《反證法》參考課件1

2.2直接證明與間接證明

2.2.2反證法復習1.直接證明的兩種根本證法：綜合法和分析法2.這兩種根本證法的推證過程和特點：由因導果執(zhí)果索因3.在實際解題時，兩種方法如何運用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法條件結論分析法結論條件〔1〕如果有5只鴿子飛進兩只鴿籠，至少有3只鴿子在同一只鴿籠，對嗎？〔2〕A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。那么C在撒謊嗎？為什么？分析:假設C沒有撒謊,那么A、B都撒謊.由A撒謊,知B沒有撒謊.那么假設C沒有撒謊不成立,那么C必定是在撒謊.這與B撒謊矛盾.思考？

把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明注：反證法是最常見的間接證法，同一法也是一種間接證法.一般地，假設原命題不成立〔即在原命題的條件下，結論不成立〕，

經過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，

這樣的證明方法叫做反證法。理論反證法的證明過程：否認結論——推出矛盾——肯定結論，即分三個步驟：反設—歸謬—存真反設—假設命題的結論不成立；存真—由矛盾結果，斷定反設不成立，從而肯定原結論

成立。歸謬—從假設出發(fā)，經過一系列正確的推理，得出矛盾；用反證法證明命題的過程用框圖表示為：肯定條件否認結論導致邏輯矛盾反設不成立結論成立反證法的根本步驟：〔1〕假設命題結論不成立，即假設結論的反面成-------立；〔2〕從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；〔3〕從矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結------論正確歸繆矛盾：〔1〕與條件矛盾；〔2〕與已有公理、定理、定義矛盾；〔3〕自相矛盾。應用反證法的情形：

(1)直接證明困難;(2)需分成很多類進行討論．〔3)結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”---類命題；〔4〕結論為“唯一”類命題；：一個整數的平方能被2整除，求證：這個數是偶數。證明：假設a不是偶數，那么a是奇數，不妨設a=2n+1(n是整數)∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1∴a2是奇數，與矛盾?！嗉僭O不成立，所以a是偶數。注：直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。例題說明：常用的正面表達詞語及其否認：正面詞語等于大于（>）小于(<)是都是否定正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的至多有n個任意兩個否定不等于小于或等于〔≤〕大于或等于〔≥〕不是不都是至少有兩個一個也沒有某個某些至少有n＋1個某兩個例2：不可能成等差數列注：否認型命題(命題的結論是“不可能……”，“不能表示為……”，“不是……”，“不存在……”，“不等于……”，“不具有某種性質”等)常用反證法解題反思：證明此題時，你是怎么想到反證法的？反證法中歸謬是核心步驟，此題中得到的邏輯矛盾是什么？

例2

求證：是無理數。假設不成立，故是無理數。練一練：練習：例3a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。證：由于a≠0，因此方程至少有一個根x=b/a，注:結論中的有且只有(有且僅有)形式出現,

是唯一性問題,常用反證法如果方程不只一個根，不妨設x1,x2〔x1≠x2)是方程的兩個根.例4：x>0,y>0，x+y>2，求證：中至少有一個小于2。分析：所謂至少有一個,就是不可能沒有,要證“至少有一個”只要證明它的反面“兩個都”不成立即可.注:“至少”、“至多”型命題常用反證法練習：1、實數a，b，c滿足0<a,b,c<1，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同時大于1/4．3、a+b+c>0，ab+ac+bc>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0．小結1.反證法是一種間接證明的方法，是解決某些“疑難”問題的有力工具，其根本思路是：假設結論不成立→構設矛盾→否認假設肯定結論.2.反證法主要適用于以下兩種情形：〔1〕所證的結論與條件之間的聯系不明顯，直接有條件推出結論線索不清晰；〔2〕從正面入手需要分成多種情形進行討論，而從反面證明，只要研究一種或很少的幾種情形.歸納總結三個步驟：反設—歸謬—存真歸繆矛盾：〔1〕與條件矛盾；〔2〕與已有公理、定理、定義矛盾；〔3〕自相矛盾。

一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），

經過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，

這樣的證明方法叫做反證法?！?〕直接證明有困難正難那么反!哪些命題適宜用反證法加以證明？牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”

〔3〕唯一性命題〔2〕否認性命題〔4〕至多，至少型命題歸納總結反思1：用反證法證題的一般步驟是什么？〔1〕假設命題的結論不成立；即假設結論的反面成立?！?〕從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；〔3〕由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。假設結論反面成立正確推理導出矛盾否定假設肯定結論1、用反正法證明時，導出矛盾有那幾種可能？〔1〕與原命題的條件矛盾；〔3〕與定義、公理、定理、性質矛盾；〔2〕與假設矛盾?！?〕難于直接使用條件導出結論的命題；〔2〕唯