河南省周口市恒大中學2023-2024學年高二下學期3月月考數(shù)學試題

2023-2024學年高二下學期數(shù)學3月考試卷數(shù)學試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項選擇題（每小題5分，共40分）1．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則滿足時正整數(shù)的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．142．已知是雙曲線上一點，為左、右焦點，且，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則（）A．-3 B．-6C．3 D．64．已知點是棱長為2的正方體的底面上一點（包括邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．若，則此函數(shù)可能是(

)A． B．C． D．6．直三棱柱中，，、分別是、的中點，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．設(shè)曲線在點P(3，2)處的切線與直線平行，則=A．2 B．－2 C． D．二．多項選擇題（每小題5分，共20分，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9．已知拋物線的焦點為，準線為，直線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，則（

）A．若，則 B．C． D．面積的最小值為1610．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為.若雙曲線的離心率，則下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓與直線相切B．C．在直線上D．的范圍是11．如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，則下列各式的值為1的有（

）A． B．C． D．12．若方程所表示的曲線為，則下面四個說法中正確的是（

）A．若，則為橢圓B．若為橢圓，且焦點在軸上，則C．曲線可能是圓D．若為雙曲線，則第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．數(shù)列滿足，且與的等差中項是5，則；14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個實根，則實數(shù)的取值范圍是15．若圓與圓相切，則的值為16．已知數(shù)列的前n項和，則的最大值為.四、解答題（共6小題，共計70分.第17題10分，第18---22題，每題12分）17．在平面直角坐標系中，已知圓O：和圓．(1)若圓O與圓C關(guān)于直線l對稱，求直線l的方程；(2)若圓O上恰有三個點到直線的距離都等于1，求b的值.18．已知圓C經(jīng)過點，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標準方程；(2)過點向圓C引兩條切線PD，PE，切點分別為D，E，求切線PD，PE的方程，并求弦DE的長．19．已知函數(shù)，.求的單調(diào)區(qū)間.20．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，求證：.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，___________從①；②；③數(shù)列是各項和均為正數(shù)遞增數(shù)列，，成等差數(shù)列；這三個條件中任選一個，補充在上面的橫線中，并解答以下兩個問題.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和為22．已知函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的極值；

（2）當時，證明：.參考答案：1．C【分析】根據(jù)可得，，，由此可以求出滿足的正整數(shù)的最小值.【詳解】∵等差數(shù)列的前項和為，且，∴，∴，，故滿足的正整數(shù)的最小值是13.故選：C.2．B【分析】化簡得到或，故當時，或；當時，，得到答案.【詳解】是雙曲線上一點，為左、右焦點，且，則或，當時，或；當時，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：.【點睛】本題考查了必要不充分條件，意在考查學生的推斷能力.3．B【分析】函數(shù)求導，再代值得解【詳解】故選：B4．B【分析】由題設(shè)及向量加法的幾何意義可得、，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律及正方體的性質(zhì)有且，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)，，，∴，又，，∴，而在面上一點（包括邊界），∴，故.故選：B5．B【分析】對四個選項逐項求導即可求解.【詳解】選項A：，故A錯誤；選項B：，故B正確；選項C：，故C錯誤；選項D：，故D錯誤．故選：B.6．C【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得與所成的角的余弦值.【詳解】由題意可知平面，且，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、，，，.故與所成的角的余弦值為.故選：C.7．C【分析】由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列得，從而得，再令，求出的最大值，從而可求解.【詳解】由題意可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故是數(shù)列的最大項，則的取值范圍為，故C正確.故選：C．8．D【分析】根據(jù)除法求導運算，求得曲線的導函數(shù)，進而得到直線的斜率．由兩條直線平行，可得兩條直線斜率相等，因而求得a的值．【詳解】對曲線求導，可得，在點P處切線的斜率為直線方程可化為y＝ax＋1若與直線平行，則兩條直線的斜率相等所以所以選D【點睛】本題考查了曲線求導的基本運算，求過曲線上一點的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題．9．ACD【分析】確定焦點和準線，設(shè)直線為，聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算得到，A正確，，B錯誤，，C正確，，D正確，得到答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線，，設(shè)直線為，則，即，，故，，故，

對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：，當時等號成立，正確；故選：ACD.10．ABC【分析】對于C，結(jié)合三角形內(nèi)球圓以及圓的切線性質(zhì)推得，，即可判斷；對于A，結(jié)合梯形的幾何性質(zhì)推出到距離為，進行判斷；對于B，利用直角三角形相似，推出，結(jié)合離心率，可得的關(guān)系，化簡即可判斷；對于D，設(shè)直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意求得m的范圍，設(shè)直線的傾斜角為，推出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得其范圍，即可判斷.【詳解】設(shè)，其中,設(shè).對于C，過分別作的垂線，垂足分別為，由切線長定理有，則，又因為，所以，又，所以，同理可得，則在直線上，故C正確；對于A，過作的垂線，垂足為，因為，則，設(shè)的中點分別為，則，且，所以，到距離為，則以為直徑的圓與直線相切，故正確.對于B，由過圓外一點的切線性質(zhì)知平分平分，則，在中，.則∽,則，可得，，故B正確；對于D，設(shè)直線方程為，將其與雙曲線聯(lián)立有：，消去得：，則，,又兩點在雙曲線右支，則,設(shè)，又由對稱性設(shè)直線的傾斜角為，其中,則，又當時，，則，則結(jié)合，可得，所以，得，則，，所以，又在上單調(diào)遞增，則，故D錯誤,【點睛】難點點睛：本題綜合考查雙曲線和直線的位置關(guān)系問題，涉及到三角形內(nèi)切圓，雙曲線離心率以及求參數(shù)范圍，綜合性強，難點在于D項的判斷，要結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)以及雙曲線的相關(guān)性質(zhì)求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得其范圍.11．BC【分析】利用空間向量的垂直、數(shù)量積及其運算律運算即可得解.【詳解】正方體中，∴，即，，即，，即，∴，，.對于選項A，，故A錯誤；對于選項B，，故B正確；對于選項C，，故C正確；對于選項D，，故D錯誤；故選：BC.12．BC【分析】根據(jù)橢圓，圓，雙曲線方程的特征，列不等式求解，即可判斷選項.【詳解】方程所表示的曲線為.A.當，取時，方程為，表示圓，錯誤；B.若為橢圓，且焦點在y軸上，則，即，所以B正確；C.時，方程為，表示圓，所以C正確；.若為雙曲線，可得，解得或，所以D錯誤.故選：BC13．【分析】根據(jù)定義得到為等比數(shù)列，公比為2，由與的等差中項是5列出方程，求出首項，從而利用等比數(shù)列的求和公式計算出答案.【詳解】，則為等比數(shù)列，公比為2，又，解得：，所以．故答案為：14．【分析】利用導函數(shù)得到的單調(diào)性，極值和最值情況，進而畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，，故在上單調(diào)遞減，且，當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，且當時，恒成立，畫出的圖象如下：

函數(shù)恰有一個實根，則或，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：15．或【解析】根據(jù)兩圓的方程，先得到圓心坐標和半徑，由兩圓相切，討論內(nèi)切和外切兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為；由整理得，則圓的圓心為，半徑為；因為兩圓相切，若兩圓外切，則有，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則有或，即或（舍），解得.故答案為：或.【點睛】本題主要考查由兩圓相切求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.16．【分析】由數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項公式，寫出的表達式，分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況求得的取值范圍即可得解.【詳解】已知，令，則，解得，當時，，兩式相減，得，即，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，則，，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.，即的最大值為.故答案為：【點睛】已知求步驟：1、先利用求出.2、用n-1替換中的n得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當時的表達式.3、對時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分與兩段來寫.17．(1)(2)【分析】（1）由題意所求直線方程即公共弦方程，兩個圓方程相減即可求解.（2）將原問題轉(zhuǎn)換為圓心到直線的距離等于1，由點到直線的距離公式即可得解.【詳解】（1）由題意圓O：和圓即關(guān)于直線l對稱．兩式相減得，公共弦方程即直線l的方程為.（2）圓O：的圓心為，半徑為，若圓O上恰有三個點到直線的距離都等于1，則圓心到直線的距離等于1，所以，解得.18．(1)(2)或，【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓心在直線上及圓過兩點建立方程求解即可；（2）分切線的斜率存在與不存在分類討論，利用圓心到切線的距離等于半徑求解，再根據(jù)圓的切線的幾何性質(zhì)求弦長即可.【詳解】（1）設(shè)圓心，因為圓心C在直線上，所以

①因為A，B是圓上的兩點，所以，所以，即

②聯(lián)立①②，解得，．所以圓C的半徑，所以圓C的標準方程為．（2）若過點P的切線斜率不存在，則切線方程為．若過點P的切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為，即．由，解得，所以切線方程為．綜上，過點P的圓C的切線方程為或．設(shè)PC與DE交于點F，因為，，PC垂直平分DE，所以，所以所以．19．答案見解析【分析】利用導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及對參數(shù)進行討論即可求解；【詳解】因為，所以，若，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；若，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.20．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用的導函數(shù)的正負情況去討論函數(shù)單調(diào)性即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，并利用其導函數(shù)求得最小值非負，從而證明不等式成立【詳解】（1）由題意知，當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當時，，令，則.令，則在上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以函數(shù)存在唯一的零點，且當時，；當時，.所以當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故，由得：，即，兩邊取對數(shù)得，故.所以，即.【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件中的遞推關(guān)系式化簡計算求解數(shù)列的通項公式即可；（2）根據(jù)題中求得的通項公式化簡數(shù)列通項，再運用分組求和法求解數(shù)列的和可得出結(jié)果.【詳解】（1）選①：∵，當時，，解得.當時，，所以.即.時，又時，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.故數(shù)列的通項公式為：；選②：∵∴當時，，當時，，∴，當時，依然成立.所以；選③：∵數(shù)列是各項和均為正數(shù)遞增數(shù)列，且∴數(shù)列是等比數(shù)列∵，成等差數(shù)列，則即，整理可得解得或（舍去）∴.（2）∵∴∴22．（1）有極大值，函數(shù)有極小值（2）證明見解析【分析】（1）求得導數(shù)，然后通過解不等式確定增區(qū)間，解不等式確定減區(qū)間，則可得極大值和極小值；（2）記，求出其導數(shù)，得到的單調(diào)性和極值，可分和分別證明．【詳解】（1）依題意，，故，令，則或，在單調(diào)遞