江蘇省淮安、南通部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)11月期中監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇省淮安、南通部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期

中監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

2024屆高三第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，

在其他位置作答一律無(wú)效.

3.本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.集合Z={Mx?+x—6=0},8={2,3},則2口8=()

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.已知awR,若(2+i)(l+ai)為純虛數(shù)，則口=()

11c

A.B.—C.一2D.2

22

Y-a

3.“。=1”是“函數(shù)=——為奇函數(shù)”的()

2A+a

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.學(xué)校以“布一室馨香，育滿園桃李”為主題開展了系列評(píng)比活動(dòng)，動(dòng)員師生一起為營(yíng)造舒心愉悅的學(xué)習(xí)生

活環(huán)境奉獻(xiàn)智慧.張老師特地培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成一個(gè)圓臺(tái)，圓臺(tái)的上、下

底面半徑之比為3:2,丹線長(zhǎng)為10cm,其母線與底面所成的角為60。，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為()

2375百34750G7125百9500百

A.---------乃cmB.----------?cm3C.----------7cm3D.----------萬(wàn)cm3

3333

5.已知函數(shù)/(x)=/sin(m+o)A>0,(v>0,0<^<—現(xiàn)有如下四個(gè)命題:

甲：該函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為一；

2

乙：該函數(shù)圖象可以由y=cos2x-V3sin2x的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到:

丙：該函數(shù)在區(qū)間f-2,工］上單調(diào)遞增；

I126）

T：該函數(shù)滿足/［孑+》）+/［彳—xJ=O.

如果只有一個(gè)假命題，那么該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

2023

6.已知奇涵數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，當(dāng)xe［O,l］時(shí)，f（x）=2x+b,則/

2

A.—1—A/2B.1—C.A/2+1D.■x/z—1

r則可2。+高=

7.若coIsa+6—）

712712

A.B.——c.—D.

25252525

8.已知函數(shù)/(x)=/+62+bx+c(q,"°eR),若不等式/(x)<0的解集為｛x[x<7w+1,且xH機(jī)｝,則

函數(shù)/（x）的極小值是（）

144

A.一一B.0C.-----D.一一

4279

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在正方體48。。一481GA中，〃,N分別為eq,4，的中點(diǎn)，則（）

A.BM〃AD】B.AMLBDC.4河，平面Z8ND.2W〃平面幺田。

10.設(shè)Q〉b〉0,ceR,則()

A.a|c|>Z?|c|B.—?-------C.Q2-/<--------D.a+b<12(a2+b?)

1111aa+c2abYIJ

11.已知數(shù)列｛4｝滿足%=4,%a,用=2"(“eN*),則()

A.%=1B.數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

D.11-±<3

C.。]+口？"I------+。2023=21013—3+++

O'?YI

12.已知函數(shù)/(X)=Q2X—Ma〉O,QWl),則下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)/(x)恒有1個(gè)極值點(diǎn)

B.當(dāng)Q=e時(shí)，曲線y=/(%)恒在曲線y=lnx+2上方

1

C.若函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)，貝也<a<e"

D.若過(guò)點(diǎn)尸(0,7)存在2條直線與曲線y=/(x)相切，則0</<1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(41),3=(-1,2),若a與B共線，則1—,=.

14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：/(x)=.

①/(七+》2)=/(匹卜/(》2)；②VxeRJ'(x)<0.

15.咖啡適度飲用可以提神醒腦、消除疲勞，讓人精神振奮.沖咖啡對(duì)水溫也有一定的要求，把物體放在空氣

中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，℃,空氣的溫度是經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度為滿足

，=4+(q-研究表明，咖啡的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在65C.現(xiàn)有一杯85℃的熱水用來(lái)沖咖啡,

經(jīng)測(cè)量室溫為25℃,那么為了獲得最佳飲用口感，從沖咖啡開始大約需要等待分鐘.(結(jié)果保留

整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ta3?l.l,lnll?2.4)

16.在平面四邊形4SCZ)中，AB=AD=42,BC=CD=1,BCLCD,將四邊形沿AD折起,使AC=5

則四面體H-BCD的外接球O的表面積為；若點(diǎn)￡在線段AD上，旦BD=3BE,過(guò)點(diǎn)E作

球O的截面，則所得的截面中面積最小的圓的半徑為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知函數(shù)/(x)=(1—2sin2"sin2x+；cos4x.

(1)求/(x)的最大值及相應(yīng)x的取值集合:

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(0x)(0〉O),若g(x)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

18.(12分)在△45C中，內(nèi)角。所對(duì)的邊分別為仇。，且tan4+tans=------.

acosB

(1)求角4：

(2)已知。=7,。是邊的中點(diǎn)，且求4D的長(zhǎng).

19.(12分)已知數(shù)列｛4｝中，%=1,一_%=、/eN*.

I"J1n+\nJ+

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

4%

(2)設(shè)〃=(—1尸—J,求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和

a”?.,

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax-a-lux.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a=l時(shí)，/(x)>0；

，2?、(2"-1、

(3)設(shè)加為整數(shù)，若對(duì)于++1+丁1H-------〈機(jī)成立，求慶的最小值.

3

kJ3,3"J

21.(12分)如圖，48是半球O的直行，48=4,M,N是底面半圓弧蕊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，尸是半球面

上一點(diǎn)，且NPON=60°.

(1)證明：PBL^PAM：

(2)若點(diǎn)尸在底面圓內(nèi)的射影恰在ON上，求直線與平面尸48所成角的正弦值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=L3.

JC

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a力為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且。犬一床°=e。一e"證明：e"+eO>2.

2024屆高三第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分建議

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號(hào)12345678

答案BDAACBAC

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

題號(hào)9101112

答案BCBDACDBCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.—^―14.(答案不唯一")15.516.3^r,—

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程成演算步驟.

17.【解】(1)/(x)=cos2xsin2x+；cos4x=；sin4x+；cos4x=sin+力,

當(dāng)4%+工=2左左+工，即％=,上萬(wàn)+工，左eZ時(shí)，f(x)=,

42282

此時(shí)，x的取值集合為=；左"+(,左ezj>.

⑵g(x)=￥

sinAcox+—(g〉0).

I4

設(shè)1/=4妙+一，因?yàn)楣ぁ?,一，所以ME—,2?rd——

4I2)U4

因?yàn)間(x)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn),

所以工<2。萬(wàn)+工三紅，

242

解得—<coG—.

88

■\l-3c

18.【解】(1)因?yàn)閠aiL4+tan5=-------,

acosB

,sirUsingV3sinC

由正弦定理得-----+-----=--；--------

cos/cosBsin?lcos5

廣…SHL4COS5+COS/SHI5sin(4+5)smCV3smC

所以--------------------=——-------=----------=--；--------

cosAcosBcosAcosBcosAcosBSHL4cos5

因?yàn)?<C<兀,所以sinCw0,cosSw0可知taml二一百,

又因?yàn)?<N<〃，所以Z=2工.

3

(2)因?yàn)?。是?c的中點(diǎn)，所以

]IT1

故一AZQsin—=—,故6=2c.

262

2/rcI—

由余弦定理得/=b2+c2-2bccos——=b~+c2+be=7c2，故。=JTc，

3

因?yàn)椤?7,所以c=出,b=25.

又因?yàn)獒苋f(wàn)=4B+4C

2

---(-2----*2-------*--------*、「

—_AB+AC+2AB-AC_c2+b2+2Z)ccosl20°

\力倚z|AD|2—

所以畫=/雪旦=孚.

故幺。的長(zhǎng)為二一.

2

19.【解】(1)法一：因?yàn)樯辖?=^——-

n+\nn[n+1)

所以4±L—_L,

〃+1nn〃+1

所以-土1=%±1,

〃+1n

所以是常數(shù)列，

所以五±1=&±1=2,

n1

所以%=2〃一1.

法二：因?yàn)榘廷权D%=/、

n+\n+

所以“4+1-(〃+1)4=1，①

所以(〃+1)%+2-(〃+2)4+1=1,②

②-①,得(〃+1)。“+2一(2〃+2)。"+1+(〃+l)a“=0,

所以4+2+4=2。用，

所以｛%,｝是等差數(shù)列,

由/I、得出=3,

〃+1n+

所以等差數(shù)列｛??｝的公差d=%—%=2,

所以%=2n-l.

40_1\n-l~4r〃i_/_i\n-l11

⑵〃=(—1嚴(yán)-----1-----

aa〃

??+i(2〃-1)(2〃+1)2//-12+1

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S.=(l+g11

+???+------1-----1+」

142n—32n—\2n-l2n+l

,12n

=1---------=------

奇數(shù)時(shí)

11112n+2

H-----+-----1-----=1+

2/7-12n—\2〃+12〃+12n+l

2〃+2

，〃為奇數(shù),

2〃+1

所以S,=<

2〃

，〃為偶數(shù).

+1

20.【解】⑴導(dǎo)函數(shù)/'(x)==又/⑴=0,

X

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為j=(?-l)(x-l),

即(q_l)x_y_Q+]=0.

(2)當(dāng)Q=1時(shí)，/(x)=x-l-lux,x>0.

r(x)=i--=—

XX

令廣(x)=0,解得x=l.

列表如下：

X(o」)1(1,+co)

/'(x)-0+

/(x)極小值/

所以當(dāng)x=l時(shí)，/(x)取最小值/⑴=0,

所以/(x)20.

(3)由(2)可知，ln%<x—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立,

'r\n-\、2"T

所以In1+—<----，

3")3"

/2、(22>l(2吟12

In1+-+lnl+-r+ln1+—+??-+In1+----<-+—+???+----

3jI32JI33JI3"J3323"

1——

_3〔3〃J2n

=1——<1

一,23"

所以+

當(dāng)〃“時(shí)，。+#+力1+3,fi^>ii4——-

1+3"J+3+323"+27

1——

3(3")22"

1+2+=2+---------->2.

27,2273向r

所以對(duì)于任意〃+++](r\n-\、

1+—<m成立時(shí)，整數(shù)m的最小值為3.

I3〃)

21.【解】(1)連接OM,MN,BM,

因?yàn)椤?N是底面半圓弧蕊上的兩個(gè)三等分點(diǎn),

所以有AMON=NNOB=60°,又因?yàn)镺M=ON=OB=2,

所以AMON,ANOB都為正三角形,

所以MN=NB=BO=OM,

四邊形OMNB是菱形，

記ON與切攸的交點(diǎn)為。,

。為ON和8兒f的中點(diǎn)，

因?yàn)閆PON=60°,OP=ON,

所以三角形OPN為正三角形，

所以尸。=G=所以「8J.PM,

因?yàn)槭前肭蛎嫔弦稽c(diǎn)，48是半球O的直徑，所以尸8，尸幺，

因?yàn)槭f門尸4=尸，所以尸8,平面尸2/.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)尸在底面圓內(nèi)的射影恰在ON上，

由(1)知。為ON的中點(diǎn)，△OPN為正三角形，所以尸0，ON,

所以尸0，底面4S/,

因?yàn)樗倪呅?WNB是菱形，所以MB，ON,

即MB、ON、尸。兩兩互相垂直，

以｛西,QN,QP\為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz,如圖所示,

所以河方=(AO,-V3),Q?=(0,1,73),

設(shè)平面尸48的一個(gè)法向量為成=(%//),

,mOP=0,-fy+V3z=0,

則_所以廠廠

m-OB=0,[-V3x+y=0,

取X=l,則成=(1,G,—1)

設(shè)直線PM與平面PAB的所成角為e,

所以sin8=cos(尸應(yīng)

故直線PM與平面PAB所成角的正弦值為叵.