滬科版八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)精講精練 專題01 二次根式的有關(guān)概念和性質(zhì) （知識點(diǎn)考點(diǎn)串編）-【專題重點(diǎn)突破】(原卷版+解析)

專題01二次根式的概念和性質(zhì)（知識點(diǎn)考點(diǎn)串編）【思維導(dǎo)圖】?知識點(diǎn)一：二次根式的定義?知識點(diǎn)一：二次根式的定義知識點(diǎn)技巧：二次根式概念：一般地，我們把形如（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號?！咀⒁狻?.二次根式，被開方數(shù)a可以是一個具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式。2.二次根式是一個非負(fù)數(shù)。3.二次根式與算術(shù)平方根有著內(nèi)在聯(lián)系，（??≥0）就表示a的算術(shù)平方根?！颉蚩键c(diǎn)1：二次根式的值例．(2023·浙江·九年級專題練習(xí)）當(dāng)時，二次根式的值等于（

）A．4 B．2 C． D．0練習(xí)1．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）當(dāng)為實(shí)數(shù)時，下列各式中是二次根式的是（

）個，，，，，A．個 B．個 C．個 D．個練習(xí)2．(2023·河北·中考真題）與結(jié)果相同的是（

）．A．B．C． D．練習(xí)3．(2023·河南林州·八年級期末）已知當(dāng)時，代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．◎◎考點(diǎn)2：求二次根式中的參數(shù)例．(2023·天津一中八年級期中）已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8練習(xí)1．(2023·甘肅·酒泉市第二中學(xué)八年級期中）若、為實(shí)數(shù)，且，則的值()A．-2 B．1 C．2 D．-1練習(xí)2．(2023·江蘇·豐縣歡口鎮(zhèn)歡口初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如果，則的平方根是（

）A．-7 B．1 C．7 D．±1練習(xí)3．(2023·全國·八年級）已知是整數(shù)，則滿足條件的最小的正整數(shù)n的值是(

)A．0 B．1 C．2 D．5?知識點(diǎn)二：二次根式有意義的條件知識點(diǎn)技巧：二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。例．?知識點(diǎn)二：二次根式有意義的條件知識點(diǎn)技巧：二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。A．x＜2 B．x≥2 C．x＞2 D．x≠2練習(xí)1．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（

）A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．x＜2練習(xí)2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（

）A．x＞﹣3且x≠0 B．x≠0 C．x＞﹣3 D．x≠﹣3或x≠0練習(xí)3．(2023·湖南南縣·八年級期末）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．??知識點(diǎn)三：二次根式的性質(zhì)和化簡知識點(diǎn)技巧：二次根式的性質(zhì)：1．含有兩種相同的運(yùn)算，兩者都需要進(jìn)行平方和開方。2．結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。3．當(dāng)a≧0時，◎◎考點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)化簡例．(2023·湖南·長沙市湘一立信實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期末）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A．2a B．2b C．﹣2b D．﹣2a練習(xí)1．(2023·江蘇·沭陽縣懷文中學(xué)八年級期末）若成立，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．任意實(shí)數(shù)練習(xí)2．(2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．練習(xí)3．(2023·福建省福州第十六中學(xué)八年級期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．1◎◎考點(diǎn)4：復(fù)合二次根式的化簡考點(diǎn)技巧：二次根式的性質(zhì)：（1）（2）例．(2023·湖北鄂州·八年級期末）把(2-x)的根號外的（2-x）適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)，得（

）A． B． C． D．練習(xí)1．(2023·全國·八年級單元測試）化簡﹣（）2得（

）A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2練習(xí)2．(2023·安徽銅陵·八年級期末）下列計算正確的是（）A．30 B．4C．9 D．5+4=9練習(xí)3．(2023·河南原陽·九年級期中）化簡二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．專題01二次根式的概念和性質(zhì)（知識點(diǎn)考點(diǎn)串編）【思維導(dǎo)圖】?知識點(diǎn)一：二次根式的定義?知識點(diǎn)一：二次根式的定義知識點(diǎn)技巧：二次根式概念：一般地，我們把形如（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。【注意】1.二次根式，被開方數(shù)a可以是一個具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式。2.二次根式是一個非負(fù)數(shù)。3.二次根式與算術(shù)平方根有著內(nèi)在聯(lián)系，（??≥0）就表示a的算術(shù)平方根。◎考點(diǎn)1：二次根式的值例．(2023·浙江·九年級專題練習(xí)）當(dāng)時，二次根式的值等于（

）A．4 B．2 C． D．0答案:B解析：分析：把代入解題即可【詳解】解：把代入得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義和二次根式的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）當(dāng)為實(shí)數(shù)時，下列各式中是二次根式的是（

）個，，，，，A．個 B．個 C．個 D．個答案:B解析：分析：直接利用二次根式的定義，形如的代數(shù)進(jìn)行分析得出答案．【詳解】解：是二次根式的有：、、、共4個．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的定義，形如的代數(shù)式，正確把握定義是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．(2023·河北·中考真題）與結(jié)果相同的是（

）．A． B．C． D．答案:A解析：分析：根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵，且選項B、C、D的運(yùn)算結(jié)果分別為：4、6、0故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式、有理數(shù)運(yùn)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的性質(zhì)，即可得到答案．練習(xí)3．(2023·河南林州·八年級期末）已知當(dāng)時，代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：由題意直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及去絕對值的方法，進(jìn)行分析運(yùn)算即可.【詳解】解：∵，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式和去絕對值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)以及去絕對值的方法是解題的關(guān)鍵.◎考點(diǎn)2：求二次根式中的參數(shù)例．(2023·天津一中八年級期中）已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8答案:C解析：分析：因?yàn)槭钦麛?shù)，且，則6n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為6．【詳解】解：，且是整數(shù)，∴是整數(shù)，即6n是完全平方數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值為6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是根據(jù)乘除法則和二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件時被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行解答練習(xí)1．(2023·甘肅·酒泉市第二中學(xué)八年級期中）若、為實(shí)數(shù)，且，則的值()A．-2 B．1 C．2 D．-1答案:D解析：分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子計算即可．【詳解】解：∵，∴x+2=0，y－2=0，∴x=﹣2，y=2，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，明確實(shí)數(shù)絕對值和二次根式的非負(fù)性以及﹣1的奇次冪的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．(2023·江蘇·豐縣歡口鎮(zhèn)歡口初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如果，則的平方根是（

）A．-7 B．1 C．7 D．±1答案:D解析：分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出x、y的值，再代入求解即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，故，則，故的平方根是：±1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于二次根式的運(yùn)算問題，掌握二次根式的性質(zhì)、平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．(2023·全國·八年級）已知是整數(shù)，則滿足條件的最小的正整數(shù)n的值是(

)A．0 B．1 C．2 D．5答案:D解析：分析：首先化簡二次根式進(jìn)而得出n的最小值．【詳解】∵2是整數(shù)，∴最小正整數(shù)n的值是5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，正確化簡二次根式得出是解題的關(guān)鍵．?知識點(diǎn)二：二次根式有意義的條件知識點(diǎn)技巧：二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。例．?知識點(diǎn)二：二次根式有意義的條件知識點(diǎn)技巧：二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。A．x＜2 B．x≥2 C．x＞2 D．x≠2答案:C解析：分析：根據(jù)分式有意義的條件以及二次根式有意義的條件列出不等式組，解不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：x＞2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式，分式有意義的條件以及二次根式有意義的條件，注意同時滿足條件是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（

）A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．x＜2答案:C解析：分析：根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，建立不等式求解即可．【詳解】解：由題意得：﹣2x+4≥0，解得：x≤2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解不等式，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（

）A．x＞﹣3且x≠0 B．x≠0 C．x＞﹣3 D．x≠﹣3或x≠0答案:C解析：分析：根據(jù)二次根式及分式有意義的條件求解即可得．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件可得：，解得：，∵在分母上，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式及分式有意義的條件，理解題意，熟練掌握運(yùn)用兩個有意義的條件是解題關(guān)鍵．練習(xí)3．(2023·湖南南縣·八年級期末）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．答案:A解析：分析：根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于零、二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)解答即可．【詳解】依題意，有解得：且．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．掌握使分式有意義的條件即分母不等于零和二次根式有意義的條件即被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．??知識點(diǎn)三：二次根式的性質(zhì)和化簡知識點(diǎn)技巧：二次根式的性質(zhì)：1．含有兩種相同的運(yùn)算，兩者都需要進(jìn)行平方和開方。2．結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。3．當(dāng)a≧0時，◎考點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)化簡例．(2023·湖南·長沙市湘一立信實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期末）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A．2a B．2b C．﹣2b D．﹣2a答案:B解析：分析：根據(jù)數(shù)軸判斷b?a、b、a與0的大小關(guān)系，然后根據(jù)二次根式以及絕對值的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可知：a＜?b＜0＜b＜?a，∴b?a＞0，∴原式＝b＋b?a＋a＝2b，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．練習(xí)1．(2023·江蘇·沭陽縣懷文中學(xué)八年級期末）若成立，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．任意實(shí)數(shù)答案:A解析：分析：根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)及去絕對值的方法即可求解．【詳解】∵∴x-2≤0∴故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平方根的性質(zhì)及去絕對值的方法．練習(xí)2．(2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】A.，該選項錯誤；B.，該選項正確；C.，該選項錯誤；D.，根號里面的數(shù)不能為負(fù)數(shù)，該選項錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．練習(xí)3．(2023·福建省福州第十六中學(xué)八年級期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．1答案:D解析：分析：根據(jù)確定的取值范圍，將里面的數(shù)化成完全平方形式，利用二次根式的性質(zhì)去根號，然后合并同類項即可．【詳解】解：由可知：故原式化簡為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了去二次根號以及二次根式的基本性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，求解該題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)4：復(fù)合二次根式的化簡考點(diǎn)技巧：二次根式的性質(zhì)：（1）（2）例．(2023·湖北鄂州·八年級期末）把(2-x)的根號外的（2-x）適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)，得（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：由題意易得x>2，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，解得：x>2，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．(2023·全國·八年級單元測試）化簡﹣（）2得（

）A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2答案:C解析：分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得答案.【詳解】解:1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0,原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故選C.【點(diǎn)睛】主要考查了根據(jù)二次根式的意義及化簡.二次根式規(guī)律總結(jié):當(dāng)a＞0時,=a;當(dāng)a<0時,=-a.二次根式=a,(a≥0).練習(xí)2．(2023·安徽銅陵·八年級期末）下列計算正確的是（）A