華師一附中2024屆高三《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-極值點(diǎn)偏移》補(bǔ)充作業(yè)6 試卷帶答案

解答題+f(x)，且g,(x)是g(x)的導(dǎo)數(shù). 123．已知函數(shù)f(x)=ex-x.2(1)證明：f(x)在R上為增函數(shù)；(1)當(dāng)b=1，f(x)和g(x)有相同的最小值，求a的值；(2)若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x15．已知函數(shù)f(x)=e2x-ax2-2x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底）(1)若f(x)在(0,+構(gòu))上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a=1，x0是f(x)的極值點(diǎn)且x0<0.若f(x12(1)討論f(x)的單調(diào)性；x222，證明:222x+x2ex9．已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=(1)若a=3，判斷函數(shù)y=f(x)-g(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的導(dǎo)函數(shù)h,(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2)，證明：h(x2)-h(x1)>f(2a)+g(1).(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)方程；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：f>0.11．設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+-2ax，g(x)=fx-+a2x2+b-2.2212．已知函數(shù)f（x）＝xlnx-x2﹣ax+1.（1）設(shè)g（xf′（x求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：x1+x2＞2.(2)證明見(jiàn)解析f(x)與直線(xiàn)y=的切點(diǎn)為A(x0,f(x0))，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'(x0)=0，又f(x0)=，聯(lián)立即可求解；需證g(2一x1)<g(x2)=3g(x1)常g(x1)+g(2x1)<3(*)，設(shè)f(x)與直線(xiàn)y=一的切點(diǎn)為A(x0,f(x0))，則f'(x0)=200所以g'(x)0，所以g(x)在(0,+構(gòu))上單調(diào)遞增，2，所以只需證g(2一x1)<g(x2)=3g(x1)常g(x1)+g(2x1)所以G(x)在(0,1)上為增函數(shù)，故(*)式成立，從而得證g'(x1+x2)> 12 12 12從而構(gòu)造函數(shù)即可證明.(2)證明見(jiàn)解析.f(1)=上單調(diào)遞增，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x1)+g(x2)>0.再設(shè)x1<x2，分x1>和0<x1≤兩種情況討論求解即可.因?yàn)榍€(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為y=5x一5，(2)所以函數(shù)g(x)在(0,+構(gòu))上單調(diào)遞增，2x2當(dāng)0<x1≤時(shí)，令F(x)=g(x)+g(1(12x)3x(1x),所以函數(shù)F(x)在xe0,|上單調(diào)遞增，因?yàn)間(x1)>g(x2)，所以g(x2)<g(x1)<g(1x1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(0,+構(gòu))上單調(diào)遞增，2，證畢.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x1)+g(x2)>0，再分類(lèi)討論求解即可.3．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題可知fxexex，利用導(dǎo)數(shù)可求最小值，即證；（2）由題可得x1<1<x2，要證x1x22，只需證，fx1f2x2，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)f(2x)e(x1)，利用導(dǎo)數(shù)即證.由題意，fxexex，令g(x)exex，則g(x)exe，令g(x)0，則x1，故在區(qū)間(,1)上，g(x)0，g(x)為減函數(shù)；在區(qū)間(1,)上，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，∴g(x)ming(1)0，故fxf(1)0，故f(x)在R上為增函數(shù).(2)由（1）知f(x)為增函數(shù)，且f(1)x1fx22f(1)，x1x2，可得fx1f(1)fx2，則x1<1<x2.efx2f2x2.e2xe(2x)，2e0efx2f2x2.e2xe(2x)，2e0，令F(x)f(x)f(2x)e(x1)，則F(x)f(x)f(2x)exex令H(x)F(x)，則H(x)exee2xeexe2x2e2故F(x)為增函數(shù)，F(xiàn)(x)F(1)0，故F(x)為增函數(shù)，F(xiàn)(x)F(1)故Fx20，則efx2f2x2，∴x1x22.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分別求出fx和gx的最小值，列方程即可求出結(jié)果；t t22t t2求出最值即可證出結(jié)論.,進(jìn)而只需要證明只需要證明x與直線(xiàn)y=a有唯一交點(diǎn)，x，所以f(x)在(-1,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+構(gòu))上單調(diào)遞增.（2）由題意g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2.2222.22(t1)2)2(t1)2).)上為增函數(shù).綜上所述，原不等式成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.(2)見(jiàn)解析分類(lèi)討論g(x)的單調(diào)性，證明g(x)min>0即可.（2）求出f,(x)=2e2x-2x-2，要證明ln(x1+x2+2)>2x0+ln2，即證明x1>2x0-x2，即證明f(x2)<f(2x0-x2).令F(x)=f(x)-f(2x0-x),xe(-構(gòu),x0)，對(duì)F(x)求導(dǎo)，得出F(x)的單調(diào)性，即可證明.x)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=0，所以滿(mǎn)足題意.所以g(x)>g(0)=0，所以滿(mǎn)足題意. 2a 2a>1常a>2，g(x)在0,ln上單調(diào)遞減，在ln,+構(gòu)上單調(diào)遞增，令h(x)=x-xln-2(x>2)，（2）f(x)=e2x-x2-2x，f,(x)=2e2x-2x-2，因?yàn)閤0是f(x)的極值點(diǎn)，所以x0滿(mǎn)足f,(x0)=0,e所以x0是f(x)唯一負(fù)極值點(diǎn)，且f(x)在(-構(gòu),x0)上單調(diào)遞增，在(x0,0)上單調(diào)遞減，化簡(jiǎn)得x2>2x0-x1，由于f(x)在(-構(gòu),x0)上單調(diào)遞增，故x1E(x0,0),2x0-x1E(-構(gòu),x0)，從而x2>2x0-x1可推得f(x2)>f(2x0-x1)，而f(x1)=f(x2)，因此f(x1)>f(2x0-x1).令F(x)=f(x)-f(2x0-x),xE(x0,0)，e2x4x-2x-2x0-2)=2(ex-e2x-x)2+2e2x-2x0-2，故F(x)單調(diào)遞增，從而F(x)>F(x0)=0，即f(x)>f(2x0-x)，6．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析調(diào)性2）將已知的方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到=，由a=1進(jìn)行分析，利用g(x)=f(x)-f(2-x)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式，即可證明.單調(diào)遞減；調(diào)遞增；x2=f(x2)①當(dāng)x2此時(shí)2x2e(0)>2x2，即f(x1)>f(2x2)，即f(x2)>f(2x2)，∴g(x)>g(1)=0，∴①式得證.2xx2=一2x22x+x22x+x(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得f(x)的單調(diào)區(qū)間，由此求得m的取值范圍.（2）將方程f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根x1,x2轉(zhuǎn)化為p(t)=t-alnt有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)t1,t2，由此e列方程，將證明ex1+x2>x解得或?qū)?shù)證得不等式成立.f(x)在(0,+凱)上單調(diào)遞增，所以m的取值范圍是f(x)=xex-a(lnx+x)=xex-aln(xex)=0有兩個(gè)不相等的則p(t)=t-alnt有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)t1,t2，t1=x1ex,t2=x2ex，2-lnt1)22.x2exx2ex2故只需證t2-1(t2)t2(t2)t2-1,1t1不妨設(shè)0<t1<t2，則只需證lnμ>2.，只需證2exxx2ex2，所以ex12exx【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，主要的方法是通過(guò)已知條件，劃歸與轉(zhuǎn)化所要證明的不等式，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求所構(gòu)造函數(shù)的取值范圍來(lái)證得不等式成立.81）詳見(jiàn)解析2）詳見(jiàn)解析.(a>0)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2）由（1）得2elna<2a，將零點(diǎn)得ln，不等式轉(zhuǎn)化為122(x1x2) 得不等式成立.①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=一x，因?yàn)閤>0，所以f(x)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=0常lnx=，下面考查函數(shù)y=lnx圖象與函數(shù)y=(a>0)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).( ex ex圖象相切.由圖可知，當(dāng)a=e時(shí)，兩函數(shù)圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)>，即個(gè)公共點(diǎn)，即f(x)有2個(gè)零點(diǎn).綜合①②可知，當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=e時(shí)，時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).2(x1-x2)x1+x2>,兩式相減得ln，所以只需證2x2x xx x2令h(t)lnt(0t1)，則h(t)0，所以函數(shù)h(t)在0,1上單調(diào)遞增.所以對(duì)任意t(0,1)，h(t)h(1)0，即lnt成立.故原不等式成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是：通過(guò)層層轉(zhuǎn)化，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為t(0,1)時(shí)，lnt，最終通過(guò)構(gòu)造函數(shù)h(t)lnt(0t1)，由單調(diào)性證得不等式成立.9．(1)yf(x)g(x)在0,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意，可得到函數(shù)y的解析式，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可得關(guān)于x的取值范圍，故可得y的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)函數(shù)h(x)進(jìn)行求導(dǎo)，由h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，可得到函數(shù)的判別式及a的取值范圍，由x1x2，可得到x1的取值范圍，對(duì)原題中不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用換元得到u(t)，對(duì)u(t)進(jìn)行求導(dǎo)判斷單調(diào)性，則可得u(t)的最大值，故可證得不等式成立?！驹斀狻浚?）若a3，則yf(x)g(x)lnx3x26x(x0)，所以y6x6，6x26x1x6x26xx0，得xx66所以yf(x)g(x)在0,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)楹瘮?shù)h(x)f(x)g(x)，所以h(x)lnxax22ax(x0)，所以h(x)2ax2a.若函數(shù)h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1x2)，則方程2ax22ax10的判別式4a28a0，2x2所以a>2.E0,，因?yàn)閍>2，所以 1a所以u(píng)(t)<1,(1)(1)u,(t< ,上單調(diào)遞減，1 從而h(x2)一h(x1)>f(2a)+g(1)成立.(2)【分析】(1)先求出f(1)=0，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可得切線(xiàn)方程；(2)將函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，進(jìn)而得到a的取值范圍，由f(1)=0，可知要證f>0，只要證>--x1，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果.f'(x)=1+lnx-2x，∴f'(1)=-1，：f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，∴g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，要使g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，需g-=ln->0，解得-<a<(x)在,-上存在唯一零點(diǎn)，記為x1.,∴g(x)在-,上存在唯一零點(diǎn)，記為x2.則f(x)，f'(x)隨x的變化情況如下表：xx1x1,x1,x2x2f,(x)﹣0﹢0﹣f(x)社極小值/極大值社(1)(1)2，：x12，∴要證f>0，只要證>1，12a只要證12a1,只要證x2>ax1，又x1，∴只要證g(x2)<gx1，即證g(x1)<gx1.∴F(x)在0<x<時(shí)單調(diào)遞增，∴g(x1)<gx1成立，即f>0得證.【點(diǎn)睛】含有雙變量的不等式證明問(wèn)題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及兩個(gè)不同變量，處理此類(lèi)問(wèn)題有兩個(gè)策略：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿(mǎn)足的不等式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式求解；二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)求函數(shù)最值求解.(e)(e)【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f,(x)，分類(lèi)討論，確定f(x)的單調(diào)性，最大值，解相應(yīng)的不等式可得；22x2ax1=lnx2+a2x2ax2，在證的不等式a2(2)或x22(2) ax2首先引入函數(shù) ax2-2ax，xe0,，h(x1)=-h(x2)，由導(dǎo)數(shù)確定出h(x)的單調(diào)性，要證的不等式為x2>-x1轉(zhuǎn)化為證h(x2)>h-x1，<0，為此再引入新函數(shù)2-2ax-2，xe0,，利用導(dǎo)數(shù)可證.∴f(x)在區(qū)間-,-上單調(diào)遞增，在區(qū)間-,+鈍上單調(diào)遞減.∴f(x)max=f-=1-ln(2a)，由1-ln(2a)<0，得：a>，∴f(x)在區(qū)間-,+鈍上單調(diào)遞增，且f-+e=-2ae>0，所以不符合.）： ax2222x-2ax1 ax22)-2ax2)|，)若x1若x1a或x2>，則結(jié)論顯然成立.2令h(x)=lnx+a2x2-2ax，xe0,，2x-2a=>0，所以h(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，2 a2x-2ax1-2，令：F(x)=lnx+ln-x+a2x2-2ax-2，1 +xF1 +x2a2a2x-3xx-，得：F(x)在區(qū)間0,上遞增，在區(qū)間,上遞減，∴F(x)<F=ln-3，因?yàn)閍>，所以<e3，所以F(x)