人教版高中數(shù)學(xué)必修三 《古典概型》要點梳理與考點探究

人教版高中數(shù)學(xué)必修三第三章統(tǒng)計

321《古典概型》要點梳理與考點探究

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解基本事件的特點.

2.理解古典概型的定義.

3.會應(yīng)用古典概型的概率公式解決實際問題.

【要點梳理?夯實知識基礎(chǔ)】

1.基本事件

(1)基本事件的定義：

一次試驗中可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果稱為一個基本事件.基本事件是試驗中不能

再分的最簡單的隨機事件.

(2)基本事件的特點：

①任何兩個基本事件是;

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.

［答案］⑵①互斥的②基本事件

2?古典概型

如果某類概率模型具有以下兩個特點：

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件.

(2)每個基本事件出現(xiàn)的.

將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型.

有眼存)-：試驗中所有可能出現(xiàn)的星本事件只花有限個)

"口［等可能性H捂?zhèn)€基本事件出現(xiàn)的可姮相等)

［答案］(1)只有有限個(2)可能性相等

3?古典概型的概率公式

對于任何事件A，P(A)=.

A包含的基本事件的個數(shù)

借詞一基本事件的總數(shù)一

［常用結(jié)論］

確定基本事件個數(shù)的三種方法

(1)列舉法：此法適合基本事件較少的古典概型.

(2)列表法(坐標(biāo)法)：此法適合多個元素中選定兩個元素的試驗.

(3)樹狀圖法：適合有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個數(shù)的探求.

［學(xué)練結(jié)合］

1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三

個結(jié)果是等可能事件.()

(2)從一3,-2,—1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能

性相同.()

(3)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點，這點到正

方形中心距離小于或等于1”的概率.()

［答案］(1)X(2)V(3)X

2.從1,2,345中隨機取出三個不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的基本事件個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

答案:C

解析:任取三個數(shù)和為偶數(shù)共有：(1,2,3),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(3,4,5)

共6個，選C.

3.袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率

為()

2432

A-5Bl5C5D-3

答案:A

解析：從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概

率為。=2=*

4.一個口袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，則在先摸出1個白球后放回的條件下,

再摸出1個白球的概率是.

答案：|

解析：先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率，實質(zhì)上就是第二次摸到

2

白球的概率，因為袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，因此概率為予

5.現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動，則甲被選中的概率為

答案：-

3

解析：從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動，有甲乙，甲丙，乙丙三

2

種可能，則甲被選中的概率為

3

【考點探究?突破重點難點】

考點一：基本事件的計數(shù)問題

1.在1,2,3,4,5這5個數(shù)字中，同時任取兩個數(shù)，則有個基本事件，其中“兩

數(shù)都是奇數(shù)”有個基本事件.

答案：103

解析:一共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)

共10個基本事件，兩數(shù)都是奇數(shù)包含(1,3),(1,5),(3,5)密基本事件

考點二：古典概型的概率求法

【例1】(1)從分別寫有1,2,3,4,珀勺5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨

機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()

A志B.1C-D,

(2)袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中1個白球，1個紅球，2個黃球，

從中一次隨機摸出2個球，則這2個球顏色不同的概率為.

(1)D(2)|[⑴從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況

如圖：

第很

第二張1234512345123451234512345

基本事件總數(shù)為25,第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為

10,

……102

?.所求概率尸=芯=亍

故選D.

(2)設(shè)取出的2個球顏色不同為事件A,基本事件有：(白，紅)，(白，黃)，(白，

黃)，(紅，黃)，(紅，黃)，(黃，黃)，共6種，事件A包含5種，故P(A)=得.]

(3)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A2,&和3個歐洲國家與，約，

嗎中選擇2個國家去旅游.

①若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

②若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括AJ旦不包括

片的概率.

［解］①由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結(jié)果組成的

基本事件有：{A_&},{4,&},⑸,Bx},{A［,B2},{A,,0},{4,&},

{4,BJ,{A2,2},{&，J},{4,BJ,%，B2},外，B3},{與，B,},{B},

J},{嗎，嗎},共15個.

所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：{&,A2},

31

--

A},{A,A3},共3個，則所求事件的概率為5

3215

②從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件

有：{A1,Bx},{A『B2},{ApB3},{a,BJ,{A2,B2},{A2,J},{&,片},

{a,B2},{A3,嗎},共9個.

包括&但不包括名的事件所包含的基本事件有：{A1，嗎},{A』B3},共

2

2個，則所求事件的概率為P=3.

［拓展探究］（1）本例⑵中，若將4個球改為顏色相同，標(biāo)號分別為1,2,3,4

的四個小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率.

（2）本例（2）中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同

的概率.

［解］（1）基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件力，則A包含的基本事件

為（1,2）,（1,4）,（2,3）,（3,4）,共4種,

42

所以/5（A）=Z=T

（2）基本事件為（白，白），（白，紅），（白，黃），（白，黃），（紅，紅），（紅，白），

（紅，黃），（紅，黃），（黃，黃），（黃，白），（黃，紅），（黃，黃），（黃，黃），（黃，

白），（黃，紅），（黃，黃），共16種，其中顏色相同的有6種，

故所求概率P=-^=I.

IoO

［解題方法總結(jié)］

求古典概型概率的步驟

(1)判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A;

(2)分別求出基本事件的總數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)

"7；

(3)利用公式P(/1)-求出事件A的概率.

[跟蹤練習(xí)]

1.小紅打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是/,

N中的一個字母，第二位是123,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成

功開機的概率是()

811

?

8-

151530

2.從分別寫有123,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1

張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()

A志B.1*D.|

l.C2.D[l.VQ={(M,l),(M,2),(M,3),(M4),(M5),(7,1),(1,2),(7,3),

(1,4),(/,5),(MD,(M2),(M3),(N,4),(N,5)},

，事件總數(shù)有15種.

?.?正確的開機密碼只有1種，

2.如表所示

二次

第蕊、12345

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)

總計有25手，情況，滿足務(wù)r件的彳T10種

102

所以所求概率為方=5.故選D.]

3.下列試驗中是古典概型的是()

A.在適宜的條件下,種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽

B.在一口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一

球

C.向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點，該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的

D.甲、乙兩隊進(jìn)行一場足球賽，甲隊比賽結(jié)果為甲隊贏、平局、甲隊輸

答案:B

解析:對于A,發(fā)芽與不發(fā)芽概率不同；對于B,摸到白球與黑球的概率相同，均為1；

2

對于C,基本事件有無限個；對于D,由于受甲、乙兩隊運動員水平的影響，甲隊

贏、輸、平局的概率不相等，因而選B.

4.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是

()

A.lB.lC.lD.1

2346

答案:B

解析:由題意知總事件數(shù)為6,且分別為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),

滿足條件的事件數(shù)是2,所以所求的概率為

3

5.某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下

表：(單位：人)

參加書法社團未參加書法社團

參加演講社團85

未參加演講社團230

(1)從該班隨機選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率

為；

(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)

A.,A?AVA,,A5,3名女同學(xué)鳥耳鳥.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1

人,A1被選中且B1未被選中的概率為.

19

答案：(l)g(2)±

解析：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至

少參加上述一個社團的共有45-30=15人.

所以從該班隨機選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率為

PC=一15=_1.

453

(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，其一切可能的結(jié)果組成的

基本事件有：

{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},

1112132122

{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},

2331323341

{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},

4243515253

共15個.

根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

事件”A被選中且B未被選中”所包含的基本事件有：{A,B},{A,B},共2

111213

2

因此A被選中且B未被選中的概率為P=±.

1115

考點三：古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用

【例1】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況隨機訪問50名職工,

根據(jù)這50名職工對該部門的評分繪制頻率分布直方圖如圖所示)，其中樣本數(shù)

據(jù)分組區(qū)間為:[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100].

頻率/組距

0.028-

0.022■

0.01?-

5060708090100分?jǐn)?shù)

(1)頻率分布直方圖中a的值為;

(2)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為;

(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，此2人的評分都在[40,50)的概

率為__________.

答案:(1)0.006(2)0.4(3)、

解析(1)因為(0.004+a+0.018+0.022<2+0.028)X10=1,所以a=0.006.

(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為

(0.022+0.01盼10=0.4,

所以該企業(yè)職工對該部門評分不低兆的概率的估計值切.4.

(3)受訪職工中評分在[50,60)的有：50X0.006X10=3(人)，記為A,A,A；

I23

受訪職工中評分在[40,50)的有：50><0.004X10=2(人)，記為B.B.

12

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是

{A,A},{A,A},{A,B},{A,B},{A,A},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{B,B},

1213Jij2232122313212

又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B,B},故所求的概率為

12

p=~.

10

【例2】空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex,簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量

狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0-50為優(yōu)；51?100為良；101?

150為輕度污染；151?200為中度污染；201?300為重度污染；大于300為嚴(yán)

重污染.一環(huán)保人士記錄2018年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示.

45

60

754

35

1O

U78

I99

215

(1)利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQIW100)的天數(shù)；(按這個月總

共30天計算)

(2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI>100)的這些天中，隨機地抽取兩天深

入分析各種污染指標(biāo)，求該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率.

［解］(1)從莖葉圖中發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為1,空氣質(zhì)量良的天

42

數(shù)為3,故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為的=$估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻

22

率為亍從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30X5=12.

(2)該樣本中為輕度污染的共4天，分別記為4,a2,av%；為中度污染的

共1天，記了b-,為重度污染的共1天，記為c.從中隨機抽取兩天的所有可能結(jié)

果有：(%,%)，(4，%)，(%，%)，(4，b),(%,c),(%，%)，(“2，%)，(%，

份，(電，C),(%,%)，(4，b),(%，c)，(?4>份，(。4，c),(b,c),共15個.

其中空氣質(zhì)量等級恰好不同的結(jié)果有(%,b),(4,c),(4,b),(a2,c),(a3,

b),(4,c),(%,b),(%,c),(b,c),共9個.

所以該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率為9=|.

［解題方法總結(jié)］

求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路

(1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計

圖表給出的信息，提煉出需要的信息.

(2)進(jìn)行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算.

［跟蹤練習(xí)］

交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險

第一年的費用(基準(zhǔn)保費)統(tǒng)一為。元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制,

且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系.發(fā)生交通事故的次數(shù)越

多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：

交強險浮動因素和費率浮動比率表

浮動因素浮動比率

A上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%

&上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%

/上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%

&上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%

上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%

某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60

輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的

表格：

類型AA2&A’454

數(shù)量105520155

(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率；

(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費

高于基本保費的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事

故車盈利10000元.且各種投保類型車的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完

成下列問題：

①若該銷售商店內(nèi)有6輛(年齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨

機挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；

②若該銷售商一次購進(jìn)120輛(年齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利

的平均值.

［解］(1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率為

15+5_1

-60-=3-

(2)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的6輛該品牌(年齡已滿三年)的二手車

有2輛事故車，設(shè)為由,a.4輛非事故車設(shè)為多,a,,%，%?從6輛車中隨機挑

選2輛車的情況有S],%）,（%,4）,（%,4），（%，%），（%，%），（4，％），色，

%）,（%，%），電,%），（%，%），（%，*（%，%），%。3），（%。4），（“3，

%）,共15種.

其中2輛車恰好有一輛為事故車的情況有（4,4）,（4,%），（4，%），（%，

%）,（b2,4）,（b2,%），（%，%），（%%），共8種.

所以該顧客在店內(nèi)隨機挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛為事故車的概率為

8

訪.

②由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進(jìn)120輛該品牌（車齡已滿三年）的二手

車有事故車40輛，非事故車80輛，

山（一5000）X40+10000X801=5000（元）.

【連線真題?提升解題能力】

1.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社會服務(wù)，則選中的2人都是女

同學(xué)的概率為（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

答案:D

解析:將2名男同學(xué)分別記為x,y3名女同學(xué)分別記為a,b,c.設(shè)“選中的2人

都是女同學(xué)”為事件A,則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情

況有（x,y）,（x,a）,（x,b）,（x,c）,（y,a）,。，b）,（y,c）,（a,b）,（a,c）,

S,c）,共10種，其中事件A包含的可能情況有（a,b）,（a,c）,（b,c）,共3

3

種，故尸（4）=記=0.3.故選DJ

2.一枚均勻的硬幣連續(xù)擲三次，則至少出現(xiàn)一次正面向上的概率是（）

A.Z.B.2C.lD.1

8883

答案:A

解析:一枚均勻的硬幣連續(xù)擲三次，出現(xiàn)的所有可能情況是（正，正，正），（正，正，

反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反,

反），共8種，至少出現(xiàn)一次正面的有7種，所以所求概率為1.

8

3.為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,

余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是

B.mC.3TD.z

A.,23o

答案:c

解析:從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花

種在另一個花壇的種法有：紅黃一白紫、紅白—黃紫、紅紫一白黃、黃白—紅

紫、黃紫一紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的

種法有：紅黃一白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫一紅黃，共4種，故所

42

求概率為尸=6=中故選C.

4.已知集合A={-l,0/},點P(x,y),其中x?A,yGA,記點P落在第一象限為事件

M,則P(M)=()

1cl八1一2

AA.—B.—C.—