附-拉氏變換與拉氏反變換-圖文

附-拉氏變換與拉氏反變換_圖文.ppt南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院一、拉普拉斯變換的定義1、起因例如：常系數(shù)線性微分方程

可見(jiàn)這類微分方程的解無(wú)非是一些像：之類的指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的組合。其中時(shí)間特征量：α、ω微分方程的系數(shù)有關(guān)；幅值：A、B、C初始條件和外部條件有關(guān)。因此，出現(xiàn)了一種直接根據(jù)其系數(shù)和初始條件求解微分方程的方法------拉氏變換法。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院2、拉普拉斯變換的定義

設(shè)有一時(shí)間函數(shù)f(t)[0,∞]或0≤t≤∞單邊函數(shù)，且積分在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)可記為：式中：s=+jω(復(fù)數(shù))，稱為復(fù)頻率或拉氏算子

f(t)稱為原函數(shù)，是t的函數(shù)。

F(s)稱為象函數(shù)，是s的函數(shù)。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院由原函數(shù)求象函數(shù)的變換稱為拉普拉斯變換，記為：由象函數(shù)求原函數(shù)的變換稱為拉普拉斯反變換，記為：即：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院解釋：a)拉氏變換是一種函數(shù)線性積分變換，對(duì)原函數(shù)f(t)存在相應(yīng)象函數(shù)F(s)與之對(duì)應(yīng)；例如：可見(jiàn)拉氏變換可以將高等函數(shù)轉(zhuǎn)換為初等函數(shù)。正如對(duì)數(shù)運(yùn)算可將運(yùn)算等級(jí)降低一樣，如南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院b)拉氏變換和拉氏反變換可以利用公式和圖表簡(jiǎn)化其運(yùn)算，而不必求上述積分運(yùn)算。

3、拉氏變換存在定理

若函數(shù)f(t)滿足下列條件，1）當(dāng)t＜0時(shí)，f(t)=0；2）f(t)是連續(xù)的或只有有限個(gè)極值點(diǎn)，并且能找到適當(dāng)?shù)膕=σ+jω值，使下述積分存在。控制工程中常見(jiàn)的一些函數(shù)一般都能滿足上述條件。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院二、常用時(shí)間函數(shù)的拉氏變換

南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院1、階躍函數(shù)當(dāng)R=1時(shí)，u(t)稱為單位階躍函數(shù)，記為1(t)則:F[1(t)]=1(s)=1/s而：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院2、指數(shù)函數(shù)而：若：3、正弦函數(shù)而：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院4、余弦函數(shù)而：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院5、t的冪函數(shù)

而：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院

南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院常用信號(hào)的拉氏變換南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院常用信號(hào)的拉氏變換南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院常用信號(hào)的拉氏變換三、拉氏變換的主要運(yùn)算定理1、線性定理（疊加定理和比例定理）南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院可見(jiàn)拉氏變換是一種線性變換。2、微分定理南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院推廣：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院特別：利用這一定理可將系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)。例：利用微分定理求f(t)=cosωt的拉氏變換。解：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院則：3、積分定理所以：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院證明：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院推論：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院4、位移定理（復(fù)域位移定理）南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院5、延遲定理（時(shí)域位移定理）南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院對(duì)于右邊第二式這一定理表明，時(shí)間函數(shù)延遲，相當(dāng)于其象函數(shù)乘以時(shí)間因子。例：求方波信號(hào)的拉氏變換。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院由此可得單位脈沖信號(hào)的拉氏變換單位脈沖信號(hào)的定義：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院ｆ（ｔ）

ｔ００ｔδ函數(shù)是一抽象函數(shù)，可視為方波信號(hào)當(dāng)?shù)囊环N極限。6、初值定理南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院證明：由拉氏變換微分定理得：利用此定理可由信號(hào)象函數(shù)求信號(hào)初值。例如：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院7、終值定理南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院利用此定理可求信號(hào)的穩(wěn)態(tài)值。例如：求信號(hào)的穩(wěn)態(tài)值。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院拉氏變換的基本性質(zhì)（1）線性微分積分時(shí)移頻移南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院四、拉普拉斯反變換1、一般公式

上式可由傅里葉變換推導(dǎo)而得，是由F(s)求f(t)的一般公式，右邊積分稱為拉氏反演積分，是一種復(fù)變函數(shù)積分，計(jì)算較困難，但當(dāng)F(s)滿足一定條件時(shí)，可以用留數(shù)的方法來(lái)計(jì)算這個(gè)反演積分，特別當(dāng)F(s)為有理函數(shù)時(shí)，就是將F(s)展開(kāi)為部分分式，再利用拉氏變換表確定其原函數(shù)。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院2、由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對(duì)F(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi)象函數(shù)的一般形式：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院下面分三種情況討論部分分式展開(kāi)法：

a)只含不相同的極點(diǎn)（一級(jí)極點(diǎn)）所以，在已知極點(diǎn)的情況下，關(guān)鍵是求系數(shù)求系數(shù)的方法：Ⅰ、待定系數(shù)法；Ⅱ、利用留數(shù)計(jì)算規(guī)則求解。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院利用留數(shù)計(jì)算規(guī)則Ⅰ：即：則：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院自測(cè)題：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院b)含有共軛極點(diǎn)（一級(jí)極點(diǎn)）

設(shè)：為一對(duì)共軛極點(diǎn)，其余為不相等極點(diǎn)則：其中：用方法a)求取；利用方法a)或利用下式求取。上式是利用上述展開(kāi)式兩邊乘以并令獲得。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院

利用上式還不能進(jìn)行拉氏反變換，必須依據(jù)拉氏變換公式將上式更改為：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院21南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院c)含有r重極點(diǎn)（r級(jí)極點(diǎn)）設(shè)：含有r重極點(diǎn)，其余為不同極點(diǎn)，即其中：運(yùn)用留數(shù)計(jì)算法則Ⅱ計(jì)算，即南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院解釋：用式分別乘以部分分式表達(dá)式得：若令，則上式右邊只剩下；若對(duì)上式對(duì)s求一次導(dǎo)，并令，則上式右邊只剩下，若對(duì)上式對(duì)s求二次導(dǎo)，并令，則上式右邊只剩下，若對(duì)上式對(duì)s求次導(dǎo)，并令，則上式右邊只剩下。南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院解：南昌大學(xué)機(jī)電學(xué)院自測(cè)題