2023-2024學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z=當(dāng)，i為虛數(shù)單位，則IZI=()

1—1

A.2√2B.2√3C.2√5D.2√6

【正確答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得z,然后求得∣z∣.

+=(2+6i(1+i)=(1+3i)(1+i)=2+4i,

【詳解】z=nnn+i?2~

UT以ι+ι)2

∣z∣=√4+16=2√5.

故選：C

2.已知集合A={x∈Z∣χ2-x-2≤θ},集合B=卜卜=Jl-IOg2X卜則AB=()

A.[-1,2]B.(1,2]C.{1,2}D.{-1,1,2}

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，先將集合AB化簡(jiǎn)，然后根據(jù)交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳={xeZ,-x-2≤θ}={xeZ∣-l≤x≤2}={-l,O,l,2}

B=卜卜，=JI-Iog2X卜則I-Iog爐20且χ>0,則可得8={x∣0<x≤2}

所以AB={1,2}

故選:C

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=ex+e~xB.y=ln(∣x∣+1)

sinX1

c?產(chǎn)可D?y=L1

【正確答案】D

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷奇偶性，利用函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性即可.

【詳解】Aj(T)=eτ+e'=e'+eτ=∕(x),是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤;

B.∕(-x)=ln∣-Λ∣+l=ln∣x∣+l=∕(x),是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤;

Cj(T)=羋P=書?=-"X)是奇函數(shù)，但在(0,+s)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故錯(cuò)誤；

Γx??x?

Dj(-x)=r+』=/x+」=-f(x)是奇函數(shù)，且y=x和y=-L在(0,+s)上均為增函數(shù)，故》

X?XJX

=X—?■在(0,+8)上為增函數(shù)，故正確.

X

故選：D

本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4334

A.——B.—C.一D.-

3443

【正確答案】A

【分析】利用公式變形化弦為切求出sin2α,cos2α,代入求值.

【詳解】因?yàn)閠anl=-7,

.2sinacosa2tana74

所以§血2。=2§血］?0§。=——；------；—_2_

Siira+cos~atan26z+l^49+l^^^25

C-).?>cos2ar-sin2a1-tan2a_1-49_24

cos2a=cos^<2-sιn^a--------------；—=-----,

cos-a+sin^^al+tan2a1+49-25

_24

..cos2a4

∣?----------=一?=——.

l+sin2a173

25

故選：A

5.已知“、6為兩條不同的直線，a、〃為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若a1/b,bua,則“〃α

B.若aua,baβ,allb,則a〃￡

C.若a///?,aua,則a〃￡

D.若a"β,aua,buβ,則a〃A

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：若a∕∕A,bua,則//a或aua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若aua,buβ,“//"則a〃￡或a與4相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若a"β,αuα,則〃///，故C正確；

對(duì)于D：若a"β,αuα,bu/3,則α∕∕Z?或。與/?異面，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.已知非零向量α,b滿足(α+2b)J.(α-26),且向量2在向量d方向的投影向量是，則向量d與

4

h的夾角是()

A.tB.?C,?D.生

6323

【正確答案】B

【分析】由垂直關(guān)系得出回=2忖，由向量〃在向量d方向的投影向量得出Aeos(ɑ/)=:,由兩式

得出CoS(a,b)=g,進(jìn)而得出夾角.

【詳解】因?yàn)?α+2b)JL(d-2?),所以(α+26)?(α-2?>)=同'-4忖一=0,即同=2W①.

因?yàn)橄蛄糠皆谙蛄喀练较虻耐队跋蛄渴遣罚訵CoS《力>向=+.

所以匕cos,,》=；②,將①代入②得，CoS(4,6>=g,又，㈤《。,藥，

所以(α,B)=g.

故選：B

7.已知正方形4BCf>的邊長(zhǎng)為2,尸為正方形ABCo內(nèi)部(不含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足尸4PB=O,

則CROP的取值范圍是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【正確答案】D

【分析】通過(guò)建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)P(X,y),得到P的軌跡方程，最后得到CPOP的表達(dá)式，

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.

【詳解】以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下直角坐標(biāo)系;

yl

?c

..中,

ABx

則A(T,0),6(1,0),C(l,2),O(T2),

設(shè)P(x,y),則PA=(-l-x,-y),PB=(l-x,-y),

則PA?P3=-(l-χ2)+y2=o,

即V+y2=],則％2_]=_丫2,其中TVX<1,O<y≤l,

貝IJCP=(XTy-2),0P=(X+l,y-2),O<y≤l

則CpZ)P=x2_]+(y_2)2=_y2+(y_2)2=-4y+4e[0,4),

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)的定義域是R,函數(shù)/(x+l)的圖象的對(duì)稱中心是(TQ),若對(duì)任意的4,

?∈(0,+∞),且占≠z,都有受"“三"(」>0成立,/(1)=1,則不等式/(χ)-X>O的解集為

x?~x2

()

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.(-1,1)

C.(→3o,-l)<j(0,l)D.(-l,θ)u(l,-κo)

【正確答案】D

【分析】利用函數(shù)/(x+l)的圖象的對(duì)稱中心是(T,0)可得/(X)是R上的奇函數(shù)，由

rf(χ}-xf(x)fιχ?

"可得ΛI(xiàn)x2n,故可得g(x)=叢又在(。,+8)上單調(diào)遞增，然后分

%-Xy>UX

X1-X2

x=0,x>0和XVo三種情況進(jìn)行求范圍即可

【詳解】因?yàn)?(χ+l)是“X)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,且函數(shù)/(X+1)的圖象的對(duì)稱中心是(T,0),

所以“X)的圖象的對(duì)稱中心是(0,0),故〃X)是R上的奇函數(shù)，所以〃-1)=—”1)=—1,

對(duì)任意的七，?∈(o,+∞),且X產(chǎn)X2,都有XJa);")>0成立,

X\~X2

/(x,)/(X,)

所以當(dāng)〃士)7"(占)=石馬>0，

xx

xlx2(?~ι).^1-X2

令g(Λ-)=/⑷，所以根據(jù)單調(diào)性的定義可得g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

X

由“X)是R上的奇函數(shù)可得g(χ)是(y,0)U(0,一)上的偶函數(shù)

所以g(χ)在(-∞,O)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X=O時(shí)，不等式/(X)—X>O得到0—0>0,矛盾；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)-x>O轉(zhuǎn)化成/區(qū)>1=2≡即g(x)>g⑴，所以χ>l;

X1

當(dāng)x<0時(shí)，/(“一工>0轉(zhuǎn)化成上<1=^1,g(x)<g(-1),所以T<x<0,

X-1

綜上所述，不等式/(χ)-χ>o的解集為(T,0)7(l,4W)

故選:D

二、多選題

9.已知∣°gl”<∣°gl',則下列不等式一定成立的是()

22

C.ln(α-?)>OD.y-h>1

【正確答案】BD

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得a>b>0,再結(jié)合不等式性質(zhì)、指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題設(shè)a>6>0,則?k<J,A錯(cuò)誤；3"?>3°=1,D正確；

ab

由(J)<(J)<(g)'B正確；由于°—b與1的大小未知，C錯(cuò)誤；

故選：BD

10.已知函數(shù)/(x)=SinlX+t)cosx+cos(龍+《｝inx,則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)=sin∣2x+?^I

B.X培是?"x)圖象的一條對(duì)稱軸

C./O)的最小正周期為兀

D.將/(X)的圖象向左平移2個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

O

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)兩角和公式得到/(x)=sin(2x+￡),即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)

1≠±1,即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)周期公式即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D,根據(jù)三

角函數(shù)平移公式和函數(shù)的奇偶性即可判斷D正確.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,

f(X)=Sin(X+《卜OSJr+cos(x+仁卜ar=Sin[X+x+?^?)=sin(2x+^),

故A正確：

/'f-^-‰sinf2×-?+->l=sin-=—≠±1,故B錯(cuò)誤；

(⑵I126)32

2TT

對(duì)選項(xiàng)C,T=-=π,C正確；

將/(X)的圖象向左平移,個(gè)單位后得g(x)=sin∣^2(γ)+弓=sin0x+?∣)=CoS2x,

定義域?yàn)镽,8(-?)=cos(-2x)=cos2x=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于，軸對(duì)稱，D正確.

故選：ACD

11.在.A6C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且4$1116005。+45汨。(：053=癡0/4,且4=5,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.一ABC的外接圓的半徑為逑

3

B.若.43C只有一個(gè)解，則h的取值范圍為OV人<4或6=辿

3

C.若NB為銳角，則C的取值范圍為

D..4?C面積的最大值為46

【正確答案】AD

【分析】首先利用三角恒等變換求α=4,再根據(jù)正弦定理判斷A；

根據(jù)三角形的個(gè)數(shù)，建立不等式，判斷B；

求角C的范圍，利用正弦定理求c,并求C的取值范圍，判斷C；

利用余弦定理，結(jié)合基本不等式求兒的最大值，即可判斷D.

【詳解】因?yàn)?si∏βcosC+4sinCcosB=asinA,

所以4sin(B+C)=4sinA=αsinA,SinAR0,

所以4=4,

a4

因?yàn)锳=q,所以SinA百,解得：R=Wg,故A正確；

2

B.若一ABC只有一個(gè)解，則從inA=0或α≥b>0,

得b=∣石或()<6≤4,故B錯(cuò)誤；

C.因?yàn)榻荁為銳角，Bw(θ,?∣),所以C=萬(wàn)一A-B=g-8,

/-、asinC4sinC8._

(π2π]c=--------=——7=^=-=rsιnC

所以C∈[%,}~J,sinA?/??j/?,

所以ce(gG,∣G,故C錯(cuò)誤；

22222

D.a=b+c-2bccosA=b+c-bc=16≥bc,當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立,

所以=-hcsnA=he<

S4Λ?AΛZR>C2?44?，∕3,

所以.48C面積的最大值為46,故D正確.

故選：AD

12.已知正方體ABCO-A4GR的棱長(zhǎng)為2(如圖所示)，點(diǎn)M為線段CG(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，由

點(diǎn)A,Dt,M確定的平面為ɑ,則下列說(shuō)法正確的是()

A.平面α截正方體的截面始終為四邊形

B.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，三棱錐A-ARM的體積為定值

C.平面α截正方體的截面面積的最大值為4及

^41

D.三棱錐A-4。M的外接球表面積的取值范圍為γπ,12π

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，運(yùn)動(dòng)變化思想，函數(shù)思想，即可分別求解.

【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，當(dāng)M與C點(diǎn)重合時(shí)，平面ɑ截正方體的截面為.ARC,錯(cuò)誤；

對(duì)B選項(xiàng)，?.?CC∣∕∕OR,又CG（Z平面AADI,OAU平面A∣AR,

.?.CG，平面A∣AR,又點(diǎn)"為線段CG（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，

??.M到平面AAR的距離為定值，又YAR的面積也為定值，

.?.三棱錐A-ARM的體積為定值，正確；

對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)M由C移動(dòng)到C1的過(guò)程中，利用平面的基本性質(zhì)，延長(zhǎng)AM交OC于G,連接AG交BC

于K,

所以，從C到G之間，平面α截正方體的截面為AKMR為等腰梯形，且KM//AR,

當(dāng)M與G重合時(shí)，截面為矩形ABGA,此時(shí)面積最大為4應(yīng)，正確；

3G

對(duì)D選項(xiàng)，如圖，分別取左右側(cè)面的中心E,F,則EF垂直于左右側(cè)面,

根據(jù)對(duì)稱性易知：三棱錐A-A。M的外接球的球心。在線段EF上，

設(shè)M到尸的距離為X,則

設(shè)。尸=/,則OE=2T,又易知ED?=G.,外接球。的半徑R=OR=OM,

在RtAREO與Rt尸O中，由勾股定理可得：：+(2T)=R-，兩式相減得：/=生/,

t+X=/?24

+X2,令機(jī)=丁，Xx∈[∣,√2],P∣lj∕n∈[l,2],

/、2，

.八2?6—m\tn~÷4m+36r?i

..R-=1-^—1+m=-------?--------,Wie[11,2],

設(shè)函數(shù)/(〃?)=史士史上史，[∣,2],則/(，〃)的對(duì)稱軸為機(jī)=-2,的開口向上，

16

"⑻在[1,2]上單調(diào)遞增，最小值為/⑴=3最大值為〃2)=3,即

Io[_1。_

.?.三棱錐A-AD陽(yáng)的外接球表面積S=4兀Κ屋^π,12π,正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=SinX+2x+m在區(qū)間恒)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是

【正確答案】(-1—n,0)

【分析】先利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷得了(χ)在(og)上都單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理得到

/(0)<0

>0,解之即可得解?

【詳解】因?yàn)閥=sinx與y=2x+根在［o,費(fèi)上都單調(diào)遞增,

Ro,熱上單調(diào)遞增,

因?yàn)?(x)=SinX+2x+zn在區(qū)間嗚上有零點(diǎn),

Sino+2x0+加<0

/(o)<om<0

所以,ππ八，即

佃mHsin—+2×-÷∕∏>01+π+加>0'

22

解得一1一兀<m<0,

所以實(shí)數(shù)777的取值范圍為（-1-兀,0）.

故答案為.（—1-兀,0）

14.如圖，一是用斜二測(cè)畫法得到的AAOB的直觀圖，其中。A=2,OE=3,則AB的長(zhǎng)度為

【正確答案】2回

【分析】把直觀圖還原為原平面圖形，根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度即可.

【詳解】把直觀圖VA'0'8'還原為,AOB,如圖所示：

根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知A=O4'=2,03=203'=2x3=6,

所以AB的長(zhǎng)度為AB=JoA2+OB2=√4+36=2√10.

故答案為.2√I6

15.一ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、C若（為一C）COS3=6COSC,JΞL?=√3,W∣JABC

周長(zhǎng)的最大值為.

【正確答案】3√3

【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得CosB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角8的

值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得α+c的最大值，即可得出一ABC周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】因?yàn)?2。-C)COS3COSC,由正弦定理可得(2SinA-Sine)CoS5=sinBcosC,

所以，2sinAcos8=sin3CoSC+cosBsinC=sin(5+C)=sinA,

因?yàn)锳、B∈(0,π),貝IJSinA>0,所以，CoSJB=g,故呂=］，

由余弦定理可得3=b2=a2+c2-24ccosB=a2+c2-cιc=(a+c)2-3ac

“a+"一3("c)心支,

v,、

44

所以，(4+c)2≤12,BPα+c≤2√3,故α+h+c≤3√L

當(dāng)且僅當(dāng)α=c=百時(shí)，等號(hào)成立，故一ABe周長(zhǎng)的最大值為3百.

故答案為.36

16.函數(shù)int(x)是計(jì)算機(jī)程序中一個(gè)重要函數(shù)，它表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，例如

int(-3.9)=Y,int(24)=2,已知函數(shù)/(x)=Jbg〈。團(tuán)〉。，且“≠l),若〃x)的圖像上恰

有3對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)。的最小值為.

【正確答案】∣∕0.2

【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)f(x)的圖像，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，列出不等式,

即可求得結(jié)果.

/、fx-int(x),x>O,

【詳解】根據(jù)題意，作出函數(shù)〃X)=IzV<八(。>°，且α≠l),的圖像，如圖所示，

logu(-x),x<0

要使/(x)的圖像上恰有3對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

則函數(shù)y=T°g"X=logIX與V=X-int（x）,（x>0）的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn)，

a

O<a<?

則log,4<l,解得太

a

Iog15≥1

a

所以實(shí)數(shù)“的最小值為千，

故答案為:

方法點(diǎn)睛：解答此題要根據(jù)函數(shù)解析式的特征作出圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方法，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，即可解決.

四、解答題

17.已知函數(shù)F（X）=tan,-2）.

⑴求尼）的值;

⑵設(shè)a4兀毛），若/6-不）=2,求sin（a+：）和tan2α.

【正確答案】（I）I

,??.（兀］3√10,?_4

（2）sincc4—I=---------,tfan2a——

［4）103

【分析】（I）根據(jù)解析式直接求出答案;

（2）由條件可得tan0=2,然后求出Sina,cosα的值，然后根據(jù)和差公式和倍角公式可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)榻鈞）=tan（3x-：｝所以/（力=tan（g-：）=ta吟=1；

（2）因?yàn)?（］_：）=tan（a_7t）=tana=2,

所以Sina=2cosα,

13?sin2cr+cos2a=?ya€卜費(fèi)），所以可解得Sina=CoSa=~~~,

α+c°Sa）=旦3√5λ3√10

72^V

2tana44

tan2a---=—

l-tan2a1-43

2一

18.如圖，在ABC中，Ao=WAB,點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)。，設(shè)CA=

CB=b.

(1)用α,b表:示CD,EF；

(2)如果AC=2,且C。求BC.

3211

【正確答案】⑴。=丁+丁，EF=-b--a

(2)3

【分析】(1)結(jié)合圖形，結(jié)合向量加，減，和數(shù)乘，即可用基本表示向量;

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，利用CDEF=O,即可求解.

2

【詳解】(1)因?yàn)?。=WA8,

CD=CA+AO=CA+-AB=CA+—(C6-CA)=」CA+—C6=，+—b

55、75555

EF=CF-CE=-CB--CA=-b--a↑

3232

(2)因?yàn)镃DLEF,所以8.所=(|"河(>-；4=0,

所以小L得/=0,由忖=2,可得W=3,

所以BC的長(zhǎng)為3.

19.如圖，在JIBC中，AC=4√2.C=工，點(diǎn)。在邊BC上，cosZADB=^-.

63

⑴求40的長(zhǎng);

(2)若AA5E)的面積為2√∑,求AB的長(zhǎng).

【正確答案】(I)AD=3

(2)AB=3

【分析】(1)根據(jù)三角形中鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，COSZADB=P由平方關(guān)系得SinZAoC,再結(jié)合正弦定理

即可求得AQ的長(zhǎng)；

(2)由AABO得面積可得sinZΛOC=SinNAQB=2也，再結(jié)合余弦定理即可求得AB的長(zhǎng).

3

【詳解】(1)因?yàn)镹A￡)3+NADC=Tt,所以CoSZAZ)C=-CoSNADB=-；

在44￡>C中，因?yàn)镹AZ)CG(O,π)

所以sinZADC=Jl-COSZQC=??

?nAC

在AABO中，由正弦定理得，——

SinCsinZADC

4√2×'

AC-sinC_____2__o

所以A。=2√2T

sinZADC

(2)AABD的面積為2&，W?05?OAsinZADB=2√2

因?yàn)閆ADB+ZADC=π,所以SinZADC=sinZ.ADB=

3

又因?yàn)锳D=3,所以84=2

在ZVlBO中，由余弦定理得AB?=rvV+oB2—2ZM?O8?cosNAOB=32+22-2x3x2xg=9

所以AB=3.

20.如圖，在三棱錐尸-ABC中，TlBC是正三角形，PAL平面ABC,RE,F分別為尸AP3,PCk

的點(diǎn)，且普=2=嚕=:.已知AB=6,AP=9.

/LJ/C-/?z?

(1)設(shè)平面DEFc平面ABC=/,證明：/「平面PBC；

(2)求五面體。底尸-ABC的體積.

【正確答案】(1)見解析：

(2)25>A?

【分析】(1)首先證明EFHBC,則有EFU平面ABC,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到EFHl,貝IJ得

到線面平行；

(2)根據(jù)相似得S

【詳解】3)因?yàn)槎?正,所以E尸〃BC,

因?yàn)锽CU平面ABC,EF?t平面ABC,

所以EF〃平面ABC,

又平面Z)EFC平面ABC=l,EFu平面DEF,所以EFHl,

又MU平面PBClB平面PBC,所以W平面PBC,

ppPFAD11

(2)因?yàn)椤?北=嗯="所以S/"=*SPBC

1LJ/c∕?rjy

222

vvV

所以VD-PEF=?A-PEF=萬(wàn)A-PBC=~P-ABC

25

所以五面體DEF—ABC的體積VZ=VP_ABC~VD-PEF=王jVp-ABC

因?yàn)樨?=3362*爭(zhēng)9=27百,所以丫=25百

21.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=2,BC=6,Ar)=CD=4.

(1)當(dāng)四邊形ABC。內(nèi)接于圓。時(shí)，求角C；

(2)當(dāng)四邊形ABC。的面積最大時(shí)，求對(duì)角線3。的長(zhǎng).

【正確答案】(I)C=W

(2)BD=2√7

【分析】(1)根據(jù)A+C=π,結(jié)合余弦定理求解即可；

_—SinA+3sinCc,2

(2)結(jié)合余弦定理和面積公式得4一'',進(jìn)而得±-=6-6CoS(A+C),再根據(jù)三角函數(shù)

2=3cosC-cosA16

性質(zhì)得A+C=兀時(shí)，S有最大值，結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】(1)解：連接30,由余弦定理可得：

BD2=AB2+AD2-2AB?AD?cosA=2?+4?-2X2X4XcosA,

BD2=BC2+CD2-2BCCDCOSC=42+62-2×4×6×COSC,

所以20-16COSA=52-48CoSC.

又四邊形ABCZ)內(nèi)接于圓0,

所以A+C=π,

所以20-16cos(π-C)=52-48cosC,

化簡(jiǎn)可得CoSC=；,又Ce(0,τr),

JT

所以C=].

(2)解：設(shè)四邊形ABa)的面積為S,

則S=S2加+SRm=LA8-A￡bsinA+L8C-C￡)-sinC,

八YZλAθi√ZAioLZ√22'

又=AB?+AD2-2A5?AO?cosA=BC2+CL>2-28C?8?COSC,

11IrS

~S=—×2×4sinA÷-×4×6sinC—=sinΛ+3sinC

所以J22,即J4,

22+4^-2×2×4cosA=42+62-2×4×6cosC[2=3CoSC-Ce)SA

C2C2

平方后相力口得出+4=10+6SinAsinC-6cosAcosC,即—=6-6cos(A+C),

又A+Ce(0,2π),

Q2

所以A+C=π時(shí)，二有最大值，即S有最大值.

16

此時(shí)，A=π-C,代入2=3COSC-COSA得CoSC=-.

2

又Ce(0,兀)，所以C=；.

在ABCD中，可得：

BD-=BC2+CD2-2BC?CD?COSC=42+62-2×4×6×COS?≡=28,B∣JBD=2√7.

所以，對(duì)角線80的長(zhǎng)為2√7.

22.已知函數(shù)/(x)=ln(e2*+l)+丘是偶函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)女的值；

⑵當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)g(x)=∕(x)-x-。存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；