,fy)

H(fx,fy)1-18：求下列函數(shù)的傅里葉變換(1)F

-1F

{g(x,y)}=g(x,y)(2)F

F

{g(x,y)}=g(-x,-y)(3)F{g*(x,y)}=

G*(-fx,-fy)

1.9二維線性系統(tǒng)

Analysisof2-DimensionalLinearSystems定義:用算符表示系統(tǒng)g(x,y)={f(x,y)}{

}輸入f(x,y)輸出g(x,y){a1f1

(x,y)+a2f2

(x,y)}

={a1f1

(x,y)}+{a2f2

(x,y)}

=a1

{f1

(x,y)}+a2{f2

(x,y)}

=a1

g1

(x,y)+a2g2

(x,y)如果g1(x,y)={f1(x,y)}，g2(x,y)=

{f2(x,y)}若對(duì)任意復(fù)常數(shù)a1，a2有：則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。1、線性系統(tǒng)的定義§1-1線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)

線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)激勵(lì)的線性組合的整體響應(yīng)等于單個(gè)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。

{}輸入f1(x,y)輸出g1(x,y)

{}輸入f2(x,y)輸出g2(x,y)

{}輸入輸出線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)

利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以把復(fù)雜的輸入函數(shù)分解為簡(jiǎn)單的“基元”函數(shù)的線性組合，則輸出就是這些“基元”函數(shù)響應(yīng)的線性組合。光學(xué)系統(tǒng)可看成二維線性系統(tǒng)

常用“基元”函數(shù)有d函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等等。系統(tǒng)對(duì)某個(gè)輸入的響應(yīng)不會(huì)因?yàn)槠渌斎氲拇嬖诙淖兿到y(tǒng)的響應(yīng)性質(zhì)不會(huì)因?yàn)檩斎敕鹊脑龃蠖淖兙€性系統(tǒng)對(duì)各個(gè)輸入的響應(yīng)是互相獨(dú)立的。1.9線性系統(tǒng)系統(tǒng)對(duì)處于原點(diǎn)的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x,y)={d(x,y)}系統(tǒng)對(duì)輸入平面上坐標(biāo)為(x,h)處的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x,y;

x,h)={d(x-x,y-h)}在線性系統(tǒng)中引入脈沖響應(yīng)的意義:1.任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合2.若已知線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),則系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合線性系統(tǒng)2、脈沖響應(yīng)和疊加積分任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合根據(jù)d函數(shù)的卷積性質(zhì)或d函數(shù)的篩選性質(zhì):此式的物理意義:脈沖分解函數(shù)f(x,y)可以看成輸入(x,y)平面上不同位置處的許多d函數(shù)的線性組合.每個(gè)位于(x,h)的d函數(shù)的權(quán)重因子是f(x,h).對(duì)于線性系統(tǒng):g(x,y)={f(x,y)}疊加積分只要知道各個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù),系統(tǒng)的輸出即為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合.問題是如何求對(duì)任意點(diǎn)的脈沖d(x-x,y-h)的響應(yīng)h(x,y;

x,h)線性系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合對(duì)一般系統(tǒng)而言,脈沖響應(yīng)函數(shù)的形式可能是點(diǎn)點(diǎn)不同的只有對(duì)一類特殊的系統(tǒng)—線性不變系統(tǒng),h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)

成立,分析可以得到簡(jiǎn)化.則h(x;1)

h(x-1)=1例如,設(shè)

{d(x)}=h(x)=1而{d(x-1)}=h(x;1)=exp(-j2px)脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x,y;

x,h)的求法:

二維線性不變系統(tǒng)

2-DLinearShift-InvariantSystem

一、定義設(shè)系統(tǒng)在t=0時(shí)刻對(duì)脈沖的響應(yīng)為h(t),即:{d(t)}=h(t)若輸入脈沖延遲時(shí)間t,其響應(yīng)只有相應(yīng)的時(shí)間延遲t,而函數(shù)形式不變,即{d(t-t

)}=h(t-t

)則此線性系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng).系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時(shí)間而變,是穩(wěn)定的系統(tǒng).時(shí)間軸平移了,響應(yīng)也隨之平移同樣的時(shí)間,即具有平移不變性.則此線性系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng).系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時(shí)間而變,是穩(wěn)定的系統(tǒng).時(shí)間軸平移了,響應(yīng)也隨之平移同樣的時(shí)間,即具有平移不變性.tt0d(t-t)t0d(t)例：時(shí)不變(一維)系統(tǒng):RC電路th(t)0th(t-t)t0二維線性不變系統(tǒng)

2-DLinearShift-InvariantSystem實(shí)際物理系統(tǒng)大多可近似為平移不變系統(tǒng).1.9二維線性不變系統(tǒng)

2-DLinearShift-InvariantSystems一個(gè)二維脈沖函數(shù)在輸入面上位移時(shí),線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即：{d(x-x,y-h)}=h(x-x,y-h)線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng):線性不變系統(tǒng)的輸入-輸出變換關(guān)系不隨空間位置變化.這樣的系統(tǒng)稱為二維線性不變系統(tǒng)。h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)觀察點(diǎn)坐標(biāo)輸入脈沖坐標(biāo)二個(gè)坐標(biāo)的相對(duì)間距推廣到二維空間函數(shù)1.9二維線性不變系統(tǒng):例空不變(二維)系統(tǒng):等暈成像系統(tǒng)d(x-x

;y-h)(x

;h)h(x-x

;y-h)xyxy光學(xué)成像系統(tǒng)在等暈區(qū)內(nèi)是空間不變的.暈斑d(x,y)h(x,y)1.9二維線性不變系統(tǒng)

輸入輸出關(guān)系:空域輸出是輸入與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積積分.這也是線性空不變系統(tǒng)的判據(jù).1.9二維線性不變系統(tǒng)

二、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)兩邊作F.T.:G(fx,fy)=F(fx,fy)?H(fx,fy)傳遞函數(shù)輸出頻譜輸入頻譜傳遞函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的.F.T.={h(x,y)}五、線性空間不變系統(tǒng)的本征函數(shù)本征值與本征函數(shù)方程式:

其中f(x,y)是LSI系統(tǒng)的本征函數(shù),是f(x,y)的本征值.本征函數(shù)通過該系統(tǒng)時(shí)不改變其函數(shù)形式，而僅可能被衰減或放大，或產(chǎn)生相移，其變化量決定于相應(yīng)的本征值?；瘮?shù)正是LSI系統(tǒng)的本征函數(shù)。

⑴.指數(shù)基元其頻譜為：其中傳遞函數(shù)即為其本征函數(shù).這時(shí)，輸出函數(shù)的頻譜為：于是輸出函數(shù)為這時(shí)，輸出函數(shù)的頻譜為：而輸出函數(shù)為即其頻譜為：

⑵.點(diǎn)基元⑶.余弦函數(shù)則由厄米特函數(shù)性質(zhì)有:(模是偶函數(shù))(幅角是奇函數(shù))

這種基元函數(shù)常用于非相干成像系統(tǒng)中，其脈沖響應(yīng)函數(shù)是實(shí)函數(shù)，且其傅里葉變具有厄米特函數(shù)特性：令

對(duì)脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的LSI系統(tǒng),余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出,但可能產(chǎn)生衰減和相移.下面證明余弦函數(shù)就是這類系統(tǒng)的本征函數(shù):輸入余弦函數(shù)的頻譜為輸出函數(shù)的頻譜為而輸出函數(shù)為即故

1.9二維線性不變系統(tǒng)

傳遞函數(shù)－頻率響應(yīng)注意H(fx,fy)是h(x,y)的F.T.,即h(x,y)的頻譜函數(shù)h(x,y)是對(duì)d(x,y)函數(shù)的響應(yīng)d函數(shù)的頻譜恒為1,即含有所有頻率成分,并且各頻率成分的權(quán)重都相等(=1).但h(x,y)的頻譜已經(jīng)改變成H(fx,fy)∴H(fx,fy)反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的響應(yīng),即頻率響應(yīng)1.9二維線性不變系統(tǒng)

傳遞函數(shù)－頻率響應(yīng)對(duì)于給定的系統(tǒng)和輸入,F(fx,fy)和H(fx,fy)較容易求出,因此容易由輸出的頻譜推算出系統(tǒng)的輸出,

可避免冗繁的卷積積分求輸出的運(yùn)算.例:

已知線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為

h(x,y)=7sinc(7x)d(y)試用頻域方法對(duì)下面每一個(gè)輸入fi(x,y),求其輸出gi(x,y)（必要時(shí)，可做合理近似）

(3)f3(x,y)=[1+cos(8px)]rect(x/75)G(fx,fy)=F(fx,fy)?H(fx,fy)1.9二維線性不變系統(tǒng)

傳遞函數(shù)——例系統(tǒng)的輸入:f3(x,y)=[1+cos(8px)]rect(x/75)脈沖響應(yīng): h(x,y)=7sinc(7x)d(y)用圖示加以說明二維線性不變系統(tǒng)間隔為3的脈沖陣列,基頻為1/3在有限空間區(qū)域不為零,|x|<25三角波,底寬為2輸入:0-25-3325............xg(x)1二維線性不變系統(tǒng)輸入頻譜:輸入:間隔為1/3的脈沖陣列包絡(luò),半寬為1窄帶譜,半寬1/50f0-1/31/3G(f)2/3-2/3251-12-2二維線性不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(f)1f01-12-2二維線性不變系統(tǒng)G’(f)=G(f).H(f)f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20二維線性不變系統(tǒng)輸出頻譜:G’(f)f0-1/31/32/3-2/350/31-12-2G’(f)=G(f).H(f)輸出:輸出頻譜:{comb(x)}=

{1}=

{d(fx,fy)}=

{rect(x)}= {sinc(x)}=d(fx,fy);11與d函數(shù)互為F.T.comb(f)comb(tf)sinc(f);rect(f)快速搶答?。?！

{d(x-a)}= {exp(j2pfax)}=exp(-j2pfxa)d(fx-fa)

{tri(x)}

=sinc2(f)快速搶答?。?！線性系統(tǒng)脈沖響應(yīng)線性不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)激勵(lì)的線性組合的整體響應(yīng)等于單個(gè)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合系統(tǒng)對(duì)輸入脈沖函數(shù)的響應(yīng)輸入脈沖位移時(shí),僅使響應(yīng)函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)的位移，則此線性系統(tǒng)稱為線性不變系統(tǒng)線性不變系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)的F.T.即為傳遞函數(shù)線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系空域頻域G(fx,fy)=F(fx,fy)?H(fx,fy)1.9二維線性不變系統(tǒng)

傳遞函數(shù)－頻率響應(yīng)注意H(fx,fy)是h(x,y)的F.T.,即h(x,y)的頻譜函數(shù)h(x,y)是對(duì)d(x,y)函數(shù)的響應(yīng)d函數(shù)的頻譜恒為1,即含有所有頻率成分,并且各頻率成分的權(quán)重都相等(=1).但h(x,y)的頻譜已經(jīng)改變成H(fx,fy)∴H(fx,fy)反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的響應(yīng),即頻率響應(yīng)Analysisof2-DimensionalLinearSystem

1.10抽樣定理SamplingTheorem問題的提出:對(duì)于一個(gè)連續(xù)的信號(hào)(模擬信號(hào)),是否必須連續(xù)地發(fā)送,才能傳遞信號(hào)所包含的全部信息?答:為了完全描述一個(gè)頻帶受限制的信號(hào)(帶限信號(hào)),可以對(duì)它在離散點(diǎn)(時(shí)間或空間點(diǎn))進(jìn)行抽樣.抽樣定理若函數(shù)g(x,y)不包括高于Bx

和By的頻率分量,則此函數(shù)可以由一系列間隔(X,Y)等于或小于1/(2Bx)和1/(2By)處的函數(shù)值完全決定.

X,Y:時(shí)/空域,間隔;Bx,By:頻域,帶寬1.10抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣上式表明,抽樣后的函數(shù)gs(x,y)由間距分別為X和Y的d函數(shù)陣列構(gòu)成,每個(gè)d函數(shù)下的體積正比于該點(diǎn)的函數(shù)值.將連續(xù)函數(shù)g(x,y)在間隔為X和Y的分立的空間點(diǎn)上抽樣,就是與梳函數(shù)相乘的過程.抽樣后的函數(shù)系列用gs(x,y)表達(dá):g(x)0x=x0xcomb(x/X).0gs(x)#1.10抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣：二維情形1.10抽樣定理抽樣函數(shù)gs(x,y)的頻譜經(jīng)過抽樣后函數(shù)的頻譜,是原連續(xù)函數(shù)的頻譜以間隔1/X,1/Y重復(fù)平移并疊加.1.10抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

抽樣后函數(shù)gs(x,y)的頻譜如果G

(fx,fy)頻帶無限制,則這些頻譜函數(shù)必然會(huì)疊加Gs(fx,fy)即使G

(fx,fy)是頻帶有限的函數(shù),若X,Y取值不合適,這些重復(fù)的頻譜函數(shù)之間也會(huì)互相重疊.fxGs(fx)01/X1/X只有使這些頻譜函數(shù)互不重疊,才有可能用濾波的方法,從中提取出原函數(shù)的頻譜,進(jìn)而求出原函數(shù).fxGs(fx)01.10抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxG(fx)-BxBx0Gs(fx,fy)(2)原函數(shù)抽樣時(shí),在x方向和y方向抽樣點(diǎn)的間隔X和Y不得大于1/(2Bx)和1/(2By),(1)g(x,y)是限帶函數(shù),其頻譜G

(fx,fy)僅在頻率平面上一個(gè)有限區(qū)域上不為零.2Bx,2By:帶寬:包圍的最小矩形在fx

和fy方向上的寬度.則Gs中各個(gè)區(qū)域(間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會(huì)重疊fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用濾波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜G,進(jìn)而求出原函數(shù).1.10抽樣定理

二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxGs(fx)-BxBx01/X則Gs中各個(gè)區(qū)域(間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會(huì)重疊,有可能用濾波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜G,進(jìn)而求出原函數(shù).稱為奈奎斯特(Niquest)間隔只要以小于或等于奈奎斯特間隔對(duì)g(x,y)抽樣,則gs(x,y)的頻譜就是G

(fx,fy)的周期性復(fù)現(xiàn),包含了g(x,y)的全部信息.1.10抽樣定理

2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波為了從gs(x,y)中還原出g(x,y),將gs(x,y)通過一個(gè)理想低通濾波器,只允許所有頻率|fx|<Bx,|fy|<By

的頻率分量無畸變地通過,而將此區(qū)域以外的頻率分量完全阻塞.fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通濾波器的頻率特性為頻域中的門函數(shù)1.10抽樣定理

2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波用頻域中寬度2Bx和2By的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù):

濾波過程

:根據(jù)卷積定理，在空間域得到:

1.10抽樣定理

2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波若取最大允許的抽樣間隔，即X=1/(2Bx)，Y=1/(2By)

，則用函數(shù)的抽樣值計(jì)算出原函數(shù)：原函數(shù)在分立點(diǎn)上的抽樣值插值函數(shù)插值:由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算非抽樣點(diǎn)函數(shù)值空域中等效于：1.10抽樣定理

抽樣和還原的圖示g(x)0xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X......fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/XX<1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽樣fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.還原1.10抽樣定理抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=Sinc函數(shù)稱為內(nèi)插函數(shù)頻域?yàn)V波相當(dāng)于空域的插值運(yùn)算連續(xù)函數(shù)具有的信息內(nèi)容等效于一系列的信息抽樣.重新恢復(fù)連續(xù)函數(shù)所必需的離散值的最小數(shù)目由抽樣定理決定.1.10抽樣定理抽樣和還原的圖示抽樣空域g(x,y)頻域G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)還原低通濾波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y