2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷附參考答案四

2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷(四)

一、單選題

1.已知集合A={%GR\x2-2x-3<0},B={xeR\\x-2\>1],則An(CRB)=()

A.(1,3]B.[1,3]C.[1,3)D.(1,3)

2.若復(fù)數(shù)2=騫(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍為

()

A.(—oo,1)B.(—1,1)C.[—111]D.(—1,+oo)

3.在遞增等比數(shù)列{5}中，。3=4,且3a§是和。7的等差中項，則由0=()

A.256B.512C.1024D.2048

4.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(2+x)+>(2-％)=0,/(%+1)為偶函數(shù)且/(1)=1,則

/(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.多年來，網(wǎng)絡(luò)春晚一直致力于為本土市民“圓春晚夢”，得到了廣大市民的認可.某市2023年網(wǎng)

絡(luò)春晚海選如期舉行，該活動總共分為海選、復(fù)賽、決賽三個階段，參賽選手通過決賽后將參加該

市2023年網(wǎng)絡(luò)春晚.已知甲、乙、丙三人組成一個小組，假設(shè)在每一輪比賽中，甲、乙、丙通過的

概率依次為率|，|，假設(shè)他們之間通過與否互不影響，則該小組三人同時進入決賽的概率為

1411

C

----

A.9B.93D.8

6.已知雙曲線C：a一技=1(。>°，。>0)的左、右焦點分別為Fi,F2,A是雙曲線C的左頂

點，以尸1尸2為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P,Q兩點，且而?而=—4a2,則雙曲線C

的離心率為()

A.V2B.V3C.V5D.2

(x<3,

7.已知實數(shù)x,y滿足約束條件[x+y>0,則|x—2y|的最大值是()

4-2>0,

A.5B.6C.7D.9

8.已知某離散型隨機變量X的分布列如下：

X-1012

Pabc—

III|3

若E(X)=W，P(X21)=￡，則。(X)=()

A15r>9「19n5

A，16B，8C，16D，4

9.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某地教育局決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識競賽.競賽規(guī)則：參賽學(xué)生從

《紅樓夢》《論語》《史記》這3本書中選取1本參加有關(guān)該書籍的知識競賽，且同一參賽學(xué)校的選

手必須全部參加3本書籍的知識競賽.某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人

參加此次競賽.因甲同學(xué)對《論語》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書的知識競賽，其他同學(xué)沒有

限制，則不同的安排方法有()種.

A.128B.132C.156D.180

10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的

“高斯函數(shù)''為：設(shè)久WR,用[刈表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[%]稱為“高斯函數(shù)”，例如：

[—2.5]=-3,[2.7]=2.已知數(shù)列｛an｝滿足a】=1,a2=3,an+2+2an-3an+1,若“=

,,,i

[log2an+1],Sn為數(shù)列｛萬飛--｝的前n項和，則$2023=()

A2022R2024r2023n2025

,202320232024,2024

11.黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”

作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國

家號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本

為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本p(x)萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，pQ)=$/+60%；

當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，p(x)=i(Hx+噌—1360.每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分

析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完.欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為()

A.40萬件B.50萬件C.60萬件D.80萬件

12.下列結(jié)論正確的是()

2023

A.Iog2()2i2022<Iog202z2023<

B?log20222023<log202i2022<簫

C2022<"g20222023V\og2Q212022

D.2022<1°g202i2022<log?。?？？。？？

二、填空題

13.已知向量五=(1,t),b=(2,t),c=若石J.工，t>0,貝瞑在B方向上的投影

是.

14.在(小江+壺」的展開式中，各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)的和之比為64,則。=.

15.已知三棱錐P-ABC中，PB_L平面4BC,AB=BC=PB=26,AC=6,則三棱錐P-/BC

外接球的體積為.

16.設(shè)過點(2,—1)的直線1與橢圓C：。+必=1交于乂，N兩點，已知點4(0,1),若直線AM

與直線AN的斜率分別為七，的，則的+&=.

三、解答題

17.已知函數(shù)/'(%)=2A/5COS(X-*)cosx+ZsiMx,在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

b,c,且f(A)=3.

(1)求角A；

(2)若b=3,c=2,點D為BC邊上靠近點C的三等分點，求AD的長度.

18.為慶祝黨的二十大的勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時代新人，某高校在全校開展“不負韶華，

做好社會主義接班人”的宣傳活動.為進一步了解學(xué)生對黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了

“二十大”相關(guān)知識的競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取100人，將他們的競賽成績(滿

分為100分)分為5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的

頻率分布直方圖：

2

參考公式及數(shù)據(jù)：個=回瑞穩(wěn)磊e，其中"a+b+c+d.

P(K2>fc0)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)估計這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(2)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競賽成績不低于70分為“優(yōu)秀”，競賽成績低于70分為“非

優(yōu)秀”.請將下面的2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別

有關(guān)”？(精確到0.001)

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男30

女50

合計100

19.已知四棱錐中，。41平面48。。，AD||BC,BCLAB,4B=4D=*BC,BD=

V2,PD=A/5.

P

(1)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；

(2)線段PB上是否存在一點M,使得CM1平面PB。？若存在，請指出點M的位置；若不存

在，請說明理由.

20.已知拋物線C：y2=2PMp>0)上的一個動點P到拋物線的焦點F的最小距離為1.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過焦點F的直線1交拋物線C于4B兩點，M為拋物線上的點，且MFLAB,

求△ABM的面積.

21.已知函數(shù)/(%)=xlnx+x+1.

(1)求函數(shù)/(%)的圖象在點(1,/(I))處的切線方程；

(2)求證：/(%)<ex.

22.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,-2),且過原點O.以坐標(biāo)原點。為極

點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為p(cos。+sin。)=-1.

(1)求圓C的參數(shù)方程及直線1的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線1與圓C交于4,B兩點，點P在圓C上運動，求APAB面積的最大值.

23.若函數(shù)f(x)=|x-t|-2|x+3|(t>0)的最大值為5.

(1)求t的值；

(2)已知a>0,b>0,且a+2b=t,求號+$的最小值.

參考答案

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】D

12.【答案】B

13.【答案】當(dāng)要

14.【答案】3或-5

15.【答案】20VT57T

16.【答案】-1

17.【答案】(1)解：=2A/3COS(X—^)cosx+2sin2x=2V3sinxcosx+2sin2x

=V3sin2x+(1—cos2%)=V3sin2x-cos2x+1=2sin(2x—著)+1,

所以/(4)=2sin(2A+1=3,所以sin(2A—看)=1.

所以24—1=%+2kit,kGZ,即A=l+kit>kGZ.

又0<4<兀，所以4=亍

(2)解：如圖所示,

方法一：在△ABC中，由余弦定理可得SC?==廬+c2—2bccosZ_B4C=9+4—12X④=7,

則BC=b.又點D為BC邊上靠近點C的三等分點，所以B0=孚.

又在△ABC中，cosB=a2+f-b2=

2ac477=14

在△ABD中，由余弦定理可得402=BA2+BD2_2BAxBOxcosB=4+等一2x2x竽x券

52

q，

所以4。=等1

方法二：因為點D為BC邊上靠近點C的三等分點，所以同=|尼+/而.

414441

前而

府22

=--+-=4+-+-X3X2X-=529

等式兩邊同時平方可得|而『999992

所以|而|=空，即早.

18.【答案】⑴解:因為(0.010+0,030)X10=0.4<0.5,0.4+0.045X10=0.85>0.5,

所以競賽成績的中位數(shù)在［70,80)內(nèi).

設(shè)競賽成績的中位數(shù)為m,則(小一70)X0.045+0.4=0.5,解得m*72,

所以估計這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)為72.

(2)解：由(1)知，在抽取的100名學(xué)生中，

競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的有：100X(0.45+0.10+0,05)=100X0.6=60人,

由此可得完整的2x2列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男203050

女401050

合計6040100

零假設(shè)Ho：競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān).

2

因為2_100x(20x10-40x30)/_100

尿--60x40x50x50一一丁"16.667>6.635，

所以有99%的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

19.【答案】(1)解：因為ADIIBC,BC1AB,所以ADLAB.

1

又因為AB=4。=BD=V2-所以AB=4/)=1,BC=2.

因為PZ_1平面48。0,48(=平面48。。，A。u平面ABC。，

所以/Ml.AB,P4J.4D.又PD=代，所以P4=7PD2—AD2=2.

以A為坐標(biāo)原點，以AB,AD,4P所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則8(1,0,0)，C(l,2,0),D(0,1,0).P(0,0,2).

所以方=(1,2,-2),BD=(-1,1,0),BP=(-1,0,2).

設(shè)平面PB。的法向量為涇=(%,y,z),

則陛m=o,即｛-￥廠〉得/J,

(BP?元=0(-x+2z=0[z=

令x=2,可得平面PBD的一個法向量為運=(2,2,1).

設(shè)直線PC與平面PB。所成的角為。，0G[0,芻，

4

PC-n-

則sin。=|cos(PC,元>1=I9

同H同

所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為小

另解:

如圖，連接AC.因為AD||BC,BC±AB,所以ADLAB.

1

因為AB=AD=5BC,BD=近，所以4B=/D=1,BC=2.

因為BCJ_AB,所以AC='AB?+BC2=通.

因為PAL平面ABC。，ABc^ABCD,ACu平面ABC。，4。u平面ABCD,

所以PAIAB,PA1AC,PA1AD.

因為P/l=y/PD2-AD2=2，所以PC=y/AC2+PA2=3，PB=y/PA2+AB2=V5.

L211

所以S”BD=；xV^xJ（同2_（務(wù)=|，S^BCD=2><BCxAB=2><2xl=1.

設(shè)點C到平面PB。的距離為h,

由Vp-BDC=C-PBD>得可XPAXSbBCD=gX/lXS^PBD，即@x2Xl=wX/lX2，角牛得/l=手

A4

--

設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為0,9e[0,引，貝bin?9

pc

所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為今

(2)解：不存在點M,理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點M(如圖).

可設(shè)麗=4價=（一九0,2/1）,AG[0,1],所以0,24）,

所以說=(一九-2,24).

又由(1)知元=(2,2,1)為平面PBD的一個法向量，所以而||元,

即秘=卷=罕，無解.

所以線段PB上不存在滿足條件的點M.

另解：

不存在點M,理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點M,

由CM1平面PBD,PBBOu平面PBO,得CM1PB,且CM1BD,

因為24平面/BCD,BCu平面/BCD,所以PA_LBC.

因為BCJ.AB,S.PADAB=A,PAu平面P4B,u平面P4B,

所以BC_L平面P4B.又PBu平面PAB,所以BC1PB.

若存在滿足條件的點M,則點M必與點B重合.

又BC與BD不垂直，所以線段PB上不存在滿足條件的點M.

20?【答案】⑴解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(如加)，由拋物線定義可知，\PF\=x0+l>1,

即當(dāng)配=0時取得等號，

故專=1,解得p=2,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

(2)解:由(1)知F(l,0),設(shè)AQi，乃),B(X2,y2),M(x3,y3),

若/Blx軸，由MBJ.AB,得M(0,0)，4(1,2),B(l,一2)或4(1,-2),B(l,2),

此時不滿足4MlBM,所以不滿足題意；

設(shè)直線的方程為久=my+l(m豐0).直線MF的方程為x=一1y+l(m*0),

如圖所示，

將x=my+1代入拋物線方程得y2—4my—4=0,4=16(m2+1)〉0,

所以為+、2=46，無為=一4?

將％=——y+1代入拋物線方程得產(chǎn)+—y—4=0,所以及+——4=0①.

771TTlJ772J

，3一丫1.為一乃一44

直線AM的斜率為石二弓一圭及一序無，同理BM的斜率為耳頊.

44

因為AM_LBM,所以不y3+y2=-1'

所以田+%+丫2）、3+32=-16,即出+4?7%+12=0②.

由①②解得當(dāng)=32,將其代入①可得，462+4（1-血2）一（1—血2）2=0,

所以｛/嚼或IM調(diào)

當(dāng):為時，直線4B的方程為％=gy+1,M（3,-2V3）,\MF\=4.

因為力，為滿足丫？-4V5y-4=0,所以丫1+丁2=4百，=一左

所以|AB|=71+77121yl-y2|=2J（yi+、2）2-4yly2=2,48+16=16，

11

所

以--XX4-32

2216

同理可得，當(dāng)時，直線4B的方程為x=-百丁+1，M(3,2V3),\MF\=4,

因為當(dāng)，%滿足y?+4V5y—4=0,所以%+兀=_46，yry2=-4.

2

所以|力B|=Vl+m|y1-y2|=2J(yi+丫2產(chǎn)—4yly2=2V48+16=16>

所以SAABM=}x\AB\x|MF|=Jx16x4=32,

所以△ABM的面積為32.

21.【答案】(1)解：因為/'(%)=xlnx+x+1(%>0),所以f'(x)=Inx+2，

所以/'(1)=2，又因為/(1)=2.

所以函數(shù)/(%)的圖象在點(1,/(I))處的切線方程為y-2=2(x-1),

即2x—y=0.

(2)證明：要證/(%)</，即證xlnx+x+1<靖，即證Ex+1+4〈竺，

XX

即證^——Inx-------1>0.

xx

令9(%)=Y-lnx-1-l(x>0)，則g'(x)=^4^一］+a=("丫廣〃

由g'(x)=0,可得％=1,(%=0舍去)

因為當(dāng)久>0時，ex-l>0,

所以當(dāng)0<%VI時，g'(%)v0,g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時，^(%)>0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(%)m譏=g(l)=e-l-l=e-2>0,

所以g(x)>0,結(jié)論得證.

另解：

證明：因為/(%)=xlnx+%4-1,

所以要證/(%)<ex,即證xlnx+%+1<ex,

即證；dn%—e*+%+1<0.

設(shè)0(x)=xlnx—e"+%+l(x>0),

則0(%)=In%+1—e*+1=Inx-e*+2.

令九(%)=In%—ex+2(%>0),則九(%)="—exy

而函數(shù)九(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又八(1)=2—Ve>0,h.(1)=1—e<0，

故存在唯一的比€8,1),使得九'(M)=0,即宗呼=0,即/=呼,

等式兩邊同時取對數(shù)得-In%。=x0,即Inx。=-x0.

當(dāng)xe(0,而)時，h(x)>01h(x)在(0,比)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(xo，+8)時，/l(x)<o>/l(x)在(%o，+8)上單調(diào)遞減.

2

x

所以九(%)max=h(%0)=lnx0-eo+2=-x0-+2=-叫］)<0>即/(%)<0，

x0x0

所以9(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

因為當(dāng)x>