山西高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

一、單選題

1.設(shè)x,”R,向量￡=（x,l,l）,6=（1,7,1），c=（2,-4,2）,且力5,bHc>則―+y的值為

（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)向量垂直列方程來(lái)求得x+上

【詳解】由于￡_1_刃，所以x+y+l=O,所以x+y=-l.

故選：A

2.已知直線/過(guò)點(diǎn)力（3-百,6-6），8（3+2百,3-6）,則直線/的斜率為（）

A.GB.—C.--D.一行

33

【答案】C

【分析】由斜率公式計(jì)算.

【詳解】因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)“（3-6,6-石），S（3+2x/3,3-x/3）,所以由過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，

（3-6）-（6-6）正

得直線/的斜率（3+23H3一石）

3?

故選：C.

3.已知直線4：x+ay-l=0與/2：2x-y+l=0平行，貝以與乙的距離為（）

A.-B.正C.-D.拽

5555

【答案】D

【分析】先由兩直線平行，求出a=-g,得到《：2x+y-2=0,再由兩平行線間的距離公式，即可

求出結(jié)果.

［詳解】因?yàn)橹本€4:x+ay-1=0與4：2x-y+\=0平行，

所以lx（-l）-2a=0,解得a=_g,

所以4:x_，y_l=O,Bp/1:2x-^-2=0,

.1-2-113r

因此4與4的距離為"=/=飛#>.

V22+r5

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩平行線間的距離，熟記距離公式，以及直線平行的判定條件即可，屬于常

考題型.

4.已知圓C方程：X*2+/-6X-2^-15=0,則直線x-y+2=0被圓C截得的弦長(zhǎng)為（）

A.2VBB.2布C.2MD.8

【答案】B

【分析】求得圓心和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理求得正確答案.

【詳解】圓/+「-6x-2y-15=0,即（x-3）2=25,

所以圓心C（3,l）,半徑r=5,

圓心C到直線x-y+2=0的距離為，一[2]=2&,

V2

所以直線x-y+2=0被圓C截得的弦長(zhǎng)為2乒鬲=2炳.

故選：B

5.若圓C1與圓G："2+V—6x—8y+m=0外切，則〃2=

A.21B.19C.9D.-11

【答案】C

【詳解】試題分析：因?yàn)楣?y2-6x-8y+m=0=>（x-3）2+（歹一47=25—〃?，所以25—加>0

n加<25且圓。2的圓心為（3,4）泮徑為后二1根據(jù)圓與圓外切的判定（圓心距離等于半徑和河得

J（3-Op+（4-0）2=1+y/25-m=>〃?=9,故選C.

【解析】圓與圓之間的外切關(guān)系與判斷

22

6.雙曲線=l上的點(diǎn)尸到左焦點(diǎn)的距離為10,則尸到右焦點(diǎn)的距離為（）

A.2B.22C.2或22D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的定義直接得解.

【詳解】設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為與，名，

由雙曲線=可得||尸耳|-|尸用|=12,

3613

又歸司=10,則附1=22,

故選：B.

Y~1/2

7.已知命題p：方程「_+」—=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則使命題。成立的充分不必要條件

5-mtn—\

是（）

A.3cm<5B.4VM<5C.\<m<5D.m>1

【答案】B

【分析】若上+上=1表示焦點(diǎn)在了軸上的橢圓，可得力-1>5-機(jī)>。即可得加的范圍，再選

5-mtn-\

取該范圍的一個(gè)真子集即可求解.

V2V2

【詳解】若方程上」+工=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

5-mtn-\

則租一1〉5—加>0,解得：3<w<5.

所以〃成立的充要條件是：3<加<5.

結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知：P成立的充分不必要條件是4<加<5,

故選：B.

8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體44GA中，M,N分別為4片和的中點(diǎn)，那么直線⑷/

與CN夾角的余弦值為（）

32

C.D.

55

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則?,力（1,0,0）,40,1,0）,

所以而=（0；,1）,麗=（1,0,；）,

1

2-2

---

所以可麗%*=55

4-

故選：D

二、多選題

9.經(jīng)過(guò)點(diǎn)網(wǎng)4,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8j^D.y2=-8x

【答案】AC

【解析】根據(jù)題意，分拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線的方程為V=2px(p>0),和拋物線的焦

點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線的方程為d=24(p>0),分別代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算可得選項(xiàng).

【詳解】解：若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線的方程為V=2px(p>0),又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(4,-2),所以(-2)2=2px4,解得p=g,所以拋物線的方程為V=x.

若拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線的方程為父=2期(p>0),又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(4,-2),所

以42=2px(-2),解得p=-4,所以拋物線的方程為》2=-8〉.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)訪，注意考慮拋物線的焦點(diǎn)所在的位置，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知曲線C：加』+,吵2=]()

A.若加>〃>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若加=〃>0,則C是圓，其半徑為4

其漸近線方程為》=±、匚&

C.若mn<0,則C是雙曲線,

Vn

D.若加=0,心0,則C是兩條直線

【答案】ACD

【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，加>〃>0時(shí)表示橢圓，加=〃〉0時(shí)表示圓，〃〃7<0時(shí)表示

雙曲線，加=0,〃>0時(shí)表示兩條直線.

【詳解】對(duì)于A,若加>〃>0,則心/+〃產(chǎn)=1可化為了+下一）

mn

因?yàn)椤ㄋ?<!，

mn

即曲線C表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；

對(duì)于B,若陽(yáng)=〃>0,貝I」〃a2+〃/=1可化為工2+/=一,

n

此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為亞的圓，故B不正確；

n

H+J1

對(duì)于C,若陰〃<0,則加廠=1可化為11,

mn

此時(shí)曲線C表示雙曲線，

由mx1+ny2=0可得y=±J-"x,故C正確；

Vn

對(duì)于D,若加=0,〃>0,則加=］可化為,2=一，

n

y=+—,此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確；

n

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見(jiàn)曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

11.在長(zhǎng)方體N8CD-48cA中，AB=4,BC=BB、=2,E,F分別為棱工的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論中正確的是（）

--―-1—■1——■

A.EF=AA.+-BC+-C.D.B.|￡F|=3

22

C.EDECt=EDECD.BFYECt

【答案】ABC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得;

【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則。（0,0,0）、4（2,0,0）、8（2,4,0）、

￡（2,2,0）,4（2,0,2）、尸（1,0,2）、"（0,0,2）、G（0,4,2）、C（0,4,0）,

所以麗=（-1,-2,2）、麴=（0,0,2）、SC=（-2,0,0）,西=（0,-4,0）,

—-—?1—?1------

所以族=44+]8C+5GA，故A正確；

\EF\=7（-1）2+（-2）2+22=3,故B正確；

￡0=（-2,-2,0）,西=（-2,2,2）,￡C=（-2,2,0）,麗=（-1,-4,2）,

所以而?西=0,而.沅=0，故歷?房=歷?反，即C正確：

因?yàn)辂?鬲=-2x（-l）+2x（-4）+2x2=-2,所以而與西不垂直，故D錯(cuò)誤;

12.已知F為橢圓。：立+《=1的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的直線/與橢圓C交于48兩點(diǎn)，ADLx

168

軸，垂足為。（異于原點(diǎn)），80與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為￡,則（）

A.ABLAE

B.△48。面積的最大值為4人

C.尸周長(zhǎng)的最小值為12

11625

D-西卡畫(huà)的最小值為百

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,設(shè)4%〃），則8（-叫-〃）,。（見(jiàn)0）,設(shè)分和凹）,利用點(diǎn)差法推出購(gòu)屋a=-1,判斷

A;利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式，判斷B;利用橢圓的定義以及幾何性質(zhì)判斷C;利用基本不

等式中“1”的巧用，結(jié)合基本不等式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)“（〃?,〃），則津。（冽,0）,設(shè)演演,必），

由題意可知加工0，加工%，〃7+玉工0，

>><>22，222

則2+上味+『」兩式相減得石A+—=0,

即（〃+必）（〃一必）11

一5，即噎?如=一彳,

（m+Xj）（m一$）乙Z.

,,2/7n.n..1.

由如=五=7‘磯=茄'?“￡=%=5如

則攵/8.々/If=—1，即故A正確；

）7

對(duì)于B,由A的分析可知工+叫=1,不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則加>0,〃>0,

168

22

所以1=工+二22mn<4\/2,當(dāng)且僅當(dāng)zw=2后,〃=2時(shí)取等號(hào),

168

S^Asn=^mx2n=mn<472,故B正確；

22

對(duì)于C,由題意知C：L+匕=1左焦點(diǎn)為尸（-20,0）,設(shè)右焦點(diǎn)為尸（-2夜,0）,a=4,b=2五,

168

則根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知I所|=|/尸'|,故八ABF周長(zhǎng)為2a+\AB\=S+\AB\,

而|/例的最小值為橢圓的短軸長(zhǎng)2/,=4/，由題意可知“5不能與橢圓短軸重合,

故△”尸周長(zhǎng)大于8+4/，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由C的分析可知，\AF\+\BF^AF\+\AF'\=2a=?,,

,,116_116川的+巧）=如+爵留）

故所［+西直~BF\

［（17+2器［.需1）嚀，當(dāng)且僅當(dāng)費(fèi)時(shí)取等號(hào)，D正確,

8^|Jr||8日855

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了橢圓的定義的應(yīng)用以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到線段的垂直和三角形面積

以及周長(zhǎng)的最值得求法，解答時(shí)要注意綜合利用橢圓的相關(guān)知識(shí)以及基本不等式的知識(shí)解決問(wèn)題，

屬于較難題，計(jì)算量較大.

三、填空題

13.已知向量2=(1,0,1)1=(-2,2,1),工=(3,4,Z),若￡31共面，貝”等于

【答案】9

【分析】根據(jù)空間向量共面列方程，由此求得z的值.

【詳解】由于￡石工共面，

所以存在x,yeR,使得c=xa+)石，

即(3,4,z)=(x-2y,2y,x+y),

x-2y=?>

所以，2y=4,解得x=7,y=2,z=x+y=9.

x+y=z

故答案為：9

14.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若雙曲線g一金=l(a>0)的一條漸近線方程為y=@x,則該雙曲

a-52

線的離心率是—.

【答案】|

【分析】根據(jù)漸近線方程求得。，由此求得。，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.

【詳解】雙曲線《=1,故人=石.由于雙曲線的一條漸近線方程為^=乎工，即

-=—^-=>a=2，所以c=+2=J4+5=3，所以雙曲線的離心率為2=1.

a2a2

故答案_為：|3

【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知圓￡：(x-iy+(y+l)2=l,圓G：(x-4『+(y-5)2=9,點(diǎn)M,N分別是圓C/、圓C2上的

動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸川一的最大值是.

【答案】9

【分析】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)等知識(shí)來(lái)求得的最大值.

【詳解】圓G的圓心為半徑。=1；

圓G的圓心為G（4,5）,半徑4=3.

所以|pq卜14pM4|PG|+i,|PG|-3w|PN|w|PG|+3,

-\PC]-\<-\PM\<\-\PC],

所以|*v|T尸M〈l尸C2|-|PG|+4.

c?（4,5）關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G（4,-5）,|c,C3|=J32+42=5,

所以|/W|T尸M?|PC2Hpe|+4W|C￡|=5+4=9,

當(dāng)且僅當(dāng)EG，。?三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

所以|「川一|PM的最大值是9.

故答案為：9

16.如圖，二面角口-/-￡為135。，Aea,Bw/3,過(guò)A,8分別作/的垂線，垂足分別為C,D

,若/C=l,BD=6，CD=2,則N8的長(zhǎng)度為.

【答案】3

【分析】因?yàn)榈?%+而+而，ACLCD,CDYDB,結(jié)合空間向量距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】因?yàn)榈?萬(wàn)+麗+麗，ACLCD,CDA.DB,所以

AB=^AC+CD+而『=\IAC2+CD2+DB2+2DBAC=Jl+4+2+2萬(wàn)?麗,又因?yàn)槎娼?/p>

a-/"為135。，所以（配，麗）=45。，所以4B=/+2xlx&x今=3.

故答案為：3.

四、解答題

17.分別求滿足下列條件的曲線方程

⑴以橢圓《+廣=1的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為e=《的橢圓方程;

2592

(2)過(guò)點(diǎn)(4,6)，且漸近線方程為y=±gx的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

■>2

【答案】(1)二+匕=1

2736

⑵?_/=1

4

【分析】(1)由題意得出瓦。的值后寫(xiě)橢圓方程

(2)待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解

【詳解】(1)《+片=1的短軸頂點(diǎn)為(0,-3),(0,3),

259

所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=3.

Q1

又。=一=>"=6.???〃=/一=36-9=27.

a2

.??所求橢圓方程為E+金=1.

2736

(2)根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=±gx,可設(shè)雙曲線的方程號(hào)-/=機(jī)，

把卜詞代入號(hào)得加=[.所以雙曲線的方程為[一/=1.

18.已知圓M過(guò)C(l,4),。(-1,1)兩點(diǎn)，且圓心知在對(duì)》2=0上.

(1)求圓M的方程；

(2)設(shè)尸是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA,P8是圓M的兩條切線，A,8為切點(diǎn)，求四邊形

PAMB面積的最小值.

【答案】(1)(x-lp+b—1)2=4；(2)2石.

【分析】(1)設(shè)圓"的方程為：(x-a)2+(y-6)2=/&>0),由已知列出方程組，解之可得圓的

方程；

(2)由已知得四邊形尸NA18的面積為S=S「.M+S“&M，即有S=2|尸山，又有S=『-4.因

此要求S的最小值，只需求1PMi的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.

【詳解】解：(1)設(shè)圓加的方程為：(x-?)2+(^-/>)2=r2(r>0),

(l-a)2+(-l-/))2=ra=\

根據(jù)題意得Y-l-a)2+(l-b)2=，n<b=1,

a+b—2=0r=2

故所求圓加的方程為：(X-1)2+Q-1)2=4;

（2）如圖,

四邊形PAMB的面積為S=SDPAM+SPm,即S=；（|/仞||尸㈤+忸

又MM=WM=2,|F=|P8|,所以S=2四

而四|二,即S=2小尸川『_4.

因此要求S的最小值，只需求1PMi的最小值即可，

1PM的最小值即為點(diǎn)M到直線3x+4v+8=0的距離

所以歸MLJ客=3,

四邊形PAMB面積的最小值為24PM『-4=2后.

19.已知直線/：（加+2）X+（1-2，”）了+4，“-2=0與圓（7:--2》+/=0交于M,N兩點(diǎn).

（1）求出直線/恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)

（2）求直線/的斜率的取值范圍

（3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CW的斜率分別為附片,試問(wèn)勺+自是否為定值？若是，求出該

定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（0,2）；⑵卜0,-；1（3）占+與為定值1.

[x—2y+4=0

【分析】（1）將直線方程整理后可得方程組C、C，解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo);

[2x+y-2=0

（2）設(shè)直線/方程y-2=Mx-0）,利用圓心到直線距離小于半徑可構(gòu)造不等式求得結(jié)果;

⑶可設(shè)直線/方程y=h+2,與圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,由—

=（依+2）x2+（心2+2同整理可得定值.

x}x2

【詳解】（1）將直線/方程整理為：（x-2y+4）m+（2x+y-2）=0,

令h|x-+2yL+4=。0,解得：I［x=a0；.直線/恒過(guò)定點(diǎn)/（°,、2）；

（2）設(shè)直線/斜率為3由（1）可知：直線/方程可設(shè)為：y—2=&（x-0）,即履-y+2=0；

圓C方程可整理為（x-iy+/=i,則其圓心C（1,O）,半徑,-1,

??,直線/與圓C交于KN兩點(diǎn)，.?.圓心。到直線/距離d<r,

即羋翼L<1，解得：k<3,即直線/斜率的取值范圍為fro,一1］；

上+i4I4；

（3）設(shè)M（XQJ,N（x2,y2）

當(dāng)加=；時(shí)，/:x=0與圓C僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，，機(jī)fg,

"7+2

則直線/：y=3；—；x+2,???可設(shè)直線/方程為y=Ax+2,

2/w-l

由［二吃/=。得：0+公卜2+（4"2卜+4=0,由⑵知：k<-；

2-4k4

?F+M6'中2=*'

?k+%一=21+匹=+%司_（處+2）.0+依2+2）工|

中2中2

2乂2-4攵

=2煙0+2（3+%）=2k+公=2k+"2k=1,

中2.、

1+公

.?.尢+&為定值1.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓中的定值問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅勘硎境身f達(dá)

定理的形式，通過(guò)韋達(dá)定理代入整理，消去變量即可得到定值.

20.如圖，在直三棱柱ABC-481G中，ACIBC,AC=BC=\,=2為側(cè)棱8片的中點(diǎn)，

連接/也，QM,CM.

(1)證明：/c〃平面4G”；

(2)證明：CM，平面4G/：

(3)求二面角CX-A,M-B,的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解;

(2)證明見(jiàn)詳解;

71

⑶5

【分析】小問(wèn)1：由于zc〃4G，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；

小問(wèn)2：以C為原點(diǎn)，C/,C5,CC1分別為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直關(guān)系即可證明;

小問(wèn)3：分別求得平面4MBi與平面4"G的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.

【詳解】(1)在直三棱柱Z8C-48c中，4C//4G，且/Ccz平面4G仞，&Gu平面4cM

所以4C〃平面4GM；

(2)因?yàn)镠C/BC,故以C為原點(diǎn)，c4c8,CG分別為X,y,z軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：

則c(o,0,0),〃(0,1,1),4(1,0,2)。(0,0,2),

所以由=(0/,1),麗=(-1,1,一1),不7=(0,1,-1),

貝ij麗?麗=0+1-1=0,而:.不7=0+1-1=0,

所以CM_L4河,CMJ.C|M,又4朋n

A.Mu平面4GM,C、Mu平面4aM

故CM，平面4GM；

(3)由4(0,1,2),得麗=(一1,1,0),函=(0,0,1)

設(shè)平面A,MB,的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z)

則/葩=0,最函=0,得3=(1,1,0)

又因?yàn)槠矫?MG的一個(gè)法向量為由=(0,1,1)

所以?xún)z依的=耦毛

所以二面角G-4/-A的大小為?

21.如圖，四棱錐S-48CD中，AD//BC,ADLAB,且口S/O是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.若平面

平面N8CZ),AB=2,直線SC與平面S/8所成角的正弦值為豆亙，求三棱錐S-88的

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體積.

【答案】E

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線sc與平面S/8所成角的正弦值求得8C,進(jìn)而求得三棱

錐S-8CO的體積.

【詳解】設(shè)。是/。的中點(diǎn)，連接S。，則SOJ_/O,

因?yàn)槠矫鍿49_L平面/8CQ,平面S/Oc平面/8CD=ZZ),SOu平面S4D,Z8u平面/8CA,

AD1AB,所以平面S4>,SOL^-^ABCD,

故以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,49所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/-乎，

則由題意知4(0,0,0),3(2,0,0),5(0,1,73),

所以關(guān)=(0,1,百)，益=(2,0,0).

設(shè)平面SAB的法向量為〃=(x,y,z),

n-AB=02x=0

則即＜

nAS