連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)

關(guān)于連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)一、最大值和最小值定理定義:例如,第2頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.第3頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證第4頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、介值定理定義:第5頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天幾何解釋:第6頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天證由零點(diǎn)定理,abABMmC幾何解釋:第7頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1證由零點(diǎn)定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.第8頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明:內(nèi)必有方程的根;取的中點(diǎn)內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法則則第9頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2證由零點(diǎn)定理,第10頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3證由零點(diǎn)定理知總之第11頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點(diǎn)②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，再利用零點(diǎn)定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的ξ(或x0或c)改寫(xiě)成x（2）移項(xiàng)使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求第12頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天

區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。第13頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.

任給一張面積為A

的紙片(如圖),證明必可將它思考與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標(biāo)系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:第14頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第15頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答且第16頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題下述命題是否正確？第17頁(yè),