人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè) 直線的傾斜角與斜率（含解析）

人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)2.1直線的傾斜角與

斜率

一、單選題

1.已知直線/：6-y+l=0,點(diǎn)A(l,-3),8(2,3),若直線/與線段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.HB.ifH

(-8,-?^-]u[l+∞)

C.D.(-∞,-4]u[l+∞)

2.若兩直線/]：(〃_l)x_3y_2=0與/2：x_(o+l)y+2=0平行，則Q的值為()

A.±2B.2C.-2D.0

3.己知直線/的斜率為3傾斜角為。，若45。<&<135。，則女的取值范圍為

().

A.(Tl)B.(→o,-l)U(l,+oo)

C.[-??]D.(―∞,-1]_[l,+∞)

4.已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線/過(guò)點(diǎn)P(l,l),且與線段AB相交，則直線/的

斜率左的取值范圍為()

3

A.左≤一或左≥2B.k<?

4

3

C.?<k<2D.-<k<2

4

5.若直線/的斜率仁-2,又過(guò)一點(diǎn)(3,2),則直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)()

A.(0,4)B.(4,0)

C.(0,-4)D.(-2,1)

6.設(shè)直線4"+3y-7=O與直線Qx-y+l=。的交點(diǎn)為P,則尸到直線

/:無(wú)+@+2-4=0的距離最大值為

A.√iθB.4C.3√2D.√H

7.設(shè)點(diǎn)4(2,-3)、3(-3,-2),若直線[過(guò)點(diǎn)PaI)且與線段AB相交,則直線/的斜率A

的取值范圍是()

331

A.k≥一或Z≤-4B.k≥-^^k≤--

444

33

C.-4≤k<-D.——≤k<4

44

8.若直線/經(jīng)過(guò)42,1),仇1,—>)(,〃GR)兩點(diǎn)，則直線/的傾斜角α的取值范圍是

()

C,4C兀CTI:,3冗Cπ/冗

A.0≤α<一B.—<α<7iC.一<α≤—D.—≤α<一

422442

9.直線/:6一3丫+2=0與X軸交于點(diǎn)A,把/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得直線，"，"?的

傾斜角為α,則COSa=()

AV6+5/2??j2-y∕β--76+?J2r.?/e—V2

4444

10.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(O,T)作直線/,若直線/與連接A(l,-2),8(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則

直線/的斜率k的取值范圍為()

A.[-1,1]B.(―∞,-l]'->[l,+∞)C.[—1,1)

D.(-∞,-l)u[l,+∞)

11.對(duì)于直線∕ior+αy-1=0(ακ0),下列說(shuō)法不正確的是()

a

A.無(wú)論。如何變化，直線/的傾斜角的大小不變

B.無(wú)論。如何變化，直線/一定不經(jīng)過(guò)第三象限

C.無(wú)論“如何變化，直線/必經(jīng)過(guò)第一、二、三象限

D.當(dāng)。取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線

12.直線(4+l)x—2毆-3=0的傾斜角的取值范圍是()

13.若方程(6∕-α-2)x+(3∕-5a+2)y+α-l=0表示平行于X軸的直線，則〃的值是

()

C2」

A-B.D.1

?3~23,2

fl、三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

14.若4-2,3),8(3,2),Cr一,mI

1

A.2B.-2C.-D.——

22

15.如圖所示，下列四條直線中，斜率最大的是()

A.∕∣B.I2C.I3D.I4

二、填空題

16.若A(4,O),B(0,b),C(-2,-2)三點(diǎn)共線，則,+'=______.

ab

17.已知A(1,0),B(-1,2),直線/：Zr-毆-4=。上存在點(diǎn)P,滿足IRM+∣PBl=

20，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

18.直線。的斜率為&/=6，直線/2的傾斜角為//的g,則直線//與/2的傾斜角之和

為.

三、解答題

19.已知,AfiC的頂點(diǎn)分別為A(5,-l)、8(1,1)、C(2,m),若ABC為直角三角形，求

實(shí)數(shù)〃?的值.

20.將一塊直角三角形木板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=QB=1,4BLO8,點(diǎn)

PC)是三角形木板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分

鉆掉，可用經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的任一直線MN將三角形木板鉆成AMN.設(shè)直線MN的斜率為k

(1)求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)(用k表示)及直線MN的斜率k的范圍;

(2)令A(yù)MN的面積為S,試求出S的取值范圍.

21.判斷下列直線4與4是否垂直.

(1)《的斜率為-|,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A。/)，

(2)6的傾斜角為45。，&經(jīng)過(guò)尸(一2,-1),Q(3,-6)兩點(diǎn)；

(3)4經(jīng)過(guò)M(1,0),N(4,-5)兩點(diǎn)，4經(jīng)過(guò)R(-6，。)，S(T,3)兩點(diǎn).

22.已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M(m+3,2m+5),N(m-2,1).

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角？

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角？

(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎？

參考答案:

1.A

若直線/與線段AB有公共點(diǎn)，由A、8在直線/的兩側(cè)(也可以點(diǎn)在直線上)，得

/(1-3)/(2,3)<O(f(x,y)=ax-y+?)可得結(jié)論.

【詳解】

若直線/與線段AB有公共點(diǎn)，則A、8在直線/的兩側(cè)(也可以點(diǎn)在直線上).

^f(x,y)=ax-y+l,則有f(l,-3)/(2,3)≤0,即(α+3+l)(2α-3+l),,0.

解得T黜1,

故選：A.

2.A

根據(jù)兩直線平行的充要條件可得-m+l)3-l)-(-3)xl=0,即可求”的值.

【詳解】

由題意知:√α+l)(α-l)-(-3)×l=0,整理得4-儲(chǔ)=。,

?'?ez=+2>

故選：A

3.B

根據(jù)傾斜角和斜率關(guān)系求解.

【詳解】

直線傾斜角為45。時(shí)，斜率為1,

直線傾斜角為135。時(shí)，斜率為-1,

因?yàn)楱M=tan0在嗚)上是增函數(shù)，在《㈤上是增函數(shù)，

所以當(dāng)45。VaVI35。時(shí),%的取值范圍是(v,T)U(I,+∞).

故選：B

答案第1頁(yè)，共11頁(yè)

4.A

首先求出直線抬、所的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案.

【詳解】

解：直線2的斜率%、=汨3-1=2,直線總的斜率原L—-2-1=3

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)尸(1,1),且與線段48相交，

結(jié)合圖象可得直線/的斜率k的取值范圍是A≤。或后≥2.

4

故選：A.

5.B

利用斜率公式逐個(gè)驗(yàn)證即可

【詳解】

4-22

對(duì)于A，Z=廠=一彳*一2,不符合題意；

對(duì)于B,A=∣Ξ^=-2,所以B正確；

3-4

對(duì)于C,Z=V=2*-2,不符合題意;

對(duì)于D,k="*=?≠-2,不符合題意,

?一LZ)?

故選：B

答案第2頁(yè)，共11頁(yè)

6.A

先求出尸的坐標(biāo)，再求出直線/所過(guò)的定點(diǎn)。，則所求距離的最大值就是PQ的長(zhǎng)度.

【詳解】

fx+3y-7=O,fx=l,、

由?,可以得到°,故P1,2,

[x-y+l=n0[y=2

直線/的方程可整理為：x+2+a(y-l)=0,故直線/過(guò)定點(diǎn)(-2,1),

因?yàn)镻到直線/的距離d<?PQ?,當(dāng)且僅當(dāng)/±PQ時(shí)等號(hào)成立，

22

故Jmax=√(l+2)+(2-l)=710，

故選A.

一般地，若直線4：4+線k￡=0和直線/24'+鳥(niǎo)“。2=。相交，那么動(dòng)直線

Λ1x+B∣γ+Cl+Λ(Ax+B2y+C2)=O(Λ∈∕?)必過(guò)定點(diǎn)(該定點(diǎn)為4，/：1的交點(diǎn)).

7.A

根據(jù)斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

如圖所示：

答案第3頁(yè)，共11頁(yè)

3

則"，或％≤4

故選：A

8.D

應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率得&=tanα=l+m2,結(jié)合〃WR及0≤α＜萬(wàn),即可求α的范圍.

【詳解】

根據(jù)題意，直線/經(jīng)過(guò)4(2,1),B(l,->),

；?直線/的斜率左=甘勺=1+/，又mwR,

2-1

*'?1+∕n2≥1?即Iana=Z≥1,又O≤α<τr,

.兀,71

??—<a<-；

42

故選：D.

9.C

答案第4頁(yè)，共11頁(yè)

由題知直線/的傾斜角為30。，從而求得旋轉(zhuǎn)后的傾斜角，利用特殊角的兩角和與差的余弦

公式求得結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)/的傾斜角為則tan。=@，

3

.?.6=30。，

由題意知。=（，-45。）+180。=165。，

.,.cosa-cos165o=-cos15o=-cos（60o-45o）=-cos60ocos45o-sin60osin45o

1√2√2√2+√6

=—X-----×-------.

22224

故選：C

10.A

過(guò)定點(diǎn)的直線與線段恒有公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，求斜率的取值范圍即可.

【詳解】

根據(jù)題意畫圖如下:

kpA=：一（”=-1/=與尊=1,在射線也逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線PB時(shí)斜率逐漸變大,

I-U2-U

直線/與線段A3總有公共點(diǎn)，所以-l≤Ar≤l.

故選:A.

11.C

答案第5頁(yè)，共11頁(yè)

直線/：5+?，_1=0（。#0）,化為：y=-χ+4,根據(jù)直線斜率與在y軸上的截距的意義即可

aa~

判斷出正誤.

【詳解】

直線/:公+4-LOmW0）,化為：γ=-χ÷-y,

aa

可得斜率％=T,傾斜角為3一4，），軸上的截距為r1>0,

因此無(wú)論。如何變化，直線/必經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，C錯(cuò)；

直線/一定不經(jīng)過(guò)第三象限，B對(duì)；

直線/的傾斜角的大小不變，A對(duì)；

當(dāng)。取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線，D對(duì)；

故選：C.

12.A

分斜率存在不存在，若斜率存在，根據(jù)直線方程求出斜率，由斜率求傾斜角.

【詳解】

設(shè)直線（片+1卜-2ay-3=0的傾斜角為。,

TT

當(dāng)4=0時(shí)，。=萬(wàn)；

2.

當(dāng)QWo時(shí)，則tan。="+-I4Z+-l∈(-∞,-l]U[l,+∞).

因?yàn)閛≤eV萬(wàn)

所以夕W

π3；T

綜上可得：8WN

故選：A

13.B

根據(jù)直線與X軸平行，由直線方程各項(xiàng)系數(shù)的特征，即可求”的值.

答案第6頁(yè)，共11頁(yè)

【詳解】

直線(6/-。-2)x+(3α?-5α+2)y+。-1=0與X軸平行

6a2-a-2=0

?，?,3(/—5tz+2≠0,解得：a=—

2

。-1≠0

故選：B.

14.C

由三點(diǎn)共線可得出向量共線，再根據(jù)向量共線的知識(shí)即可解題.

【詳解】

因?yàn)锳(—2,3),B(3,2),Cm三點(diǎn)共線，

所以方向向量AB=(5,-1)與AC=(I,機(jī)-3)共線,

所以5("L3)-(-1)X2=O,解得，"=4?

22

故選：C

本題主要考查點(diǎn)共線和向量共線問(wèn)題，屬于常規(guī)題型.

15.D

先判斷直線斜率的正負(fù)，當(dāng)斜率為正時(shí)，再根據(jù)傾斜程度比較斜率大小.

【詳解】

由圖可知：4斜率為負(fù)，4斜率為0，4%的斜率為正，

又Ii的傾斜程度大于所以6的斜率最大，

故選：D.

答案第7頁(yè)，共11頁(yè)

由斜率相等得α,6的關(guān)系.

【詳解】

解析：由題意得空

2a+2

6f?+2(tz+fe)=0,.

ah2

故答案為：-

17.[-∣,2]

計(jì)算線段AB的距離，得到點(diǎn)尸的軌跡，將點(diǎn)A,8分別代入2x-ay-α=0,得到“，根據(jù)

題意得到直線/所過(guò)定點(diǎn)。，求出直線AC,BC的斜率，根結(jié)合直線/與線段AB始終有交點(diǎn)

計(jì)算出。的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)镮Afil=J(-l-iy+(2-O)2=2√Σ,且∣Λ4∣+∣P8∣=2夜，

由圖可知，點(diǎn)P的軌跡為線段A8,

將點(diǎn)48的坐標(biāo)分別代入直線/的方程，可得α=2,α=-∣,

由直線/的方程可化為：2x-?(>-+l)=0,所以直線/過(guò)定點(diǎn)C(0,-1),

畫出圖形，如圖所示：

因?yàn)橹本€AC的斜率為MC=1,直線BC的斜率為*8C=U2?=-3,

-1—0

答案第8頁(yè)，共11頁(yè)

所以直線/的斜率為上=2,令/,解得-]%W2,

a2≤-33

.a

2

所以。的取值范圍是2].

_2

故答案為：2].

18.90°

由已知求得兩直線的傾斜角，由此可求得答案.

【詳解】

解：因?yàn)?。的斜?G，所以傾斜角為60。.

又力的傾斜角為//的所以/2的傾斜角為30。,

所以。與/2的傾斜角之和為60o+30o=90o.

故答案為：90°.

19.%的值為-7,-2,2或3

根據(jù)直角頂點(diǎn)分類討論，由垂直關(guān)系列式求解

【詳解】

ιγt-L11+1

①若NA為直角，則AC_LAB,所以∕AC?3B=-1,即黑XH=-1,解得也=-7；

2-5I—5

②若D8為直角，則ASL8C,所以*AB∕BC=T,即=X黑=—1，

l-52-1

解得/77=3；

③若NC為直角，則AC_L8C,所以原CMBC=T，即黑誓=T，

2—52—1

解得m=±2.

綜上，〃?的值為-7,-2,2或3.

(U-√_1?1

20.(1)M∣4(ΛL-l),4(?-l)J,U14Y2<k<-?(2)

κ24,3

答案第9頁(yè)，共11頁(yè)

(1)首先設(shè)直線MV:y=丘+b,由直線MN過(guò)點(diǎn)代入求出b=再聯(lián)立直

線OA方程V=X，直線A3X=1,即可得解；

(2)首先求出底長(zhǎng).IAM.=I-￡2k2+1=望3-,2k再求高d1=＞1荻2k—可1=2而k—3D,帶入面積公

式，即可得解.

【詳解】

(1)設(shè)直線MN:y=履+"因?yàn)橹本€MN過(guò)點(diǎn)P

LL…11,1k

所以二=hf：f=:一二?，

4242

1k

：.MN:>>=依-5,直線OA:y=x,直線AB:x=l,

2?-l2k-?

故M,小筌

4(Λ-1),4(?-1)^

11,1

^OP=],%>=一一<k<-

222

2?+l3-2%,2k-I2k-3

⑵?∣AN∣=1-—―=—:—,d

444(?-l)^4(?-l),

2k-3_(21-3)2_I+%1)+%—：_?1

.?S=-?AN??d=-×^^-×+(1-4)+1

2l1244(J)32(1)32(T)8[4(l-?)

—≤Z≤一,一≤1—Zc≤——≤S≤—,

222