備考2024年中考數(shù)學專題突破（全國通用）專題3-1 二次函數(shù)中的10類定值、定點問題（原卷版）

專題3-1二次函數(shù)中的10類定值、定點問題二次函數(shù)背景下的定值與定點問題，解析法類似于高中，但并不超綱！因為解題方法比較特殊，同學們要專門學習和練習，才能在考場上應對自如，這些方法包括聯(lián)立、轉(zhuǎn)化等，對同學們的代數(shù)功底與幾何功底都有較高的要求.TOC\o"1-4"\n\h\z\u知識點梳理一、定值問題二、定點問題題型一面積定值2022·山東淄博·中考真題2023·福建廈門三模題型二線段長為定值2024屆湖北天門市九年級月考2024屆福建龍巖市統(tǒng)考期中2020·西藏·中考真題題型二線段和定值2023廣州市二中月考2022·四川巴中·中考真題2024屆湖北黃石市·九年級統(tǒng)考2023·四川樂山·統(tǒng)考二模2023·海口華僑中學考模2023·江蘇徐州·4月模擬2022·湖南張家界·中考真題題型三加權線段和定值2023·四川廣元·中考真題2020·四川德陽·中考真題題型四線段乘積為定值2023·四川南充·中考真題2024屆·武漢市東湖高新區(qū)統(tǒng)考2024屆福建省福州屏東中學月考2024屆福州市晉安區(qū)統(tǒng)考2023·福建福州·?？既ｎ}型五比值為定值2023年廣西欽州市一模2023福建廈門一中模擬2023年福州市屏東中學中考模擬武漢·中考真題題型六橫（縱）坐標定值2023·湖北潛江、天門、仙桃、江漢油田·中考真題2024屆湖北潛江市初12校聯(lián)考題型七角度為定值2023·成都武侯區(qū)西川中學三模四川樂山·統(tǒng)考中考真題題型八其它定值問題2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模2024屆福建省南平市統(tǒng)考2023年湖北省武漢市新觀察中考四調(diào)題型九結合韋達定理求定點2023年湖北省武漢市外國語學校中考模擬2024屆武漢市青山區(qū)九年級統(tǒng)考2024屆武漢市新洲區(qū)12月統(tǒng)考2024屆·福建廈門市第九中學期中2023·武漢光谷實驗中學中考模擬2023廣東省梅州市九年級下期中2024屆福州市九校聯(lián)盟期中2023年湖北省武漢市新觀察中考四調(diào)題型十已知定值求定點2024屆武漢市洪山區(qū)九年級統(tǒng)考2024屆湖北省武漢市新洲區(qū)九年級上期中2023年廣州市天河外國語學校中考三模知識點梳理一、定值問題一般來說，二次函數(shù)求解幾何線段代數(shù)式定值問題屬于定量問題，方法采用:1.參數(shù)計算法：即在圖形運動中，選取其中的變量(如線段長，點坐標)作為參數(shù),將要求的定值用參數(shù)表示出，然后消去參數(shù)即得定值。2.韋達定理法：當涉及到直線(一次函數(shù)圖象或x軸)與二次函數(shù)交點時，先聯(lián)立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韋達定理可得到交點橫坐標與參數(shù)的關系，可以將要求的定值代數(shù)式用交點橫坐標的和或積表示，往往會剛好抵消掉參數(shù)，則得到定值。簡單的引例1如下：若線段AB＝x＋2，線段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即線段AB與線段PQ的和等于9，是一個定值．

簡單的引例2如下：求證不論m取任何實數(shù)，二次函數(shù)y＝x2－2（m＋1）x＋m（m＋2）的圖象與x軸的兩個交點之間的距離d為定值。通過令y＝0，可以求得方程的兩個實數(shù)根分別為x1＝m，x2＝m＋2，則兩個交點之間的距離d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一個定值二、定點問題函數(shù)的解析式中除自變量外，還有待定的系數(shù)，此時函數(shù)的圖象會隨著待定的系數(shù)的變化而變化。圖象變化過程中，有時始終會經(jīng)過某個固定的點，定點問題是一個難點。方法：使待定的系數(shù)k失去影響力【例】證明：無論k取何值，拋物線都經(jīng)同一定點.第一步：先找出所有含k的項，再提公因式k第二步：令與k相乘的因式為0，此時k就不起作用了令，此時在一個函數(shù)中，知x可求y，這個坐標就是定點，故無論k取何值，函數(shù)都經(jīng)過定點總結：因為當x取某個值時，使含k項全部抵消了，即k不起作用了!【例2】（2022·山東日照真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點A（3，0）．證明：無論m為何值，拋物線必過定點D，并求出點D的坐標；【思路點撥】將拋物線的解析式變形為：y=－x2+m（2x+3），進而根據(jù)2x+3=0，求得x的值．【詳解】證明：∵y=-x2+m（2x+3），∴當2x+3=0時，即時，，∴無論m為何值，拋物線必過定點D，點D的坐標是【例3】（2022·江蘇連云港·真題）已知二次函數(shù)，其中．求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限【思路點撥】先根據(jù)頂點坐標公式求出頂點坐標為，然后分別證明頂點坐標的橫縱坐標都小于0即可；【詳解】解：由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點在第三象限．題型一面積定值2022·山東淄博·中考真題如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），頂點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

(1)求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)設直線AP，BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E，F(xiàn)，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．2023·福建廈門三模已知拋物線經(jīng)過點．(1)求拋物線的解析式及其頂點的坐標．(2)將點向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點，若點為拋物線上的一個動點，則以線段為直徑的圓與直線交于點，，的面積是否為定值？若是，求出它的值；若不是，請說明理由．

題型二線段長為定值2024屆湖北天門市九年級月考如圖，已知拋物線的頂點為A，且經(jīng)過點．

(1)求頂點A的坐標；(2)如圖，將原拋物線沿射線方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

2024屆福建龍巖市統(tǒng)考期中已知，拋物線的對稱軸為直線，拋物線與軸的另一個交點為A，頂點為．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，設直線（k≠0）與拋物線交于兩點，點關于直線的對稱點為，直線與直線交于點，求證：的長為定值．

2020·西藏·中考真題在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣2，0)，B(4，0)兩點，交y軸于點C，點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖乙，過A，B，P三點作⊙M，過點P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點E．點P在運動過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．

題型二線段和定值2023廣州市二中月考已知拋物線與x軸交于A、B兩點，頂點為C，連接，點P在線段下方的拋物線上運動．

如圖，直線，分別與y軸交于點E，F(xiàn)，當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．2022·四川巴中·中考真題如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點，交軸于點，為拋物線頂點，直線垂直于軸于點，當時，．(1)求拋物線的表達式；(2)點是線段上的動點（除、外），過點作軸的垂線交拋物線于點，如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于、兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．2024屆湖北黃石市·九年級統(tǒng)考如圖，拋物線過點，點，點，直線l為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交x軸于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動點，過點Q作直線分別交直線l于點M，N，在點Q的運動過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

2023·四川樂山·統(tǒng)考二模如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，點是軸上方拋物線上的一個動點，過作軸于，交直線于．(1)求二次函數(shù)表達式及頂點的坐標；(2)設拋物線對稱軸與軸交于點，連接交對稱軸于，連接并延長交對稱軸于，證明的值為定值，并求出這個定值．

2023·?？谌A僑中學考模如圖1，拋物線交x軸于點和點，交于y軸點C，F(xiàn)為拋拋物線頂點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式(2)直線EF垂直于x軸于點E，點P是線段BE上的動點（除B、E外）過點P作x軸的垂線交拋物線于點D，連接DA、DQ,如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點．試問：是否為定值？如果是，請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由．

2023·江蘇徐州·4月模擬如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，其對稱軸交x軸于點H，點C是拋物線在直線上方的一個動點（不含A，B兩點）

(1)求a，m的值；(2)若直線、分別交該拋物線的對稱軸于點E、F，試問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

2022·湖南張家界·中考真題如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線的頂點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點的坐標；(2)拋物線的對稱軸與軸交于點，點是點關于點的對稱點，點是軸下方拋物線圖像上的動點．若過點的直線與拋物線只有一個公共點，且分別與線段、相交于點、，求證：為定值．

題型三加權線段和定值2023·四川廣元·中考真題如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

2020·四川德陽·中考真題如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

題型四線段乘積為定值2023·四川南充·中考真題如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．

2024屆·武漢市東湖高新區(qū)統(tǒng)考如圖1，拋物線與x軸于交，兩點，交y軸于點C，連接，點D為上方拋物線上的一個動點，過點D作于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，將拋物線沿y軸翻折得到拋物線，拋物線的頂點為F，對稱軸與x軸交于點G，過點的直線（直線除外）與拋物線交于J，I兩點，直線分別交x軸于點M，N.試探究是否為定值，若是，求出該定值：若不是，說明理由．

2024屆福建省福州屏東中學月考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（其中），交軸于兩點（點在點的左側），交軸負半軸于點．

(1)求點的坐標；(2)如圖，平面上一點，過點作任意一條直線交拋物線于兩點，連接，分別交軸于兩點，則與的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

2024屆福州市晉安區(qū)統(tǒng)考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C．

(1)求二次函數(shù)解析式；(2)如圖，平面上一點，過點E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點，連接、，分別交y軸于M、N兩點，則與的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

2023·福建福州·?？既Ｈ鐖D，直線：交軸于點，交軸于點，點在軸上，，經(jīng)過點，的拋物線：交直線于另一點．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線與軸的另一個交點為，過點的任意直線（不與軸平行）與拋物線交于點、，直線、分別交軸于點、，是否存在的值使得與的積為定值？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．

題型五比值為定值2023年廣西欽州市一模定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖，拋物線與拋物線組成一個開口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點M，N（點M在點N左側），與y軸的交點分別為點，．

(1)求出點M，N的坐標和拋物線的解析式；(2)點P是x軸上方拋物線上的點，過點P作軸于點E，交拋物線于點Q，試證明：的值為定值，并求出該定值；∴的值為定值，該定值為2

2023福建廈門一中模擬如圖，拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于兩點．(1)求拋物線的解析式：(2)點為第四象限拋物線上一動點，點橫坐標為，直線與交于點，連接．如圖，直線與拋物線交于點，連接．問：是否為定值？若是，請求出這個定值：若不是，請說明理由．

2023年福州市屏東中學中考模擬已知拋物線與直線有且只有一個公共點．(1)求這條拋物線的解析式；(2)將該拋物線沿直線沿左上方平移個單位后得到拋物線C，點A是拋物線C上的的任意一點，且點A在第一象限的拋物線上，點A的橫坐標為m，A和B兩點關于原點對稱，過點A作軸，垂足為點D，連接交拋物線于M、N兩點（點M在點N的右側）．①用含m的式子表示直線的解析式；②設直線與直線與x軸分別交于P、Q兩點，求證：為定值．

武漢·中考真題拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，－3）、B（4，0），求該拋物線的解析式；（2）如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

題型六橫（縱）坐標定值2023·湖北潛江、天門、仙桃、江漢油田·中考真題如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結果）(2)如圖2，若動直線與拋物線交于兩點（直線與不重合），連接，直線與交于點．當時，點的橫坐標是否為定值，請說明理由．

2024屆湖北潛江市初12校聯(lián)考如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B左側），與y軸交于點C，點A的坐標為，對稱軸為直線．點P是x軸上一動點，軸，交直線于點M，交拋物線于點N．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點M在線段上運動（點M與點A、點C不重合），點D是射線上一動點，連接、，直線、分別交拋物線于E、F，連接，當平分時，點D的橫坐標是否為定值，請說明理由．

題型七角度為定值2023·成都武侯區(qū)西川中學三模如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，其頂點為．直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側）．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標；(2)當線段被拋物線的對稱軸分成長度比為的兩部分時，求的值；(3)連接，，試探究的大小是否為定值．若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

四川樂山·統(tǒng)考中考真題如圖1，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）直線l繞點A以AB為起始位置順時針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止，l與線段BC交于點D，P是AD的中點．如圖2，過點D作DE垂直x軸于點E，作DF⊥AC所在直線于點F，連結PE、PF，在l運動過程中，∠EPF的大小是否改變？請說明理由；

題型八其它定值問題2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，其中，連結．(1)求點C的坐標及此拋物線的表達式；(2)當時，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，直接寫出n的取值范圍．

2024屆福建省南平市統(tǒng)考拋物線與軸相交于兩點，且，點為拋物線在第一象限上的點，頂點為為坐標原點．(1)若點時，求的值；(2)直線：交軸于點，直線交軸于點，求證：為定值．

2023年湖北省武漢市新觀察中考四調(diào)已知拋物線與軸交于、兩點點在左側．

(1)，、分別交拋物線于、兩點，的解析式為點在第一象限，的解析式為，直接寫出的值點在第三象限；(2)在（1）的條件下，若，求證：一定與定直線平行

題型九結合韋達定理求定點2023年湖北省武漢市外國語學校中考模擬拋物線，（）交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），C是拋物線的頂點．

(1)當時，直接寫出A，B，C三點的坐標；(2)如圖，將拋物線平移使其頂點為（0，1），點P為直線上的一點，過點P的直線，與拋物線只有一個公共點，問直線是否過定點，請說明理由．

2024屆武漢市青山區(qū)九年級統(tǒng)考已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；(2)如圖，M、N是拋物線上異于B、C的兩個動點，若直線與直線的交點始終在直線上．求證：直線必經(jīng)過一個定點，并求該定點坐標．

2024屆武漢市新洲區(qū)12月統(tǒng)考拋物線：與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．

(1)直接寫出點A，B，C的坐標；(2)如圖，將拋物線平移得到拋物線，使其頂點為原點，過點的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點（點E在點F的上方），過點E作直線的平行線交拋物線于另一點M，連接，求證：直線必過一定點．

2024屆·福建廈門市第九中學期中已知拋物線關于直線對稱，且過點．(1)求拋物線的解析式；(2)過的直線和直線均與拋物線有且只有一個交點．①求的值；②平移直線，，使平移后的兩條直線都經(jīng)過點，且分別與拋物線相交于G、H和P、Q兩點，若M、N分別為，的中點，證明直線經(jīng)過定點

2024屆·武漢市武珞路中學期中已知過點的直線：與拋物線：的圖象交于點，，點在軸上，拋物線與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)將拋物線平移使得其頂點和原點重合，得到新拋物線，過