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文檔簡介

裁利俺味劭IU

題目1(2024?江蘇南通?二設數(shù)列{期}的前n項和為S”,若S『-a“=n2+l,nGN,.

(1)求5,a2,并證明:數(shù)列{a.+an+J是等差數(shù)列;

⑵求S?。.

【答案】⑴QI=4,電=2,證明見解析;

(2)420.

【分析】(1)直接代入72=1可得。1=4,再代入九=2,結(jié)合Q1的值求出電=2;再由Sn—"|~冊="2+1仿寫出

2

Sn_i—^-an-i=(n—1)+1,作差后得到an-\-an-Y~4n—2,即可證明結(jié)果.

(2)由(1)知數(shù)列{Q九+I+M}為等差數(shù)列,然后代入等差數(shù)列的前幾項和公式求解即可.

【詳解】(1)當九二1時,由條件得―1al=2,所以。尸4.

當=2時,由條件得(Qi+電)—}電=5,所以。2=2.

2

因為Sn―^-an—九2+1,所以Sn-i—-^-an.i=(n—l)+l(n>2),

兩式相減得:an-1-anH—^-an-i=2n—1,即an-\-an-i=4n—2,

所以(a九+i+aj—(an+an_!)=[4(n+1)—2]—(4n-2)=4,

從而數(shù)列{QM+Q/為等差數(shù)列.

(2)由⑴知an+an_i=4n-2,

所以an+an+1=4(n+l)—2=4n+2,

所以數(shù)列{QM+Q/為等差數(shù)列,首項為QI+Q2=6,

10x[(ai+a2)+(6X19+^20)]

所以$20=(Q1+Q2)+(Q3+Q4)H--------l-(a+ao)=

1922

所以$20=(4X2-2)+(4X4-2)+…+(4x20-2)=----三-----=420.

趣白團(2024?福建福州?模擬fit測)已知數(shù)列{aj滿足a尸2,a“=a?-1+2n(n>2).

(1)求數(shù)列{%}的通項公式;

(2)記數(shù)列{f-}的前幾項和為S”,證明:Sn<1.

【答案】⑴Q九二/+九,nGN";

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件,利用累加法,結(jié)合等差數(shù)列前九項和公式求解即得.

(2)利用裂項相消法求和即可得證.

【詳解】(1)數(shù)列{冊}中,當口>2時,an=。九_1+2",即an-an-x—2n,

貝Ian—5+(。2-的)+(a3—a2)H---F(an_i—an_2)+(an—an_i)

=2

dn2+4+6+…+(2TZ,-2)+2n=-----——n-\-n,而出=2滿足上式,

所以數(shù)列{冊}的通項公式是冊=/+?1,nEN*.

2

(2)由(1)知an=n+n=n(n+1),九GN*,則」一=——-=------7—,

ann(n+1)nn+1

因此&=萬+5IT+…+7―I-+(

_LxnNXj(n—l)nn(n+1)???

=一?>?…+HL=一二,而">1,則i——c

所以4V1.

[題目|3](2024?全國?模擬覆測)已知數(shù)列{冊}滿足a“+產(chǎn)1115s手且。尸L

(1)求數(shù)列{冊}的通項公式.

(2)求數(shù)列{冊}的前100項和S100.

71—1

22,也為奇數(shù)

【答案】(l)a“=n

2亍一1,九為偶數(shù)

(2)3X250-53

【分析】⑴由遞推公式得,當%CN*,{C^LT}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,令既=a2fc+l,{瓦:}是首項

為2,公比為2的等比數(shù)列,分別求出通項公式即可;

(2)由分組求和,分別計算奇數(shù)項和偶數(shù)項之和,再根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式計算即可.

【詳解】⑴由題意,得當kCN*時,a2k—2a2——1,①

a

2k+l-a2k+1-②

將①代入②,得a2k+i=2a2-1,所以{C^T}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,

所以a2AT=2-L

又因為a2k+2=2a2fc+l-1,

所以Cb2k+2~2。2k+1,所以a2k+2+1=2(。2k+1)?

令瓦=a2fc+l,則bk+1=2bk,而a2=2?-1=1,b產(chǎn)a2+l=2,

所以{瓦}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,

k

所以/=2卜,所以a2k=2-l.

22,?i為奇數(shù)

所以an—n

2虧一1,九為偶數(shù)

(2)Sioo=(di+a3+■,,+?99)+(a2+a4d---Haioo)

=(2°+21+-+249)+(21-1+22-1+-+250-1)

=(2°+21+…+24,+(2斗22+-+250)-50

2x(1-250)

-50

1-2

=3x25°—53.

題目④(2024?浙江寧波?二W已知等差數(shù)列{4}的公差為2,記數(shù)列{bn}的前幾項和為Sn,bx=0也=2

且滿足bn+1=2Sn+an.

⑴證明:數(shù)列?+1}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{a1AJ的前n項和T“.

【答案】(1)證明見解析;

>(2n—1),3n+l

(z2)7;=---------------n(n+1).

【分析】(1)根據(jù)通項與前幾項和之間的關系,作差可得鼠+i=3bn+2,即可利用等比數(shù)列的定義求解,

(2)根據(jù)錯位相減法求和以及分組求解,結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.

【詳解】⑴九>2時,bn+1-bn-2{Sn-Sn.1)+a?-a?_i=2bn+2,即bn+1—3b?+2.

又bi—0,fe2—2,也符合b2—3bi+2,

所以九>1時,bn+1=3bn+2,即bn+i+l=3(6n+l).

又bi+l=l#O所以。+1W0,

所以=3,所以數(shù)列{0+1}成等比數(shù)列.

n-1

⑵由⑴易得bn=3—1.由b2—2瓦+的可得5=2,所以a?=2n.

所以叫工=2n(3n_1-l)=2n-3n-1-2n,

所以£=2(l-30+2?3i+3?32+???+n-3n-1)-n(n+l).

令M=l-3°+2?3i+3?32+■■■+n-T~\

貝I3M=l-31+2-32+3-33+■■■+n-3n,

所以2A/=—(30+3/32++3n-1)+n-3"=n-3"—[二三’=(2"—?4+1

1—32

所以工=2M—n(n+1)=-^―—?~——n(n+1).

題目回(2024?浙江杭州?二W已知等差數(shù)列{冊}的前幾項和為S”,且S4=4S2Q“=2ali+l(nGN*).

(1)求數(shù)列{aj的通項公式;

nQ

(2)數(shù)列出}滿足法=3,令an-bn=an+2-bn+1,求證:匯既</

k=l/

【答案】(1)。九=2n—1(nCN*)

(2)證明見解析

【分析】⑴設等差數(shù)列?。氖醉棡椤?差為d,由題意可得《北;;京^+251川+1,解方

程求出的,d,即可求出數(shù)列{廝}的通項公式;

(2)由(1)可得卜=等二4,由累乘法可求出{&?)的通項公式,再由裂項相消法求解即可.

bn2n+6

【詳解】(1)設等差數(shù)列{QJ的首項為由,公差為d.

4電+6d=8。什4d

由S=4s2,。2九=2a+l,得

4nQi+(2TI—1)(1=2al+2(72—l)d+1

解得:a產(chǎn)l,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n—1(n6N*).

(2)由(1)知,(2n—1)勾=(2九+3)口+1

日口bn+i_2n—1bn_2n—3^n-i_2n-53_5戾_1

bn2n+3'與t2九+l'b時22"一1‘'87'①5

利用累乘法可得:勾=華?鋁與7_2?2—32TZ1—531

篇一2

=----------------------------------------—~i77^-7)(h>2),瓦=3也符合上式,

(2n-l)(2n+l)2V2n-12n+1八

k=l

Eb=61+62+63+—電T+鼠

nk

=發(fā)1—?>?>/+一+(五匕—廝匕)]=和—5*)

所以孰制

題目回(2024?浙江?二W歐拉函數(shù)鼠n)(neN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)九且與九互素的正整

數(shù)的個數(shù),例如:9⑴=1,夕(4)=2,0(8)=4,數(shù)列{Q/滿足冊=0(2")(7ieN*).

(1)求的,。2,電,并求數(shù)列{◎}的通項公式;

(2)記心=(一以陛也,求數(shù)歹11{葭}的前九和S“.

電九

n1

【答案】⑴。產(chǎn)1,02=2,。3=4,an=2~

⑵S+20…

0sL25+25X(—4)”

【分析】(1)根據(jù)題意理解可求的,a2,的,結(jié)合與2"互素的個數(shù)可求數(shù)列{冊}的通項公式;

(2)求出數(shù)列{葭}的通項公式,利用錯位相減法求和即可.

【詳解】⑴由題意可知的=<p(2)=1,a2=P⑷=2,a3=p⑻=4,

由題意可知,正偶數(shù)與2"不互素,所有正奇數(shù)與2"互素,比2"小的正奇數(shù)有2”T個,

所以廝=0(2")=2"T;

21

⑵由⑴知a=3(2")=2"T,所以a2n=弁2巧=2"-,

所以bn==(T)"寫二=(T)"(2九-D1r=(4n-2)(一》",

Sn=8+b2H-----1■隊,

所以Sn=2x(一!?+6X(-j)2+---+(4n-6)x(一十)”—+(4n一2)x(一:)",①

(T)S“=2x(CJ+6x(-:丫+-??+(4n-6)x(一:)”+(4H—2)x(-j)n+1,?

所以①—②得

為產(chǎn)2X(TM(一丹+…+(一打]-(4九-2)x(-j)n+1

n-1n+1

1?1「1(1\l/A0、、,(1\_320n+6

=一了+了[—(—4)j-(4n-2)x(-z)=—而一5x(—4)”

缶—o6?20n+6

所以&=-函+25x54廠

題目可(2024?重慶?模擬f(測)已知數(shù)列{每}滿足為+2a2+3&3+…+九%=(n+1)!,九CN*.

⑴求{廝}的通項公式;

(2)若k<1023且%eN*,記既=01024,討論數(shù)列{尿}的單調(diào)性.

a

k。1024-4

【答案】⑴%=1,n=1

⑺!,2

⑵當14k《512,〈5吐*時,{6:}單調(diào)遞增;當5124141024,左€左"時,{.}單調(diào)遞減

【分析】(1)分兩種情況討論,n=1和n>2,即可求解;

k

(2)先計算出仇和瓦023,當2&k&1022時,計算出-,令—1,再檢驗兩端點,即可得出{既}的單調(diào)

^k-l既-1

性.

【詳解】(1)由已知得,當n=1時,Q產(chǎn)2!=2,

當九>2時,ai+2a2+3a3+—I-(n—l)an+1=n!①,

ai+2a2+3a3+—\-nan=(n+1)!(2),

②一①得,nan=(n+1)!—n!=n?n!,即an=n\,

2,n—1

所以a=

n幾!,2

__a_1_02_4_1024!1024

(2)當a=i時,01=2,既二=512,

araio23—2x1023!—2

01024_1024!_1024

當k=1023時,bk=512,

。1023?。1-2義1023!—2

1024!1024!

,b

當24k&1022時,bk=fc!-(1024-fc)7"L

(fc-I)!-(1025-A;)!

b_1024!(fc-l)!-(1025-A:)!_1025-A;_1025-A:1025

k-1,

既tfc!-(1024-A;)!1024!kkk

顯然,當24%《1023,A;eN*時,單調(diào)遞減,

令卜=1,即工髻-1=1,解得k=512.5,

所以當2Wk4512#eN*時,段」>1,{瓦}單調(diào)遞增,

Ofc-1

又4—詠一

.1023X1024>512=fei,

-2!-(1024-2)!2

所以當14“<512#6"*時,{既}單調(diào)遞增;

當5134k41024,keN*時,#VI,

既—1

q_________1024!________1023x1024

>512=61023

1022-1022!-(1024-1022)!"2~

所以當512&k&1024,kGN*時,{既}單調(diào)遞減.

題目回(2024?河北帝耶?二O已知正項數(shù)列{%}的前九項和為&,a2=3,且屈3=圖+四.

⑴求{廝}的通項公式;

(2)若勾=,求數(shù)列{0}的前幾項和黑.

QTIQTZ+I

【答案】⑴冊=2rb—1

⑵看

2

【分析】(1)首先求出的=1,可證明數(shù)列{圖}為首項為1,公差為1的等差數(shù)列,得到Sn=n,利用an=Sn

—Sn-i得到{冊}的通項公式;

(2)由(1)知,6“=占」=7^普"工p化簡可得勾=1+q(歹\一[7),利用分組求和以及

anan+1(2n-1)(2n+1)2'2九—12九+1,

裂項相消即可求出數(shù)列{口}的前幾項和黑.

【詳解】(1)當71=1時,由y/~S^—y/~S[+即=2,^,解得:Q1=1,

所以屈3—煦=1,則數(shù)列{畫}為首項為i,公差為i的等差數(shù)列;

2

所以y/~S^=",則Sn=n,

22

當九>2時,an=S^—Sn—Fn—(n—1)=2n—1,

當九二1時,Qi=2x1—1=1滿足條件,

所以{an}的通項公式為an=2n—l(nGN*)

(2)由(1)知,bn=-%;,

冊M+i(2n-l)(2n+l)

所以依S=i+號i=i+儂―J(2九+i)=i+L一擊),

故—和/+U+…+—―3)="+和一3)="+謂P

n

即£=n+

2n+1

題目回(2024?福建三明?三模)已知數(shù)列{冊}滿足的g…冊.「冊=(方產(chǎn)"CN*.

(1)求數(shù)列{%}的通項公式;

(2)設數(shù)列{冊}的前幾項和為&,若不等式(一1)氣S,「14WSV對任意的nCN*恒成立,求實數(shù)力的取值范

圍;

1...^-^±i<V2(ne^).

(3)記b=,求證:會+++

nlog2asR

【答案】(1)斯=2"

⑵[—9號]

(3)證明見解析

【分析】⑴當n=1時求出5,九>2時,用冊=,即可求解;

Qi。…a-n-i

(2)由an=2”得出S”,由(T*S.-14WS2得(-1)氣w隹臂,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性及兄的值,即可求

出力得范圍;

(3)由(1)得勾=上,則與組=-=^—-,根據(jù)放縮法得--1一-<

1即可證

2n瓜V2^(n+1)質(zhì)(九+1)Vn+1

明.

【詳解】⑴當?i=1時,ai=(V2)2=2,

(V2)n2+n

、[/、Qn-j-,,a—fc1

當九>2時,a=---------n----rl/皿,=(V2)2n=2???1時成立,

n(n-)+n-

a/@2.??a—(V2)

n

所以an=2.

2(1-2n)

n+1

⑵由飆二2日得,Sn=2-2,顯然打eN*時,S九單調(diào)遞增,S余S1=2,

1-2

由(一1)氣S相一14WS2得,(T)氣4號14,

n口口

又5^+14=s“+導>2714,當且僅當S=會時,即Sn=V14時等號成立,

因為Si=2,Sz=6,$3=14,Si〈UvS2,且Si+m=9,$3+m=15>Si+號,

S2+^~=f

bl>2J*->36

所以當n=1時,(-1)1%《&+普=9,解得t>-9,

bl

當n=2時,(一1人&$2+?=冬,解得tW冬,

$2JJ

所以9,學]

11

111bn-byi+l1

(3)證明:由(1)得b=2n2n+2

nlog<Xnlog22n2nV2n(n+1)

222n

V2

因為1—V2_—<V2

V2n(n+1)2Vn(n+1)Vn(n+1)+Vn(n+1)nVn+1+Vn(n+1)

V2(Vn+1—y/n)1

VnVn+1(Vn+Vn+1)VnVn+1'n+1

&2~^3

所以詈+,?bn—b九+i

A/^2,FT

<+7r餐11

Vn+1?M

…+?^T-卡+卡-

If①)(2024?全國?模擬預測)已知等差數(shù)列{aj的前幾項和為&,數(shù)列{6“}是等比數(shù)列,a產(chǎn)瓦=1,

S3=63+2,s4=64+2.

(1)求{an}和{bn}的通項公式;

(2)設4=親+屋,求數(shù)列{c?}的前n項和

n-1

【答案】⑴冊=",bn=2

(2)黑=2"+2言

n+1

【分析】⑴根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式可得3d+l=q2、6d+2=q3,解之即可求解;

⑵由⑴得C42+2"、結(jié)合裂項相消求和法和等比數(shù)列前幾項和公式計算即可求解

n+1

【詳解】⑴設數(shù)列{冊}的公差為d,數(shù)列也}的公比為q(qWO),

由Q產(chǎn)1,S3=b3+2,S4—b+2得3d+1=/,6d+2=q',

兩式相除得q=2,

所以3d+1=4,d=1,

xn1

所以an=電+(n—l)d=l+n—l=n,bn=bi(f~—2~.

n(n+1)

(2)由⑴得%=n,Sn=也=2?

2

222

所以c=+b=+2n-r+2「

n》71nn(n+1)n71+1

64、/T22,22,.22l-2nn.n—1

所以£=1一了+了一至+…+益一+9

n+11-2n+1

題目□□(2024?全國?模擬fi(測)已知數(shù)列{飆}滿足a1+2a2+3a3+…+九M=伍—1)271.

(1)求數(shù)列{冊}的通項公式;

1

(2)若一=2"%,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

n+3n+2

【答案】⑴冊=2時】

2n+1

(2)S=-1

n71+2

【分析】(1)利用數(shù)列的和與項的關系構(gòu)造①,②兩式,相減即得數(shù)列的通項;

(2)求出心,將其裂項后,進行求和,消去中間項即得.

n

【詳解】⑴當幾=1時,Q尸1.依題意,Qi+2a2+3Q3+—\-nan=(n—l)2+l①

n

當>2時,Q1+2Q2+3Q3+—卜(71—l)dn-i=(71—2)21+1②.

①一②得九@=[(九一1)2"+1]—[伍一2)2n1-F1]=,2n

所以冊=因口二1時,該式也成立,

故{冊}的通項公式為。九=T~\

(2)由(1)知冊=2"T,由鼠=。,產(chǎn)°可得

n+3n+2

71

n-T2九+1之

b=

n(n+1)(n+2)n+2n+1

則s『(多—等)+(三—專)+(看一方)+…+

2九一i2九一2T2n-12^+12九2。+1

++-1.

nn—1九+1n九+2n+1/TI+2

WtQU(2024?全國?模擬測)已知數(shù)列{冊}滿足3二%1+3-2出+...+3冊.1+o八=4%n6N*.

(1)求數(shù)列{飆}的通項公式;

(2)若bn=冊-1,證明:J+1+...+y^V

團b2bn9

4,n—1

【答案】(1)廝=

471-1,n>2

(2)證明見解析

【分析】⑴考查每與&的關系,借助an與又的關系的解題步驟①a產(chǎn)&,②an=>2),③檢驗

的思想方法進行求解即可.

⑵先求出」,再求和3+3+…+4,當n>2時對」進行放縮變形即可求和證明出不等式.

Onblb2bnbn

【詳解】(1)當n=1時,ai=4;

當九>2時,3"—%]+3k2Q?+…+3%_什冊=4九①,

3n2a1+3"3a2+…+3。九一2+%-1=4"i②.

n-1

①一3x②得an=4(n>2),

4,n=1

因為Q尸4不滿足上式,所以a=

n4n-1,n*

3,n1

⑵由(l)6=a-l=

nn九>2,

因為4"-1-1=3X4n-2+4,i-2-l>3x4"-2(n>2),所以上<—―(n>2),

n

bn3x4

當九=1時,1-=[■<];

239

I111111111

當九>2時,:+白+…+4=3++…+H--+...+

1+214九一2

bib2bn34-14-143T/+3\4°4

—Ji*i-/11,4_7

-------X=+1R--------------———

33Tff4-4九一1399

綜上,對任意的九6N*,F+[+…

bib2bn9

題目適(2024?全國?模擬fia!)已知數(shù)列{飆}的各項均不小于1,前幾項和為$.,的=1,{2$”一閱是公差

為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{冊}的通項公式.

^2n+l

(2)求數(shù)列的前幾項和

Si

【答案】(1)Q九=九;

4n2+8n

()L5+1)2.

【分析】⑴利用前九項和與通項公式之間的關系判定{QJ是等差數(shù)列,再求通項公式即可.

(2)對需要求和的數(shù)列先進行化簡,再利用裂項相消法求和即可.

【詳解】⑴由Q1=1,得2S1—Q;=1.

因為{2S九一Q,}是公差為1的等差數(shù)列,所以2s九一點=1+(71—1)=71.

當?!>2時,2s『1—Q"I=n—1.兩式相減,得2&一Q,+Q,_I=1,

所以(Q九-1)2=ttn-1,又。九>1,所以an-lQyj—1,貝](tnQ九—i1,

所以{QJ是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以an=1+(n-1)=n.

⑵由⑴可知,&==,則號14(2n+l)]

n2(n+l)2(n+1)2

1

所以數(shù)列的前幾項和黑=4

⑺+1)2

/II-I--I―???—I---------------------------

L222232n25+1)2」

J1114n2+8n

.(九+1)2」m+i)2,

題目H(2024?安徽?模擬預測)已知數(shù)列{飆}的首項a尸2,且滿足an+1+an=3x2".

⑴求{冊}的通項公式;

(2)已知b=—,求使{晨}取得最大項時n的值.(參考值:^2x1.26)

na九

【答案】(1)%=2"

(2)4

【分析】(1)由遞推關系將已知等式變形為a0+i—2"+i=—(冊一2"),即可求出通項;

(2)由已知可設代入k解不等式組求出即可.

1既2仇:+i

【詳解】(1)因為飆+1+斯=3x2",

所以a”+i_2"+i=_(a”_2"),

又Q尸2,

nn

所以的一2=0,所以an-2=0=an=2.

⑵由⑴有口=2n,

力3r)3

所以勾=國=9,

QnT

設口二k時,鼠最大,

因為仇=方也=2>仇,.,.卜>1,

所胎以-Jt瓦>瓦--1

"3(k-1)3

即尸下丁/心2(1)3肚-1)

k3(fc+1)312肥>(k+1)3[^2k>k+l

、2k=2fc+1

人/7g4.85

解得《,2T,又kez,

羽匕-3.85

所以k=4,

所以使{fen}取得最大項時n的值為4.

題目逗(2024?遼寧?一模)己知S”為數(shù)列{冊}的前n項和,滿足限9鼠+方冊—血一)且由必如

a.as成等比數(shù)列,當n>5時,an>0.

⑴求證:當n>5時,{aj成等差數(shù)列;

⑵求{%}的前m項和%.

【答案】(1)證明見解析;

fl-(-l)n,l<n<4,nG7V*

⑵S"^yn2—|-n+2,n5,nETV*

【分析】(1)利用M+產(chǎn)S九+1—Sn得到Q九+i和冊的關系即可證明;

⑵結(jié)合⑴中結(jié)論得Q九+1+冊=0(九<5),求出Qi和公比,得到{QJ通項公式,從而根據(jù)等差和等比數(shù)列前

n項和公式即可求解.

【詳解】(1);Sn=-^-an+-^-an—l(nETV*),

,?2Sndn~\~CLn-2,2Sn+i—Q^+I+Q^+I—2,

兩式相減,得2Q九+i=an+1—an+an+1—an,

即(Qn+1+廝)(an+1—an—1)=0.

當n>5時,an>0,an+1—an=1,

/.當n>5時,{斯}成等差數(shù)列.

⑵由電=1,解得Q產(chǎn)2或Qi=-1,

又alfa2fa3,甌。5成等比數(shù)列,

/.由⑴得冊+1+。九=0(九45),進而q=-1,

而a5>0,/.Qi>0,從而。尸2=小,

_J2x(-l)n-1,

"a""ln-3,n>5'

"Sn=—新+2,n>5,九eN*.

題目口63(2024?湖南岳相?三模)已知等差數(shù)列{%}滿足:的=2,且ai,a2,a4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{冊}的通項公式;

(2)若等差數(shù)列{aj的公差不為零且數(shù)列{吼}滿足:bn=——駕_「求數(shù)列{fej的前幾項和Tn.

(冊-1)5+1)

【答案】⑴冊=2或an=2n;

n

(2)7;=n4-

2n+l

【分析】⑴設數(shù)列公差,由條件列出方程,求解后運用等差數(shù)列基本量運算即得;

(2)求出數(shù)列{幻}的通項公式,根據(jù)其形式結(jié)構(gòu)進行拆項和裂項,利用分組求和法與裂項求和法即可求得

黑.

【詳解】(1)設數(shù)列{冊}的公差為d,依題意,2,2+d,2+3d成等比數(shù)列,所以(2+d)2=2(2+3d),

解得d=0或d=2,當d=0時,an=2;當d=2時,an=2+(n—1)X2=2n

所以數(shù)列{Q/的通項公式為an=2或an=2九

4療

⑵因為等差數(shù)列{aj的公差不為零,由⑴知an=2n(nETV*),則bn=-----粵-----

(an-l)(an+l)(2n-l)(2n+l)

4n2—1+1[工_______1_______i,1(11A

4n2—1(2n—l)(2n+1)22n—12n+l"

所以卜曲+夕卷一;)+…+/(^T——),

即黑="+5(1——r)=n+n

2n+1

題目互

(2024?湖南?二M)記S九為數(shù)列{Q/的前n項和,已知nQi+(?i—l)a2H---l-an=2Sn—1.

10

⑴證明:數(shù)列{SJ是等比數(shù)列;

(2)求最小的正整數(shù)小,使得館>上+2+…+2對一切九eN*都成立.

flia2an

【答案】(1)證明見解析

⑵7

【分析】(1)用八+1替換已知,再與已知作差,得到S”+產(chǎn)2S”,即可得證;

f2n-2,n>2Ion

(2)由(1)可得a=S—S-i=<,利用錯位相減法求出北=---1-----1---1---=7—(n+2)x

nnn[1,71=1ala2an

2?f,進而得到結(jié)果.

【詳解】(1)由題知72al+(九一1)。2+—Fo-n—2szi—1,

=

用九十1替換上式的n,得(?2+1)。1+71。2+—\-(zn+-[2szi+i—1.

兩式作差,?+Q2+—Fan+an+i=Sn+i=2Sn+i—2Sn,即Sn+i=2Sn.

而由1XQI=2$一1,可得51=1。0.

從而{Sj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

2『n>2

(2)由(1)得S=2-1,于是?=S「SnT=

nn=l

設方=工+2+…+旦,則7]=1,

Qia2an

當心2時,7;=1+2X2°+…+nx22f,故+2X2-耳-??+nX21-",

兩式作差,得占方=4+(2-1+2-+…+22-")-nX2一”=+2「一)_nX2f.

2221—2

整理可得7;=7-(n+2)X22f.

故7;V7,又冕=萼>6,因此滿足條件的最小正整數(shù)m■為7.

O

題目@(2024?河北石家莊?二W已知數(shù)列{4}滿足a尸7,飆+尸[丁一'廿復數(shù)'

12amn為偶數(shù).

(1)寫出a2,a3,a4;

(2)證明:數(shù)列{a2n--6}為等比數(shù)列;

(3)若bn=a?”,求數(shù)列{九?(fe?—3))的前n項和Sn.

【答案】(1加2=4,a3=8,a4=5

(2)證明見解析

n

(3)Sn=l+(n-l)-2

【分析】(1)由數(shù)列的遞推式,分別令n=1,2,3,計算可得所求值;

(2)推得a2tl+1—6=2(a2n-i6),由等比數(shù)列的定義,可得證明;

71-1

(3)求得勾=3+2"T,n-(fen-3)=n-2,由數(shù)列的錯位相減法求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,可得所求

和.

【詳解】⑴由a尸7“=[廠34H數(shù),

(2anln為偶數(shù).

可得a2=a-i—3=4;a3=2a2=8;a4=a3—3=5;

(2)證明:由題可得a2n+i-6=2a2n-6=2a271T—6—6=2(a2n-i-6),

則數(shù)列{Q2LI—6}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列;

(3)由⑵可得電21—6=2n-,即a2k尸6+T-1,

n1

bn=電/1=^n-i—3—3+2,

???

九?(&“—3)=n-2"T,

前幾項和S0=1?2°+2-243-22+...+n-2"-1,

2S“=l-2+2-22+3-23+...+n-2n,

兩式相減可得一S=1+2'+2?+…+2"-'—n"2"=----r—n,2n,

n1—2

化簡可得S“=l+(n—1)-2".

題目名(2024?全國?模擬預測)已知數(shù)列{aj的前n項和為S”,且a?=3,2S“=n(a?+2).

(1)求數(shù)列{冊}的通項公式;

(2)若存在九eN*,使得,…+」一>Aan+1成立,求實數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)0n=n+1;

【分析】(1)當n=1時,求得。尸2,當n>3時,得到2szi_尸(n—l)(an_1+2),兩式相減化簡得到

芻1=一2(二歹—白丁),結(jié)合疊加法,即可求得數(shù)列{冊}的通項公式;

7Tz/TL/ThJ.

(2)由(1)得至U—--=—I-----,求得——I—~—I-------1-------=4-----To-,

anan+xn+1n+2a2a3anan+i2n+2

解法1:根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為44--~,結(jié)合一--=------\-----,結(jié)合基本不等式,即可求解;

2(n+2)22(n+2)22(n+'+4)

解法2:根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為---------------J

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