2022年全國高考數(shù)學(xué)(新高考1卷)真題及答案解析

2022年高考數(shù)學(xué)(新高考1卷)真題

及答案解析

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.若集合M={x|於<4},N=(x\3x>1},則MCiN=()

11

A.{x|0<x<2]B,{x|-<x<2}C.{x|3<x<16]D.{x|-<x<16}

2.若i(l-z)=1,則z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在△力BC中，點(diǎn)。在邊AB上，8。=2。4記方=而，CD=n，則方=()

A.3萬-2nB.—2沅+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已

知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為lM.Ok*2；水位為海拔157.5m

時，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，

則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5zn時，，增加的水量約為(夕?2,65)()

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()

A.7B.7C.7D.\

O040

6.記函數(shù)f。)=sin(3久+3+6(3>0)的最小正周期為7.若警<7<兀,且y=/(%)

的圖像關(guān)于點(diǎn)

得,2)中心對稱,則/《)=()

A.1B.|C.|D.3

7.設(shè)a=0.1e。，，6=c=—ln0.9,則()

a<b<cB.c<b<aC.c<a<bT).a<c<b

8.己知正四棱錐的側(cè)棱長為1,其各頂點(diǎn)都在同一個球面上，若該球的體積為36兀，

且3W/W3K，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18,失B.岸引C.[%失D.[18,27]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知正方體4BCO—&B1C1O1，則()

A.直線BQ與所成的角為90°

第1頁，共19頁

B.直線BCi與C4所成的角為90°

C.直線BQ與平面所成的角為45°

D.直線BQ與平面48CD所成的角為45°

10.已知函數(shù)/'(x)=爐一%+1,則()

A.”X)有兩個極值點(diǎn)

B.f(乃有三個零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/Q)的切線

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0,-1)的直

線交C于P,Q兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線4B與C相切

C.\OP\-\OQ\>|0川2D.\BP\?|BQ|>\BA\2

12.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域?yàn)镽,記g(x)=f'(x).若-2x),g(2+

x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(W)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(1-?)(x+y)8的展開式中》2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

14.寫出與圓d+y2=1和(％—3)2+(y—4)2=16都相切的一條直線的方

程.

15.若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是.

16.已知橢圓。捺+，=l(a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為4,兩個焦點(diǎn)為％,F2,離心率

為右過尸1且垂直于心的直線與。交于。，E兩點(diǎn)，|OE|=6,則AAOE的周長

是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.記S”為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，已知%=1,圜是公差為我等差數(shù)列.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：—+—+,??+—<2.

-aia2an

18.記A/IBC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知嚴(yán)7=潦⑦.

l+sin4l+coszw

第2頁，共19頁

（1）若。=奈，求B;

（2）求里的最小值.

C

19.如圖，直三棱柱ABC—4*也1的體積為4,△4BC的面積為2vL

⑴求4到平面4BC的距離；

（2）設(shè)。為&C的中點(diǎn),44]=4B,平面&BC平面A8B遇1，求二面角A-BD-C

的正弦值.

20.一支醫(yī)療團(tuán)隊(duì)研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良

好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例

組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù):

第3頁，共19頁

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

(2)從該地的人群中任選一人，4表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件

“選到的人患有該疾病”，徵與微的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程

度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

(i)證明.R=組也感回.

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(4|B),PJE)的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

附.I1=Mad-bc)2

?(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.已知點(diǎn)力(2,1)在雙曲線C:/一若=1缶＞1)上，直線［交C于P,Q兩點(diǎn)，直線

AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求1的斜率；

(2)若tanZPAQ=2近，求APAQ的面積.

已知函數(shù)/(%)=ex-ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

(1)求Q；

(2)證明：存在y=b直線，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，

并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解:因?yàn)镸={x|0<%<16},N=[x\x>,

故MA/V={x|i<%<16}.

第4頁，共19頁

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算及共物復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

【解答】

解：z=l+i,z+z=l+i+l—i-2.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：CD=^CA+^CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了棱臺的體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：依據(jù)棱臺的體積公式

V=5.(S+S'+■5-h

=1?(140000000+180000000+V14000000X18000000)X9

?1.4x109m3.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型及其計(jì)算，涉及組合數(shù)公式、對立事件的概率公式，屬基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由題可知，總的取法有4=21種，不互質(zhì)的數(shù)對情況有：兩個偶數(shù)，3和6.

所以兩個數(shù)互質(zhì)的概率為P=1一如=3.

213

6.【答案】A

第5頁，共19頁

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的周期性和對稱性，屬于中檔題.

【解答】

解：由題可知：7'=-e(^,7T),所以36(2,3).

又因?yàn)閥=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(手,2)中心對稱，所以b=2,且/(y)=sin(a)x

如+9+b=2.

247

所以o>=j(k—}),k&Z,所以3=].所以f(x)=sin(|x+^)+2.所以

/(”1.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)比較大小，關(guān)鍵是構(gòu)造合適的函數(shù)，考查了運(yùn)算能力，屬于較難題.

【解答】

解：a=O.le°”,b--^77,c=—ln(l-0.1)，

1—0.1

①Ina—Inb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=%+ln(l—x),xG(0,0,1],

則/'(x)=1_"=9<0,

1-x1-x

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(O)=0,即Ina—Inb<0，所以aVb；

@a-c=O.leol+ln(l-0.1),

令9(%)=xeX+ln(l—%),%6(0,0.1],

則g[(x)=xe'+ex_J_(l+x)(lT)eXT,

1-x1-x

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以fc(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得fc(x)>A:(0)>0,即^'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(O.l)>g(0)=0,即a-c>0,所以

a>c.

故c<a<b.

8.【答案】C

第6頁，共19頁

【解析】

【分析】

本題考查了球的內(nèi)接問題，涉及棱錐的體積、球的體積、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識，屬

較難題.

【解答】

解：方法(1)：

設(shè)正四棱錐P-ABCD的高為POi=h,底面邊長為a,球心為。，由已知易得

球半徑為R=3,

所以卜建+(八3)一二償九因?yàn)?<Z<3V3=>9<6/I<

［(為2+叢=(2匕=2(6九一九)

27=>|<h<|,

故所以K=|a2/i=|(6/i-/i2)/i=i(12-2/i)/ix/i<|x［(12-^)+/1+/i］3=y(當(dāng)且僅

當(dāng)h=4取到)，

當(dāng)h=l時，得a=W，則聯(lián)大仁家渺小可；

當(dāng)，=3舊時，球心在正四棱錐高線上，此時h=|+3=?，

129竺

在a=^=a=莘，正四棱錐體積匕=；。2八-X-81-

3243故該正四

22V213

棱錐體積的取值范圍是俘，爭.

43

方法(2):

由方法(1)中知K=|(6-/i)/i2,，求導(dǎo)『=2(4-/1)無，所以V=

|(6—八)層在［1,4］上單調(diào)遞增，在［4,1］上單調(diào)遞減,所以Vmax=V(4)=y,

%析=min伍|),%)}=，(|)=日,故該正四棱錐體積的取值范圍是［得］.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查直線與直線所成角及直線與平面所成角，屬于中檔題.

【解答】

解：如圖，因?yàn)锽C1J.B1C，B\C"DA［,所以BCi1D4,故/正確；

第7頁，共19頁

對于選項(xiàng)B:因?yàn)橹本€BQ1平面CD&B1,且C&u平面CD&B1,所以直線

BCi1CAi,故8正確；

對于選項(xiàng)C:連接&Ci與B1D1交于點(diǎn)。1,則N0BC1即為直線8cl與平面

BBi%D所成的角，

sin"iBCi=架=彳，所以乙。出的=30。，故C錯誤；

對于選項(xiàng)D:直線BC1與平面ABCD所成的角即為NgBC=45。，所以D正確.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與零點(diǎn)以及曲線上一點(diǎn)的切線問題，函數(shù)的對稱性，

考查了運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

【解答】

解：/（x）=x3—x+1/'（x）-3%2—1,令f\x）—0得：x=+,

/'（X）>0=>x<-Y或》>三；/'（x）<0=—曰<x<?，

所以/（X）在（一8,-苧）上單調(diào)遞增，在（一苧耳）上單調(diào)遞減，在（亨,+8）上

單調(diào)遞增，

所以/（%）有兩個極值點(diǎn)（x=-弓為極大值點(diǎn)，x=?為極小值點(diǎn)），故/正

確；

乂/（一三）=一7-（一目）+1=1+丁>°，/（^）=v-T+1=1--r>0，

所以/（x）僅有1個零點(diǎn)（如圖所示），故5錯；

第8頁，共19頁

又/(-=_x3+x+1=>/(-%)+/(x)=2,所以/(x)關(guān)于(0,1)對稱，故C

正確；

對于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0)，在P處的切線為y-(君一g+1)=(3君一

l)(x-x0),

即y=(3芯一l)x—2%+1,

3%2-1=2

：3,c，方程組無解，所以D錯.

{一2%+1=0

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬較難題.

【解答】

解：點(diǎn)4(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，即1=2p=Ox?=y,所以準(zhǔn)線

為y=-：,所以4錯；

直線AB:y=2x-1代入/=y得：x2-2x+1=0=>(x-I)2=0=>%=0，所

以AB與C相切，故B正確.

由題知直線PQ的斜率一定存在，則可設(shè)直線

(y-kx—1,2

PQ-.y=kx-1,P(%i，yi)，Q(x2,y2)，則[=dx-/ex+1=0,A=

爐一4>0=卜<-2或k>2,

2

[g+x2=k(yi+y2=x^+xj=%+x2y-2x^2=k-2

'lxlx2=1=%貨g=1

\OP\'\OQ\=J(x2+yi2)(x2+y2)=J(yi+￡)仇+無)=

J(71丫2)2+(71丫2)(71+丫2)+y/2=0+()-2)=>2=1。川2，故C正確；

22222

\BP\'\BQ\=V1+k\xt-0|Vl+fc|x2-0|=(1+k)\XiX2\=(1+fc)>5=\BA\

,故D正確.

第9頁，共19頁

O1

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的對稱性及奇偶性，屬于難題.

【解答】

解：由2x)為偶函數(shù)可知/(x)關(guān)于直線x=|對稱，

由g(2+乃為偶函數(shù)可知g(x)關(guān)于直線x=2對稱，

結(jié)合g(x)=尸(%),根據(jù)g(%)關(guān)于直線x=2對稱可知/(%)關(guān)于點(diǎn)(24)對稱，

根據(jù)/(乃關(guān)于直線X=|對稱可知：g(x)關(guān)于點(diǎn)(|,0)對稱，

綜上，函數(shù)f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù)，所以有;?(())="2)=3所以4不

正確；

/(-1)=/(1),〃4)=)(2),/(1)=/(2),故/(-1)=/(4),所以C正確?

g(一、)=潟)=o,g(T)=g(i)，所以8正確；

又g(l)+g(2)=0,所以g(—1)+g(2)=0,所以。不正確.

13.【答案】-28

【解析】

【分析】

本題考查二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)與特定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

第10頁，共19頁

rr

解：因?yàn)?x+y)8展開式的通項(xiàng)Tr+1=^-y,

令r=5,則x3y5的系數(shù)為黨=56；令r=6,貝ijx2y6的系數(shù)為瑪=28,

所以久2y6的系數(shù)為-56+28=-28.

14.【答案】x+l=O7x-24y—25=03x+4y-5=0(±M一條即可)

【解析】

【分析】

本題考查了圓與圓的公切線問題，涉及圓與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識,

屬較難題.

【解答】

解：方法1:顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+by+c=O,于是

1|3+4b+c|_

故c?=1+接①,|3+4b+c|=|4c|,于是3+4b+c=4c或

,24(,4

b=---b=-

2；或,_%＞所以直線

(C~~~V3

方程有三條，分別為x+1=0,7x—24y-25=0,3x+4y-5=0.

(填一條即可)

方法2:設(shè)圓x2+y2=1的圓心。(0,0),半徑為勺=1,圓(%-3)2+(y-

4尸=16的圓心C(3,4),半徑上=4,貝ij|OC|=5=r1+r2,因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+1=0符合題意；

又由方程(x-3)2+(y—4)2=16和x2+y2=1相減可得方程3x+4y-5=0,

即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線0C的方程為4x-3y=0,

直線0C與直線x+1=0的交點(diǎn)為(一1,一3),設(shè)過該點(diǎn)的直線為y+9=k(x+

第11頁，共19頁

從而該切線的方程為7x—24y—25=0.(填一條即可)

15.【答案】(―8,—4)U(0,+8)

【解析】

【分析】

本題主要考查過曲線外一點(diǎn)的切線問題，屬于中檔題.

【解答】

解：y'=(x+a+l)ex,設(shè)切點(diǎn)為(沏)。)，故f=(a+a+1)礦。，即色吐色史=

“0X。

x

(x0+a+l)e°.由題意可得，方程x+a=x(x+a4-1)在(-8,0)u(0,+8)上

有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.化簡得，x2+ax-a^0,△=a2+4a>0，解得a<—4

或a>0,顯然此時0不是根，故滿足題意.

16.【答案】13

【解析】

【分析】

本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、橢圓的定義以及橢圓中的弦長問題，考

查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

【解答】

解：由橢圓離心率為|，可得a=2c,則b=Va2—c2=V3c，

則C:=1>J4(0,V3C)，c,0),尸2(。，0)?

易得^AF2:y=-+V3c，IED:y=(x+c),

可解得AF2與DE的交點(diǎn)苧)，

故直線DE垂直平分AF2，即EA=EF2,DA=DF2,

￡+《=1fxD+x￡=-y

又｛4cU=>13x2+8cx—32c2=0=><32c2

(y=V(x+c)卜/E=-

第12頁，共19頁

A\DE\=1+||X-&|=6=(x+x)2-4XX=27今C=F

JDDEDEo

所以LADE的周長AD^AE+DE=DF2+EF24-DFX4-EFX13.

n+2on+2ZTX

17.【答案】解：（1）F-=Sn=亍冊①;

n4-3丁

s^+i=---Q?I+I2);

71+3n+2Qn+1=n+2

由②-①得：冊+1

ann

3(n+l)nn(n+l)

,當(dāng)n>2fineN*時，您=-^-?^^???絲=??白-

a\an_ian-2。2。1n—1n—232T=-I=%=

又4=1也符合上式，因此“=gtll（nwN*）；

c、12”1

k7n+1"

ann(n+l)

1,1,,1,1

??o：-7+--^+-)=2(1--)<2

?—I-----F…4—=2(7J

。2an\1223nn+1、n+1

即原不等式成立.

【解析】本題考查了數(shù)列與不等式，涉及裂項(xiàng)相消法求和、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、根據(jù)

數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式等知識，屬中檔題.

2A.2A

..cos/l_sin28.cos,-sin」_2sin8cosB日

18.【答案】解:⑴.1+Sin4-1+8S2B'”8s2知i卷+2si設(shè)謁一誨礪且8sb豐U，

A.A

cos-sm-sinB1-tan—nA

-------4=tanB,???tan(------)=tanB,

cos介sin?cosBl+tan^2)

4—n

又A,BE(0,7T),J-G(—AJB

'，42444~2~-

又「C4,??.4+B=g,=I

3o0

sin24+sin28_siMA+siMGf)

⑵由正弦定理高=白=總’得亨

sin2c-sin2(4弋-令

「cosZA/COS2(今一務(wù)

2

22.1—cos2/1+1—sinA2sin4—sin4+1

1-cos2(4+^-%14-sinA1+sinA

2

(Ae(0,兀)口人

=B6(0,兀)=力e(嗚)'令t=1+Sin4€(1,2),

則y=2(tT)2-(tT)+i=2t_5+￡,tG(1,2),

y=2t-5+￡在te（1,夜）時遞減，在tG（包,2）時遞增,

因此t=企時，ymin=4A/2—5.

【解析】本題主要考查三角恒等變換的綜合應(yīng)用及利用余弦定理和對勾函數(shù)解決最值問

題，屬于中檔題.

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19.【答案】解：(1)設(shè)Z到平面4/C的距離為d,

因?yàn)橹比庵?BC-&B1C1的體積為4,即可得SMBC/AI=4,

故K41TBe=^AABC'^1=

又匕I】-/18C=乙-ABC=418c/=1X2&Xd=(

解得d=魚，所以4到平面&BC的距離為迎；

(2)連接AB1，因?yàn)橹比庵鵄BC-&B1C1中，

故44/1B為正方形，即幽1&B,

又平面4iBC_L平面4BB141，n￥ffiABBXAX=AXB,ABXABB^,

故ABi_L平面&BC,所以皿IBC,

又因?yàn)镮BC,ABi，44iu平面ABBiAi，且481nABi=A,

故BC-L平面力BBiAi，則BC_L4B,

所以BB^AB.BC三條直線兩兩垂直，

故如圖可以以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)力a=AB=a,BC=b,則=四。，

-axhxa=4

解得{；：；

由條件可得作「r-

-xy/2axb=2V2

則B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,0),4式0,2,2),&C的中點(diǎn)0(1,1,1),

所以瓦？=(0,2,0)，BD=(1,1,1).BC=(2,0,0)

設(shè)平面ABD的一個法向量為而=(x,y,z),

{,器IM降7：z=0,取而=(1。-。

同理可求得平面BCD的一個法向量為何=(0,1,-1)

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所以|cos<E，石>I=普獸=；,

所以二面角A-BD-C的正弦值為宜.

2

【解析】本題考查了平面與平面所成角的空間向量求法、點(diǎn)到面的距離的幾何求法、幾

何體的體積公式，考查了空間中的垂直關(guān)系的證明與應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴得到2x2聯(lián)表如下：

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不夠良好良好總計(jì)

病例組4060100

對照組1090100

總計(jì)50150200

200x(40x90-60x10)2

vK20=——--------------------—=24>10.828

100x100x50x150

??.有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；

(2)⑴證明：?；P(B|A)=需，p?4)=需,

P(B|I)=儂，P(麗=華

'17P⑷'1JP(4)

P(B4)P(西

_P(B|A)P(B|-_TWP④_P(84)P@Z)

P(B\A)P(B\A)P(BA)P(BA)P(BA)P(Bl)

P(4)P(A-)

又「P(2|B)=甯),P⑷B)—需，PQ4⑻一匐

P(姻)=嚅，

__P(AB)P(AB)____

.PQ4|B).P(彳山)__P(AB).P(彳P)_P(BA).P(-7)

??P(A\B)P(A\B)~P(MP(點(diǎn))-P(AB)P(AB)~P(BA)P(BA)'

P(8)P西)

P(A|B)P(A\B)

R=———------------

P(A\B)P⑷萬)

(???旺(力田)=迪=%=之「儀田)=幽="=2,2聞耳)=①=更=2,

1“〈I，P(B)1005'/91以P(B)1005,117P(8)10010’

_P(AB)101

P(AIB)=7^=Too=io

29

P(/|B)P(A\B)5To1

P(川B)P(A\B)3￡

510

...R二吟跡=6

P(A\BY”川8)0

即P(4|8)=|,PQ4歷)=看R的估計(jì)值為6.

【解析】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)和條件概率的計(jì)算，屬中檔題.

21.【答案】解：⑴將點(diǎn)4代入雙曲線方程得右一六=1,化簡得a4—4a2+4=0得：

2

a2=2,故雙曲線方程為］—y2=i；

由題顯然直線1的斜率存在，設(shè)〃y=kx+zn,設(shè)P(/,yi),Q(x2,y2),則聯(lián)立直線與雙

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曲線得:

(2fc2—l)x2+4kmx+2m2+2=0,△>0,

44.4km2m2+2

故r/+”2=一正三，/犯二寶可，

心+%=3+舞=*+甯=°，

化簡得：2kxrx2+(m-1—2k)(x1+x2)-4(m—1)=0,

即(/C+1)(M+2/C-1)=0,而直線［不過A點(diǎn)，故k=-l.

(2)設(shè)直線AP的傾斜角為a,由tan/PAQ=2VI，得tan等=y.

由2a+Z.PAQ=7T,得服p=tana=V2，即普卷=或，

聯(lián)立涓=/，及J—*=i得返，月=浮，

同理，上=生警，丫2=中，

故均+丫2=石，%1%2=萬

而14Pl=75%-2|,|4(?|=遍|%2-2上

由tan/PAQ=2或，得sin^PAQ=苧，

故〃「的=1\AP\\AQ\sin^PAQ=^\X1x2-2(右+犯)+甸=竽?

【解析】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線中面積問題，屬于難題.

22.【答案】解：(1)由題知尸。)=眇一①5'(x)=?-

①當(dāng)aW0時，/'(x)>0,,g,(x)<0,則兩函數(shù)均無最小值，不符題意;

②當(dāng)”>0時，/(%)在(一8,lna)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)單調(diào)遞增；

g(x)在(0、)單調(diào)遞減，在(%