新高考數(shù)學(xué)培優(yōu) 利用項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)（教師版）

專(zhuān)題39利用項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)

一、單選題

1.在的展開(kāi)式中，若含項(xiàng)的系數(shù)為-40,則正實(shí)數(shù)。=（）

A.—B.2C.3D.4

2

【答案】B

【分析】

（1y

寫(xiě)出奴2一二的展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后可建立方程求解.

I廠丿

【詳解】

/1X5/1\r

以2_=的展開(kāi)式的通項(xiàng)為了小=c；（ax2「-4=cy-r（-l）rx,°-4r

\x/IX丿

令K）_4r=-2,則r=3,所以=TO,解得。=2或。=一2（舍）

故選：B

2.設(shè)常數(shù)awR.若（/+巴）的二項(xiàng)展開(kāi)式中爐項(xiàng)的系數(shù)為一”，則。=（）

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】D

【分析】

利用通項(xiàng)公式求出/項(xiàng)的系數(shù)且等于-15,建立關(guān)于。的方程，求解即可.

【詳解】

P+-1的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為J=C；?(f廣[q]=ar-C；-x'°-3r,r=0,l,2,3,4,5.

\%丿丿

令10—3r=7,得r=l，

所以展開(kāi)式中x1項(xiàng)的系數(shù)為a?C；=-15,解得。=一3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.(/一與5展開(kāi)式中x的系數(shù)為go,則。等于()

x

A.-3B.3C.-2D.2

【答案】C

【分析】

求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令r=3,可計(jì)算岀4的值.

【詳解】

(Y-幺門(mén)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

X

=G?(f「?(—"?3)'=G?(—〃)’?產(chǎn)，(r=0,1…,5)

\x的系數(shù)為-C93=80,解得。=一2.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

（2\

4.亍+ayj（x-y）4的展開(kāi)式中Vy2項(xiàng)的系數(shù)為4,則。=（）

5

A.0B.2C.-D.-2

2

【答案】D

【分析】

,r2a

Vy2項(xiàng)為ay（-『.C%3y+一-（-1）-.《孫3=_4（1+。）孫3,由已知可求得選項(xiàng).

y

【詳解】

由題意，Vy2項(xiàng)為曲（_『.c%3y+二.（一1y.e:盯3=_4（］+a）孫3,故T（i+a）=4,所以“=—2.

y

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

5.［依+丄］的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為-160,則實(shí)數(shù)。=（）

Ix丿

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【分析】

先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后令x的次數(shù)為0,求出，的值，從而列方程可求出。的值

【詳解】

丄）的展開(kāi)式的通項(xiàng)（7=墨（℃）6-（丄）=Cra6~rx6-2r，令6—2r=0,得r=3，

所以。；。6'=一160,解得a=—2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題

6.二項(xiàng)式任一g）.的展開(kāi)式中爐的系數(shù)是—7,則。=（）

X

11

A.1B.—C.----D.—1

22

【答案】B

【分析】

利用已知和通項(xiàng)可求得

【詳解】

展開(kāi)式的通項(xiàng)為(-a)'G產(chǎn)2＞八｛0,1,2,,8｝，

因?yàn)闋t的系數(shù)是一7,所以8—2r=2,即r=3，

（一a）P；=（-。）3或=一7,解得a=/,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知二項(xiàng)式（奴+干＞）8的展開(kāi)式的第二項(xiàng)的系數(shù)為-布，則「：31厶=（）

7小7c210

A.-60B.-C.-60或一D.30或——

333

【答案】A

【分析】

3

根據(jù)第二項(xiàng)系數(shù)，可求出。=-1：由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為y進(jìn)而通過(guò)微積分基本定理

4

求得定積分值.

【詳解】

展開(kāi)式的第二項(xiàng)為C；(ax)7(好)=一班

8

所以系數(shù)4。7*乎=一百，解得。=一1

所以厶=34口

-141

=-(-1)4——(-3)4=-60

44

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了：項(xiàng)式定理和微積分基本定理的綜合應(yīng)用，通過(guò)方程確定參數(shù)的取值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題.

8.己知(l+ta)(l+x)3的展開(kāi)式中/的系數(shù)為7,則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式：聳+1以及多項(xiàng)式相乘即可求解.

【詳解】

(1+ar)(l+x)3的展開(kāi)式中d的系數(shù)為7,

則lxC；+?C；=7,即3a=6,所以a=2.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

」尸］(〃eN+)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()

9.使得|3x4-

x^Jx)

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

135

二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C：(3X)~(—7=)’，若展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，則〃寸--廠=0,解得〃=一「，當(dāng)

Xy/x22

取2時(shí)，n的最小值為5,故選B

【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

2344

10.+a,(2x-l)+a2(2x-l)+a3(2x-l)+a4(2x-l)=x,則%=()

3511

A.—B.—C.一D.—

816816

【答案】A

【分析】

令2x-1=f,則/+4f+a/+a/+a/=丄。+1)“中對(duì)應(yīng)二次項(xiàng)的系數(shù)相等即可.

【詳解】

解：令2x—1=%,則/+印+出廠+%/+a/=—Q+1)，,

16

?"cij-=一，

-168

故選：A.

【點(diǎn)睛】

考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，基礎(chǔ)題.

11.若(1+6)(1+尤》的展開(kāi)式中丁,戸的系數(shù)之和為—1(),則實(shí)數(shù)”的值為()

A.-3B.-2C.-1D.1

【答案】B

【分析】

由(1+原)(1+X)5=(1+X)5+公(1+X)5,進(jìn)而分別求出展開(kāi)式中/的系數(shù)及展開(kāi)式中*3的系數(shù)，令二者之

和等于-10,可求出實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】

由(1+ar)(l+x)'=(1+x)s+ax(\+x)'，

則展開(kāi)式中爐的系數(shù)為《+&Gi=l()+5a,展開(kāi)式中/的系數(shù)為C；+aC52=10+l()a,

二者的系數(shù)之和為(10+5a)+(10a+10)=15a+20=—10,得a=—2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.己知(l+x)(l—ax7的展開(kāi)式中爐的系數(shù)為15,則。=()

t3D.一1或3

A.-1B.1C.1或——

22

【答案】D

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式分別求出（1—奴）5展開(kāi)式中無(wú)2,尤的系數(shù)即可得到（1+X）（1—奴）5的展開(kāi)式中

/的系數(shù)，解方程即可求出。的值.

【詳解】

因?yàn)椤！郑?展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為J=G（-以）’，所以其展開(kāi)式中x的系數(shù)為-5a,/的系數(shù)為10巒，

即（1+》）（1一辦）5的展開(kāi)式中_￥2的系數(shù)為10/_5。.

3

依題意可得，10/一5a=15,解得a=-l或。=萬(wàn).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的系數(shù)，并利用系數(shù)求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

13.（GC+1）（X—1）5的展開(kāi)式中，V的系數(shù)是20,貝I」a=（）

A.2B.-1C.4D.1

【答案】B

【分析】

對(duì)多項(xiàng)式展開(kāi)得"（x—iy+（x—再研究（％-1）5的通項(xiàng)，當(dāng)「=3和廠=2時(shí)，可得V的系數(shù)為

“或（-1）3+或（-1）2,再解關(guān)于。的方程，即可得答案.

【詳解】

因?yàn)?ox+l)(x-l)5=ar(x-l)5+(x-l)5,

而（x—l）5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為7；+I=C"5-，（-iy,r=o,i,,5.

所以（辦+l）（x-的展開(kāi)式中用的系數(shù)為°C；（-以+C；（一庁=20,解得a=-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

求解能力，求解時(shí)注意系數(shù)的符號(hào).

14.已知（x+a）（x—2）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為-2,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】B

【分析】

令x=l,由展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為-2,列出方程并求出a的值，得岀展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為中一

的系數(shù)與（x-2）的的系數(shù)之和，然后利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】

解:由題可知，（x+a）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為-2,

令x=l,則所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1=—(1+6!)=—2>

解得：a=l,

、5\5

%—2)=(元+1)（2（22

/.（X+6Z）x—XX—+x——

k%7I犬丿X7

則(X+1)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:

5

（2

x——|中工―1的系數(shù)與的X°的系數(shù)之和,

由于展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:

&|=《產(chǎn)「?，2[=6?（一2）'?產(chǎn)"

\x丿

當(dāng)5—2r=—1時(shí)，即尸=3時(shí),的系數(shù)為：C；x(—2)3=—80,

當(dāng)5-2r=0時(shí)，無(wú)整數(shù)解，

所以(x+l)(x—2)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為—80.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，以及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,

屬于中檔題.

15.已知(x+3y)(ar—y)4展開(kāi)式中含尤2y3項(xiàng)的系數(shù)為1%則正實(shí)數(shù)。的值為()

97

A.-B.-C.2D.1

79

【答案】D

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理可確定(or-y)4展開(kāi)式的通項(xiàng)，由此可確定含的項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)的r的取值，進(jìn)而確定系

數(shù).

【詳解】

4

(cu-j)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr+i=C；(or廣(_才=(_了/TQX4-了

.?.(x+3y)(ac—月,展開(kāi)式中含犬＞3的項(xiàng)的系數(shù)為：

a97

(-1)+3x(-1)"crC1=-Aa+\^cr=14,解得：。=1或〃二一一.

9

。為正實(shí)數(shù)，\a=1

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)，關(guān)健是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng).

(1V,

16.(3x+l)--1的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為14,則正整數(shù)〃的值為()

丿

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

先研究j丄-1］的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再根據(jù)題意求解即可.

(X丿

【詳解】

\n-r

解：|12-、1展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為卻|=c；|丄

(-1)-=(-1)-C：嚴(yán),

X丿x)

故其常數(shù)項(xiàng)為(+1c：,

包含了T的項(xiàng)為（TM=（-1）1。丁/=（一1）"TnX-',

所以（3x+l）（丄一1）展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（―1）漢3"+（-1）"=14.

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，有3〃-1=14,解得〃=5；

13

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，有一3〃+1=14,解得〃=-一（舍）

3

故正整數(shù)〃的值為5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是中檔題.

二、多選題

17.若（犬+丄）的展開(kāi)式中/的系數(shù)是一16（）,則（）

A.a=--B.所有項(xiàng)系數(shù)之和為1

2

C.二項(xiàng)式系數(shù)之和為64D.常數(shù)項(xiàng)為-320

【答案】ABC

【分析】

首先根據(jù)展開(kāi)式中V的系數(shù)是-160得到。=—1,從而判斷A正確，令x=l得到所有項(xiàng)系數(shù)之和為1,從

2

而判斷B正確，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為26,從而判斷C正確，根據(jù)-21的常數(shù)項(xiàng)為

X

C^（x2）-1聲一320,從而判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】

對(duì)選項(xiàng)A,［爐+丄］的展開(kāi)式中Y項(xiàng)為C：（x2「j-L］

1ax丿'，（ax/

所以C；-門(mén)丄丫=-160.解得。=一1一，故A正確；

丿2

由A知：+丄［=［*2一

1ax）\X）

令x=l,所有項(xiàng)系數(shù)之和為（1—2）6=1,故B正確；

對(duì)選項(xiàng)C,二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64,故C正確；

對(duì)選項(xiàng)D,的常數(shù)項(xiàng)為窗（/）21—2）=24C^=

=240，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式的定理的各項(xiàng)系數(shù)之和，項(xiàng)的系數(shù)之和,常數(shù)項(xiàng)，屬于中檔題.

18.已知［1+2［2X—丄）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,

則下列結(jié)論正確的有（）

A.。=1

B.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為160

C.展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和1458

D.若「為偶數(shù)，則展開(kāi)式中短和x-的系數(shù)相等

【答案】ACD

【分析】

（l+0）（2x-丄）6中，給工賦值1求出各項(xiàng)系數(shù)和,列出方程求出“，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求岀通項(xiàng),

XX

進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,+

令二項(xiàng)式中的1為1得到展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為1+。，

1+。=2

\1,故A正確；

對(duì)于B,Qfl+?Y2X-lT=fl4Y2x-lY

IX八X）\X八X）

2T

xJx\x)

’2x—丄］展開(kāi)式的通項(xiàng)為（+1=（-1）'26-（戸6-2"

IX）

當(dāng)（2x—丄）展開(kāi)式是中常數(shù)項(xiàng)為：令6—2r=0.得r=3

可得展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為："=（-1）323C^=-16O,

當(dāng)丄（2x—丄］展開(kāi)式是中常數(shù)項(xiàng)為：丄?（一1）'26一。"62=（_1丫26-，?！?必

x\X）X

令5—2r=0,得r=3（舍去）

2

故(1+@)(2工一丄)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為一16().故B錯(cuò)誤;

6

1

1+-2.-1Y1+丄2」

Xx)XX

對(duì)于C,求其展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和與|1+±1、2x-丄)展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和相等

X)X

6

1Y；

1+-2x+-，令x=l,可得:142+|=2x36=1458

XX)

2x-丄)展開(kāi)式系數(shù)的絕対值的和為：1458.故C正確:

“I"XI丿

6

2x--l+-(2x--

對(duì)于D,1+—a2X-1V

xX)X)x

2x-丄)展開(kāi)式的通項(xiàng)為配1=(一1)'26一墨》6-2「

當(dāng)r為偶數(shù)，保證展開(kāi)式中/和的系數(shù)相等

①f和尤I的系數(shù)相等,

(1+丄丫2x-丄］展開(kāi)式系數(shù)中/系數(shù)為：(-1)226-2C；A:2

Ix八X)

展開(kāi)式系數(shù)中X1系數(shù)為：(-1)226-2C22

此時(shí)f和y的系數(shù)相等，

②/和d的系數(shù)相等，

(1+丄，2x-丄］展開(kāi)式系數(shù)中/系數(shù)為：(-l)'25c^4

展開(kāi)式系數(shù)中/系數(shù)為：（-?25煤/

此時(shí)/和/的系數(shù)相等，

③/和35的系數(shù)相等，

1+丄丫2%-丄］展開(kāi)式系數(shù)中/系數(shù)為：（一1）。26。>6

IX八X）

展開(kāi)式系數(shù)中戸系數(shù)為：（-1）°26或1

此時(shí)1和爐的系數(shù)相等，

故D正確；

綜上所在，正確的是：ACD

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

19.已知（x+Diac-1了的展開(kāi)式中，戸的系數(shù)為56,則實(shí)數(shù)”的取值可能為（）

A.-1B.4C.5D.6

【答案】AD

【分析】

利用多項(xiàng)式的乘法法則得到V系數(shù)由三部分組成，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出各項(xiàng)的系數(shù)，列出方程

求出。的值.

【詳解】

解：因?yàn)椋▁+l）6（ar-1>=（x+1,（4J-2?+1）,所以（x+l）6（℃—l）2的展開(kāi)式中丁的系數(shù)是

C：+C：(—2)?a+C：。-=6。--30。+20,故6a*—30a+20=56，解得a=6或-1.

故選：AO

【點(diǎn)睛】

本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，屬于中檔題.

三、填空題

a

20.x——（l-x）4的展開(kāi)式中f的系數(shù)為%則(1-媒的展開(kāi)式中常數(shù)為

x

【答案】8

【分析】

利用已知條件得關(guān)于。的方程，求得“，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得（x一

的展開(kāi)式中的

常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

—x）4的展開(kāi)式中f項(xiàng)為xC（-=4（a—1次,

因?yàn)?—x）4的展開(kāi)式中/的系數(shù)為4,所以4（a—1）=4,解得a=2.

所以卜一彳）（1一司4的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為—gc；（—“=8.

故答案為：8

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求二項(xiàng)式與二項(xiàng)式（或多項(xiàng)式）的積的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，解得本題的關(guān)犍是由

x-尤)4的展開(kāi)式中的系數(shù)為c；-"C：=4,先求出參數(shù)。，再由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的公式可得

x-的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為一:?Ct(r)’，屬于中檔題.

X9

21.若對(duì)任意x都有-----------+…+…，(〃為正整數(shù))，則4+%的

12)1一工一2廠

值等于.

【答案】4

【分析】

將式子變形后，重新組合，變?yōu)殛P(guān)于按x的升幕排列的等式，再根據(jù)等式左右兩邊相等，可得到系數(shù)之間的

關(guān)系，推出4=0,4=1,。2=1，。3=3,即可求得結(jié)果.

【詳解】

X2”

-----------7+H-----\-anx+???

1一元一2廠

x=(1+1-2x2)(4+4x+旳廠++4盧”+)=%+(CIQ+q)x++q—2%)x'+(%+%-24)T+

4=0

q)+qt

，解得：4=0,q=1?=-1，。3=3,

%+4-2%=0

4+。2—2%=0

即4+%=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理，考查利用展開(kāi)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求參數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.

22.已知=4)+qx+&x2+...+。7/，若%=35,則實(shí)數(shù)〃?=.

【答案】±1

【分析】

先利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)通項(xiàng)公式，再取r=4即得到第五項(xiàng)系數(shù)即得到機(jī)的關(guān)系式求解即可.

【詳解】

因?yàn)?1-/nr)，=4++…+。7/的通項(xiàng)公式(+1=G.(一如)'，，=0,1,2,…,7

故令尸=4得厶=C；(-/KX)4=35加故。4=35〃廠=35,;.機(jī)=土1.

故答案為：±1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

23.若在(a+3x)(1-底尸關(guān)于x的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為4,則/的系數(shù)是.

【答案】-56

【分析】

將式子轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子相加的形式，再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

(?+3x)(1-近,=?(!-爪p+3x(1-孤,，

_o8-r

；8-r

(1一班P展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tr+l=q(-V%)=c;-(-i)--

取r=8得到常數(shù)項(xiàng)為1，故a=4.

分別取r=2和r=5得到/的系數(shù)是：4x《xl+3xC；x(-l)=-56.

故答案為：-56.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

24.若［%一當(dāng))的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60,則。=

【答案】4

【分析】

二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的事指數(shù)等于0,求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于60,求

得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】

(6

X-展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:

&=q.尸.(5c?姆=(-如?晨?尸，

令6—3r=0,可得r=2.

展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(—厶產(chǎn)或=60,解得a=4

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

/\10

25.^+41展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為180,則。=.

【答案】2或一2

【分析】

先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的募指數(shù)等丁0,求得「的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值,

再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的值為180,求得。的值.

【詳解】

解：（五+￡）展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為

令5-言=0,求得r=2,可得它的常數(shù)項(xiàng)為/.G：=180,故。=±2,

故答案為：±2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

1Y°105

26.已知a4x+^=\的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為于，則實(shí)數(shù)。=.

【答案】

2

【分析】

30-5r30-5r

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得到展開(kāi)式的第，+1項(xiàng)為7；?，令一g—=0,根據(jù)題中條件，

即可得出結(jié)果.

【詳解】

（,-]10-r_r30-5廠

因?yàn)?4+孤丿展開(kāi)式的第「+1項(xiàng)為&]=/.3°，”"?一=C；djjfk，

人30-5r.I/

令一—=0,則r=6，

Oz

乂（。五+9）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為竽，

所以。統(tǒng)4=皿，即210a4=麼，即q4=丄，解得。=±丄

88162

故答案為：±-.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.

27.已知加氏（1一厶）6的展開(kāi)式中*3的系數(shù)為30,則加為.

【答案】2

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得機(jī)C"；"，然后令'+1=3,最后簡(jiǎn)單計(jì)算即可.

【詳解】

由題可知：如（1-厶J的通項(xiàng)公式為加

令丄+1=3,則廠=4,

2

所以mC[=30=>m=2

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題重點(diǎn)在于二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

28.若（、6-正成的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為60,則a的值為.

X

【答案】4

【分析】

利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.

【詳解】

解：（4-巫］的通項(xiàng)公式：心=愛(ài)（人嚴(yán)（—四丫=（-&）?/音，

IX丿X

令3—2=0,解得r=2.

2

:.60=a.Cl，解得a=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查J'推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

29.設(shè)二項(xiàng)式（x—?。??！?）的展開(kāi)式中/的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為5,若6=4A，則。的值是

【答案】2

【分析】

先求二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出A8,再由B=4A，求出口

【詳解】

二項(xiàng)式j(luò)x-（a>0）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=C>6T

化簡(jiǎn)得加=（-”-C&W

令r=2,得展開(kāi)式中V的系數(shù)為4=。：。2=15心

令r=4,得展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為8=C：/=151,

由8=44可得15,=4x15/.

又。>0,所以a=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了：項(xiàng)展開(kāi)式，利用通項(xiàng)公式求出指項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

30.已知關(guān)于x的方程優(yōu)=logax(()<a<1)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為n,若(x+1)"+(x+1)“=4+%(x+3)

2

+a2(x+3)++。10(》+3)"'+a”(x+3)”,則4的值為.

【答案】11265

【分析】

利用圖象法判斷出關(guān)于x的方程優(yōu)=log.x(0<a<1)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，由此求得〃，利用x+1=x+3—2,

結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式求得q.

【詳解】

當(dāng)0<“<1時(shí)，畫(huà)出y=a*和y=的圖象如下圖所示，由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)于

%的方程優(yōu)=log“x(0<a<l)的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為1,所以〃=1.

所以(x+l)"+(x+l「=(x+3—2)+(x+3—2)”,

所以4=1+C：：(-2嚴(yán)=11265.

故答案為：11265

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查方程的根的個(gè)數(shù)判斷，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式，屬于中檔題.

/、4

31.%2+-的展開(kāi)式中含d的項(xiàng)的系數(shù)為8,則。=_________.

IX)

【答案】2

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理，得到二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再由題中條件，列出方程，即可得出結(jié)果.

【詳解】

/\4zxr

24-r

因?yàn)槎?xiàng)式(^+纟)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：7；,+I=q-(x)|-J=相。1犬-3"

令8—3r=5,解得r=1,

所以C；-a=8na=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.

32.若(無(wú)2+4(2一1］的展開(kāi)式中f的系數(shù)為20,則°的值為.

【答案】3

【分析】

求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為1向=（-1）-26-，瘍-2，-6,求得丁的系數(shù)，列出方程，即可求解.

【詳解】

6rr

由題意，二項(xiàng)式（*—x）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為=q（-）-（-x）=（-1）「磔-，G--6,

XX

所以爐的系數(shù)為（一l）3".C；+ax（-1）4".爛=一160+60。,

令一160+60。=20,解得。=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合題意，列出方程是解答的關(guān)鍵,

著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

33.已知|%2的展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則該式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為.

飛7

【答案】-1

【分析】

寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的第5項(xiàng)，根據(jù)題意求出〃的值，然后令x=l可求得該式中所有項(xiàng)系數(shù)的和.

【詳解】

\4

"-4

的展開(kāi)式中第5項(xiàng)為=C：(-2)2TO,

7

由題意可得2〃-10=0,得〃=5.

因此，該式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為(1—2)5=-l.

故答案為：—1.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)求參數(shù)，同時(shí)也考查了二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

四、雙空題

34.在(x+0-：］(l+x)3的展開(kāi)式中，若。=2,則x項(xiàng)的系數(shù)為；若所有項(xiàng)的系數(shù)之和為一32,

則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】4-4

【分析】

先求(1+X)3的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)和卜+°一展開(kāi)式的乘積可得答案.

【詳解】

因?yàn)椤?2,所以二項(xiàng)式為1+。-￡|(1+幻3,(1+幻3的展開(kāi)式的通項(xiàng)為&所以x項(xiàng)的系數(shù)為

C^+2C］-C；=4:令A(yù)1,則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為a-23=8a=-32,所以“=-4.

故答案為：①4；②T.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理，解答本題時(shí)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，利用41得到所有

項(xiàng)的系數(shù)之和，建立方程求解“的值.

35.已知二項(xiàng)式—+聲］的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則〃=

,展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

【答案】580

【分析】

利用賦值法，令x=l即可求〃；再利用：項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:可求常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

二項(xiàng)式卜+書(shū)

的各項(xiàng)系數(shù)和為243,

令x=l,可得（1+2）"=243,解得〃=5.

只需10—2「一丄=0,解得r=4，

2

所以常數(shù)項(xiàng)為厶=以任乂聲）=5x16=80.

故答案為：5；80

【點(diǎn)睛】

本題考查了由二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)和求參數(shù)值、二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

36.早在11世紀(jì)中葉，我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家賈憲在其著作《釋鎖算數(shù)》中就給出了二、三、四、五、六次新的

二項(xiàng)式系數(shù)表.已知（以-1）6的展開(kāi)式中V的系數(shù)為一16（）,則實(shí)數(shù)；展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和

為.（用數(shù)字作答）

【答案】21

【分析】

利用通項(xiàng)公式求出。的值；令x=l,可以求出各項(xiàng)系數(shù)之和.

【詳解】

333

由題可知,T4=Cl(-1)(ax)=-160x,則20a3=160,故a=2.

令x=l,展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(2—1)6=1.

故答案為：(1)2(2).1

【點(diǎn)睛】

本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式并由指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，還考查了利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式得各項(xiàng)

系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.

37.已知+會(huì))展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則n=,其展開(kāi)式中的有理項(xiàng)依次為.

351,

【答案】8%4.—x,----x

8256

【分析】

先求出展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)成等差數(shù)列建立等量關(guān)系，即可求出〃，然后寫(xiě)出通項(xiàng)，令指數(shù)為整數(shù),

即可求出有理項(xiàng).

【詳解】

I(1\2

根據(jù)題意，前三項(xiàng)系數(shù)依次為C〉-C\,，

因?yàn)榍叭?xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，

則有=;聞,

整理得1+」——^x-=rt，解得〃=8,

24

設(shè)第r+1項(xiàng)為展開(kāi)式的有理項(xiàng)，于是時(shí)

當(dāng)時(shí)，（+1為有理項(xiàng)，

351

又04r48且reZ，于是7=0,4,8,共有三項(xiàng)，即依次為一,一》，—-2.

8256x

351

故答案為：8；X4’256x-.

【點(diǎn)睛】

本題命制是以二項(xiàng)式定理為背景，考查的是二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式通項(xiàng)公式的運(yùn)用，同時(shí)考查了考生的等價(jià)

轉(zhuǎn)換、運(yùn)算求解能力.

五、解答題

38.的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)系數(shù)之比為56:3,

（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)：

（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

25

【答案】⑴厶=180；⑵4=15360/工

【分析】

n—5r

（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得到展開(kāi)式的第廠+1項(xiàng)為=c>2,.xh，根據(jù)題意，列出方程求

解，得出〃=10,再令吐"=。，即可得岀結(jié)果；

2

（2）先設(shè)第廠+1項(xiàng)系數(shù)最大，即G'o-2「最大，由此列出不等式組求解，得出r=7,即可確定結(jié)果.

【詳解】

(r-2丫—百

(1)二項(xiàng)式+—的展開(kāi)式的第r+l項(xiàng)為(2.2「?冗-2/=C；.2r?x2,

因?yàn)檎归_(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)系數(shù)之比為56:3，

即空"些，則里受

禮啰3'C；3即屮1年解得

10-5r

則"/，".廠

10-5r

令=0,得r=2；

2

所以常數(shù)項(xiàng)為第三項(xiàng)，4=180：

(2)設(shè)第廠+1項(xiàng)系數(shù)最大，即最大,

.10-r+l

L、/^r-1nr-1Ar~Ar~l2----------->1

cio,2-cio,2則|aA-i一…1922

即＜>解得——，

rrrr+,

[cJo.2乙->J。o川?2乙川'IGAo〉G4o233

A-C'

又?.reN,r=7,

25

即系數(shù)最大的項(xiàng)為笫8項(xiàng)，￡=15360XT-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求二