2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第25講 特殊四邊形-正方形與梯形（講義）（原卷版）

第25講特殊四邊形-正方形與梯形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一正方形的性質(zhì)與判定題型01根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度題型02根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長題型03根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積題型04根據(jù)正方形的性質(zhì)求坐標(biāo)題型05與正方形有關(guān)的折疊問題題型06求正方形重疊部分面積題型07利用正方形的性質(zhì)證明題型08添加一個(gè)條件使四邊形是正方形題型09證明四邊形是正方形題型10根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度題型11根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長題型12根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積題型13根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明題型14根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型15與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型16與正方形有關(guān)的動點(diǎn)問題題型17正方形與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題型18正方形與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用題型19正方形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合應(yīng)用題型20正方形與二次函數(shù)綜合應(yīng)用考點(diǎn)二四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系題型01平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系題型02平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定題型03平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)題型04利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定求解考點(diǎn)三梯形的性質(zhì)與判定題型01等腰三角形的性質(zhì)求解題型02等腰三角形的判定求解題型03解決梯形問題的常用方法考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測正方形的性質(zhì)與判定探索并證明正方形的性質(zhì)定理.探索并證明正方形的判定定理.正方形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會考查，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn).其中，正方還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而正方其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視.解答題中考查正方形的性質(zhì)和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．四邊形之間的區(qū)別和聯(lián)系理解矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系.梯形的性質(zhì)與判定理解梯形的概念.考點(diǎn)一正方形的性質(zhì)與判定正方形的定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

正方形的性質(zhì)：1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.3）正方形對邊平行且相等.4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；

5）正方形的兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.【補(bǔ)充】正方形對角線與邊的夾角為45°.正方形的判定：1）平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角；2）矩形+一組鄰邊相等；3）矩形+對角線互相垂直；4）菱形+一個(gè)角是直角；5）菱形+對角線相等.【解題技巧】判定一個(gè)四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角為直角和一組鄰邊相等．正方形的面積公式：a2＝對角線乘積的一半=2S△ABC=4S△AOB.正方形的周長公式：周長=4a題型01根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度【例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E、F、G分別是正方形ABCD的邊AD、BC、AB上的點(diǎn)，連接DG，EF，GF．且EF=DG，DE=2AG，∠ADG的度數(shù)為α

A．α B．2α C．45°-α D【變式1-1】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD中的一點(diǎn)，連接EB、EC、EA、ED，若△EBC為等邊三角形時(shí)，則∠EAD

【變式1-2】（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)，以AB為邊做正方形ABGH，則∠CBG=

【變式1-3】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，延長BC至點(diǎn)F，使得CF=CA，連接AF交CD于點(diǎn)E，則∠AED

題型02根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長【例2】（2024·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接AC，BE，點(diǎn)M,N分別在BE,AC上，且A．322 B．52 C．2【變式2-1】（2022·湖南長沙·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM交CD于點(diǎn)N，若四邊形MOND的面積是4，則A．2 B．22 C．4 D．【變式2-2】（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，邊長分別為2和6的正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連接BD并延長交EG于點(diǎn)T，交FG于點(diǎn)P．則GT=（

A．2 B．22 C．1 D．【變式2-3】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若每個(gè)直角三角形的面積為4，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（

）A．9 B．6 C．1 D．3【變式2-4】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知：正方形ABCD邊長為3，E為直線AD上一點(diǎn)，AE=1，連接CE，CE所在直線與AB所在直線交于點(diǎn)F．則AF=題型03根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積【例3】（2024·重慶大渡口·統(tǒng)考一模）一個(gè)正方形的邊長為2，它的面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式3-1】（2023·廣東汕尾·三模）如圖，大正方形中有2個(gè)小正方形，這兩個(gè)小正方形的面積分別是S1和S2，則S1

A．98 B．89 C．1 D【變式3-2】（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，一塊正方形地磚的圖案是由4個(gè)全等的五邊形和1個(gè)小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段a的長度為10-2，則這塊地磚的面積為（A．50 B．40 C．30 D．20【變式3-3】（2023·河南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）四邊形不具有穩(wěn)定性．四條邊長都確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角的大小發(fā)生變化時(shí)，其形狀也隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，使正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC'D'，如果∠DAD'

A．1 B．34 C．32 D【變式3-4】（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形EFGH拼成一個(gè)大正方形ABCD，連接AF和CH,AF=AB．現(xiàn)隨機(jī)向正方形

題型04根據(jù)正方形的性質(zhì)求坐標(biāo)【例4】（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在正方形ABCD中，已知點(diǎn)A0，3，B5，3．將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α0<α<180°后，點(diǎn)B

A．7，4或5，-2 B．C．5，-2或-1，【變式4-1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖．四邊形ABCO為正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3，將正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C所到位置的坐標(biāo)為（

A．3,-1 B．-1,-3 C．-【變式4-2】（2019·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，將邊長為3的正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A'BC'D',AD與

A．3,1 B．1,3 C．3,【變式4-3】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)為A-2,0，B2,0．半圓與正方形ABCD組成一個(gè)新的圖形，點(diǎn)M為DC（靠近點(diǎn)D）的三等分點(diǎn)，將此組合圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M

A．2+3,-1 B．-2-3,-1 C【變式4-4】（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),tan∠DAO=題型05與正方形有關(guān)的折疊問題【例5】（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將其沿EF翻折，使∠EFC=120°，頂點(diǎn)B恰好落在線段AD上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H．則線段AE

【變式5-1】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為正方形紙片，E是邊CB的中點(diǎn)，連接DE，P是邊CD上一點(diǎn)，將紙片沿著AP折疊，使點(diǎn)D落在DE上的F點(diǎn)處，則DFEF為【變式5-2】（2023·山東泰安·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)統(tǒng)考三模）四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B'處，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為A'，且S△A'

【變式5-3】（2023·安徽池州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，G為AD邊上一點(diǎn)，將△ABG沿BG翻折到△FBG處，延長GF交CD邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作FH∥BC分別交BG，AB，CD于點(diǎn)H，

（1）∠EBG=（2）若FH=12BC【變式5-4】（2023·廣東茂名·三模）如圖，正方形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，得到△AFE，延長EF交邊CD于點(diǎn)(1)求證：DP=(2)若AB=6，求CP【變式5-5】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）（1）如圖1，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，折痕為AE，再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則∠EAF=（2）如圖2，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N．當(dāng)點(diǎn)N恰好落在折痕AE上，則①∠AEF=②若AB=3，求線段（3）如圖3，在矩形ABCD中，AD=nAB，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將矩形ABCD沿AE、AF折疊，點(diǎn)B落在M處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)A、M、G恰好在同一直線上，若BE=1，AB=a，則DFAB題型06求正方形重疊部分面積【例6】（2020·河北·校聯(lián)考二模）在平面上，邊長為2的正方形和短邊長為1的矩形幾何中心重合，如圖①，當(dāng)正方形和矩形都水平放置時(shí)，容易求出重疊面積S=2×1=2．甲、乙、丙三位同學(xué)分別給出了兩個(gè)圖形不同的重疊方式；甲：矩形繞著幾何中心旋轉(zhuǎn)，從圖②到圖③的過程中，重疊面積S大小不變．乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，矩形的兩條長邊與正方形的對角線平行時(shí)，此時(shí)的重疊面積大于圖③的重疊面積．丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經(jīng)過正方形的對角線，此時(shí)的重疊面積是5個(gè)圖形中最小的．下列說法正確的是（

）A．甲、乙、丙都對 B．只有乙對 C．只有甲不對 D．甲、乙、丙都不對【變式6-1】（2023·山東菏澤·校考一模）如圖，兩個(gè)邊長為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)O是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為．【變式6-2】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．設(shè)兩個(gè)正方形重合部分的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，通過探索，我們發(fā)現(xiàn)：無論正方形【變式6-3】（2021·山東臨沂·?？家荒＃┯盟膲K大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為（用含a，b的代數(shù)式表示）．題型07利用正方形的性質(zhì)證明【例7】（2022·天津·天津市雙菱中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，動點(diǎn)F，E以相同的速度分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)C，B運(yùn)動（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動）連接AE，BF，AE與BF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PM∥CD交BC于點(diǎn)M，PN∥BC交CD于點(diǎn)

（1）AE和BF的數(shù)量關(guān)系為；（2）MN長度的最小值為．【變式7-1】（2024·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，點(diǎn)E在射線CD上，AC交BE于點(diǎn)O，GH⊥AB交(1)若D為CE的中點(diǎn)，求證：OE=2(2)求證：AB=【變式7-2】（2022·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，若AB+CE=AE，以

(1)求證：AE與⊙O(2)若正方形的邊長為4，求圖中陰影部分的面積．【變式7-3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，DF與BC交于點(diǎn)M，延長EM交GF于點(diǎn)H，連接CG．

(1)求證：CD⊥(2)若tan∠MEN=(3)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，EM的長能否為12題型08添加一個(gè)條件使四邊形是正方形【例8】（2022·廣西河池·校聯(lián)考二模）一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：a.兩組對邊分別相等

b.一組對邊平行且相等c.一組鄰邊相等

d.一個(gè)角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是：（

）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③【變式8-1】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交O，添加下列條件不能判定矩形ABCD是正方形的是（

）A．AB=BC B．AC=BD C．【變式8-2】（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，AD＝BC，使四邊形ABCD為正方形，下列條件中：①AC＝BD；②AB＝AD；③AB＝CD；④AC⊥BD．需要滿足（）A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④【變式8-3】（2021·山東青島·青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)校考一模）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AD//BC，OA=OC，AC平分∠BAD．欲使四邊形ABCD題型09證明四邊形是正方形【例9】（2022·湖南長沙·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．(1)求證：四邊形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半徑．【變式9-1】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知平行四邊形ABCD，若M，N是BD上兩點(diǎn)，且BM＝DN，AC＝2OM，（1）求證：四邊形AMCN是矩形；（2）△ABC滿足什么條件，四邊形AMCN是正方形，請說明理由．【變式9-2】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AB＝42，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG(1)求證：矩形DEFG為正方形；(2)求證：CE＋CG＝8【變式9-3】（2022·山東棗莊·統(tǒng)考一模）問題解決：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE=AF，DE⊥(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)延長CB到點(diǎn)H，使得BH=AE，判斷題型10根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度【例10】（2023·福建寧德·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使頂點(diǎn)B落在AD上點(diǎn)B'處；再將矩形展平，沿AF折疊，使頂點(diǎn)B落在AE上點(diǎn)G處，連接DE．小明發(fā)現(xiàn)△DEC可以由△AFG繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α【變式10-1】（2021·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則∠BAC與∠DAC的大小關(guān)系為：∠BAC∠DAC（填“＞”，“＝”或【變式10-2】（2021·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan【變式10-3】（2022·廣東佛山·?？家荒＃┮阎築D是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在AB邊上，BE＝BC，過點(diǎn)E作EF∥AC，交BD(1)如圖1，求證：四邊形CDEF是菱形；(2)如圖2，當(dāng)∠DEF=90°，AC=BC時(shí)，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖題型11根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長【例11】（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點(diǎn)D在AC上，且AD=2，點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG=FG時(shí)，線段DEA．13 B．522 C．412【變式11-1】（2022·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF，DF的延長線交BE于H點(diǎn)，若BH＝7，BC＝13，則DH＝．【變式11-2】（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D所示的網(wǎng)格由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為3,6，-3,3，7,-2，則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為

【變式11-3】（2022·四川綿陽·校聯(lián)考一模）在直角△ABC中，∠C=90°，1tanA+1tanB=52，題型12根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積【例12】（2022·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部校考一模）如圖，將圖1中的菱形紙片沿對角線剪成4個(gè)直角三角形，拼成如圖2的四邊形ABCD（相鄰紙片之間不重疊，無縫隙）．若四邊形ABCD的面積為13，中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，則a+b2A．12 B．13 C．24 D．25【變式12-1】（2021·江西·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)O為勾股形ABC（我國古代數(shù)學(xué)家劉徽稱直角三角形為勾股形）的內(nèi)心，其中∠A為直角，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，∠ADO=∠AFO=∠BEO=90°，若BDA．2 B．4 C．3 D．16【變式12-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，在正方形ABCD中，O為AC、BD的交點(diǎn)，△DCE為直角三角形，∠CED=90°，OE=32

A．20 B．22 C．24 D．26【變式12-3】（2022·云南楚雄·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，（1）試判斷四邊形AFDE的形狀，并說明理由；（2）若∠BAC=90°，且AD=2題型13根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明【例13】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF（1）試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；（2）已知BH=7,BC=13【變式13-1】（2021·廣東深圳·校聯(lián)考三模）（1）問題背景：如圖1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求證：△ABE∽△ACD；（2）嘗試應(yīng)用：如圖2，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠BED＝45°，過點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F，連接CF．求BECF（3）拓展創(chuàng)新：如圖3，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是線段CD上一點(diǎn)，以AF為對角線作正方形AEFG，連接DE，BG．當(dāng)DF＝1，S四邊形AEDF＝5時(shí)，則BG的長為．【變式13-2】（2022·遼寧遼陽·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，請直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：BH-②當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，若AB＝3，CE＝1，請直接寫出線段DH的長．【變式13-3】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？级＃┮阎狢D是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD=m，BD=n，△(1)填空：當(dāng)∠ACB=90°，DE⊥①如圖1，若∠B=45°，m=52，則n=②如圖2，若∠B=60°，m=43，則n=(2)如圖3，當(dāng)∠ACB=∠EDF=90°時(shí)，探究S與(3)如圖4，當(dāng)∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6題型14根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題【例14】（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△HBC，點(diǎn)D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點(diǎn)G，延長HE與CD的延長線交于點(diǎn)F，HB=2①∠EDC=135°；②EC2=CD?CF；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式14-1】（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，正方形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別在矩形ABCD的邊

①當(dāng)AE=4時(shí)，S△FGC=16；②當(dāng)S△FGC=17.5時(shí)，AE=5；③當(dāng)A，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，AG:【變式14-2】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E為CD上一動點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥AE，交BC于H，連接AH交BD于點(diǎn)P，過H作HG⊥BD于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①AF=FH，②△CEH的周長是7，【變式14-3】（2023·湖北孝感·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、C重合)，過點(diǎn)E作EF⊥BE交直線CD于F，將線段EF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段GF，連接GA，GB，GC，下列結(jié)論：①EB=EF；②AC⊥GC；③CE

【變式14-4】（2022·遼寧本溪·統(tǒng)考三模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn)，且BE＝2DE，連接AE并延長交CD于點(diǎn)P，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，且CF＝2BF，連接AF交BD于點(diǎn)G，連接EF，PF．下列四個(gè)結(jié)論：①DP＝CP；②S△ABF＝S△FCP；③AE＝EF；④∠DPF＝2∠BGF．其中正確的結(jié)論是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【變式14-5】（2022·遼寧葫蘆島·校聯(lián)考二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是對角線AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，C重合），連接BE,EF⊥BE交CD于點(diǎn)F，線段EF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FG，連接BG．下列結(jié)論：①BE=EF；②∠ACG=90°；③若四邊形BEFG的面積是正方形ABCD面積的一半，則AE題型15與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題【例15】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如圖的方式放置，點(diǎn)A1、A2、A3……An在直線y=-x-1，點(diǎn)C1、C2、C3……Cn在xA．3×2n-C．3×2n-【變式15-1】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)O0,0，A0,1是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，以對角線為邊作正方形，再以正方形的對角線作正方形，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)A8【變式15-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，正方形A0B0C0A1的邊長為1，正方形A1B1C1A2的邊長為2，正方形A2B2C2A3的邊長為4，正方形A3B3C3A4的邊長為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形AnBnCnAn+1，且點(diǎn)A0，A1，A2，A3，…，An+1

【變式15-3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCB1中，AB=3，AB與直線l所夾銳角為60°，延長CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長C1B2交直線l于點(diǎn)【變式15-4】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第三個(gè)正方形FCGH…，按照這樣規(guī)律作下去，第10個(gè)正方形的邊長為．題型16與正方形有關(guān)的動點(diǎn)問題【例16】（2021·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊BA延長線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）且AM<AB，△CBE由△DAM平移得到，若過點(diǎn)E作EH①點(diǎn)M位置變化，使得∠DHC=60°時(shí)，②無論點(diǎn)M運(yùn)動到何處，都有DM=③在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，四邊形CEMD可能成為菱形；④無論點(diǎn)M運(yùn)動到何處，∠CHM一定大于135°以上結(jié)論正確的有（把所有正確結(jié)論的序號都填上）．【變式16-1】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，正方形ABCD的邊長是8，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F是線段DE上不與點(diǎn)D，E重合的一個(gè)動點(diǎn)，連接BF，點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)，則線段AG的最小值為．

【變式16-2】（2023·河南周口·一模）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師與同學(xué)們以“特殊的三角形”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=操作：連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PD，連接DC，如圖2．根據(jù)以上操作，判斷：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，則四邊形ABCD的形狀是；（2）遷移探究①如圖4，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，連接DB，判斷四邊形ABDC的形狀，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，點(diǎn)C都不重合時(shí)，試猜想DC與BC的位置關(guān)系，并利用圖2證明你的猜想；（3）拓展應(yīng)用當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，點(diǎn)C都不重合時(shí)，若AB=4，AP【變式16-3】（2023·浙江·一模）如圖1，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E是邊BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）連結(jié)DE，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為C'，連結(jié)AC'并延長交直線DE于點(diǎn)P、F

(1)填空：DC'=________；(2)如圖2，將題中條件“∠B=60°”改成“∠B=90°”，其余條件均不變，連結(jié)BP，猜想AP(3)在（2）的條件下，連結(jié)AC．①若動點(diǎn)E運(yùn)動到邊BC的中點(diǎn)處時(shí)，求△AC②在動點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動過程中，求△AC題型17正方形與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用【例17】2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1).對于圖形M，給出定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P、Q兩點(diǎn)之間的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d

(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________；(2)設(shè)一次函數(shù)y=-x+3的圖像是直線l，與x①求d(②記兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m和n，若線段PQ在直線l上平移，PQ=2，m<n，d（線段PQ）=【變式17-1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A1，2，B5，2．若一次函數(shù)y=kx-2k≠0的圖象經(jīng)過

【變式17-2】（2019·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=﹣23x+4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（1）當(dāng)t=13秒時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2）在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式；（3）若正方形PQMN對角線的交點(diǎn)為T，請直接寫出在運(yùn)動過程中OT+PT的最小值．題型18正方形與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用【例18】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，反比例函數(shù)y=kx(x>0)圖象經(jīng)過正方形OABC的頂點(diǎn)A，BC邊與y軸交于點(diǎn)D，若正方形OABC的面積為12，A．3 B．185 C．165 D【變式18-1】（2023·吉林長春·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？级＃┤鐖D，已知正方形ABCD的面積為4，它的兩個(gè)頂點(diǎn)B，D是反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象上兩點(diǎn)．若點(diǎn)D

A．3 B．-3 C．2 D．【變式18-2】（2023·浙江溫州·校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，且OAOB=13，以AB為邊向右上方作正方形ABCD．反比例函數(shù)y1=k1x與

【變式18-3】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標(biāo)軸的正半軸上，OD=4，另兩邊與反比例函數(shù)y=kx的圖象分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE=2．過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H

(1)k=(2)當(dāng)四邊形AEGF為正方形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)當(dāng)AE>EG時(shí)，若矩形AEGF∽題型19正方形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合應(yīng)用【例19】（2023·安徽淮北·統(tǒng)考三模）如圖，已知反比例函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象與正方形AEOC的兩邊相交于B，D兩點(diǎn)．若AB=3，直線y=14

【變式19-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，已知點(diǎn)A-6,0、D-7,3，點(diǎn)(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)將正方形ABCD以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時(shí)刻t，使在第一象限內(nèi)點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B'、D'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時(shí)(3)在（2）的情況下，問是否存在y軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q，使得以P、Q、B'、D'四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點(diǎn)【變式19-2】（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知A0,2，B1,0，連接AB，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，直線BD與反比例函數(shù)y=kxk≠0相交于D，E

(1)求k的值及直線DE的解析式；(2)求△DEC【變式19-3】（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)y=ax-3aa≠0的圖象與反比例函數(shù)y=-24xx>0的圖象交于點(diǎn)Mm,-4，與y軸交于點(diǎn)(1)求m的值和線段AB的長；(2)求反比例函數(shù)y=題型20正方形與二次函數(shù)綜合應(yīng)用【例20】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，邊長為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，二次函數(shù)y=-x2+bx(1)求b，c的值；(2)若將該拋物線向下平移m個(gè)單位，使其頂點(diǎn)落在正方形OABC內(nèi)（不包括邊上），求m的取值范圍．【變式20-1】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象交點(diǎn)為A（-1，0），(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)C為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長度的最大值；(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【變式20-2】（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=m6x2-2m3x+m(（1）當(dāng)m=1時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)Q（a，b）在二次函數(shù)y=m6x2（3）在第一象限內(nèi)，以AB為邊作正方形ABCD．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；②若該二次函數(shù)的圖象與正方形ABCD的邊CD有公共點(diǎn)，請直接寫出符合條件的整數(shù)m的值．【變式20-3】（2020·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖1，二次函數(shù)y=-13x2（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖2，y1=23x與二次函數(shù)y（3）如圖3，直線y2=4與二次函數(shù)y=-13x2+bx+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），過A（4）如圖4，在（3）的條件下，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個(gè)單位長度勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AD勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)立即原速返回，當(dāng)動點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t>0）．過點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，問：以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形？若能，請直接寫出t考點(diǎn)二四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)四邊形邊角對角線對稱性平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱矩形對邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對角線互相平分且相等軸對稱、中心對稱菱形對邊平行且四條邊都相等對角相等兩條對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角軸對稱、中心對稱正方形對邊平行且四條邊都相等四個(gè)角都是直角兩條對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角軸對稱、中心對稱3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定四邊形邊角對角線平行四邊形1）兩組對邊分別平行2)兩組對邊分別相等3)一組對邊平行且相等兩組對角分別相等兩組對角線互相平分矩形1）平行四邊形+一直角2）四邊形+三直角平行四邊形+兩條對角線相等菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等2）四邊形+四條邊都相等平行四邊形+兩條對角線互相垂直正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形題型01平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系【例1】（2021·福建寧德·統(tǒng)考一模）如圖，在反映特殊四邊形之間關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)圖中，①②③④表示需要添加的條件，則下列描述錯誤的是（）A．①表示有一個(gè)角是直角 B．②表示有一組鄰邊相等C．③表示四個(gè)角都相等 D．④表示對角線相等【變式1-1】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖推理中，空格①②③④處可以填上條件“對角線相等”的是（

）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③【變式1-2】（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）在平行四邊形的復(fù)習(xí)課上，小明繪制了如下知識框架圖，箭頭處添加條件錯誤的是（

）

A．①：對角線相等 B．②：對角互補(bǔ) C．③：一組鄰邊相等 D．④：有一個(gè)角是直角題型02平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定【例2】（2023·廣東佛山·校考一模）給出下列判斷，正確的是（

）A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D．有一條對角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形為菱形【變式2-1】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的兩動點(diǎn)，且

A．平行四邊形→菱形→矩形→平行四邊形 B．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形C．平行四邊形→菱形→正方形→菱形 D．平行四邊形→矩形→菱形→平行四邊形【變式2-2】（2023·浙江·一模）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)O為對稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B移動，移動到點(diǎn)B停止，作射線EO，交邊CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（

）

A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形 D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形【變式2-3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是正方形 B．當(dāng)C．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)【變式2-4】（2021·云南·統(tǒng)考一模）設(shè)A,B,①四邊形ABCD可以是平行四邊形；②四邊形ABCD可以是菱形；③四邊形ABCD不可能是矩形；④四邊形ABCD不可能是正方形．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【變式2-5】（2020·北京·?？寄M預(yù)測）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），對于任意矩形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中，①存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是．題型03平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)【例3】（2020·湖南長沙·二模）菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對角線相等且互相平分 B．對角線相等且互相垂直C．對角線互相平分 D．四條邊相等【變式3-1】（2023·江蘇無錫·無錫市民辦輔仁中學(xué)校考一模）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-2】（2023·江蘇無錫·校考三模）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對邊平行 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角互補(bǔ)【變式3-3】（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測）矩形具有而菱形也具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相平分 B．對角線相等 C．四邊相等 D．對角線互相垂直題型04利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定求解【例4】（2023·江西南昌·?？级＃?shù)學(xué)小組將兩塊全等的含30°角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，并通過平移對特殊四邊形進(jìn)行探究．如圖1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，將Rt△BCD

A．先是平行四邊形，平移3個(gè)單位長度后是菱形B．先是平行四邊形，平移3個(gè)單位長度后是矩形，再平移23個(gè)單位長度后是菱形C．先是平行四邊形，平移3個(gè)單位長度后是矩形，再平移33個(gè)單位長度后是正方形D．在Rt△【變式4-1】（2023·廣東廣州·廣州市番禺區(qū)市橋星海中學(xué)?？家荒＃?）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)【問題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長BC到點(diǎn)H，使CH=【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE【變式4-2】（2023·江蘇南通·?？既＃?）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點(diǎn)，求證：（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8，AB=6，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點(diǎn)，延長BF交CD邊于點(diǎn)H，且（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點(diǎn)，∠D=60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC

【變式4-3】（2023·廣東深圳·深圳市龍崗區(qū)深圳中學(xué)龍崗初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）在一次小組合作探究課上，老師將正方形ABCD和正方形AEFG按如圖所示的位置擺放，連接BE和DG，請直接寫出線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系______，位置關(guān)系______；

【類比探究】（2）若將“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE=3，AG=4，如圖，點(diǎn)E、D、G三點(diǎn)共線，點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，若AD=

【拓展延伸】（3）若將正方形ABCD和正方形AEFG改成菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如圖3，AD=5，AC=6，AG平分∠DAC，點(diǎn)P在射線AG上，在射線AF上截取AQ，使得AQ=35AP，連接PQ

【變式4-4】（2023·河南信陽·?？既＃┚C合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

操作判斷(1)操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，然后將紙片展開；操作二：依次將邊AB，CD折到對角線AC上，折痕分別為AE，CG，使點(diǎn)B，D分別落在對角線AC上的點(diǎn)F，H處，將紙片展開，連接EH，F(xiàn)G．根據(jù)以上操作，易得出結(jié)論：四邊形EFGH的形狀是______．遷移探究(2)如圖2，將正方形紙片換成矩形紙片，按照（1）中的方式操作，繼續(xù)探究．①小明認(rèn)為此時(shí)四邊形EFGH的形狀仍然符合（1）中的結(jié)論，你認(rèn)為小明的說法正確嗎？請說明理由；②小亮認(rèn)為可以通過改變矩形AB與BC的比值，讓四邊形EFGH成為菱形，你認(rèn)為小亮說法正確嗎？請簡述理由．拓展應(yīng)用(3)在（2）的條件下，若AB=6，當(dāng)F，H分別是線段AC的三等分點(diǎn)時(shí)，請直接寫出四邊形EFGH【變式4-5】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以AD，CD為邊，在矩形ABCD外側(cè)作正方形ADEF和CDMN（點(diǎn)B，A，F(xiàn)在同一直線上，點(diǎn)B，C，N在同一直線上）．連接FN，取FN的中點(diǎn)P，連接BP．求證：BP⊥FN，

解決問題：(1)請你解答老師提出的問題．?dāng)?shù)學(xué)思考：(2)受到老師所提問題的啟發(fā)，“興趣小組”又提出了一個(gè)新問題：如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形∠DAB≠90°

(3)“智慧小組”所提的問題是：如圖，四邊形ABCD是菱形，分別以AD，CD為邊，在菱形外側(cè)作正方形ADEF和CDMN．連接BD并延長，交FN于點(diǎn)P．若∠DAB=30°，F(xiàn)N=6

【變式4-6】（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點(diǎn)．求證：（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為A