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認證主體：吳**（實名認證）

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IP屬地：云南 上傳時間：2024-03-27 格式：DOC 頁數(shù)：12 大小：250KB 積分：30 舉報 版權申訴

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）設集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 2．（5分）設（1+2i）（a+i）的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 3．（5分）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A． B． C． D． 4．（5分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，則b=（）A． B． C．2 D．3 5．（5分）直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D． 6．（5分）將函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣） 7．（5分）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A．17π B．18π C．20π D．28π 8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，則（）A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb 9．（5分）函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大致為（）A． B． C． D． 10．（5分）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 11．（5分）平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B． C． D． 12．（5分）若函數(shù)f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣] 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13．（5分）設向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，則x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ﹣）=．15．（5分）設直線y=x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B兩點，若|AB|=2，則圓C的面積為．16．（5分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元．三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（12分）已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求{bn}的前n項和．18．（12分）如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G．（Ⅰ）證明：G是AB的中點；（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．19．（12分）某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？20．（12分）在直角坐標系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px（p＞0）于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修41：幾何證明選講]22．（10分）如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O為圓心，OA為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]23．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；（Ⅱ）直線C3的極坐標方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a．[選修45：不等式選講]24．已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫出y=f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）設集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考點】1E：交集及其運算．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的運算法則化簡求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B={3，5}．故選：B．【點評】本題考查交集的求法，考查計算能力．2．（5分）設（1+2i）（a+i）的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【考點】A5：復數(shù)的運算．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】利用復數(shù)的乘法運算法則，通過復數(shù)相等的充要條件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的實部與虛部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故選：A．【點評】本題考查復數(shù)的相等的充要條件的應用，復數(shù)的乘法的運算法則，考查計算能力．3．（5分）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A． B． C． D． 【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【專題】12：應用題；34：方程思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】確定基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式，可得結論．【解答】解：從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，有=6種方法，紅色和紫色的花在同一花壇，有2種方法，紅色和紫色的花不在同一花壇，有4種方法，所以所求的概率為=．另解：由列舉法可得，紅、黃、白、紫記為1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），則P==．故選：C．【點評】本題考查等可能事件的概率計算與分步計數(shù)原理的應用，考查學生的計算能力，比較基礎．4．（5分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，則b=（）A． B． C．2 D．3 【考點】HR：余弦定理．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，從而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故選：D．【點評】本題主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．5．（5分）直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D． 【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設出橢圓的方程，求出直線的方程，利用已知條件列出方程，即可求解橢圓的離心率．【解答】解：設橢圓的方程為：，直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，則直線方程為：，橢圓中心到l的距離為其短軸長的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故選：B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查點到直線的距離公式，橢圓的離心率的求法，考查計算能力．6．（5分）將函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣） 【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】求得函數(shù)y的最小正周期，即有所對的函數(shù)式為y=2sin[2（x﹣）+]，化簡整理即可得到所求函數(shù)式．【解答】解：函數(shù)y=2sin（2x+）的周期為T==π，由題意即為函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象向右平移個單位，可得圖象對應的函數(shù)為y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故選：D．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換，注意相位變換針對自變量x而言，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．7．（5分）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A．17π B．18π C．20π D．28π 【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結合；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關系與距離．【分析】判斷三視圖復原的幾何體的形狀，利用體積求出幾何體的半徑，然后求解幾何體的表面積．【解答】解：由題意可知三視圖復原的幾何體是一個球去掉后的幾何體，如圖：可得：=，R=2．它的表面積是：×4π?22+=17π．故選：A．【點評】本題考查三視圖求解幾何體的體積與表面積，考查計算能力以及空間想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，則（）A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb 【考點】4M：對數(shù)值大小的比較．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性結合換底公式，逐一分析四個結論的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴l(xiāng)ogca＜logcb，故B正確；∴當a＞b＞1時，0＞logac＞logbc，故A錯誤；ac＞bc，故C錯誤；ca＜cb，故D錯誤；故選：B．【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．9．（5分）函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】27：圖表型；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性，最大值及單調(diào)性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當x=±2時，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；當x∈[0，2]時，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是單調(diào)的，故排除C，故選：D．【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，對于超越函數(shù)的圖象，一般采用排除法解答．10．（5分）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考點】EF：程序框圖．【專題】11：計算題；28：操作型；5K：算法和程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量x，y的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：輸入x=0，y=1，n=1，則x=0，y=1，不滿足x2+y2≥36，故n=2，則x=，y=2，不滿足x2+y2≥36，故n=3，則x=，y=6，滿足x2+y2≥36，故y=4x，故選：C．【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答．11．（5分）平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B． C． D． 【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結合；35：轉(zhuǎn)化思想；5G：空間角．【分析】畫出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．【點評】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．12．（5分）若函數(shù)f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣] 【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4C：分類法；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】求出f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（x）≥0恒成立，設t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，對t討論，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分離參數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x﹣sin2x+asinx的導數(shù)為f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由題意可得f′（x）≥0恒成立，即為1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，設t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，當t=0時，不等式顯然成立；當0＜t≤1時，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]遞增，可得t=1時，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；當﹣1≤t＜0時，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）遞增，可得t=﹣1時，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．綜上可得a的范圍是[﹣，]．另解：設t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由題意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范圍是[﹣，]．故選：C．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13．（5分）設向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，則x=．【考點】9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】11：計算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應用．【分析】根據(jù)向量垂直的充要條件便可得出，進行向量數(shù)量積的坐標運算即可得出關于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案為：．【點評】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標運算，清楚向量坐標的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ﹣）=．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】由θ得范圍求得θ+的范圍，結合已知求得cos（θ+），再由誘導公式求得sin（）及cos（），進一步由誘導公式及同角三角函數(shù)基本關系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，則，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．則tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案為：﹣．【點評】本題考查兩角和與差的正切，考查誘導公式及同角三角函數(shù)基本關系式的應用，是基礎題．15．（5分）設直線y=x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B兩點，若|AB|=2，則圓C的面積為4π．【考點】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5B：直線與圓．【分析】圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圓心坐標為（0，a），半徑為，利用圓的弦長公式，求出a值，進而求出圓半徑，可得圓的面積．【解答】解：圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圓心坐標為（0，a），半徑為，∵直線y=x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B兩點，且|AB|=2，∴圓心（0，a）到直線y=x+2a的距離d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圓的半徑r=2．故圓的面積S=4π，故答案為：4π【點評】本題考查的知識點是直線與圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，難度中檔．16．（5分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結合；33：函數(shù)思想；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】設A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，根據(jù)題干的等量關系建立不等式組以及目標函數(shù)，利用線性規(guī)劃作出可行域，通過目標函數(shù)的幾何意義，求出其最大值即可；【解答】解：（1）設A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元．由題意，得，z=2100x+900y．不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），目標函數(shù)z=2100x+900y．經(jīng)過A時，直線的截距最大，目標函數(shù)取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案為：216000．【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，不等式組解實際問題的運用，不定方程解實際問題的運用，解答時求出最優(yōu)解是解題的關鍵．三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（12分）已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求{bn}的前n項和．【考點】8H：數(shù)列遞推式．【專題】11：計算題；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，結合{an}是公差為3的等差數(shù)列，可得{an}的通項公式；（Ⅱ）由（1）可得：數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，進而可得：{bn}的前n項和．【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．當n=1時，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{an}是公差為3的等差數(shù)列，∴an=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．即3bn+1=bn．即數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴{bn}的前n項和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．【點評】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項公式，數(shù)列的前n項和公式，難度中檔．18．（12分）如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G．（Ⅰ）證明：G是AB的中點；（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；MK：點、線、面間的距離計算．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意分析可得PD⊥平面ABC，進而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，結合兩者分析可得AB⊥平面PDE，進而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性質(zhì)可得證明；（Ⅱ）由線面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．由棱錐的體積公式計算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵P﹣ABC為正三棱錐，且D為頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影，∴PD⊥平面ABC，則PD⊥AB，又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影，∴DE⊥面PAB，則DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，連接PE并延長交AB于點G，則AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中點；（Ⅱ）在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．∵正三棱錐P﹣ABC的側面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．連結CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD=CG．由題設可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面體PDEF的體積V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．【點評】本題考查幾何體的體積計算以及線面垂直的性質(zhì)、應用，解題的關鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關系．19．（12分）某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；5C：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；B8：頻率分布直方圖．【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）若n=19，結合題意，可得y與x的分段函數(shù)解析式；（Ⅱ）由柱狀圖分別求出各組的頻率，結合“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分別求出每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件時的平均費用，比較后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）當n=19時，y==（Ⅱ）由柱狀圖知，更換的易損零件數(shù)為16個頻率為0.06，更換的易損零件數(shù)為17個頻率為0.16，更換的易損零件數(shù)為18個頻率為0.24，更換的易損零件數(shù)為19個頻率為0.24又∵更換易損零件不大于n的頻率為不小于0.5．則n≥19∴n的最小值為19件；（Ⅲ）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，所須費用平均數(shù)為：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買20個易損零件，所須費用平均數(shù)為（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴購買1臺機器的同時應購買19臺易損零件．【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，頻率分布條形圖，方案選擇，難度中檔．20．（12分）在直角坐標系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px（p＞0）于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由．【考點】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐標，利用=，求；（Ⅱ）直線MH的方程為y=x+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判別式可得結論．【解答】解：（Ⅰ）將直線l與拋物線方程聯(lián)立，解得P（，t），∵M關于點P的對稱點為N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程為y=x，與拋物線方程聯(lián)立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知kMH=，∴直線MH的方程為y=x+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直線MH與C除點H外沒有其它公共點．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，正確聯(lián)立方程是關鍵．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．【考點】52：函數(shù)零點的判定定理；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，討論當a≥0時，a＜﹣時，a=﹣時，﹣＜a＜0，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）的單調(diào)區(qū)間，對a討論，結合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點，即可得到所求范圍．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①當a≥0時，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增（如右上圖）；②當a＜0時，（如右下圖）若a=﹣，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；若a＜﹣時，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增；在（1，ln（﹣2a））遞減；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）遞增；在（ln（﹣2a），1）遞減；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得當a＞0時，f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；當x→﹣∞時f（x）＞0或找到一個x＜1使得f（x）＞0對于a＞0恒成立，f（x）有兩個零點；②當a=0時，f（x）=（x﹣2）ex，所以f（x）只有一個零點x=2；③當a＜0時，若a＜﹣時，f（x）在（1，ln（﹣2a））遞減，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增，又當x≤1時，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個零點；當a≥﹣時，在（﹣∞，ln（﹣2a））單調(diào)增，在（1，+∞）單調(diào)增，在（1n（﹣2a），1）單調(diào)減，只有f（ln（﹣2a））等于0才有兩個零點，而當x≤1時，f（x）＜0，所以只有一個零點不符題意．綜上可得，f（x）有兩個零點時，a的取值范圍為（0，+∞）．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點的判斷，注意運用分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修41：幾何證明選講]22．（10分）如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O為圓心，OA為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD．【考點】N9：圓的切線的判定定理的證明．【專題】14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5M：推理和證明．【分析】（Ⅰ）設K為AB中點，連結OK．根據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，則AB是圓O的切線．（Ⅱ）設圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結論．【解答】證明：（Ⅰ）設K為AB中點，連結OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）因為OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四點所在圓的圓心．設T是A，B，C，D四點