備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國(guó)通用）專題1-5 正方形基本型·母題溯源（解析版）

專題1-5正方形基本型（母題溯源）模型解讀 2【模型一】中點(diǎn)+折疊 2【模型二】雙中點(diǎn)（十字架模型拓展） 4【模型三】對(duì)角線模型 12【模型四】半角模型 12題型一中點(diǎn)+折疊模型 16題型二雙中點(diǎn)模型（十字架拓展） 202023·東營(yíng)·中考真題 202203·綏化·中考真題 23題型三對(duì)角線模型 282023·攀枝花·中考真題 352023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題 37題型四半角模型（七個(gè)性質(zhì)） 382023·重慶·中考真題 382023·眉山·中考真題 392022達(dá)州·中考真題 41模型解讀【模型一】中點(diǎn)+折疊 性質(zhì)一：；性質(zhì)二：F，G為中點(diǎn)；性質(zhì)三：;性質(zhì)四：；性質(zhì)五：；性質(zhì)六：性質(zhì)一證明：性質(zhì)二證明：G是BC中點(diǎn)性質(zhì)三，四證明：HL全等 性質(zhì)五證明：勾股，或“12345”模型 【12345模型說明】易知， ，故，記性質(zhì)六證明：12345模型【模型二】雙中點(diǎn)（十字架模型拓展）(1)知2推1：①M(fèi)中點(diǎn)；②N是中點(diǎn)；③AM⊥DN(2)已知：M是中點(diǎn)，N是中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，交AD于F

①求_________證明：EC平分∠NEM求【解析】證明：法一：角平分線逆定理 法二：旋轉(zhuǎn)相似（手拉手模型） 法三：四點(diǎn)共圓法一：角平分線定理法二：12345模型（正切和角公式）（3）已知：M，N是中點(diǎn)，O是中心，連接OE，①求DE:EG:GN;②證∠OEC=90°【解析】第一問【解析】第二問法一：由（2）可知∠NEC=45°，故構(gòu)造手拉手模型可得△黃≌△黃(SAS)，從而可得∠NEO=45°，得證或者換個(gè)方向也可以，像這種方方正正的圖形也可以試試建系法二：四點(diǎn)共圓 法三：補(bǔ)成玄圖易知∠OEG=45° （4）已知：M，N是中點(diǎn),連接BE，證BE=CD【解析】法一斜邊上的中線等于斜邊一般法二：過AD的中點(diǎn)P作AE垂線，交AM于Q，可得Q是AE中點(diǎn)，則BQ垂直平分AE，故AB=BE法三：對(duì)角互補(bǔ)得四點(diǎn)共圓，導(dǎo)角得等腰法四：勾股定理，由（2）可知DE：NE=2:3，設(shè)值求值即可（5）已知：M，N是中點(diǎn),連接BE，AH⊥BE于H，交DN于K，證AK=CD【解析】法一：構(gòu)造玄圖導(dǎo)等腰法二：四點(diǎn)共圓法三：建系求坐標(biāo)（略）【模型三】對(duì)角線模型 【模型四】半角模型 如圖，已知ABCD為正方形，∠FAE=45°，對(duì)角線BD交AE于M，交AF與N，AG⊥EF5個(gè)條件知1推4∠EAF=45°，AG=ABAE平分∠BEFAF平分∠DFE 【性質(zhì)【性質(zhì)一】5個(gè)條件知1推4（全等）【性質(zhì)二】（勾股證）【性質(zhì)三】∠MGN=90°【性質(zhì)四】；；（2組子母，1共享型相似）【性質(zhì)五】△ANE，△AMF，是2個(gè)隱藏的等腰直角三角形（反8字相似或四點(diǎn)共圓）【性質(zhì)六】△AMN∽△AFE，且相似比為（用全等導(dǎo)角）【性質(zhì)七】（旋轉(zhuǎn)相似）【性質(zhì)一】DF＋BE＝EF易證△ABE≌△AGE，易證△AGF≌△ADF【性質(zhì)二】簡(jiǎn)證，如圖 【性質(zhì)三】∠MGN=90°簡(jiǎn)證，如圖：兩組全等【性質(zhì)四】；；（2組子母，1共享型相似）簡(jiǎn)證③，如圖SABCD＝BN·DM（共享型相似）∠1=45°+∠2=∠BAN?△BAN∽△DMA?BN?DM=AB?AD【性質(zhì)五】△ANE，△AMF，是2個(gè)隱藏的等腰直角三角形簡(jiǎn)證，以△ANE為例，△AMF方法相同法一：兩次相似△AMN∽△BME?△BMA∽△EMN∠ABM=∠NEM=45°法二：ABEN四點(diǎn)共圓，對(duì)角互補(bǔ)∠ABE+∠ANE=180°或∠ABN=∠AEN【性質(zhì)六】△AMN∽△AFE，且相似比為先證相似，易知∠1=∠2=∠3，故相似成立相似比為： 【性質(zhì)七】 題型一中點(diǎn)+折疊模型1．如圖，在邊長(zhǎng)4的正方形中，是邊的中點(diǎn)，將沿直線折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)處，再將其打開、展平，得折痕．連接、、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：四邊形是正方形，，，是邊的中點(diǎn)，，將沿直線折疊得到，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，故①正確；，，，，，故②正確；，，，，，，，故③錯(cuò)誤；過作于，，設(shè)，則，，，解得：，（舍去），，，故④正確；2．如圖，正方形中，，點(diǎn)在邊上，，將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接，，給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如圖，由折疊可知，，，，在和中，，，故①正確；正方形邊長(zhǎng)是12，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，即：，解得：，，，故②正確，，，，，，，故③正確；，，故④正確．綜上可知正確的結(jié)論的是4個(gè)3．如圖，矩形中，，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落到上的點(diǎn)處，則折痕的長(zhǎng)是．【解答】解：如圖，連接，四邊形為矩形，，，，為中點(diǎn)，由翻折知，，，，，，平分，，，，，，，又，，，，，題型二雙中點(diǎn)模型（十字架拓展）2023·東營(yíng)·中考真題1．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點(diǎn)，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作垂足為，連接，有下列四個(gè)結(jié)論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【答案】D【詳解】解：為正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正確.由①可知，，，，，，由①可知，.故③正確.為正方形，且邊長(zhǎng)為4，，在中，.由①可知，，，.由圖可知，和等高，設(shè)高為，，，，.故④不正確.由①可知，，，關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作，交于，交于，最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，.故②不正確.綜上所述，正確的是①③2．如圖，正方形中，點(diǎn)、、分別為邊、、上的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)，則結(jié)論①；②；③四邊形是平行四邊形；④中，正確的有個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解答】解：且，四邊形為平行四邊形，故③正確；，在和中，，，，，．點(diǎn)為中點(diǎn)，為的中位線，即為的垂直平分線，，，故②錯(cuò)誤；在和中，，，，，，故①正確；，、、、四點(diǎn)共圓，，，，在中，，，，，，故④錯(cuò)誤．2203·綏化·中考真題3．如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正確；∵，∴,如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，

又∵，∴四邊形是矩形，∵是的角平分線，∴，∴四邊形是正方形，∴∵∴設(shè)，則在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正確4．如圖，已知，分別為正方形的邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的是A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤【解答】解：在正方形中，，，、分別為邊，的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，故①正確；是的中線，，，故②錯(cuò)誤；，，，，，，，故④正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，在中，，，，，，即，解得，，，故⑤正確；如圖，過點(diǎn)作于，則，即，解得，，，根據(jù)勾股定理，，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于，則，，在中，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，，，，，是直角三角形，，故③正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤共4個(gè)5．如圖，在正方形中，E、F分別在、邊上，且，連接、相交于G點(diǎn)．則下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，連接，則，正確的結(jié)論是．（填序號(hào)）

【答案】①②③④【分析】①由“”可證，可得；②由全等三角形的性質(zhì)可得，由面積和差關(guān)系可得；③通過證明，可得，可得結(jié)論；④通過證明點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)G，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，可證．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，故①正確，∵，∴S△BCE＝S△CDF，∴；故②正確，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故③正確；如圖，連接，

∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)G，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∴，故④正確；綜上所述：正確的有①②③④題型三對(duì)角線模型1．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，動(dòng)點(diǎn)，分別以相同的速度從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向和運(yùn)動(dòng)（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，在運(yùn)動(dòng)過程中則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤線段的最小值為．其中正確的結(jié)論有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解答】解：動(dòng)點(diǎn)，的速度相同，，又，，在和中，，故①正確；，，故②正確；，，，故③正確；在和中，，，，，，，，故④正確；點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中保持，點(diǎn)的路徑是一段以為直徑的弧，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接交弧于點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小，在中，，，，即線段的最小值為，故⑤錯(cuò)誤；綜上可知正確的有4個(gè)，故選：．2．如圖，正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如圖，連接，四邊形為正方形，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；，，，，即，故③正確；如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，易證，是直角三角形，，，設(shè)，則，，解得：，即，故④正確．故選：．3．如圖，正方形中，點(diǎn)，分別為邊，上的點(diǎn)，連接，，與對(duì)角線分別交于點(diǎn)，，連接．若，則下列判斷錯(cuò)誤的是A． B． C．，分別為邊，的中點(diǎn) D．【解答】解：如圖1，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)與重合，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上．，．，．即．在與中，，，，，故選項(xiàng)不合題意，如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)與重合，，，，，，，，，，，，又，，，，，，故選項(xiàng)不合題意；，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，故選項(xiàng)不合題意，故選：．4．在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)且，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、，若，則的面積是．【解答】解：如圖，過作于，連接，，，，，設(shè)，，，則，為的中點(diǎn)，，四邊形是正方形，平分，，，，，故答案為：．5.如圖，正方形AFBH,點(diǎn)T是邊AF上一動(dòng)點(diǎn),M是HT的中點(diǎn),MN⊥HT交AB于N,當(dāng)點(diǎn)T在AF上運(yùn)動(dòng)時(shí),的值是否發(fā)生改變?若改變求出其變化范圍:若不改變請(qǐng)求出其值并給出你的證明【解析】易知NT=HN，證明∠TNH=90°即可2023·攀枝花·中考真題6．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，則（

）

A． B．2 C． D．【答案】C【分析】先證四邊形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求，的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由“”可證，可得．【詳解】解：如圖：

連接，四邊形是正方形，，，，，，四邊形是矩形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題7.如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，，在和中，，，，，，，又，，設(shè)，則，，，解得，，，

題型四半角模型（七個(gè)性質(zhì)）2023·重慶·中考真題1．如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于（）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，∴，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，∵，，，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∵，∴2023·眉山·中考真題2．如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連結(jié)，交于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連結(jié)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，可判斷②不一定成立．【詳解】解：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；

又∵,,∴,∴，∵，即：，∴，∴，故③正確，又∵，∴，∴，又∵，∴，故④正確，∵若，則，又∵，∴，而點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，而，則故不一定成立，故②錯(cuò)誤；綜上，正確的有①③④共3個(gè)3．如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①垂直平分；②；③當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，又，垂直平分，故①正確；，，垂直平分，，當(dāng)平分時(shí)，，即，故②錯(cuò)誤；，，，又，是等邊三角形，故③正確；，，是等邊三角形，，，，，，故④錯(cuò)誤.2022達(dá)州·中考真題4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，，分別交對(duì)角線于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持，連接，，．以下結(jié)論：①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若過點(diǎn)B作，垂足為H，連接，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④⑤【分析】連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可判斷①正確；通過證明，，可證明②正確；作，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，通過證明，可判斷③錯(cuò)誤；通過證明，，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明④正確；當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，分別求解即可判斷⑤正確．【詳解】如圖1，連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，四邊形ABCD是正方形，垂直平分BD，，，，，故①正確；，，，，，即，，，，，，，故②正確；如圖2，作，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，，，，，，即，，故③錯(cuò)誤；如圖1，四邊形ABCD是正方形，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，故④正確；如圖1，當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，，，，，，故⑤正確5．如圖，點(diǎn)、分別是正方形的邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中保持，、分別與對(duì)角線交于點(diǎn)、，連接、相交于點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③；④，一定成立的是．

【答案】①②③【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，由可證，可得，可得，故①正確；由可證，可得，由勾股定理可得；故②正確；通過證明，可得，可證，故③正確；通過證明點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，可證，由，可得，故④錯(cuò)誤，即可求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

，，，，，'，點(diǎn)在直線上，，，，又，，（），，，；故①正確；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，，，，又，，（），∴，，；故②正確；，，，又，，，又，，故③正確；，點(diǎn)A，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，同理可求，，，，，，，，，故④錯(cuò)誤6．如圖，點(diǎn)、分別是正方形的邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中保持，、分別與對(duì)角線交于點(diǎn)、，連接、相交于點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③；④，一定成立的是A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，，點(diǎn)在直線上，，，，又，，△，，，；故①正確；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，，，，又，，，，，；故②正確；，，，又，，，又，，故③正確；，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，同理可求，，，，，，，，，故④錯(cuò)誤7．如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，重合），，分別交于，兩點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④是等腰三角形．其中正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，，，，△，，，；故①正確；，，，，，，，，，故②正確；，即，，，，是等腰直角三角形，；故③正確；在與中，，，，，，是等腰三角形，故④正確；8．如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)O，D重合）連接，過點(diǎn)F作分別交，于點(diǎn)H，G，連接交于點(diǎn)M，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)N．有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②；③時(shí)，；④．其中正確的是（