電路分析第10章

第十章正弦穩(wěn)態(tài)分析

從本章開始，我們研究線性動(dòng)態(tài)電路在正弦電源激勵(lì)下的響應(yīng)。線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路在角頻率為ω的正弦電壓源和電流源激勵(lì)下，隨著時(shí)間的增長，當(dāng)暫態(tài)響應(yīng)消失，只剩下正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，電路中全部電壓電流都是角頻率為ω的正弦波時(shí)，稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。滿足這類條件的動(dòng)態(tài)電路通常稱為正弦電流電路或正弦穩(wěn)態(tài)電路。

正弦穩(wěn)態(tài)分析的重要性在于：

1.很多實(shí)際電路都工作于正弦穩(wěn)態(tài)。例如電力系統(tǒng)的大多數(shù)電路。

2.用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)十分有效。

3.已知線性動(dòng)態(tài)電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以得到任意波形信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)?！?0－1正弦電壓和電流一、正弦電壓電流

按照正弦規(guī)律隨時(shí)間變化的電壓(或電流)稱為正弦電壓(或電流)，它是使用最廣泛的一種交流電壓(電流)，常稱為交流電，用AC或ac表示。常用函數(shù)式和波形圖表示正弦電壓和電流，例如振幅為Im,角頻率為ω，初相位為

i的正弦電流的函數(shù)表達(dá)式如式(10－1)所示，其波形圖如圖所示。(a)初相

>0的情況(b)初相

=0的情況(c)初相

<0的情況

上式中的Im是正弦電流的最大值，稱為正弦電流的振幅(取正值)。上式中的ω表示每單位時(shí)間變化的弧度數(shù)，稱為正弦電流的角頻率，其單位為弧度/秒(rad/s)。由于正弦量的一個(gè)周期對應(yīng)2

弧度，角頻率與周期T和頻率f的關(guān)系為(a)初相

>0的情況(b)初相

=0的情況(c)初相

<0的情況

我國供電系統(tǒng)使用的正弦交流電，其頻率f=50Hz(赫茲)，周期T=1/f=20ms。式(10－1)中的(ωt+

i)稱為正弦電流的相位，其中

i=(ωt+

i)|t=0是t=0時(shí)刻的相位，稱為初相。初相的取值范圍通常在-

到+

之間，其數(shù)值決定正弦電流波形起點(diǎn)的位置。(a)初相

>0的情況(b)初相

=0的情況(c)初相

<0的情況圖10-1

由于已知振幅Im

，角頻率ω和初相

i，就能夠完全確定一個(gè)正弦電流，稱它們?yōu)檎译娏鞯娜亍Ｅc正弦電流類似，正弦電壓的三要素為振幅Um，角頻率ω和初相

u，其函數(shù)表達(dá)式為

由于正弦電壓電流的數(shù)值隨時(shí)間t變化，它在任一時(shí)刻的數(shù)值稱為瞬時(shí)值，因此式(10－1)和(10－2)又稱為正弦電流和正弦電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式。例10-1已知正弦電壓的振幅為10伏,周期為100ms,初相為

/6。試寫出正弦電壓的函數(shù)表達(dá)式和畫出波形圖。解：先計(jì)算正弦電壓的角頻率

正弦電壓的函數(shù)表達(dá)式為

正弦電壓波形如圖10-2所示。圖10-2二、同頻率正弦電壓電流的相位差

正弦電流電路中，各電壓電流都是頻率相同的正弦量，我們分析這些電路時(shí)，常常需要將這些正弦量的相位進(jìn)行比較。兩個(gè)正弦電壓電流相位之差，稱為相位差，用

表示。例如有兩個(gè)同頻率的正弦電流

電流i1(t)與電流i2(t)之間的相位差為

上式表明兩個(gè)同頻率正弦量在任意時(shí)刻的相位差均等于它們初相之差，與時(shí)間t無關(guān)。相位差

的量值反映出電流i1(t)與電流i2(t)在時(shí)間上的超前和滯后關(guān)系。圖10-3圖10-3(a)電流i1(t)超前于電流i2(t)(b)電流i1(t)滯后于電流i2(t)

當(dāng)

=

1-

2>0時(shí)，表明i1(t)超前于電流i2(t)，超前的角度為

，超前的時(shí)間為

/ω。當(dāng)

=

1-

2<0時(shí)，表明i1(t)滯后于電流i2(t)，滯后的角度為|

|，滯后的時(shí)間為|

|/ω。圖(a)表示電流i1(t)超前于電流i2(t)的情況，圖(b)表示電流i1(t)滯后于電流i2(t)的情況。

同頻率正弦電壓電流的相位差有幾種特殊的情況。

1.同相:如果相位差

=

1-

2=0,稱電流i1(t)與電流i2(t)同相，如圖(a)所示；

2.正交:如果相位差

=

1-

2=

/2，稱電流i1(t)與電流i2(t)正交，如圖(b)所示，圖中電流i1(t)超前電流i2(t)一個(gè)

/2或90°；

3.反相:如果相位差

=

1-

2=

，稱電流i1(t)與電流i2(t)反相，如圖(c)所示。(a)同相(b)正交(c)反相在幻燈片放映時(shí)，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。例10-2已知正弦電壓u(t)和電流i1(t)，i2(t)的瞬時(shí)值表達(dá)式

為

試求電壓u(t)與電流i1(t)和i2(t)的相位差。

電壓

u(t)與電流i2(t)的相位差為

習(xí)慣上將相位差的范圍控制在-180°到+180°之間，我們不說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為-240

，而說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為(360

-240

)=120

。解：電壓u(t)與電流i1(t)的相位差為三、正弦電壓電流的相量表示

利用它的振幅Um和初相ψ來構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模表示電壓的振幅，其幅角表示電壓的初相，即

分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法，相量法的基礎(chǔ)是用一個(gè)稱為相量的向量或復(fù)數(shù)來表示正弦電壓和電流。假設(shè)正弦電壓為

它在復(fù)數(shù)平面上可以用一個(gè)有向線段來表示，如圖所示。這種用來表示正弦電壓和電流的復(fù)數(shù)，稱為相量。圖10-5

設(shè)想電壓相量以角速度ω沿反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，它在

實(shí)軸投影為

Umcos(

t+ψ)，

在虛軸上投影

為Umsin(

t+ψ)，

它們都是時(shí)間

的正弦函數(shù)，

如圖所示。

圖10-6旋轉(zhuǎn)相量及其在實(shí)軸和虛軸上的投影

將電壓相量

與旋轉(zhuǎn)因子ej

t=cos

t+jsin

t

相乘可以得到以下數(shù)學(xué)表達(dá)式

上式表明正弦電壓與電壓相量之間的關(guān)系為

由此可得

由上述可見，一個(gè)隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個(gè)稱為相量的復(fù)數(shù)來表示。已知正弦電壓電流的瞬時(shí)值表達(dá)式，可以得到相應(yīng)的電壓電流相量。反過來，已知電壓電流相量，也能夠?qū)懗稣译妷弘娏鞯乃矔r(shí)值表達(dá)式。即例10-3已知正弦電流i1(t)=5cos(314t+60

)A,

i2(t)=-10sin(314t+60

)A。

寫出這兩個(gè)正弦電流的電流相量，畫出相量圖，并

求出i(t)=i1(t)+i2(t)。

得到表示正弦電流i1(t)=5cos(314t+60

)A的相量為解：根據(jù)以下關(guān)系

正弦電流與其電流相量的關(guān)系可以簡單表示為

注意：今后在用相量法分析電路時(shí)，應(yīng)該將各正弦電壓電流的瞬時(shí)表達(dá)式全部用余弦函數(shù)(正弦函數(shù))表示。

與此相似，對于正弦電流i2(t)=-10sin(314t+60

)A可以得到以下結(jié)果 三角公式sinx=cos(x-90

)圖10-7

將各電流相量和畫在一個(gè)復(fù)數(shù)平面上，就得到相量圖，從相量圖上容易看出各正弦電壓電流的相位關(guān)系。

相量圖的另外一個(gè)好處是可以用向量和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得幾個(gè)同頻率正弦電壓或電流之和。例如用向量運(yùn)算的平行四邊形作圖法則可以得到電流I的相量，從而知道電流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅約為12A，初相約為124°。作圖法的優(yōu)點(diǎn)是簡單直觀，但不精確。圖10-7

采用復(fù)數(shù)運(yùn)算可以得到更精確的結(jié)果圖10-7四、正弦電壓、電流的有效值

現(xiàn)在將直流電流I和正弦電流i(t)通過電阻R時(shí)的能量作一比較，由此導(dǎo)出正弦電壓電流的有效值，它是一個(gè)十分有用的量。直流電流I和正弦電流i(t)=Imcos(

t+ψ)通過同一電阻R，令它們在時(shí)間T內(nèi)獲得的能量相等

由此解得

用此式計(jì)算出正弦電流i(t)=Imcos(

t+ψ)的方均根值，稱為正弦電流的有效值。具體計(jì)算如下

與此相似，正弦電壓u(t)=Umcos(

t+ψ)的有效值為

計(jì)算結(jié)果表明，振幅為Im的正弦電流與數(shù)值為I=0.707Im的直流電流，在一個(gè)周期內(nèi)，對電阻R提供相同的能量。也就是說正弦電壓電流的有效值為振幅值的0.707倍，或者說正弦電壓電流的振幅是其有效值的倍。

有效值的概念在電力工程上非常有用，常用的交流電壓表和電流表都是用有效值來進(jìn)行刻度的，當(dāng)我們用交流電壓表或普通萬用表測量正弦電壓的讀數(shù)為220V時(shí)，是指該電壓的有效值為220V，其振幅值為

由于正弦電壓電流的振幅值與有效值間存在的關(guān)系，今后除了使用前面介紹的振幅相量和外，更多使用的是有效值相量和。正弦時(shí)間函數(shù)與有效值相量之間的關(guān)系如下：

有效值的概念也適用于任何周期性電壓和電流。例如對于圖10-8(a)所示三角波形，將瞬時(shí)值表達(dá)式

代入式(10－4)中

計(jì)算結(jié)果表明該三角波形的有效值是振幅值的倍，或者說其振幅值是有效值的倍。圖10-8(a)

對于圖(b)所示半波整流波形，將其瞬時(shí)值表達(dá)式

代入式(10－4)中，可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍，或者說其振幅值是有效值的2倍的結(jié)論，具體計(jì)算過程如下：圖10-8(b)在幻燈片放映時(shí)，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。

名稱時(shí)間

名稱時(shí)間1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424電感線圈的電壓電流關(guān)系2:125電容器的電壓電流關(guān)系2:306RC和RL電路相位差1:437RC正弦分壓電路1:278RC正弦電路的電壓關(guān)系1:569CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器2:1910CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器3:1011CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器2:3012KD102科學(xué)計(jì)算器1:5013KK106N科學(xué)計(jì)算器3:1014習(xí)題10－53電路實(shí)驗(yàn)3:1615習(xí)題10－57電路實(shí)驗(yàn)2:4916習(xí)題10－58電路實(shí)驗(yàn)2:4917方波的諧波分量2:5718非正弦波的諧波5:0919回轉(zhuǎn)器變電容為電感4:31

根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香§10－2正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一、正弦電流激勵(lì)的RC電路分析圖10-9

我們現(xiàn)在討論圖10-9所示RC電路，電路原來已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在t=0時(shí)刻斷開開關(guān)，正弦電流iS(t)=ISmcos(

t+ψi)作用于RC電路，求電容電壓uC(t)的響應(yīng)。

首先建立t>0電路的微分方程如下:

對應(yīng)齊次微分方程的通解uCh(t)為

微分方程特解uCp(t)的形式與電流源相同，為同一頻率的正弦時(shí)間函數(shù)，即

為了確定UCm和ψu(yù)，可以將上式代入微分方程中

求解得到

本電路的初始條件為零，屬于零狀態(tài)響應(yīng)，所畫出的波形如圖所示。曲線1表示通解，它是電路的自由響應(yīng)，當(dāng)RC>0的條件下，它將隨著時(shí)間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰減到零，稱為暫態(tài)響應(yīng)。曲線2表示特解，它按照正弦規(guī)律變化，其角頻率與激勵(lì)電源的角頻率相同，當(dāng)暫態(tài)響應(yīng)衰減完后，它就是電路的全部響應(yīng)，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖10-10

微分方程的完全解為

可以求得

最后得到電容電壓uC(t)的全響應(yīng)為二、用相量法求微分方程的特解

求解正弦電流激勵(lì)電路全響應(yīng)的關(guān)鍵是求微分方程的特解。假如能用相量來表示正弦電壓電流，就可以將常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)系數(shù)的代數(shù)方程，便于使用各種計(jì)算工具?，F(xiàn)將這種相量法介紹如下：

代入微分方程

取實(shí)部與微分運(yùn)算的次序交換

由于方程在任何時(shí)刻相等，其方程的復(fù)數(shù)部分應(yīng)該相等，由此得到一個(gè)復(fù)系數(shù)的代數(shù)方程

求解此代數(shù)方程得到電容電壓相量為

電容電壓的振幅和初相分別為

這與式(10－8)和(10－9)完全相同。計(jì)算出電容電壓的振幅和初相，就能夠?qū)懗龇€(wěn)態(tài)響應(yīng)

從以上敘述可知，用相量表示正弦電壓電流后，可將微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)系數(shù)代數(shù)方程，求解此方程得到特解的相量后，易于寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式。我們可以將以上求特解的方法推廣到一般情況，對于由正弦信號(hào)激勵(lì)的任意線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路，先寫出n階常系數(shù)微分方程，再用相量表示同頻率的各正弦電壓電流，將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)系數(shù)代數(shù)方程，再求解代數(shù)方程得到電壓電流相量，就能寫出特解的瞬時(shí)值表達(dá)式。例10-4圖10-9所示電路中，已知R=1

,C=2F,

iS(t)=2cos(3t+45

)A,試用相量法求解電容電壓uC(t)

的特解。解：寫出電路的微分方程圖10-9

將正弦電流用相量表示

可以得到復(fù)系數(shù)代數(shù)方程

代入微分方程中

求解此代數(shù)方程得到電容電壓相量

由此得到電容電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式

這是圖10－9所示電路中電容電壓uC(t)的特解，也是電容電壓的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。例10-5圖10－11所示RLC串聯(lián)電路中，已知

uS(t)=2cos(2t+30

)V,R=1

,L=1H,C=0.5F。

試用相量法求電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)的特解。解：以電容電壓為變量列出電路的微分方程圖10-11

將方程中的uS(t)=2cos(2t+30

)V和uC(t)用相量表示

對方程先求導(dǎo)，再取實(shí)部

得到復(fù)系數(shù)代數(shù)方程為

求解代數(shù)方程，注意到

=2rad/s和j2=-1，得到電容電壓相量

根據(jù)

=2rad/s得到電容電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式

代入R=1

,L=1H,C=0.5F得到

求得電容電流和電感電流的瞬時(shí)值表達(dá)式

由于此二階電路的兩個(gè)固有頻率都具有負(fù)實(shí)部，暫態(tài)響應(yīng)將隨著時(shí)間的增加而衰減到零，以上計(jì)算的電容電壓和電感電流的特解，也就是電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖10-11三、正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)s1、s2、…、sn是n階動(dòng)態(tài)電路的固有頻率。如果全部固有頻率具有負(fù)實(shí)部(即處于左半開復(fù)平面上)，則對于任何初始條件，在具有相同頻率ω的正弦電壓源和電流源激勵(lì)下，電路中全部電壓和全部電流隨著t

將按指數(shù)規(guī)律趨于相同頻率ω的正弦波形。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。

現(xiàn)在將上面的討論推廣到一般動(dòng)態(tài)電路。具有相同頻率ω的一個(gè)或幾個(gè)正弦信號(hào)激勵(lì)的線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路，我們感興趣的響應(yīng)為x(t)，則x(t)可表為如下形式：

相量法求微分方程特解的方法與步驟如下：

1.用KCL，KVL和VCR寫出電路方程(例如2b方程，網(wǎng)孔方程，結(jié)點(diǎn)方程等)，以感興趣的電壓電流為變量，寫出n階微分方程。

2.用相量表示同一頻率的各正弦電壓電流，將n階微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)系數(shù)代數(shù)方程。

3.求解復(fù)系數(shù)代數(shù)方程得到所感興趣電壓或電流的相量表達(dá)式。4.根據(jù)所得到的相量，寫出正弦電壓或電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。以上步驟中，列出以某個(gè)電壓或電流為變量的n階微分方程，并將它轉(zhuǎn)換為復(fù)系數(shù)代數(shù)方程是最困難的工作，電路越復(fù)雜，工作量越大。為此，我們可以先畫出電路的相量模型，用相量形式的KCL、KVL和元件VCR直接列出復(fù)數(shù)的電路方程。

用相量法求解電路正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法和步驟如下：

1.畫出電路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和VCR直接列出電路的復(fù)系數(shù)代數(shù)方程。

2.求解復(fù)系數(shù)代數(shù)方程得到所感興趣的各個(gè)電壓和電流的相量表達(dá)式。

3.根據(jù)所得到的各個(gè)相量，寫出相應(yīng)的電壓和電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)有：

1.不需要列出并求解電路的n階微分方程。

2.可以用分析電阻電路的各種方法和類似公式來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。

3.讀者采用所熟悉的求解線性代數(shù)方程的方法，就能求得正弦電壓電流的相量以及它們的瞬時(shí)值表達(dá)式。

4.便于讀者使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)等計(jì)算工具來輔助電路分析。

名稱時(shí)間

名稱時(shí)間1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424電感線圈的電壓電流關(guān)系2:125電容器的電壓電流關(guān)系2:306RC和RL電路相位差1:437RC正弦分壓電路1:278RC正弦電路的電壓關(guān)系1:569CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器2:1910CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器3:1011CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器2:3012KD102科學(xué)計(jì)算器1:5013KK106N科學(xué)計(jì)算器3:1014習(xí)題10－53電路實(shí)驗(yàn)3:1615習(xí)題10－57電路實(shí)驗(yàn)2:4916習(xí)題10－58電路實(shí)驗(yàn)2:4917方波的諧波分量2:5718非正弦波的諧波5:0919回轉(zhuǎn)器變電容為電感4:31

根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香§10－3基爾霍夫定律的相量形式一、基爾霍夫電流定律的相量形式

基爾霍夫電流定律(KCL)敘述為：對于任何集總參數(shù)電路中的任一結(jié)點(diǎn)，在任何時(shí)刻，流出該結(jié)點(diǎn)的全部支路電流的代數(shù)和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

假設(shè)電路中全部電流都是相同頻率ω的正弦電流，則可以將它們用振幅相量或有效值相量表示為以下形式

代入KCL方程中得到

由于上式適用于任何時(shí)刻t，其相量關(guān)系也必須成立，即

相量形式的KCL定律表示對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一結(jié)點(diǎn)，流出該結(jié)點(diǎn)的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。在列寫相量形式KCL方程時(shí)，對于參考方向流出結(jié)點(diǎn)的電流取“+”號(hào)，流入結(jié)點(diǎn)的電流取“-”號(hào)。

特別注意的是一般來說例10-6電路如圖10-12(a)所示,已知

試求電流i(t)及其有效值相量。圖10-12解：根據(jù)圖(a)所示電路的時(shí)域模型，畫出圖(b)所示的相量

模型，圖中各電流參考方向均與時(shí)域模型相同，僅將

時(shí)域模型中各電流符號(hào)用相應(yīng)的相量符

號(hào)表示，并計(jì)算出電流相量。

列出圖(b)相量模型中結(jié)點(diǎn)1的KCL方程，其相量形式為

由此可得

寫出相應(yīng)的電流瞬時(shí)值表達(dá)式

值得特別提出的是在正弦電流電路中流出任一結(jié)點(diǎn)的全部電流有效值之代數(shù)和并不一定等于零，例如本題中的I=6.2

I1+I2=10+5=15。

本題也可以用作圖的方法求解。在復(fù)數(shù)平面上，畫出已知的電流相量，再用向量運(yùn)算的平行四邊形法則，求得電流相量，如圖(c)所示。相量圖簡單直觀，雖然不夠精確，還是可以用來檢驗(yàn)復(fù)數(shù)計(jì)算的結(jié)果是否基本正確。

從相量圖上容易看出電流i超前于電流i2，超前的角度為36.2

+90

=126.2

。

容易看出I=6.2

I1+I2=10+5=15即二、基爾霍夫電壓定律的相量形式

假設(shè)電路中全部電壓都是相同頻率ω的正弦電壓，則可以將它們用有效值相量表示如下：

基爾霍夫電壓定律(KVL)敘述為：對于任何集總參數(shù)電路中的任一回路，在任何時(shí)刻，沿該回路全部支路電壓代數(shù)和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

代入KVL方程中得到

由于上式適用于任何時(shí)刻t，其相量關(guān)系也必須成立，即

這就是相量形式的KVL定律，它表示對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。在列寫相量形式KVL方程時(shí)，對于參考方向與回路繞行方向相同的電壓取“＋”號(hào)，相反的電壓取“－”號(hào)。值得特別注意的是沿任一回路全部支路電壓振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零，即一般來說例10-7電路如圖10-13(a)所示，試求電壓源電壓uS(t)和相

應(yīng)的電壓相量，并畫出相量圖。已知圖10-13解：根據(jù)圖(a)所示電路的時(shí)域模型，畫出圖(b)所示的相量

模型，并計(jì)算出電壓相量。

對于圖(b)相量模型中的回路，以順時(shí)針為繞行方向，列出的相量形式KVL方程

寫出相應(yīng)的電壓瞬時(shí)值表達(dá)式

值得注意的是回路中全部電壓有效值之代數(shù)和并不一定等于零，本題中的US=10

U1+U2+U3=6+8+12=26。

由此可求得

本題也可以用作圖的方法求解。在復(fù)數(shù)平面上，畫出已知的電壓相量，再用向量運(yùn)算的平行四邊形法則，求得電壓相量，如圖(c)所示，從相量圖上容易看出各正弦電壓的相位關(guān)系。值得注意的是回路中全部電壓有效值之代數(shù)和并不一定等于零，本題中US=10

U1+U2+U3=6+8+12=26

即一般來說關(guān)于復(fù)數(shù)的幾個(gè)公式1.假設(shè)復(fù)數(shù)則有2.假設(shè)復(fù)數(shù)3.假設(shè)復(fù)數(shù)則有則有

要求掌握計(jì)算器進(jìn)行復(fù)數(shù)兩種形式的轉(zhuǎn)換。CASIOfx-1003+j4=?345

53.1舉例SHARPEL-58123+j4=?345

53.1CASIOfx-100553.1=?553.13

4SHARPEL-58125

=?553.13

4注意：

DEG表示度數(shù)

電路分析中采用符號(hào)

應(yīng)用歐拉公式可以得到

名稱時(shí)間

名稱時(shí)間1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424電感線圈的電壓電流關(guān)系2:125電容器的電壓電流關(guān)系2:306RC和RL電路相位差1:437RC正弦分壓電路1:278RC正弦電路的電壓關(guān)系1:569CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器2:1910CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器3:1011CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器2:3012KD102科學(xué)計(jì)算器1:5013KK106N科學(xué)計(jì)算器3:1014習(xí)題10－53電路實(shí)驗(yàn)3:1615習(xí)題10－57電路實(shí)驗(yàn)2:4916習(xí)題10－58電路實(shí)驗(yàn)2:4917方波的諧波分量2:5718非正弦波的諧波5:0919回轉(zhuǎn)器變電容為電感4:31

根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香§10－4RLC元件電壓電流關(guān)系的相量形式

一、電阻元件電壓電流關(guān)系的相量形式

線性電阻的電壓電流關(guān)系服從歐姆定律，在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，其電壓電流關(guān)系表示為

當(dāng)其電流i(t)=Imcos(

t+ψi)隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化時(shí)，電阻上電壓電流關(guān)系如下：

上式表明，線性電阻的電壓和電流是同一頻率的正弦時(shí)間函數(shù)。其振幅或有效值之間服從歐姆定律，其相位差為零(同相)，即

線性電阻元件的時(shí)域模型如圖10-14(a)所示，反映電壓電流瞬時(shí)值關(guān)系的波形圖如圖(b)所示。圖10-14

由上圖可見，在任一時(shí)刻，電阻電壓的瞬時(shí)值是電流瞬時(shí)值的R倍，電壓的相位與電流的相位相同，即電壓電流波形同時(shí)達(dá)到最大值，同時(shí)經(jīng)過零點(diǎn)。

由于電阻元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時(shí)間函數(shù)，可以用相量分別表示如下：

將以上兩式代入式10－18中，得到

由此得到線性電阻電壓電流關(guān)系的相量形式為

這是一個(gè)復(fù)數(shù)方程，它同時(shí)提供振幅之間和相位之間的兩個(gè)關(guān)系，即

(1)電阻電壓有效值等于電阻乘以電流的有效值，即U=RI(2)電阻電壓與其電流的相位相同，即ψu(yù)=ψi

線性電阻元件的相量模型如圖(a)所示，反映電壓電流相量關(guān)系的相量圖如圖(b)所示，由此圖可以清楚地看出電阻電壓的相位與電阻電流的相位相同。圖10-15正弦電流電路中電阻元件的電壓電流相量關(guān)系二、電感元件電壓電流關(guān)系的相量形式

當(dāng)電感電流i(t)=Imcos(

t+ψi)隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化時(shí)，電感上電壓電流關(guān)系如下：

線性電感的電壓電流關(guān)系采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，

表明線性電感的電壓和電流是同一頻率的正弦時(shí)間函數(shù)。其振幅或有效值之間的關(guān)系以及電壓電流相位之間的關(guān)系為

電感元件的時(shí)域模型如圖10-16(a)所示，反映電壓電流瞬時(shí)值關(guān)系的波形圖如圖10-16(b)所示。由此可以看出電感電壓超前于電感電流90°，當(dāng)電感電流由負(fù)值增加經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)，其電壓達(dá)到正最大值。圖10-16

由于電感元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時(shí)間函數(shù)，可以用相量分別表示，將它們代入式10－24中得到

由此得到電感元件電壓相量和電流相量的關(guān)系式

電感元件的相量模型如圖(a)所示，電壓電流的相量圖如(b)所示。由此可以清楚看出電感電壓的相位超前于電感電流的相位90°。圖10-17在幻燈片放映時(shí)，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。三、電容元件電壓電流關(guān)系的相量形式

線性電容在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)

線性電容的電壓和電流是同一頻率的正弦時(shí)間函數(shù)。其振幅或有效值之間的關(guān)系以及電壓電流相位之間的關(guān)系為

當(dāng)電容電壓u(t)=Umcos(

t+ψu(yù))隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化時(shí)

電容元件的時(shí)域模型如圖10-18(a)所示，反映電壓電流瞬時(shí)值關(guān)系的波形圖如圖(b)所示。由此圖可以看出電容電流超前于電容電壓90°，當(dāng)電容電壓由負(fù)值增加經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)，其電流達(dá)到正最大值。圖10-18

由于電容元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時(shí)間函數(shù)，可以用相量分別表示，代入式10－28中得到

由此得到電容元件電壓相量和電流相量的關(guān)系式

電容元件的相量模型如圖(a)所示，其相量關(guān)系如圖(b)所示。圖10-19在幻燈片放映時(shí)，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。四、阻抗與導(dǎo)納歐姆定律的相量形式

現(xiàn)將RLC元件電壓電流的相量關(guān)系列寫如下：

我們注意到，RLC元件電壓相量與電流相量之間的關(guān)系類似歐姆定律，電壓相量與電流相量之比是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的量，其中R，稱為電阻；j

L，稱為電感的電抗，簡稱為感抗；1/j

C，稱為電容的電抗，簡稱為容抗。為了使用方便，我們用大寫字母Z來表示這個(gè)量，它是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為阻抗。

引入阻抗后，我們可以將以上三個(gè)關(guān)系式用一個(gè)式子來表示。

式10－32稱為歐姆定律的相量形式。

阻抗定義為電壓相量與電流相量之比，即

與上相似，RLC元件電壓電流的相量關(guān)系也可以寫成以下形式

我們注意到，RLC元件電流相量與電壓相量之比是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的量，其中G，稱為電導(dǎo)；1/j

L，稱為電感的電納，簡稱為感納；j

C，稱為電容的電納，簡稱為容納。我們用大寫字母Y來表示這個(gè)量，它是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為導(dǎo)納。

引入導(dǎo)納后，可以將以上關(guān)系式用一個(gè)式子來表示。

顯然，同一個(gè)二端元件的阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)關(guān)系，即

導(dǎo)納Y定義為電流相量與電壓相量之比，即

現(xiàn)將反映兩類約束關(guān)系的KCL、KVL和二端元件VCR的時(shí)域和相量形式列寫如下。它們是相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本依據(jù)。例10-8電路如圖10-20(a)所示，已知

試求電壓u1(t),u2(t),u(t)及其有效值相量。圖10-20解：根據(jù)圖(a)所示電路的時(shí)域模型，畫出圖(b)所示的相量

模型，圖中各電壓電流參考方向均與時(shí)域模型相同，

僅將時(shí)域模型中各電壓電流符號(hào)用相應(yīng)的相量符號(hào)表示，根據(jù)相量形式的KCL求出電流相量

由相量形式的VCR方程求出電壓圖10-20(b)

根據(jù)相量形式的KVL方程式得到

得到相應(yīng)電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式

相量圖如圖(c)所示。由此圖可以看出電壓u(t)超前于電流i(t)的角度為53.1°。此例中，U=5

U1+U2=3+4=7圖10-20(c)解：畫出圖(a)相量模型如圖(b)所示。根據(jù)RLC元件相量形

式的VCR方程(式10－23和10－31)計(jì)算出電流相量。例10－9電路如圖10-21(a)所示,已知

試求電流i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。圖10-21

根據(jù)相量形式的KCL方程得到

得到電流的瞬時(shí)值表達(dá)式圖10-21(b)

根據(jù)所求得的各電壓電流相量畫出相量圖。

由此圖可以看出電流i(t)超前于電壓uS(t)的角度為63.4°。

此例中，I=5.59

I1+I2=2.5+5=7.5,再次說明正弦電流電路中流出任一結(jié)點(diǎn)的全部電流有效值的代數(shù)和并不一定等于零。在幻燈片放映時(shí)，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。

名稱時(shí)間

名稱時(shí)間1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424電感線圈的電壓電流關(guān)系2:125電容器的電壓電流關(guān)系2:306RC和RL電路相位差1:437RC正弦分壓電路1:278RC正弦電路的電壓關(guān)系1:569CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器2:1910CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器3:1011CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器2:3012KD102科學(xué)計(jì)算器1:5013KK106N科學(xué)計(jì)算器3:1014習(xí)題10－53電路實(shí)驗(yàn)3:1615習(xí)題10－57電路實(shí)驗(yàn)2:4916習(xí)題10－58電路實(shí)驗(yàn)2:4917方波的諧波分量2:5718非正弦波的諧波5:0919回轉(zhuǎn)器變電容為電感4:31

根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香§10-5正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析

在前兩節(jié)中，已經(jīng)推導(dǎo)出反映兩類約束關(guān)系的KCL、KVL和二端元件VCR的相量形式，它們是用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本依據(jù)。本節(jié)先介紹相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本方法和主要步驟，然后再用相量法分析阻抗串并聯(lián)電路。一、相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟

(一)畫出電路的相量模型根據(jù)電路時(shí)域模型畫出電路相量模型的方法是

1.將時(shí)域模型中各正弦電壓電流，用相應(yīng)的相量表示，并標(biāo)明在電路圖上。對于已知的正弦電壓和電流，按照下式計(jì)算出相應(yīng)的電壓電流相量。2.根據(jù)時(shí)域模型中RLC元件的參數(shù)，用相應(yīng)的阻抗(或?qū)Ъ{)表示，并標(biāo)明在電路圖上。(二)根據(jù)KCL、KVL和元件VCR相量形式，建立復(fù)系數(shù)電路方程或?qū)懗鱿鄳?yīng)公式，并求解得到電壓電流的相量表達(dá)式。(三)根據(jù)所計(jì)算得到的電壓相量和電流相量，寫出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式。解：1.畫出電路圖(a)的相量模型，如圖(b)所示。其中圖10-22例10-10電路如圖10-22(a)所示，已知電感電流

試用相量法求電流i(t),電壓uC(t)和uS(t)。2.觀察相量模型，用相量形式的KVL和電感VCR方程求出電感電壓和電容電壓相量

根據(jù)相量形式的電容VCR方程求出電容電流相量圖10-22(b)

根據(jù)相量形式的KCL方程求出電阻電流相量

根據(jù)相量形式的KVL方程和電阻及電感VCR方程，求出電壓源電壓相量圖10-22(b)

根據(jù)電流相量,電容電壓相量和電壓相量以及角頻率

=10rad/s，求得電流i(t)，電壓uC(t)和uS(t)的瞬時(shí)值表達(dá)式為圖10-22二、阻抗串聯(lián)和并聯(lián)電路分析

1.阻抗串聯(lián)電路分析圖10-23(a)表示n個(gè)阻抗的串聯(lián)，流過每個(gè)阻抗的電流相同，根據(jù)相量形式的基爾霍夫電壓定律和歐姆定律得到以下關(guān)系圖10-23

以上計(jì)算結(jié)果表明n個(gè)阻抗串聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來說，等效于一個(gè)阻抗，其等效阻抗值等于各串聯(lián)阻抗之和，即圖10-23n個(gè)阻抗串聯(lián)的電流相量與其端口電壓相量的關(guān)系為

第k個(gè)阻抗上的電壓相量與端口電壓相量的關(guān)系為圖10-23圖10-23

這個(gè)公式稱為n個(gè)阻抗串聯(lián)時(shí)的分壓公式。當(dāng)兩個(gè)阻抗串聯(lián)時(shí)的分壓公式為

讀者可以看出以上幾個(gè)公式與n個(gè)電阻串聯(lián)時(shí)得到的公式相類似。例10-11已知圖10-24(a)所示電路的u(t)=10cos2t

V,

R=2

,L=2H,C=0.25F。試用相量方法計(jì)算電路

中的i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。解：圖(a)電路的相量模型，如圖(b)所示。求出RLC串聯(lián)電

路的等效阻抗圖10-24

求出RLC元件的相量電流

用分壓公式計(jì)算RLC元件上的電壓相量圖10-24

根據(jù)以上電壓電流相量得到相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式

各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。從相量圖上清楚地看出端口電壓u(t)的相位超前于端口電流相位i(t)45°，表明該RLC串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個(gè)電阻與電感的串聯(lián)，即單口網(wǎng)絡(luò)具有電感性。從相量圖還可以看出U=10V

UR+UL+UC=(7.07+14.14+7.07)V=28.28V

其中電感電壓UL=14.14V比總電壓U=10V還要大，這再次表明電壓有效值之間不服從KVL定律。圖10-242.導(dǎo)納并聯(lián)電路分析圖10-25(a)表示n個(gè)導(dǎo)納的并聯(lián)，每個(gè)導(dǎo)納的電壓相同，根據(jù)相量形式的基爾霍夫電流定律和歐姆定律得到以下關(guān)系圖10-25

以上計(jì)算結(jié)果表明n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，等效于一個(gè)導(dǎo)納，其等效導(dǎo)納值等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，即

得到n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)的電壓相量與其端口電流相量的關(guān)系為圖10-25

求得第k個(gè)導(dǎo)納中的電流相量與端口電流相量的關(guān)系為

這個(gè)公式稱為n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)時(shí)的分流公式。常用的兩個(gè)阻抗并聯(lián)時(shí)的分流公式為

以上幾個(gè)公式與n個(gè)電導(dǎo)并聯(lián)時(shí)得到的公式相類似。圖10-25例10-12已知圖10-26(a)所示電路的

試用相量方法計(jì)算電路中的u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。解：圖(a)所示電路的相量模型如圖(b)所示。求出RLC并聯(lián)

電路的等效導(dǎo)納圖10-26

求出相量電壓

用分流公式計(jì)算RLC元件上的電流相量圖10-26

根據(jù)以上電壓電流相量得到相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式

各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。從相量圖上清楚地看出端口電流的相位超前于端口電壓相位36.9°，表明該RLC并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個(gè)電阻與電容的并聯(lián)，該單口網(wǎng)絡(luò)具有電容性。從計(jì)算結(jié)果和相量圖均可以看出圖10-26I=15A

IR+IL+IC=(12+3+12)A=27A

再次表明電流有效值之間不服從KCL定律。例10-13圖10-27示電路與例10-10中討論的電路完全相同。

已知電壓源電壓為

試求各電壓電流。圖10-27解：該電路既有阻抗的串聯(lián)，又有阻抗的并聯(lián)，我們可以

用阻抗串聯(lián)和并聯(lián)的等效阻抗公式，求出連接于電壓源

的阻抗混聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗

計(jì)算出電流相量

用兩個(gè)阻抗并聯(lián)的分流公式，計(jì)算出

用相量形式的歐姆定律，求出電容電壓和電感電壓相量

由于電容與電感并聯(lián)，電容電壓與電感電壓應(yīng)該相同。

本題也可以利用線性電路疊加定理來計(jì)算各電壓電流。因?yàn)楸绢}電壓源電壓幅度是圖10-22電路中電壓幅度的2倍，初相增加126.9°，現(xiàn)將圖10-22電路中各電壓電流幅度增加到2倍，初相增加126.9°，即可得到本題的電壓電流。例如圖10-22電路中電容電壓為

本題中的電容電壓為在幻燈片放映時(shí)，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。在幻燈片放映時(shí)，請用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。

名稱時(shí)間

名稱時(shí)間1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424電感線圈的電壓電流關(guān)系2:125電容器的電壓電流關(guān)系2:306RC和RL電路相位差1:437RC正弦分壓電路1:278RC正弦電路的電壓關(guān)系1:569CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器2:1910CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器3:1011CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器2:3012KD102科學(xué)計(jì)算器1:5013KK106N科學(xué)計(jì)算器3:1014習(xí)題10－53電路實(shí)驗(yàn)3:1615習(xí)題10－57電路實(shí)驗(yàn)2:4916習(xí)題10－58電路實(shí)驗(yàn)2:4917方波的諧波分量2:5718非正弦波的諧波5:0919回轉(zhuǎn)器變電容為電感4:31

根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香§10－6一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

從以上幾節(jié)討論中可以看到，由于相量形式的基爾霍夫定律和歐姆定律與電阻電路中同一定律的形式完全相同，分析線性電阻電路的一些公式和方法完全可以用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中來。其差別僅僅在于電壓電流用相應(yīng)的相量替換，電阻和電導(dǎo)用阻抗和導(dǎo)納替換。本節(jié)將舉例說明支路分析，網(wǎng)孔分析，結(jié)點(diǎn)分析，疊加定理和戴維寧－諾頓定理在正弦穩(wěn)態(tài)分析中的應(yīng)用。

例10-14圖10-28(a)電路中，已知試求電流i1(t)解：先畫出電路的相量模型，如(b)所示，其中圖10-28圖10-28(b)1.支路分析以支路電流作為變量，列出圖(b)所示相量模型的KCL和KVL方程

求解得到

由電流相量得到相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式圖10-28(b)2.網(wǎng)孔分析假設(shè)網(wǎng)孔電流如圖(b)所示，用觀察法列出網(wǎng)孔電流方程

求解得到

由電流相量得到相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式

選擇參考結(jié)點(diǎn)如圖所示，用觀察法列出結(jié)點(diǎn)電壓方程3.結(jié)點(diǎn)分析為了便于列寫電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程，畫出采用導(dǎo)納參數(shù)的相量模型，如圖10-29所示，其中圖10-29

求解得到

最后求得電流圖10-304.疊加定理疊加定理適用于線性電路，也可以用于正弦穩(wěn)態(tài)分析。畫出兩個(gè)獨(dú)立電壓源單獨(dú)作用的電路，如圖10-30所示。

用分別計(jì)算每個(gè)獨(dú)立電壓源單獨(dú)作用產(chǎn)生的電流相量，然后相加的方法得到電流相量圖10-305.戴維寧定理戴維寧定理告訴我們：含獨(dú)立源的單口網(wǎng)絡(luò)相量模型可以一個(gè)電壓源和阻抗Zo串聯(lián)電路代替，而不會(huì)影響電路其余部分的電壓和電流相量。圖10-31

先求出連接電感的單口網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。

(1)斷開電感支路得到圖(a)電路，由此求得端口的開路電壓圖10-31(2)將圖10－31(a)電路中兩個(gè)獨(dú)立電壓源用短路代替，得到圖(b)電路，由此求得單口網(wǎng)絡(luò)的輸出阻抗圖10-31

用戴維寧電路代替單口網(wǎng)絡(luò)得到圖(c)所示電路，由此求得圖10-31例10-15電路如圖10－32(a)所示，已知R1=5

，R2=10

,

L1=L2=10mH，C=100

F，試用網(wǎng)孔分析和結(jié)點(diǎn)分析計(jì)算電流i2(t)圖10-32解：畫出圖(a)電路的相量模型，如圖(b)所示，其中圖10-321.網(wǎng)孔分析

求解得到

設(shè)兩個(gè)網(wǎng)孔電流如圖(b)所示。圖10-32

用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程2.結(jié)點(diǎn)分析將圖(b)相量模型中的電壓源和阻抗串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)等效變換為電流源和阻抗的并聯(lián)后。圖10-32

用觀察法直接列出結(jié)點(diǎn)電壓方程

求解得到

再用相量形式的KVL方程求出電流例10-16電路如圖10-33(a)所示，已知

試用網(wǎng)孔分析、結(jié)點(diǎn)分析和戴維寧定理計(jì)算電流i2(t)。解：畫出圖(a)的相量模型，如圖(b)所示，其中圖10-33圖10-331.網(wǎng)孔分析代入得到以下方程求解得到圖10-33

設(shè)兩個(gè)網(wǎng)孔電流，用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程2.結(jié)點(diǎn)分析代入求解得到圖10-33(b)

將電壓源和阻抗串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)等效變換為電流源和阻抗的并聯(lián)后，再列出結(jié)點(diǎn)電壓方程(1)由圖10-33(c)電路求端口的開路電壓。先用網(wǎng)孔方程求電流求解得到圖10-33(c)3.用戴維寧定理求解(2)用外加電流源求端口電壓的方法，由圖10-33(d)電路求輸出阻抗Zo。列出支路電流方程

由式(1)、(2)得到

代入式(3)得到圖10-33(d)由圖10-33(e)求得得到圖10-33(e)所示等效電路圖10-33(e)例10－17圖10－34(a)所示雙口網(wǎng)絡(luò)的相量模型中，已知雙口網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為,求電流和電壓。圖10－34解1：用類似于式(6－25)的公式計(jì)算端接3Ω負(fù)載雙口網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗得到圖10－34(b)所示等效電路，由此求得圖10－34圖10－34

為了求電壓,可以先求出連接負(fù)載電阻的戴維寧等效電路，其開路電壓和輸出阻抗為這是一個(gè)電壓源，最后得到。解2:用雙口網(wǎng)絡(luò)等效電路代替雙口網(wǎng)絡(luò)，得到圖10－34(c)所示電路，列出網(wǎng)孔方程圖10－34求解方程得到電流和電壓

讀者學(xué)習(xí)這一小節(jié)時(shí)，可以觀看教材光盤中“CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器”，“CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器”，“CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器”,“KD102科學(xué)計(jì)算器”和“KK106N科學(xué)計(jì)算器”等實(shí)驗(yàn)錄像，學(xué)習(xí)如何利用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行復(fù)數(shù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。計(jì)算機(jī)程序AC可以計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)的電壓電流相量，繪制相量圖和波形圖，使用十分方便，對學(xué)習(xí)正弦穩(wěn)態(tài)很有幫助，附圖8顯示求解例10－18電路的計(jì)算結(jié)果。

名稱時(shí)間

名稱時(shí)間1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424電感線圈的電壓電流關(guān)系2:125電容器的電壓電流關(guān)系2:306RC和RL電路相位差1:437RC正弦分壓電路1:278RC正弦電路的電壓關(guān)系1:569CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器2:1910CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器3:1011CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器2:3012KD102科學(xué)計(jì)算器1:5013KK106N科學(xué)計(jì)算器3:1014習(xí)題10－53電路實(shí)驗(yàn)3:1615習(xí)題10－57電路實(shí)驗(yàn)2:4916習(xí)題10－58電路實(shí)驗(yàn)2:4917方波的諧波分量2:5718非正弦波的諧波5:0919回轉(zhuǎn)器變電容為電感4:31

根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香§10－7單口網(wǎng)絡(luò)的相量模型一、阻抗和導(dǎo)納

兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的端口電壓電流關(guān)系相同時(shí)，稱此兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)等效。

我們已經(jīng)知道阻抗和導(dǎo)納是正弦穩(wěn)態(tài)分析中的兩個(gè)重要概念，它們可以用來表示RLC元件以及由這些元件組成的單口網(wǎng)絡(luò)的特性?，F(xiàn)在將這兩個(gè)概念推廣到一般單口網(wǎng)絡(luò)的相量模型，正式給出它們的定義。

假設(shè)端口電壓與電流相量采用關(guān)聯(lián)的參考方向，其電壓相量與電流相量之比為一個(gè)常量，這個(gè)常量稱為阻抗，即

阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，阻抗的幅角

=

u-

i稱為阻抗角，它表示端口正弦電壓u(t)與正弦電流i(t)的相位差。上式可以改寫以下形式圖10-35

與阻抗相似，在端口電壓與電流相量采用關(guān)聯(lián)參考方向條件下，其電流相量與電壓相量之比為一個(gè)常量，這個(gè)常量稱為導(dǎo)納，即

導(dǎo)納是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部G稱為電導(dǎo)分量，虛部B稱為電納分量，導(dǎo)納的幅角-

=

i-

u表示端口正弦電流i(t)與正弦電壓u(t)的相位差。上式可以改寫以下形式圖10-35

從以上幾個(gè)公式中可以得到以下關(guān)系

此式表明：就單口網(wǎng)絡(luò)的相量模型的端口特性而言，可以用一個(gè)電阻和電抗元件的串聯(lián)電路或用一個(gè)電導(dǎo)和電納元件的并聯(lián)電路來等效。

已知單口網(wǎng)絡(luò)可以用外加電源計(jì)算端口電壓電流關(guān)系的方法求出等效阻抗和等效導(dǎo)納。

同一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的阻抗與導(dǎo)納之間存在倒數(shù)關(guān)系，即例10-18單口網(wǎng)絡(luò)如圖10-36(a)所示，試計(jì)算該單口網(wǎng)絡(luò)在

=1rad/s和

=2rad/s時(shí)的等效阻抗和相應(yīng)的等效

電路。解：畫出圖(a)電路在

=1rad/s時(shí)的相量模型如圖(b)所示，

用阻抗串并聯(lián)阻抗的公式求得單口等效阻抗為

計(jì)算表明，等效阻抗為一個(gè)2Ω的電阻，如圖(c)所示。圖10-36

畫出

=2rad/s時(shí)的相量模型如圖10-37(d)所示，用阻抗串并聯(lián)阻抗的公式求得等效阻抗為

計(jì)算結(jié)果表明，等效阻抗為一個(gè)0.5Ω的電阻與-j1.5Ω的容抗串聯(lián)，其等效電路如圖10-37(e)所示。圖10-36例10-19單口網(wǎng)絡(luò)如圖10-37所示，已知

=100rad/s。

試計(jì)算該單口網(wǎng)絡(luò)相量模型等效阻抗和相應(yīng)的等

效電路。圖10-37解：相量模型如圖10-37(b)所示。在端口外加電流源，用

相量形式KVL方程計(jì)算端口電壓相量

求得等效阻抗為

其等效電路為一個(gè)電阻和電感的串聯(lián)，如圖(c)所示。圖10-37例10-20試求圖10-38(a)所示單口網(wǎng)絡(luò)在

=1rad/s和

=2rad/s時(shí)的等效導(dǎo)納。解：由圖(b)所示相量模型求出相應(yīng)的等效導(dǎo)納

由等效導(dǎo)納得到的等效電路如圖(c)所示。圖10-38試求圖(a)所示單口網(wǎng)絡(luò)在

=2rad/s時(shí)的等效導(dǎo)納。解：由圖d)所示相量模型求出相應(yīng)的等效導(dǎo)納

由等效導(dǎo)納得到的等效電路如圖(e)所示。圖10-38圖10-39二、阻抗和導(dǎo)納的等效變換無源單口網(wǎng)絡(luò)相量模型有兩種等效電路，如[圖10-39(c)]和[圖10-39(e)]所示。這兩種等效電路之間也可以進(jìn)行等效變換。

已知單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗和串聯(lián)等效電路，求其導(dǎo)納和并聯(lián)等效電路。根據(jù)阻抗和導(dǎo)納的倒數(shù)關(guān)系可以得到

由此得到由阻抗變換為導(dǎo)納的公式圖10-39

已知單口網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納和并聯(lián)等效電路，求其阻抗和串聯(lián)等效電路。根據(jù)阻抗和導(dǎo)納的倒數(shù)關(guān)系可以得到

由此得到由導(dǎo)納變換為阻抗的公式

應(yīng)該注意，電阻R與電導(dǎo)G之間并不是簡單的倒數(shù)關(guān)系；電抗jX與電納jB之間也不是簡單的倒數(shù)關(guān)系圖10-39例10-21電路如圖10-40(a)所示。(1)根據(jù)圖(a)所示電阻和

電抗串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，求圖(b)所示電導(dǎo)和電納并聯(lián)

的等效電路。(2)根據(jù)圖(b)所示電導(dǎo)和電納并聯(lián)

單口網(wǎng)絡(luò)，求圖(a)所示電阻和電抗串聯(lián)等效電路。圖10-40圖10-40解：并聯(lián)等效電路的電導(dǎo)G與電納jB如下：

由此可以得到圖(b)所示的并聯(lián)等效電路。

由此可以得到圖(a)所示的串聯(lián)等效電路。

從以上計(jì)算中也可以看出，電阻R與電導(dǎo)G以及電抗jX與電納jB不是倒數(shù)關(guān)系,即

串聯(lián)等效電路的電阻R與電抗jX如下：例10-22將圖10-41(a)所示電阻R=100

和電感L串聯(lián)單口網(wǎng)

絡(luò)，等效變換為圖(b)所示電阻R’=1000

和電感L’

并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，試求電感L之值。圖10-41解：用阻抗等效變換為導(dǎo)納的公式

令實(shí)部相等，可以求得

最后求得電感值為圖10-41圖10-41

此時(shí)的等效導(dǎo)納為

從電導(dǎo)分量來看，說明以上計(jì)算結(jié)果正確。假如在端口并聯(lián)一個(gè)適當(dāng)數(shù)值的電容(C=3

F)來抵消電感的作用，可以使單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)1000

的純電阻。

含獨(dú)立電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)相量模型，就其端口特性而言，可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源與阻抗的串聯(lián)來代替。三、含源單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的等效電路圖10-42

含獨(dú)立電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)相量模型，就其端口特性而言，可用一個(gè)獨(dú)立電流源與阻抗Zo的并聯(lián)來代替。圖10-42例10-23求圖10-43(a)單口的戴維寧和諾頓等效電路。

解：計(jì)算單口網(wǎng)絡(luò)相量模型端口的開路電壓圖10-43

用外加電流源求端口電壓的方法求得輸出阻抗

用開路電壓和輸出阻抗求得短路電流

作出戴維寧和諾頓等效電路，如圖(b)和(c)所示。圖10-43

例10-24電路如圖10-44(a)所示。問負(fù)載阻抗ZC應(yīng)該為何

值時(shí)，電流達(dá)到最大值。解：將連接負(fù)載阻抗ZC的單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧等效電路代替。

先求開路電壓圖10-44

求得單口網(wǎng)絡(luò)的輸出阻抗

由圖(b)電路看出，當(dāng)ZC=-j75

時(shí)，得到最大電流為圖10-44

名稱時(shí)間

名稱時(shí)間1正弦波的相位差1:482正弦波的有效值3:133RLC元件的相位差1:424電感線圈的電壓電流關(guān)系2:125電容器的電壓電流關(guān)系2:306RC和RL電路相位差1:437RC正弦分壓電路1:278RC正弦電路的電壓關(guān)系1:569CASIOfx82科學(xué)計(jì)算器2:1910CASIOfx82MS科學(xué)計(jì)算器3:1011CASIOfx150科學(xué)計(jì)算器2:3012KD102科學(xué)計(jì)算器1:5013KK106N科學(xué)計(jì)算器3:1014習(xí)題10－53電路實(shí)驗(yàn)3:1615習(xí)題10－57電路實(shí)驗(yàn)2:4916習(xí)題10－58電路實(shí)驗(yàn)2:4917方波的諧波分量2:5718非正弦波的諧波5:0919回轉(zhuǎn)器變電容為電感4:31

根據(jù)教學(xué)需要，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。郁金香§10-8正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加本節(jié)討論幾個(gè)不同頻率的正弦激勵(lì)在線性時(shí)不變電路中引起的非正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。幾個(gè)頻率不同的正弦激勵(lì)在線性時(shí)不變電路中產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)電壓和電流，可以利用疊加定理，分別計(jì)算每個(gè)正弦激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的正弦電壓uk(t)和電流ik(t)，然后相加求得非正弦穩(wěn)態(tài)電壓u(t)和電流i(t)。在計(jì)算每個(gè)正弦激勵(lì)單獨(dú)作用引起的電壓和電流時(shí)，仍然可以使用相量法先計(jì)算出電壓電流相量，然后得到電壓電流的瞬時(shí)值uk(t)和ik(t)。試用疊加定理求穩(wěn)態(tài)電壓u(t)。例10-25圖10-45(a)所示電路中，已知電壓源電壓電流源電流圖10-45(a)解：1.計(jì)算單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生

的電壓

將電流源iS(t)以開路代替，得到圖(b)所示相量模型，由此求得

由相量寫出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式圖10-452.計(jì)算單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電壓。

將電壓源uS(t)用短路代替，得到圖(c)所示相量模型，由此求得

由相量寫出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式圖10-453.根據(jù)疊加定理求穩(wěn)態(tài)電壓u(t)

將每個(gè)正弦電源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電壓瞬時(shí)值相加，得到非正弦穩(wěn)態(tài)電壓u(t)圖10-45(a)

和的波形如圖(a)所示。的波形如圖(b)所示，它是一個(gè)非正弦周期波形。圖10-46

對于周期性非正弦信號(hào)在線性時(shí)不變電路中引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也可應(yīng)用疊加定理，按不同頻率正弦激勵(lì)下響應(yīng)的計(jì)算方法