隨機(jī)變量及其分布第3節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

隨機(jī)變量及其分布第3節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)REPORTING目錄隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義常見的分布函數(shù)分布函數(shù)的計(jì)算方法分布函數(shù)的應(yīng)用PART01隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義REPORTINGWENKUDESIGN分布函數(shù)是描述隨機(jī)變量取值概率的函數(shù)，其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閇0,1]。對于任意實(shí)數(shù)x，分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量取值小于或等于x的概率。對于離散型隨機(jī)變量，分布函數(shù)是其概率質(zhì)量函數(shù)的積分；對于連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)是其概率密度函數(shù)的積分。010203分布函數(shù)的定義010203分布函數(shù)具有非負(fù)性，即對于任意實(shí)數(shù)x，有F(x)>=0。分布函數(shù)具有歸一性，即F(+∞)=1，F(xiàn)(-∞)=0。分布函數(shù)是單調(diào)非減的，即對于任意實(shí)數(shù)x1<x2，有F(x1)<=F(x2)。分布函數(shù)的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)對于離散型隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)為F(x)=∑P(X=xi)，其中i為所有可能取值的下標(biāo)。離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在其取值點(diǎn)上可能存在跳躍，即F(x)在xi處可能不連續(xù)。VS對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)為F(x)=∫(-∞到x)f(t)dt，其中f(t)為X的概率密度函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)的，即在任意點(diǎn)x上，F(xiàn)(x)都存在且連續(xù)。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)PART02常見的分布函數(shù)REPORTINGWENKUDESIGN離散型隨機(jī)變量的常見分布當(dāng)從有限總體中不放回地抽取n個(gè)樣本，且總體中包含的某一特定類別的個(gè)體數(shù)為m，則從總體中抽取的樣本中屬于該類別的個(gè)體數(shù)服從超幾何分布。超幾何分布當(dāng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，且重復(fù)獨(dú)立進(jìn)行n次，則成功次數(shù)服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布當(dāng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，且這個(gè)隨機(jī)變量在時(shí)間趨于無窮時(shí)，其期望值和方差都趨于已知的常數(shù)，則這個(gè)隨機(jī)變量服從泊松分布。泊松分布連續(xù)型隨機(jī)變量的常見分布如果一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是關(guān)于其均值對稱的鐘形曲線，且具有標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯函數(shù)形式，則該隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。指數(shù)分布如果一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是λe^(-λx)，其中λ>0，則該隨機(jī)變量服從指數(shù)分布。均勻分布如果一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是常數(shù)f(x)=1/b-a，其中a≤x≤b，則該隨機(jī)變量服從均勻分布。正態(tài)分布PART03分布函數(shù)的計(jì)算方法REPORTINGWENKUDESIGN計(jì)算方法對于離散型隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)F(x)可以通過以下公式計(jì)算：$F(x)=P(Xleqx)$。舉例假設(shè)隨機(jī)變量X的取值為-1、0、1，其分布函數(shù)為：$F(x)=0,x<-1$；$F(x)=0.5,-1leqx<0$；$F(x)=1,xgeq0$。定義離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是累積概率，表示隨機(jī)變量取值小于或等于某一數(shù)值的概率。離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算計(jì)算方法對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)F(x)可以通過以下公式計(jì)算：$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，其中f(t)是隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)。定義連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)累積概率，表示隨機(jī)變量取值小于或等于某一數(shù)值的概率。舉例假設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=2x，其分布函數(shù)為：$F(x)=int_{0}^{x}2tdt=t^2|_{0}^{x}=x^2$。PART04分布函數(shù)的應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的概率特性，包括取值范圍、概率密度等。描述隨機(jī)變量的概率特性通過分布函數(shù)，可以計(jì)算隨機(jī)變量取任意值的概率。計(jì)算概率多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率可以通過它們的聯(lián)合分布函數(shù)來描述。確定聯(lián)合概率在概率論中的應(yīng)用數(shù)據(jù)建模分布函數(shù)用于數(shù)據(jù)建模，幫助我們理解數(shù)據(jù)的分布特征。假設(shè)檢驗(yàn)通過比較理論分布和樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)分布的參數(shù)，如均值、方差等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)評估分布函數(shù)用于評估投資或金融活動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，如股票價(jià)格、收益率等。資產(chǎn)定價(jià)