考點鞏固卷16 空間幾何體的表面積和體積（八大考點）（解析版）

考點鞏固卷16空間幾何體的表面積和體積（八大考點）考點01空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．下列說法正確的是（

）A．直四棱柱是長方體B．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C．正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體D．臺體是由一個平面截錐體所得的截面與底面之間的部分【答案】C【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可以一一判斷各選項.【詳解】對于A，當直四棱柱的底面不是矩形時，直四棱柱不是長方體，A錯誤；對于B，不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，如下面是一個正三棱柱，上面是一個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，B錯誤；對于C，正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體，C正確；對于D，不符合臺體的結(jié)構(gòu)特征,截面應(yīng)該跟底面平行，D錯誤.故選：C2．（多選）下列命題中不正確的是（

）A．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用一個平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺D．平行六面體的每個面都是平行四邊形【答案】BC【分析】由正四棱錐的概念判斷選項B；由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征判斷選項A,C；由平行六面體的特征判斷選項D.【詳解】對于A，圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故選項A正確；對于B，正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故選項B錯誤；對于C，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，而不是用一個平面去截圓錐，故選項C錯誤，對于D，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故選項D正確，故選：BC.3．（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．等底面積、等高的兩個柱體，體積相等B．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C．有一個面是正方形的長方體是正四棱柱D．用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時，正方形的直觀圖可能還是正方形【答案】AC【分析】利用柱體體積公式判斷A，利用正棱錐的性質(zhì)判斷B，利用正四棱柱的定義判斷C，利用斜二測畫法的要求判斷D.【詳解】對于A，因為柱體的體積公式為，所以等底面積、等高的兩個柱體體積相等，故A正確；對于B，正棱錐的側(cè)棱相等，而底面是正多邊形的棱錐，其側(cè)棱不一定相等，故B錯誤；對于C，側(cè)棱垂直于底面，底面是正方形的棱柱是正四棱柱，而有一個面是正方形的長方體滿足上述要求，故C正確；對于D，水平放置的正方形的直觀圖的鄰邊一定不相等，所以不可能還是正方形，故D錯誤.故選：AC．4．已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用充分條件和必要條件，結(jié)合棱柱的定義判斷.【詳解】由棱柱定義知棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，故滿足必要性；但有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，例如兩個底面全等的斜棱柱拼接的幾何體不是棱柱，如圖所示：

，故不滿足充分性，故選：B5．在三棱錐中，“三棱錐為正三棱錐”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】驗證充分性可根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)通過線面垂直的判定及性質(zhì)判斷線線垂直，必要性驗證借助直四棱柱構(gòu)造三棱錐滿足，，結(jié)合直四棱柱的性質(zhì)判斷三棱錐是否為正三棱錐即可.【詳解】解：充分性：如圖，在中，為中點，連接若三棱錐為正三棱錐，則為正三角形，且，因為為中點，所以，又平面所以平面，又平面，則，同理可得，故充分性成立；必要性：如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且，但由直四棱柱及底面為菱形，易得，又，則直四棱柱的側(cè)面均為正方形，易得，且，由于，則不為正三角形，故三棱錐不為正三棱錐，故必要性不成立；綜上，“三棱錐為正三棱錐”是“且”的充分不必要條件.故選：A.考點02斜二測畫法及應(yīng)用6．如圖，一個水平放置的的斜二測畫法的直觀圖是等腰直角三角形，若，則原三角形的面積為.【答案】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行，長度不變；與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行，長度減半，分別求出的長度，即可求出面積.【詳解】根據(jù)題意可得，在中，，，所以的面積為故答案為：.7．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形中對角線的長度為（

）

A． B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則確定原圖形，利用勾股定理求得長度.【詳解】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，如圖，

由斜二測法則知，，，所以.故選：C8．一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，該直觀圖是一個等腰梯形，且，則原平面圖形的邊.

【答案】【分析】分別過作于點，于點，可求出，在中求出，，從而可得，然后在直角三角形，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】分別過作于點，于點，因為，所以，所以，所以，所以，，因為，所以為等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，，由正弦定理得，所以，所以，得，所以由斜二測畫法可知，，所以，故答案為：

9．如圖，長方體的底面的斜二測直觀圖為平行四邊形.已知，，高，，分別為，的中點，用平面截該長方體，則剩余的三棱臺的體積為.

【答案】【分析】利用斜二測畫法求出長方體的長、寬、高，再由棱臺體積公式可解.【詳解】

因為，，高，所以長方體中，，，，又，分別為，的中點，，由棱臺體積公式.故答案為：10．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則；平面圖形以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體圖形的體積為.

【答案】【分析】由斜二測畫法原理可得平面圖形是直角梯形，進而可求；直角梯形以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體圖形為圓臺，可求其體積.【詳解】由平面圖形的直觀圖的斜二測畫法原理可知，平面圖形是直角梯形，如圖：

其中，，，，過作交于，則為的中點，在中，，，所以；將直角梯形以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體圖形為圓臺，其上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，高為，故此圓臺體積為.故答案為：；11．用斜二測畫法畫的直觀圖如圖所示，其中，，則中邊上的中線長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作出的原圖形，結(jié)合三角形的幾何性質(zhì)可求得中邊上的中線長.【詳解】在直觀圖中，，且，則，故，又因為，則，可得，故為等腰直角三角形，所以，，故軸，依據(jù)題意，作出的原圖形如下圖所示：

延長至點，使得，則為的中點，由題意可知，，，，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，取的中點，連接，因為、分別為、的中點，則.故選：D.考點03空間幾何體的表面積12．如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】通過圓錐的底面半徑和高，可求出圓柱的高和底面半徑，再結(jié)合圓錐的表面積與圓柱的側(cè)面積可求得剩下幾何體的表面積.【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，可知，則圓錐的母線長為，所以剩下幾何體的表面積為.故選：B.13．如圖，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為1，若該幾何體的表面積為，則其體積為.

【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出中間圓柱的高，再利用球和圓柱的體積公式求解作答.【詳解】依題意，幾何體可視為半徑為1的球和底面圓半徑為1，高為的圓柱組合而成，于是幾何體的表面積，解得，所以該幾何體的體積.故答案為：14．如圖，以菱形ABCD的一邊AB所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，已知，．

(1)求該幾何體的體積；(2)求該幾何體的表面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知該幾何體上部分為圓錐，下部分為在圓柱內(nèi)挖去一小個與上部分相同的圓錐，再根據(jù)圓柱的體積公式即可得解；（2）根據(jù)圓柱和圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】（1）如圖，這是所求的幾何體，該幾何體上部分為圓錐，下部分為在圓柱內(nèi)挖去一小個與上部分相同的圓錐，易知點D到AB的距離為，即圓柱底面圓的半徑為，所以該幾何體的體積為；（2）圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為．

15．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體稱作“阿基米德體”．若一個正四面體的棱長為12，則對應(yīng)的“阿基米德體”的表面積為．

【答案】【分析】由阿基米德體的定義，可以得出該多面體由四個全等的正六邊形和四個全等的正三角形組成，分別計算出正六邊形和正三角形的面積，即可得出該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)題意，正四面體的棱長為12，一個面的面積為，截去頂角所在的小正四面體的邊長為4，小正四面體一個面的面積為，則該多面體中一個正六邊形的面積為，則該“阿基米德體”的表面積為.故答案為：

16．端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，黔西南州最出名的就是鮮肉的灰色粽子，其形狀接近于正三棱錐（如圖）.若正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出正三棱錐側(cè)面三角形的高即可求解.【詳解】如圖，

正三棱錐中，底面，則為正三角形的中心，連接并延長交于，則為的中點，且，依題意，，正三角形的邊長為2，所以，，，，所以該三棱錐的側(cè)面積為.故選：B17．已知正四棱臺上、下底面的邊長分別為4和8，高為2.該正四棱臺的表面積為.【答案】/【分析】根據(jù)已知條件和正四棱臺的特征計算側(cè)面等腰梯形的面積，然后利用表面積的定義計算可得結(jié)果．【詳解】因為正四棱臺的側(cè)面等腰梯形，

又正四棱臺的上、下底面的邊長分別是4、8，高為2，所以側(cè)面梯形的斜高為，則梯形的面積，上下底底面面積分別為，，所以該四棱臺的表面積為．故答案為：．考點04空間幾何體的體積18．如圖中，，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，交BC于點N），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，得到圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周，可得旋轉(zhuǎn)體為一個圓錐挖去一個球，結(jié)合圓錐和球的體積公式，即可求解.【詳解】連接，則，設(shè)，因為，所以，在中，，解得，在中，因為，可得，設(shè)直角繞旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的體積為，半圓繞旋轉(zhuǎn)一周得到球的體積為，圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周，可得旋轉(zhuǎn)體為一個圓錐挖去一個球，所以圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：.故答案為：.

19．已知一個圓錐的底面半徑為1，體積是，則其側(cè)面展開圖的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件可求出圓錐的高，從而可求出圓錐的母線長，再利用弧長公式可求得結(jié)果【詳解】設(shè)圓錐的高為，母線長為，底面半徑為，側(cè)面展開圖的圓心角為，因為圓錐的底面半徑為1，體積是，所以，得，所以，因為，所以，得，即側(cè)面展開圖的圓心角為，故選：D20．如圖，圓錐被平行于底面的一個平面所截，截去一個上、下底面半徑分別為和，高為的圓臺，則所得圓錐的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的高為，則，解得，因此圓錐的體積為.故選：B.21．圖1是宋代五大名窯中汝窯制造的雙耳罐，它裝物的有效部分可近似看成由兩個圓臺拼接而成（如圖2所示）在圖2中，已知下底面圓的直徑是6，中間圓的直徑是10，上底面圓的直徑是4，上下底面圓的距離是5，且上、下兩圓臺的高之比是，若不考慮罐壁的厚度，則該汝窯雙耳罐的容積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖可知，雙耳罐是由兩個圓臺組成，上面圓臺底面半徑分別為；下面圓臺底面半徑分別為，分別求出兩個圓臺的高，再利用圓臺的體積公式可求得結(jié)果．【詳解】由圖可知，雙耳罐是由兩個圓臺組成，上面圓臺底面直徑分別為，所以圓臺底面半徑分別為；下面圓臺底面直徑分別為，所以圓臺底面半徑分別為；又因為容器上下底面圓的距離是5，且上、下兩圓臺的高之比是，所以上面圓臺的高2，下面圓臺的高是3，故該汝窯雙耳罐的體積為：,．故選：C．22．如圖，一種工業(yè)部件是由一個圓臺挖去一個圓錐所制成的.已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，且圓臺的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺的上底面，頂點在圓臺的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知該圓臺的軸截面為等腰梯形，進而得，圓臺，圓錐的高均為，再計算體積即可.【詳解】解：根據(jù)題意，該圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖，

所以即為圓臺母線與底面所成角，即，分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，因為，則四邊形為矩形，且，因為，，，所以，，所以，，且，因為，則，所以，圓臺，圓錐的高均為，所以，該工業(yè)部件的體積為.故選：B.23．如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點．

(1)求證：//平面；(2)若，求三棱唯的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）解法一：構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)線面平行判定定理證明即可；解法二：構(gòu)造平行平面，利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行；（2）根據(jù)幾何體的線面關(guān)系確定底面積與高度距離，即可的體積.【詳解】（1）解法一：取中點，連接，，

因為是中點，所以，，因為是中點，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．解法二：取中點，連接，，

因為是中點，所以，因為平面，平面，所以平面．因為是中點，是中點所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面，，所以平面平面，因為平面，所以平面．（2）取中點，連接，

在正三棱柱中，所以，且，因為平面平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，即平面，所以的長為點到平面的距離，又的面積為，所以，所以三棱錐的體積為．考點05空間幾何體中的最短路徑24．如圖，某圓柱體的高為1，ABCD是該圓柱體的軸截面.已知從點B出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面到點D的路徑中，最短路徑的長度為，則該圓柱體的側(cè)面積是（

）

A．14 B． C．7 D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖，先求出圓柱底面半徑，再根據(jù)側(cè)面積公式求圓柱體的側(cè)面積.【詳解】

設(shè)圓柱體底面圓的半徑為，將側(cè)面的一半展開后得四邊形為矩形，則依題意得：，所以，即，所以該圓柱體的側(cè)面積為：.故選：A.25．如圖，某圓柱的一個軸截面是邊長為2的正方形ABCD，點E在下底面圓周上，且，點F在母線AB上，點G是線段AC的靠近點A的四等分點，則的最小值為（

）

A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】將繞直線AB旋轉(zhuǎn)到的位置，并且點在BC的反向延長線上，連接，交AB于點，此時最小，求出即可．【詳解】將繞直線AB旋轉(zhuǎn)到的位置，并且點在BC的反向延長線上，連接，交AB于點，此時最小，如圖所示：

因為，所以，又因為，所以，又因為，所以，在中，由余弦定理得，解得，即的最小值為．故選：A．26．如圖，長方體中，，，M是的中點.

(1)求證：；(2)求證：∥平面；(3)點P是棱上的動點，求的最小值，并說明此時點P的位置.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)，【分析】（1）利用線面垂直的判定證明線線垂直；（2）可以直接利用線面平行的判定定理證明，也可以先證明面面平行再利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行；（3）將長方體側(cè)面和沿展開，利用兩點之間線段最短即可求解.【詳解】（1）連接，因為四邊形為正方形，所以，長方體中，平面，平面，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以.

（2）證法一：連結(jié)交于N點，則N為的中點，連結(jié)MN，則MN為△的中位線，故，因為平面，平面，所以平面；

證法二：取中點G，連接CG，則，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，連結(jié),,則，，四邊形GABM為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以∥平面，又因為，平面，所以平面∥平面，又因為平面,所以∥平面，

（3）將長方體側(cè)面和沿展開如圖所示：

連接交于點，則（當且僅當三點共線時取等號），所以即為所求點P，，因為，所以,即，所以的最小值是且.27．如圖正三棱柱的底面邊長為，高為2，一只螞蟻要從頂點沿三棱柱的表面爬到頂點，若側(cè)面緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是．

【答案】【分析】利用正三棱柱側(cè)面展開圖，結(jié)合兩點間的最短距離是線段來求解即可．【詳解】正三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，

圖1，連接與交于點，則爬行的最短路程時沿著爬行，此時，圖2，連接，過作AB的垂線交于點，則，則，所以，∵，∴爬行的最短路程是.故答案為：.28．已知在直角三角形中，，（如圖所示）(1)若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積.(2)一只螞蟻在問題（1）形成的幾何體上從點繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果．（2）利用側(cè)面展開圖，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點的距離，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）在直角三角形中，由即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，則，其表面積為.（2）由問題（1）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形，最短距離就是點到點的距離，，在中，由余弦定理得.29．圓錐的母線，高為，點是的中點，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達點的最短路程為．【答案】【分析】作出圓錐側(cè)面展開圖，可知所求最短路程為，結(jié)合扇形弧長公式、余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】將圓錐的側(cè)面展開，連接，

則的長即為質(zhì)點繞行的最短路程，由題設(shè)易知：圓錐底面半徑為2；在中，，，弧長，；利用余弦定理得：，；質(zhì)點自點出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達點的最短路程為.故答案為：.考點06空間幾何體的外接球30．在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【分析】由已知結(jié)合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r和球心距d，可得球的半徑R，即可求出三棱錐外接球的表面積．【詳解】因為是直三棱錐，底面是正三角形，所以可以將圖補形成為正三棱柱，如圖所示，

此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，設(shè)球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，設(shè)的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，由正弦定理，得，所以，

中，，所以，解得，所以．故答案為：．31．如圖，長方體中，，則四面體的外接球的體積為.

【答案】【分析】四面體的外接球與長方體的外接球是同一個球，可求出外接球的半徑，進而得體積.【詳解】，，，四面體的外接球與長方體的外接球是同一個球，其半徑為，其體積為.故答案為：.32．如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則①的余弦值為；②三棱錐外接球的表面積為.

【答案】/【分析】根據(jù)題意求得的長，在中，由余弦定理求得的值，再由球的截面圓的性質(zhì)，列出方程求得三棱錐外接球的半徑為，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】在中，因為，，所以，所以.在中，因為，，，所以，所以.又因為，所以在中，由余弦定理得，設(shè)的外接圓的半徑為，且外接圓的圓心為，可得，所以，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，且外接球的球心為，在直角中，可得，即，所以，所以外接球的表面積為.故答案為：；.

33．在矩形中，，為的中點，將和沿，翻折，使點與點重合于點，若，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明出MP⊥平面PAD，設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，由，求出R，進而求出外接球的表面積.【詳解】由題意可知，.

又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD.設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得，即，所以，設(shè)三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，則，所以外接球的表面積為.故選：B34．在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意，作出四面體的外接球的球心大致位置，再根據(jù)二面角的定義求得，從而在中求得，結(jié)合勾股定理即可求得外接球的半徑，由此得解.【詳解】設(shè)正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點，因為，所以是的外接圓的圓心，過作平面，過作平面，，如圖，

則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.故選：C.35．在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，點H為AE的中點，將沿直線AE翻折至的位置，當時，三棱錐的外接球的體積是．【答案】【分析】首先利用幾何關(guān)系，找到球的球心，再根據(jù)球的半徑求三棱錐外接球的體積.【詳解】因為在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，所以，為等腰直角三角形，如圖，由題可知點F為的外心，過點F作直線l，使l⊥平面ABCD．又H點為的外心，過H點作⊥平面．

交l于O點，則點O為球心，設(shè)球的半徑為，易知，則，在中：．所以球的體積為．故答案為：考點07空間幾何體的內(nèi)切球36．已知圓錐的頂點為，軸截面為銳角，，則當時，圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值最大，最大值為．【答案】//【分析】作出圖形，設(shè)，，為線段的中點，連接，設(shè)圓錐的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為、，計算出、關(guān)于的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對應(yīng)的值，即可得解.【詳解】如下圖所示：不妨設(shè)，，為線段的中點，連接，圓錐的內(nèi)切球球心為，半徑為；外接球球心為，半徑為.圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為，在中，，，，在中，，，，即，所以，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值的最大值為.故答案為：；.37．已知三棱錐P－ABC的所有頂點均在半徑為2的球的O球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐P－ABC的體積取得最大值時，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)底面的中心為Q，根據(jù)題意可知，當三棱錐P－ABC的體積取得最大值時，底面ABC，求出體積的最大值，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】設(shè)底面的中心為Q，連接BQ，OQ，則，且底面ABC，如圖，延長QO交球面于點P，連接OB，此時三棱錐P－ABC的體積取得最大值，因為球O的半徑為2，所以，在中，，所以三棱錐P－ABC的體積的最大值為，此時，所以，所以，解得．故選：B.38．已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【分析】畫出圓臺的軸截面圖，由幾何知識可確定球的半徑，即可得答案.【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，設(shè)球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設(shè)臺體體積為，球體體積為，則.故選：B

39．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則，求得，，從而求得，根據(jù)球的表面積公式即可求解.【詳解】

因為四面體四個面都為直角三角形，平面，所以，，設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則所以，因為四面體的表面積為，又因為四面體的體積，所以，所以內(nèi)切球表面積.故選：C.40．?？计谀┮粋€正四面體的棱長為2，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出輔助線，求出外接球和內(nèi)切球的半徑，從而得到體積之比.【詳解】正四面體中，取中點，連接，則⊥，過點作⊥于點，則⊥平面，外接球球心在上，連接，則，因為正四面體的棱長為2，所以，，則，，，由勾股定理得，即，解得，

設(shè)內(nèi)切球球心為，則在上，過點作⊥于點，則，故，，因為∽，所以，即，解得，故它的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，體積之比為.

故選：D41．正四棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，在該四棱錐的內(nèi)部有一個小球，則小球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】當小球與正四棱錐各面相切時半徑最大，此時小球表面積的最大，計算求解即可．【詳解】當小球與正四棱錐各面相切時半徑最大，此時小球表面積的最大，設(shè)小球的半徑為，

由底面邊長，側(cè)棱，可得正四棱錐的高，所以，又側(cè)面面積為，底面面積為，，解得，小球表面積的最大值為．故選：D．考點08空間幾何體的截面問題42．用一個平面去截一個正方體，所得截面形狀可能為：（

）①三角形②四邊形③五邊形④六邊形⑤圓A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】C【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，作出截面即可判斷.【詳解】用一個平面去截一個正方體，分別是所在棱的中點，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示：

故選：C.43．在正四棱臺中，，側(cè)棱，若為的中點，則過，，三點截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點，則，又，則，可得過，，三點截面為等腰梯形，利用題中數(shù)據(jù)及正四棱臺的性質(zhì)計算即可.【詳解】取的中點，連接，則，又，則，又根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)得，則為等腰梯形，即過，，三點截面為等腰梯形．取的中點，連接，在等腰梯形中，，則，，在等腰梯形中，，，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積．故選：A．44．如圖所示的一塊長方體木料中，已知，設(shè)E為底面ABCD的中心，且，則該長方體中經(jīng)過點的截面面積的最小值為．

【答案】【分析】作出輔助線，得到平行四邊形即為該長方體中經(jīng)過點的截面，建立空間直角坐標系，利用點到直線距離公式表達出截面面積，求出最值.【詳解】連接并延長，交于點，過點作平行于交于點，連接，則平行四邊形即為該長方體中經(jīng)過點的截面，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，則，故點到直線的距離為，則截面面積為，因為，所以當時，取得最小值，故截面面積最小值為

故答案為：45．如圖，在三棱錐