2024屆新高考數(shù)學(xué)大題訓(xùn)練：數(shù)列（30題）（解析版）

裁利俺味劭IU

題目1(2024?江蘇南通?二設(shè)數(shù)列｛期｝的前n項(xiàng)和為S”,若S『-a“=n2+l,nGN,.

(1)求5,a2,并證明：數(shù)列｛a.+an+J是等差數(shù)列；

⑵求S?。.

【答案】⑴QI=4,電=2,證明見解析；

(2)420.

【分析】(1)直接代入72=1可得。1=4,再代入九=2,結(jié)合Q1的值求出電=2；再由Sn—"|~冊(cè)="2+1仿寫出

2

Sn_i—^-an-i=(n—1)+1，作差后得到an-\-an-Y~4n—2,即可證明結(jié)果.

(2)由(1)知數(shù)列｛Q九+I+M｝為等差數(shù)列，然后代入等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)九二1時(shí)，由條件得―1al=2,所以。尸4.

當(dāng)=2時(shí)，由條件得(Qi+電)—｝電=5,所以。2=2.

2

因?yàn)镾n―^-an—九2+1,所以Sn-i—-^-an.i=(n—l)+l(n>2),

兩式相減得：an-1-anH—^-an-i=2n—1,即an-\-an-i=4n—2,

所以(a九+i+aj—(an+an_!)=[4(n+1)—2]—(4n-2)=4,

從而數(shù)列｛QM+Q/為等差數(shù)列.

(2)由⑴知an+an_i=4n-2,

所以an+an+1=4(n+l)—2=4n+2,

所以數(shù)列｛QM+Q/為等差數(shù)列，首項(xiàng)為QI+Q2=6,

10x[(ai+a2)+(6X19+^20)]

所以$20=(Q1+Q2)+(Q3+Q4)H--------l-(a+ao)=

1922

所以$20=(4X2-2)+(4X4-2)+…+(4x20-2)=----三-----=420.

趣白團(tuán)(2024?福建福州?模擬fit測(cè))已知數(shù)列｛aj滿足a尸2,a“=a?-1+2n(n>2).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛f-｝的前幾項(xiàng)和為S”,證明：Sn<1.

【答案】⑴Q九二/+九，nGN";

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列前九項(xiàng)和公式求解即得.

(2)利用裂項(xiàng)相消法求和即可得證.

【詳解】(1)數(shù)列｛冊(cè)｝中，當(dāng)口>2時(shí)，an=。九_(tái)1+2"，即an-an-x—2n,

貝Ian—5+(。2-的)+(a3—a2)H---F(an_i—an_2)+(an—an_i)

=2

dn2+4+6+…+(2TZ,-2)+2n=-----——n-\-n,而出=2滿足上式，

所以數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式是冊(cè)=/+?1,nEN*.

2

(2)由(1)知an=n+n=n(n+1),九GN*,則」一=——-=------7—,

ann(n+1)nn+1

因此&=萬+5IT+…+7―I-+(

_LxnNXj(n—l)nn(n+1)???

=一?>?…+HL=一二，而">1，則i——c

所以4V1.

［題目|3］（2024?全國(guó)?模擬覆測(cè)）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足a“+產(chǎn)1115s手且。尸L

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

（2）求數(shù)列｛冊(cè)｝的前100項(xiàng)和S100.

71—1

22,也為奇數(shù)

【答案】（l）a“=n

2亍一1,九為偶數(shù)

（2）3X250-53

【分析】⑴由遞推公式得，當(dāng)％CN*,｛C^LT｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，令既=a2fc+l，｛瓦:｝是首項(xiàng)

為2,公比為2的等比數(shù)列，分別求出通項(xiàng)公式即可；

（2）由分組求和，分別計(jì)算奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)之和，再根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴由題意，得當(dāng)kCN*時(shí)，a2k—2a2——1，①

a

2k+l-a2k+1-②

將①代入②，得a2k+i=2a2-1,所以｛C^T｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以a2AT=2-L

又因?yàn)閍2k+2=2a2fc+l-1，

所以Cb2k+2~2。2k+1,所以a2k+2+1=2(。2k+1)?

令瓦=a2fc+l,則bk+1=2bk,而a2=2?-1=1,b產(chǎn)a2+l=2,

所以｛瓦｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

k

所以/=2卜,所以a2k=2-l.

22,?i為奇數(shù)

所以an—n

2虧一1,九為偶數(shù)

(2)Sioo=(di+a3+■,,+?99)+(a2+a4d---Haioo)

=(2°+21+-+249)+(21-1+22-1+-+250-1)

=(2°+21+…+24,+(2斗22+-+250)-50

2x(1-250)

-50

1-2

=3x25°—53.

題目④（2024?浙江寧波?二W已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,記數(shù)列｛bn｝的前幾項(xiàng)和為Sn,bx=0也=2

且滿足bn+1=2Sn+an.

⑴證明:數(shù)列?+1｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛a1AJ的前n項(xiàng)和T“.

【答案】（1）證明見解析；

>（2n—1）,3n+l

（z2）7；=---------------n（n+1）.

【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)與前幾項(xiàng)和之間的關(guān)系，作差可得鼠+i=3bn+2，即可利用等比數(shù)列的定義求解，

（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和以及分組求解，結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.

【詳解】⑴九>2時(shí)，bn+1-bn-2｛Sn-Sn.1）+a?-a?_i=2bn+2,即bn+1—3b?+2.

又bi—0,fe2—2,也符合b2—3bi+2,

所以九>1時(shí)，bn+1=3bn+2,即bn+i+l=3(6n+l).

又bi+l=l#O所以。+1W0,

所以=3，所以數(shù)列｛0+1｝成等比數(shù)列.

n-1

⑵由⑴易得bn=3—1.由b2—2瓦+的可得5=2,所以a?=2n.

所以叫工=2n(3n_1-l)=2n-3n-1-2n,

所以￡=2(l-30+2?3i+3?32+???+n-3n-1)-n(n+l).

令M=l-3°+2?3i+3?32+■■■+n-T~\

貝I3M=l-31+2-32+3-33+■■■+n-3n,

所以2A/=—(30+3/32++3n-1)+n-3"=n-3"—［二三’=(2"—?4+1

1—32

所以工=2M—n(n+1)=-^―—?~——n(n+1).

題目回（2024?浙江杭州?二W已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為S”,且S4=4S2Q“=2ali+l（nGN*）.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

nQ

（2）數(shù)列出｝滿足法=3,令an-bn=an+2-bn+1，求證：匯既</

k=l/

【答案】（1）。九=2n—1（nCN*）

（2）證明見解析

【分析】⑴設(shè)等差數(shù)列小｝的首項(xiàng)為“4差為d,由題意可得《北;；京^+251川+1，解方

程求出的,d,即可求出數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得卜=等二4,由累乘法可求出｛&?）的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求解即可.

bn2n+6

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛QJ的首項(xiàng)為由,公差為d.

4電+6d=8。什4d

由S=4s2,。2九=2a+l,得

4nQi+(2TI—1)(1=2al+2(72—l)d+1

解得：a產(chǎn)l,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n—1(n6N*).

（2）由（1）知，（2n—1）勾=（2九+3）口+1

日口bn+i_2n—1bn_2n—3^n-i_2n-53_5戾_1

bn2n+3'與t2九+l'b時(shí)22"一1‘'87'①5

利用累乘法可得：勾=華?鋁與7_2?2—32TZ1—531

篇一2

=----------------------------------------—~i77^-7)(h>2),瓦=3也符合上式,

(2n-l)(2n+l)2V2n-12n+1八

k=l

Eb=61+62+63+—電T+鼠

nk

=發(fā)1—?>?>/+一+（五匕—廝匕）］=和—5*）

所以孰制

題目回（2024?浙江?二W歐拉函數(shù)鼠n）（neN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)九且與九互素的正整

數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：9⑴=1,夕（4）=2,0（8）=4,數(shù)列｛Q/滿足冊(cè)=0（2"）（7ieN*）.

（1）求的，。2,電，并求數(shù)列｛◎｝的通項(xiàng)公式；

（2）記心=（一以陛也,求數(shù)歹11｛葭｝的前九和S“.

電九

n1

【答案】⑴。產(chǎn)1,02=2,。3=4,an=2~

⑵S+20…

0sL25+25X（—4）”

【分析】（1）根據(jù)題意理解可求的，a2,的,結(jié)合與2"互素的個(gè)數(shù)可求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式;

（2）求出數(shù)列｛葭｝的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】⑴由題意可知的=<p（2）=1,a2=P⑷=2,a3=p⑻=4,

由題意可知，正偶數(shù)與2"不互素，所有正奇數(shù)與2"互素，比2"小的正奇數(shù)有2”T個(gè)，

所以廝=0（2"）=2"T；

21

⑵由⑴知a=3（2"）=2"T,所以a2n=弁2巧=2"-,

所以bn==（T）"寫二=（T）"（2九-D1r=（4n-2）（一》"，

Sn=8+b2H-----1■隊(duì)，

所以Sn=2x（一!?+6X（-j）2+---+（4n-6）x（一十）”—+（4n一2）x（一：）"，①

（T）S“=2x（CJ+6x（-：丫+-??+（4n-6）x（一：）”+（4H—2）x（-j）n+1,?

所以①—②得

為產(chǎn)2X（TM（一丹+…+（一打］-（4九-2）x（-j）n+1

n-1n+1

1?1「1(1\l/A0、、，(1\_320n+6

=一了+了［—(—4)j-(4n-2)x(-z)=—而一5x(—4)”

缶—o6?20n+6

所以&=-函+25x54廠

題目可（2024?重慶?模擬f（測(cè)）已知數(shù)列｛每｝滿足為+2a2+3&3+…+九％=（n+1）!,九CN*.

⑴求｛廝｝的通項(xiàng)公式；

（2）若k<1023且％eN*,記既=01024,討論數(shù)列｛尿｝的單調(diào)性.

a

k。1024-4

【答案】⑴％=1,n=1

⑺！,2

⑵當(dāng)14k《512,〈5吐*時(shí)，｛6:｝單調(diào)遞增；當(dāng)5124141024,左€左"時(shí)，｛.｝單調(diào)遞減

【分析】（1）分兩種情況討論，n=1和n>2,即可求解；

k

（2）先計(jì)算出仇和瓦023，當(dāng)2&k&1022時(shí)，計(jì)算出-,令—1,再檢驗(yàn)兩端點(diǎn)，即可得出｛既｝的單調(diào)

^k-l既-1

性.

【詳解】(1)由已知得，當(dāng)n=1時(shí)，Q產(chǎn)2!=2,

當(dāng)九>2時(shí)，ai+2a2+3a3+—I-(n—l)an+1=n!①,

ai+2a2+3a3+—\-nan=(n+1)!(2),

②一①得，nan=(n+1)!—n!=n?n！，即an=n\,

2,n—1

所以a=

n幾！,2

__a_1_02_4_1024!1024

(2)當(dāng)a=i時(shí)，01=2,既二=512,

araio23—2x1023!—2

01024_1024!_1024

當(dāng)k=1023時(shí)，bk=512,

。1023?。1-2義1023!—2

1024!1024!

,b

當(dāng)24k&1022時(shí)，bk=fc!-(1024-fc)7"L

(fc-I)!-(1025-A;)!

b_1024!(fc-l)!-(1025-A:)!_1025-A;_1025-A:1025

k-1,

既tfc!-(1024-A;)!1024!kkk

顯然，當(dāng)24%《1023,A；eN*時(shí)，單調(diào)遞減,

令卜=1,即工髻-1=1,解得k=512.5,

所以當(dāng)2Wk4512#eN*時(shí)，段」>1,｛瓦｝單調(diào)遞增,

Ofc-1

又4—詠一

.1023X1024>512=fei,

-2!-(1024-2)!2

所以當(dāng)14“<512#6"*時(shí)，｛既｝單調(diào)遞增;

當(dāng)5134k41024,keN*時(shí)，#VI,

既—1

q_________1024!________1023x1024

>512=61023

1022-1022!-(1024-1022)!"2~

所以當(dāng)512&k&1024,kGN*時(shí)，｛既｝單調(diào)遞減.

題目回(2024?河北帝耶?二O已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為&,a2=3,且屈3=圖+四.

⑴求｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)若勾=，求數(shù)列｛0｝的前幾項(xiàng)和黑.

QTIQTZ+I

【答案】⑴冊(cè)=2rb—1

⑵看

2

【分析】(1)首先求出的=1,可證明數(shù)列｛圖｝為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，得到Sn=n,利用an=Sn

—Sn-i得到｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)知，6“=占」=7^普"工p化簡(jiǎn)可得勾=1+q(歹\一[7)，利用分組求和以及

anan+1(2n-1)(2n+1)2'2九—12九+1，

裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列｛口｝的前幾項(xiàng)和黑.

【詳解】(1)當(dāng)71=1時(shí)，由y/~S^—y/~S[+即=2，^,解得:Q1=1,

所以屈3—煦=1,則數(shù)列｛畫｝為首項(xiàng)為i,公差為i的等差數(shù)列；

2

所以y/~S^="，則Sn=n,

22

當(dāng)九>2時(shí)，an=S^—Sn—Fn—(n—1)=2n—1,

當(dāng)九二1時(shí)，Qi=2x1—1=1滿足條件，

所以｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n—l(nGN*)

(2)由(1)知，bn=-%；，

冊(cè)M+i(2n-l)(2n+l)

所以依S=i+號(hào)i=i+儂―J(2九+i)=i+L一擊)，

故—和/+U+…+—―3)="+和一3)="+謂P

n

即￡=n+

2n+1

題目回（2024?福建三明?三模）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的g…冊(cè).「冊(cè)=（方產(chǎn)"CN*.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為&,若不等式（一1）氣S,「14WSV對(duì)任意的nCN*恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范

圍；

1...^-^±i<V2(ne^).

(3)記b=，求證：會(huì)+++

nlog2asR

【答案】（1）斯=2"

⑵［—9號(hào)］

（3）證明見解析

【分析】⑴當(dāng)n=1時(shí)求出5,九>2時(shí)，用冊(cè)=，即可求解；

Qi?！璦-n-i

（2）由an=2”得出S”，由（T*S.-14WS2得（-1）氣w隹臂,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性及兄的值，即可求

出力得范圍；

（3）由（1）得勾=上,則與組=-=^—-,根據(jù)放縮法得--1一-<

1即可證

2n瓜V2^（n+1）質(zhì)（九+1）Vn+1

明.

【詳解】⑴當(dāng)？i=1時(shí),ai=（V2）2=2,

(V2)n2+n

、［/、Qn-j-,,a—fc1

當(dāng)九>2時(shí)，a=---------n----rl/皿，=（V2）2n=2。口=1時(shí)成立，

n(n-)+n-

a/@2.??a—(V2)

n

所以an=2.

2(1-2n)

n+1

⑵由飆二2日得，Sn=2-2，顯然打eN*時(shí)，S九單調(diào)遞增，S余S1=2,

1-2

由(一1)氣S相一14WS2得，(T)氣4號(hào)14，

n口口

又5^+14=s“+導(dǎo)>2714,當(dāng)且僅當(dāng)S=會(huì)時(shí)，即Sn=V14時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)镾i=2,Sz=6,$3=14,Si〈UvS2,且Si+m=9,$3+m=15>Si+號(hào),

S2+^~=f

bl>2J*->36

所以當(dāng)n=1時(shí)，(-1)1%《&+普=9,解得t>-9,

bl

當(dāng)n=2時(shí)，(一1人&$2+?=冬，解得tW冬，

$2JJ

所以9,學(xué)］

11

111bn-byi+l1

（3）證明：由（1）得b=2n2n+2

nlog<Xnlog22n2nV2n(n+1)

222n

V2

因?yàn)?—V2_—<V2

V2n(n+1)2Vn(n+1)Vn(n+1)+Vn(n+1)nVn+1+Vn(n+1)

V2(Vn+1—y/n)1

VnVn+1(Vn+Vn+1)VnVn+1'n+1

&2~^3

所以詈+,?bn—b九+i

A/^2,FT

<+7r餐11

Vn+1?M

…+?^T-卡+卡-

If①）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛aj的前幾項(xiàng)和為&,數(shù)列｛6“｝是等比數(shù)列，a產(chǎn)瓦=1,

S3=63+2,s4=64+2.

（1）求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)4=親+屋,求數(shù)列｛c?｝的前n項(xiàng)和

n-1

【答案】⑴冊(cè)="，bn=2

（2）黑=2"+2言

n+1

【分析】⑴根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得3d+l=q2、6d+2=q3,解之即可求解；

⑵由⑴得C42+2"、結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法和等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式計(jì)算即可求解

n+1

【詳解】⑴設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,數(shù)列也｝的公比為q(qWO),

由Q產(chǎn)1,S3=b3+2,S4—b+2得3d+1=/,6d+2=q',

兩式相除得q=2,

所以3d+1=4,d=1,

xn1

所以an=電+(n—l)d=l+n—l=n,bn=bi(f~—2~.

n(n+1)

（2）由⑴得%=n,Sn=也=2?

2

222

所以c=+b=+2n-r+2「

n》71nn(n+1)n71+1

64、/T22,22,.22l-2nn.n—1

所以￡=1一了+了一至+…+益一+9

n+11-2n+1

題目□□（2024?全國(guó)?模擬fi（測(cè)）已知數(shù)列｛飆｝滿足a1+2a2+3a3+…+九M=伍—1）271.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）若一=2"%，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.

n+3n+2

【答案】⑴冊(cè)=2時(shí)】

2n+1

（2）S=-1

n71+2

【分析】（1）利用數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系構(gòu)造①，②兩式，相減即得數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）求出心，將其裂項(xiàng)后，進(jìn)行求和，消去中間項(xiàng)即得.

n

【詳解】⑴當(dāng)幾=1時(shí)，Q尸1.依題意，Qi+2a2+3Q3+—\-nan=（n—l）2+l①

n

當(dāng)＞2時(shí)，Q1+2Q2+3Q3+—卜（71—l）dn-i=（71—2）21+1②.

①一②得九@=[（九一1）2"+1]—[伍一2）2n1-F1]=,2n

所以冊(cè)=因口二1時(shí)，該式也成立，

故｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為。九=T~\

（2）由（1）知冊(cè)=2"T,由鼠=。,產(chǎn)°可得

n+3n+2

71

n-T2九+1之

b=

n(n+1)(n+2)n+2n+1

則s『（多—等）+（三—專）+（看一方）+…+

2九一i2九一2T2n-12^+12九2。+1

++-1.

nn—1九+1n九+2n+1/TI+2

WtQU（2024?全國(guó)?模擬測(cè)）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足3二%1+3-2出+...+3冊(cè).1+o八=4%n6N*.

（1）求數(shù)列｛飆｝的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=冊(cè)-1,證明：J+1+...+y^V

團(tuán)b2bn9

4,n—1

【答案】（1）廝=

471-1,n>2

（2）證明見解析

【分析】⑴考查每與&的關(guān)系，借助an與又的關(guān)系的解題步驟①a產(chǎn)&，②an=>2）,③檢驗(yàn)

的思想方法進(jìn)行求解即可.

⑵先求出」，再求和3+3+…+4，當(dāng)n>2時(shí)對(duì)」進(jìn)行放縮變形即可求和證明出不等式.

Onblb2bnbn

【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，ai=4;

當(dāng)九>2時(shí)，3"—%]+3k2Q?+…+3%_什冊(cè)=4九①，

3n2a1+3"3a2+…+3。九一2+%-1=4"i②.

n-1

①一3x②得an=4（n>2）,

4,n=1

因?yàn)镼尸4不滿足上式，所以a=

n4n-1,n*

3,n1

⑵由(l)6=a-l=

nn九>2,

因?yàn)?"-1-1=3X4n-2+4,i-2-l>3x4"-2(n>2),所以上<—―(n>2),

n

bn3x4

當(dāng)九=1時(shí)，1-=[■<]；

239

I111111111

當(dāng)九>2時(shí)，:+白+…+4=3++…+H--+...+

1+214九一2

bib2bn34-14-143T/+3\4°4

—Ji*i-/11,4_7

-------X=+1R--------------———

33Tff4-4九一1399

綜上，對(duì)任意的九6N*,F+[+…

bib2bn9

題目適（2024?全國(guó)?模擬fia!）已知數(shù)列｛飆｝的各項(xiàng)均不小于1,前幾項(xiàng)和為$.,的=1,｛2$”一閱是公差

為1的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

^2n+l

（2）求數(shù)列的前幾項(xiàng)和

Si

【答案】（1）Q九=九；

4n2+8n

（）L5+1）2.

【分析】⑴利用前九項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系判定｛QJ是等差數(shù)列，再求通項(xiàng)公式即可.

（2）對(duì)需要求和的數(shù)列先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】⑴由Q1=1,得2S1—Q；=1.

因?yàn)椋?S九一Q，｝是公差為1的等差數(shù)列，所以2s九一點(diǎn)=1+（71—1）=71.

當(dāng)？!>2時(shí)，2s『1—Q"I=n—1.兩式相減，得2&一Q，+Q，_I=1,

所以(Q九-1)2=ttn-1,又。九＞1,所以an-lQyj—1,貝](tnQ九—i1,

所以｛QJ是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，所以an=1+（n-1）=n.

⑵由⑴可知,&==,則號(hào)14(2n+l)]

n2(n+l)2(n+1)2

1

所以數(shù)列的前幾項(xiàng)和黑=4

⑺+1)2

/II-I--I―???—I---------------------------

L222232n25+1)2」

J1114n2+8n

.(九+1)2」m+i)2，

題目H（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛飆｝的首項(xiàng)a尸2,且滿足an+1+an=3x2".

⑴求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知b=—，求使｛晨｝取得最大項(xiàng)時(shí)n的值.（參考值：^2x1.26）

na九

【答案】（1）%=2"

（2）4

【分析】（1）由遞推關(guān)系將已知等式變形為a0+i—2"+i=—（冊(cè)一2"）,即可求出通項(xiàng)；

（2）由已知可設(shè)代入k解不等式組求出即可.

1既2仇：+i

【詳解】（1）因?yàn)轱j+1+斯=3x2",

所以a”+i_2"+i=_（a”_2"）,

又Q尸2,

nn

所以的一2=0,所以an-2=0=an=2.

⑵由⑴有口=2n,

力3r）3

所以勾=國(guó)=9，

QnT

設(shè)口二k時(shí)，鼠最大，

因?yàn)槌?方也=2>仇,.,.卜>1,

所胎以-Jt瓦>瓦--1

"3（k-1）3

即尸下丁/心2（1）3肚-1）

k3（fc+1）312肥>（k+1）3[^2k>k+l

、2k=2fc+1

人/7g4.85

解得《，2T，又kez,

羽匕-3.85

所以k=4,

所以使｛fen｝取得最大項(xiàng)時(shí)n的值為4.

題目逗（2024?遼寧?一模）己知S”為數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，滿足限9鼠+方冊(cè)—血一）且由必如

a.as成等比數(shù)列，當(dāng)n>5時(shí)，an>0.

⑴求證:當(dāng)n>5時(shí)，｛aj成等差數(shù)列；

⑵求｛%｝的前m項(xiàng)和％.

【答案】(1)證明見解析；

fl-(-l)n,l<n<4,nG7V*

⑵S"^yn2—|-n+2,n5,nETV*

【分析】（1）利用M+產(chǎn)S九+1—Sn得到Q九+i和冊(cè)的關(guān)系即可證明；

⑵結(jié)合⑴中結(jié)論得Q九+1+冊(cè)=0（九<5），求出Qi和公比，得到｛QJ通項(xiàng)公式，從而根據(jù)等差和等比數(shù)列前

n項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】（1）;Sn=-^-an+-^-an—l（nETV*）,

,?2Sndn~\~CLn-2,2Sn+i—Q^+I+Q^+I—2,

兩式相減，得2Q九+i=an+1—an+an+1—an,

即（Qn+1+廝）（an+1—an—1）=0.

當(dāng)n>5時(shí)，an>0,an+1—an=1,

/.當(dāng)n>5時(shí)，｛斯｝成等差數(shù)列.

⑵由電=1,解得Q產(chǎn)2或Qi=-1,

又alfa2fa3,甌。5成等比數(shù)列，

/.由⑴得冊(cè)+1+。九=0（九45）,進(jìn)而q=-1,

而a5>0,/.Qi>0,從而。尸2=小，

_J2x(-l)n-1,

"a""ln-3,n>5'

"Sn=—新+2,n>5,九eN*.

題目口63（2024?湖南岳相?三模）已知等差數(shù)列｛%｝滿足：的=2,且ai，a2,a4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）若等差數(shù)列｛aj的公差不為零且數(shù)列｛吼｝滿足：bn=——駕_「求數(shù)列｛fej的前幾項(xiàng)和Tn.

（冊(cè)-1）5+1）

【答案】⑴冊(cè)=2或an=2n;

n

(2)7；=n4-

2n+l

【分析】⑴設(shè)數(shù)列公差，由條件列出方程，求解后運(yùn)用等差數(shù)列基本量運(yùn)算即得;

（2）求出數(shù)列｛幻｝的通項(xiàng)公式，根據(jù)其形式結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆項(xiàng)和裂項(xiàng)，利用分組求和法與裂項(xiàng)求和法即可求得

黑.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,依題意，2,2+d,2+3d成等比數(shù)列，所以（2+d）2=2（2+3d）,

解得d=0或d=2,當(dāng)d=0時(shí)，an=2;當(dāng)d=2時(shí)，an=2+(n—1)X2=2n

所以數(shù)列｛Q/的通項(xiàng)公式為an=2或an=2九

4療

⑵因?yàn)榈炔顢?shù)列｛aj的公差不為零，由⑴知an=2n（nETV*）,則bn=-----粵-----

（an-l）（an+l）(2n-l)(2n+l)

4n2—1+1［工_______1_______i,1（11A

4n2—1（2n—l）（2n+1）22n—12n+l"

所以卜曲+夕卷一;）+…+/（^T——）,

即黑="+5(1——r)=n+n

2n+1

題目互

(2024?湖南?二M)記S九為數(shù)列｛Q/的前n項(xiàng)和，已知nQi+(?i—l)a2H---l-an=2Sn—1.

10

⑴證明:數(shù)列｛SJ是等比數(shù)列；

(2)求最小的正整數(shù)小，使得館>上+2+…+2對(duì)一切九eN*都成立.

flia2an

【答案】(1)證明見解析

⑵7

【分析】(1)用八+1替換已知，再與已知作差，得到S”+產(chǎn)2S”，即可得證；

f2n-2,n>2Ion

(2)由(1)可得a=S—S-i=<，利用錯(cuò)位相減法求出北=---1-----1---1---=7—(n+2)x

nnn［1,71=1ala2an

2?f,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】(1)由題知72al+(九一1)。2+—Fo-n—2szi—1,

=

用九十1替換上式的n,得(?2+1)。1+71。2+—\-(zn+-[2szi+i—1.

兩式作差，?+Q2+—Fan+an+i=Sn+i=2Sn+i—2Sn,即Sn+i=2Sn.

而由1XQI=2$一1,可得51=1。0.

從而｛Sj是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

2『n>2

(2)由(1)得S=2-1，于是?=S「SnT=

nn=l

設(shè)方=工+2+…+旦，則7]=1,

Qia2an

當(dāng)心2時(shí)，7；=1+2X2°+…+nx22f,故+2X2-耳-??+nX21-",

兩式作差,得占方=4+(2-1+2-+…+22-")-nX2一”=+2「一)_nX2f.

2221—2

整理可得7；=7-(n+2)X22f.

故7；V7,又冕=萼>6,因此滿足條件的最小正整數(shù)m■為7.

O

題目@(2024?河北石家莊?二W已知數(shù)列｛4｝滿足a尸7,飆+尸［丁一'廿復(fù)數(shù)'

12amn為偶數(shù).

(1)寫出a2,a3,a4;

(2)證明:數(shù)列｛a2n--6｝為等比數(shù)列；

(3)若bn=a?”,求數(shù)列｛九?(fe?—3))的前n項(xiàng)和Sn.

【答案】(1加2=4,a3=8,a4=5

(2)證明見解析

n

(3)Sn=l+(n-l)-2

【分析】(1)由數(shù)列的遞推式，分別令n=1,2,3,計(jì)算可得所求值；

—

(2)推得a2tl+1—6=2(a2n-i6),由等比數(shù)列的定義，可得證明；

71-1

(3)求得勾=3+2"T,n-(fen-3)=n-2,由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求

和.

【詳解】⑴由a尸7“=［廠34H數(shù)，

(2anln為偶數(shù).

可得a2=a-i—3=4;a3=2a2=8;a4=a3—3=5;

(2)證明：由題可得a2n+i-6=2a2n-6=2a271T—6—6=2(a2n-i-6),

則數(shù)列｛Q2LI—6｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列；

(3)由⑵可得電21—6=2n-,即a2k尸6+T-1,

n1

bn=電/1=^n-i—3—3+2,

???

九?(&“—3)=n-2"T,

前幾項(xiàng)和S0=1?2°+2-243-22+...+n-2"-1,

2S“=l-2+2-22+3-23+...+n-2n,

兩式相減可得一S=1+2'+2?+…+2"-'—n"2"=----r—n,2n,

n1—2

化簡(jiǎn)可得S“=l+(n—1)-2".

題目名(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”,且a?=3,2S“=n(a?+2).

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在九eN*,使得,…+」一>Aan+1成立,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)0n=n+1；

【分析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，求得。尸2,當(dāng)n>3時(shí)，得到2szi_尸(n—l)(an_1+2),兩式相減化簡(jiǎn)得到

芻1=一2(二歹—白丁),結(jié)合疊加法，即可求得數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

7Tz/TL/ThJ.

(2)由(1)得至U—--=—I-----,求得——I—~—I-------1-------=4-----To-,

anan+xn+1n+2a2a3anan+i2n+2

解法1:根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為44--~,結(jié)合一--=------\-----，結(jié)合基本不等式，即可求解;

2(n+2)22(n+2)22(n+'+4)

解法2:根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為---------------J