遼寧省協(xié)作校2022-2023學(xué)年高三年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年度上學(xué)期高三期末考試試題數(shù)學(xué)

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

5=<x|—<x<4>

1.設(shè)集合f3W0[2J,則A3=(

)

A.|x|0<x<^-|B.|x|^-<x<3|C.1x|3<%<4}D.1x|0<%<4}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求得A,再根據(jù)交集的定義可得結(jié)果.

【詳解】集合A={x|/-3x<0}={x10<x<3},5={x[g<x<4},

A3={x[g<xV3}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+2i）=|4—3z]（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-2B.-2iC.1D.i

【答案】A

【解析】

【分析】由題目條件可得z（l+2z）=|4—3z]=5,即2=個不，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡.

【詳解】因為|4—3z[=5,所以z(l+2z)=|4—3i[=5,

55(l-2i)5-10z_..

貝i]z=

1+2?(l+2z)(l-2z)5一

故復(fù)數(shù)Z的虛部為-2.

故選：A.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡計算即可，較簡單.

3.下表是某校在2022年高考中各班的最高分，則這組數(shù)據(jù)從小到大的第80百分位數(shù)是（）

班級最高分班級最高分

1班6947班658

2班7018班677

3班6899班642

4班69110班656

5班68111班673

6班66612班638

A.694B.681C.689D.691

【答案】D

【解析】

【分析】將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列，利用百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列為：638、642、656、658、666、673、677、681、689、

691、694、701,

因為12x0.8=9.6,因此，該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是691.

故選：D.

4.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，

多見于亭閣式建筑如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐，設(shè)

正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為28,則側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的比為（）

11

A.vB.vC.--------D.---------

3sin。3cose2sin。2cos，

【答案】A

【解析】

【分析】

首先畫出正六棱錐的底面和側(cè)面，利用幾何圖形中邊長的關(guān)系，求側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的比.

【詳解】如圖，正六邊形時正六棱錐的底面，等腰三角形是正六棱在的側(cè)面，設(shè)側(cè)棱==底面

邊長=底面內(nèi)切圓半徑OC=r,ZASB-20,

則，。LB是等邊三角形，〃=〃sin60=—a，側(cè)面△&LB中，a=2bsin0,

2

r=6bsin0，BP-=11---二—7―?

ry/isinO3sin6

故選：A

5.對任意向量〃力，下列關(guān)系式中不恒成立的是

A.卜力歸同忖

B.|a-Z?|<||a|-|/?||

C.(a+b)2=\a+b^

D.(a+b)(a—b)=a~—b

【答案】B

【解析】

【詳解】因為卜力卜同網(wǎng)cos〈a,A〉|v|a|W，所以選項A正確；當(dāng)a與6方向相反時，,一方目同一W

不成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；(a+))(a-b)=。2-)2,

所以選項D正確.故選B.

【考點定位】1、向量的模；2、向量的數(shù)量積.

22

6.尸為雙曲線二=1(。>0,6>0)上一點，F(xiàn)1；心分別為其左、右焦點，。為坐標(biāo)原點.若

ab

\OP\=b,且sinNP月片=3sinNP片工，則C的離心率為()

A.72B.73C.2D.76

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合正弦定理、余弦定理以及雙曲線的定義，求得c=ga，由此求得雙曲線的離心率.

【詳解】由sinNP6耳=3sinNP￡K，以及正弦定理可得歸國=3歸閶，

因為盧用_|P閭=2a,所以歸周=3匹|尸鳥

因為Qg|=c,QH=Z>,所以NOP8=(,所以cos?。"。

在?4月P中，cos?F[F、Pa+(2c)"(3。)=cos?QFp￡.

2ax2cc

化簡可得c=J§?，所以。的離心率e=￡=6.

a

故選：B

7.已知a+2“=2,6+3"=2,則blga與algb的大小關(guān)系是()

A.blga<algbB,blga=algb

C.b\ga>cAgbD.不確定

【答案】C

【解析】

【分析】令〃X)=x+2x,g(x)=x+3\結(jié)合題意可知0<方<a<l,進(jìn)而有4>〃>",再利用對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算性質(zhì)即可求解

【詳解】令/(x)=x+2'g(x)=x+3x,

則當(dāng)x>0時，g(x)>/(x),當(dāng)x<0時，g(x)<廣(x)；

由。+2。=2,6+38=2,得/(a)=2,g(/?)=2

考慮至ij/(a)=g。)=2得。<》<a<l,

:.ab>bb>ba

由得坨(/)>坨僅),

§Jflblga>algb

故選：c

8.已知々（見,々）與鳥（出力2）是直線丁=履+2（左為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于

《：囚》+4y一2=0和4：gx+為丁一2=0的交點情況是（）

A.無論左，R,6如何，總有唯一交點B.存在左，A，鳥使之有無窮多個交點

C.無論左，4，鳥如何，總是無交點D.存在左，片,鳥使之無交點

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)晶鳥在直線y=履+2可得4=3,+2?=1,2）,從而可得/1,右有唯一交點，從而可得正

確的選項.

【詳解】因為4（4，4）與￡（。2力2）是直線丁=丘+2（左為常數(shù)）上兩個不同的點，

所以4=kat+2（i=1,2）即atx（-左）+4xl-2=0（z-=l,2）,

故（-仁1）既在直線4上，也在直線4上.

因為6（%,4）與6（%,4）是兩個不同的點，故4、4不重合，

故無論左，6，舄如何，總有唯一交點（—七1）.

故選：A.

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A."X/x>0,6*>》+1”的否定形式是“下:<0,ex<x+r

[5兀

B."sin%=一”的一個充分不必要條件是“X二—”

26

C.兩個非零向量a，6,"k|=W，且?！ń?是“a=6”的充分不必要條件

D.若隨機(jī)變量X—N（3,b2）,且P（X25）=0.2,則P（1WXW5）等于0.6

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定判斷A；結(jié)合三角函數(shù)知識以及向量相等的概念，根據(jù)命題間的邏輯推理

關(guān)系，判斷B,D；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求得概率，判斷D.

【詳解】對于A,6，>%+1”的否定形式是“小:>0,ex<x+r，A錯誤;

5兀1

對于B,當(dāng)x=—時，sinx——成乂；

62

I兀5兀

當(dāng)sin%=—時，%=—+2hi,k￡Z或九二---bIkn.kGZ,

266

JTSTT

比如可能是x=2,不一定是％=—,

66

j5兀

故"sinx=一"的一個充分不必要條件是“x=—"，B正確；

26

對于c,兩個非零向量〃，b，“|〃|二|］且〃〃人”,那么〃，人可能方向相反向量,

故推不出〃二人成立，

當(dāng)a=b時,一定有,卜卜卜且〃〃/?’

故"W=W，且。是“a=6”的必要不充分條件，c錯誤；

對于D,隨機(jī)變量X—N（3,CT2）,且尸（X25）=0.2,

則尸（XN5）=尸（XWl）=0.2,

則P（1<X<5）=1—尸（X>5）-P（X<1）=1-2P（X>5）

=1—2x0.2=0.6,故D正確,

故選：BD

10.己知函數(shù)/（x）=asiiu?-cosx（xwR）關(guān)于左=四對稱，則下列結(jié)論正確的是（）

A.。:一與B.八%）在-（限上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/x+g是偶函數(shù)D.把了（％）的圖象向左平移.個單位長度，得到的

手,o］對稱

圖象關(guān)于點

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可知x=N是對稱軸，可解得。=一且，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出單調(diào)

63

性，對稱中心.

【詳解】因為|/(%)歸力2+］，函數(shù)〃x)=asinx—cosx(x￡R)關(guān)于x=■對稱，可知

1百。+所以解得：a=_也,故對.

+10—a-------=6+1=3/+21=0,A

223

小/)、一、丁Q血-COSX—亍2J3sin(x+§71),當(dāng)川「甘兀乃兀1］時,，刀兀中「八，五5K1月「。八直71~|，故,,B一不對，.

/1%+個］=—竽sin(x+E+m)=—芋cosx,所以/1%+巳］是偶函數(shù)，故C對.

了(%)的圖象向左平移力個單位長度，得到了sin(x+￡+馬?亞si

1233

當(dāng)x=3時，sin[++1|]wO,所以D錯.

故選：AC

11.已知直線/:◎+勿+1=0(。>0力>0)與圓。：/+丫2=1相切，則下列說法正確的是()

A.a+b>lB.U"C.<-D.-+-<2A/2

a'bI2J2ab

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出。與6的關(guān)系式，再利用均值不等式逐項判斷作答.

1

【詳解】因為直線/：6+外+1=0與圓。：爐+/=1相切，則=1,22-1>

y/a2+b2BPa+￡>

a>0,b>0,

對于A,因為2a〃=(a+b)2-(〃2+〃2)=(〃+人)2一1>0,解得A正確;

對于B,二+4=(。2+/)(\+4)=2+《+￡22+2、件-胃=4,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=正時取等

a2b2a2b1a1b2\a2b22

號，B正確；

ab2

對于c,(_f__==J-^<o,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=Y2時取等號，C正確；

222242

對于D,因為0<。6?三±2=,，當(dāng)且僅當(dāng)a=6=也時取等號，則,22,

222cib

,、口=當(dāng)且僅當(dāng)q=6=變時取等號，D不正確.

因此一+—22.

ab\ab2

故選：ABC

12.如圖所示，正方體ABCD-4/G。棱長為2,M為線段的中點，N為CG上的點，且

CN=2NC「過A1，M,N的平面截該正方體的截面記為S,則下列命題正確的有（）

D,___M_____q

---------------

A.S為五邊形

B.三棱錐A外接球的體積為兀

2

C.三棱錐4-3M0的體積為］

D.與平面ABC所成的角的正切值為正

5

【答案】BC

【解析】

【分析】利用面面平行的性質(zhì)判斷A；確定三棱錐外接球半徑計算判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量計算距離及線面角判斷CD作答.

【詳解】對于A,顯然S與正方形CDRG的交線為線段MN,而S與正方形有公共點4，

則S與正方形ABBiA有交線，又面45用4//面CE>DG，因此該交線與MN平行，交8用于點。如

圖，

即有s與正方形5CG51交線為線段QV,與正方形交線為線段4",

從而S與正方體的四個面相交，即S是四邊形，A不正確;

對于B,三棱錐4-BCD與正方體ABCD-4與。］已有相同的外接球，

而正方體ABCD-A4G。的外接球直徑為體對角線長4。=2后，球半徑R=^3,

此球的體積丫=f區(qū)3=q￡(6)3=4瓜，B正確；

對于C,以點。為原點，射線”,DC分別為蒼％z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

42

則A(2,0,2),BQ,2,0),M(0,l,2),N(0,2,-),NM=(0,-1,字型=(。，2,-2),=(-2,1,0),

n-AB=2y-2z=0

令平面AMN的法向量為〃=(尤,y,z),貝叫，令X=1,得〃=(122),

n?AiM=—2x+y=0

2

點N到平面AMN的距離d=l〃-NM|=3=2,而AM=6,A5=2aBM=3,

|n|39

△ABM中,由余弦定理得cos/B%M=仲=-^,sinNA41M=卡,

SA,BM=-A5-AWsinZB^M=-x2>/2xy/5x^==3,

122vlO

1?

因此三棱錐A-BNM的體積AlBM-d=-fC正確；

對于D,由選項C知，C(0,2,0),BC=(-2,0,0),BM=(-2,-1,2),

n-AB-2y.-2z,=0

設(shè)平面A]_BC的法向量m二(X，yZ|),則{}，令％=1,得利=(0,1,1),

n-BC=—2X[=0

1A/2

設(shè)BM與平面ABC所成的角為。，則Sin0=1cos(m,BM)\=

|m||W|-3xV2-6'

八F.---.2八J34-sin。VI7「力十.舄

cos^=Vl-sm-3=----，tan6=-----=-----，D不正確.

6cos。17

故選：BC

【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點

中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.己知數(shù)列｛4｝的通項公式為4=2〃—10,S”為｛4｝前幾項和，則S“最小值時，n=.

【答案】4或5

【解析】

【分析】求出/<0時〃的范圍即可得答案.

【詳解】令4=2〃-10W0得〃W5,

即當(dāng)〃W4時，an<0,

當(dāng)〃=5時，an=0

當(dāng)“26時，>0

??.S"最小值時，"=4或5

故答案為：4或5.

14.若多項式廠+=4+q(無+1)+,—1*%(尤+1)+qo(x+l),則/=

【答案】-120

【解析】

【分析】根據(jù)二項式的通項公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】%2+x10=(x+l-l)2+(x+l-l)10=(X+1)2-2(X+1)+1+(X+1-1)10,

10

二項式(x+1-1)的通項公式為：Tr+l=C；o-(1+°-?(-1/，

因為f+尤+q(x+1)H---Ptig(尤+1)+q0(x+l)，

所以令10—r=3nr=7,因此。3=C1?(—1)7=—120,

故答案為：-120

15.已知。為坐標(biāo)原點，過拋物線C：y2=2px(p>0)焦點產(chǎn)的直線與。交于A,8兩點，其中A在第

一象限，點M(p,o),若|44=|聞4,則直線A3的斜率為.

【答案】276

【解析】

【分析】由條件可得乙=也產(chǎn)，然后求出點A的坐標(biāo)，然后由左例=左"可得答案.

【詳解】因為=M(P,O),(與

所以x.=X“；XF所以北=2內(nèi)人=gp2,以=號p,

A/60

——p-0

所以七6二%A尸=4-------=2瓜，

3p

一p----

42

故答案為：2捉.

16.定義在R上的函數(shù)〃%）滿足〃2x+l）+/（2x—1）=/（2022）,/（x+1）=/（-x+1）,若

出"，則”2022)=一,2皿-"一.

【答案】①.0②.-100

【解析】

【分析】根據(jù)/(2x+l)+/(2x-l)=/(2022)得到/(x+2)+/(x)=/(2022),

/(x+4)+/(x+2)=〃2022),從而得到了(x+4)=/(x),即〃％)的一個正周期為4,故

7(2022)=/(2),用賦值法得到"0)=0,求出/(2022)=〃2)=0,再求出"％)關(guān)于x=l對稱，

關(guān)于x=3對稱,結(jié)合函數(shù)的正周期，求出

200（1

k的值.

￡同2

【詳解】由/（2x+l）+/（2x_l）=/（2022）可得:/（x+l）+/（x-l）=/（2022）,

即2）+/（x）=/（2022）,將x替換為x+2得:

/(x+4)+/(x+2)=/(2022),兩式相減得：/(x+4)=/(x),

即了(%)的一個正周期為4,

因為2022=4x505+2,所以“2022)="2),

又*x+l)+/(x—1)=/(2022)中令x=l得：/(2)+/(0)=/(2022),

所以/(0)=0,

/(x—l)+/(x+l)=0中令x=l得：/(0)+/(2)=0,故/(2)=0,

故〃2022)=〃2)=0；

由/(x+l)=/(-x+l)知：/(X)關(guān)于X=1對稱，

因為“X)的最小正周期為4,所以/(-X+1)=/(-X+5),

故/(x+l)=/(—x+5),即關(guān)于x=3對稱，

3

由/'(*)=-/(x+2)知：~fI

357

所以/g,則/

因為/(%)的最小正周期為4,

200(357399

所以k+2/+3/+4/++200/

k=l\

=1[(1+2-3-4)+(5+6-7-8)++(197+198-199-200)]

=1x[(-4)+(-4)++(-4)]=gx(-4x50)=-100.

故答案為：0,-100

【點睛】設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,〃>0,axb.

(1)若"％+〃)=/(%—〃)，則函數(shù)/(%)的周期為2a；

(2)若/(x+a)=—/(￡),則函數(shù)的周期為2a；

若f(x+a)=---—,

(3)右,)"X)則函數(shù)了(%)的周期為2a；

若f(x+a)=——,

(4)右‘)"力則函數(shù)了(九)的周期為2a；

(5)若/(%+?)=/(X+Z?),則函數(shù)/(%)的周期為|。一可；

(6)若函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=。與x=b對稱，則函數(shù)了(%)的周期為2忸—4；

(7)若函數(shù)八％)的圖象既關(guān)于點(。,0)對稱，又關(guān)于點。,0)對稱，則函數(shù)〃九)的周期為2|》—《；

(8)若函數(shù)八％)的圖象既關(guān)于直線％對稱，又關(guān)于點0,0)對稱，則函數(shù)“％)的周期為4|b—4；

(9)若函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線％對稱，則了(%)的周期為2°；

(10)若函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則了(尤)的周期為4a.

四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.ABC的內(nèi)角A5c的對邊分別為。，b?c.設(shè)(sin3—sinOp=sin?A-sin3sinC.

(1)求A；

(2)若ABC為銳角三角形，且。=3,求一A3C面積的取值范圍.

【答案】(1)4=三

(空運(yùn)

2'4

\」

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理得到cosA=g,結(jié)合AG(O,TI),求出A=1；

(2)由正弦定理得到人=2百sinB,c=2班sinC,表達(dá)出S筋。=dfsin(2B—個)+苧，利用

e

為銳角三角形，求出從而得到sin[23—4]e[e，l，ABC]，]-

【小問1詳解】

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC變形為sin?B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，

由正弦定理得：b2+c2-a2=bc^

^22_2be

由余弦定理得：cosA=3^——

2bc2b^~2

因為Ae（O,兀），所以4=1；

【小問2詳解】

工=^^=上=工=2超

由正弦定理得：；「兀

sinBsinCsinAs,in——

3

故b=26sinB,c=2y/3sinC,

故SABC=—bcsinA=3^3sinBsinC=3石sinBsin

=3A/3sinBcos3+-sinB二-sin3cos3H------sin2B

22

「sin28—述c°s25+^=逑sin[28」]+速

4442I4

（兀）2兀（兀

因為一ABC為銳角三角形，所以BEO,,，C=--Be\Oy-

解得:Be

(、?2a

18.己知數(shù)列｛4｝的首項6=—,且滿足—[(ACN*).

73an+1

（1）求證：數(shù)列，3：為等比數(shù)列;

1111

（2）若一+—+—+…+—<100,求滿足條件的最大正整數(shù)及.

【答案】（1）證明見解析

(2)〃=33

【解析】

111

【分析】（1）由已知遞推公式得-----3=---3,由此可得證;

4+121%

1<1Y1111

（2）由（1）得一=_+3,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求得一+—+—+…+一，再令

any1）4%%%

“x）=3x——99,得函數(shù)”x）的單調(diào)性和/（33）<0"（34）>0可得答案.

【小問1詳解】

2an13an+1

解：〃〃+1=「七」一r一

+1an+i

113

----=------1--,

2a

4+12ati24+i\n?

又卬=2,；.-1=1一3=工,

17q22

數(shù)列1一31是以g為首項,g為公比的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

解：由（1）可知，—3="TEH八,

4

111+:出+出++電+3E—出+3”,

...——+——+—+

^^2^^3

111+?-<100,則1-[]+3“<100,;.3"—<99,

若—+—+—+

ci-yci?

令y（x）=3x——99,所以/&）在R上單調(diào)遞增，

且了（33）=99d—99<0"（34）=102—0—99>0，

所以滿足條件的最大正整數(shù)72=33.

19.2022年某省社科院發(fā)布了本年度“城市居民幸福指數(shù)排行榜”，某市成為了本年度城市居民最“幸福

城”，隨后，某機(jī)構(gòu)組織人員進(jìn)行社會調(diào)查，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“明月”社區(qū)人們的幸福指數(shù).現(xiàn)從調(diào)查人

群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福指數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后

的一位數(shù)字為葉）.若幸福指數(shù)不低于9.0分，則稱該人的幸福度為“超級幸?！?

幸福指數(shù)

730

86666778899

97655

（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“超級幸?！钡母怕剩?/p>

（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選4人，記自表示抽

到“超級幸?！钡娜藬?shù)，求自的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75.

⑵里

140

（3）分布列見解析；1.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)莖葉圖即可求得眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）根據(jù)互斥事件的概率加法公式以及古典概型的概率公式，即可求得答案；

（3）確定J的可能取值，確定幸福度為“超級幸?！钡母怕蕿镻,由題意可知J:B（4,I）,根據(jù)二項分布的

概率計算可求得自的每個值對應(yīng)的概率，可得分布列，繼而求得二項分布的數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

由莖葉圖可知眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：-——-=8.75.

2

【小問2詳解】

設(shè)a表示所取3人中有，個人是“超級幸?！笔录?，

至少有2人“超級幸?！庇洖槭录嗀,

C2clC7619

貝|JP（A）=p（4）+P（A）=+4__

016C*560140

【小問3詳解】

由題意可知，J可能取值為0,L2,3,4,

41

任選一人，該人的幸福度為“超級幸?！钡母怕蕿镻=—=—,

164

故久3（4,；）,

則go)=%)、2相=i)=c中All，

13?7133

PC=2)=C七3)2=—，m=3)=C：(-)3(-)'=-

d)=C&)4=熹,

所以J的分布列為;

401234

81272731

P

2566412864256

因為表3(4,：),所以E@=4x；=l.

20.如圖，在幾何體A5CDEF中，四邊形A3CD是邊長為2的菱形，且/9。=60°,CE=DE,

EF//DB,DB=2EF,平面CDE,平面ABC。.

E

(1)求證：平面BCF,平面ABCD；

(2)若直線3E與平面A3CD所成角的正弦值上叵，求點C與平面AEE的距離.

10

【答案】(1)證明見解析；

⑵巫.

5

【解析】

【分析】(1)分別取CD,3C中點。，G,證明尸G//EO,再結(jié)合面面垂直性質(zhì)、線面垂直的判定、面面

垂直的判定推理作答.

(2)求出E。長，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點C與平面AEE的距離作答.

【小問1詳解】

分別取C23C中點。，G,連接EO,OG,Gb,如圖,

于是得OG//BD,OG=LBD,而EF//DB,DB=2EF,則Eb//OG,防=OG,

2

即四邊形OGEE為平行四邊形,FG//EO,又CE=DE,有EOLCD,

因為平面CDE,平面ABCD,平面CD￡c平面ABCD=CD,EOu平面CDE,

因此￡0,平面A3CD,即有bG,平面A3CD,而bGu平面

所以平面3CF，平面A3CD

【小問2詳解】

連接。3,菱形A3CD中，ZBAD^60°,則△BCD為正三角形，有OBLCD,

3

由（1）知EOL平面A3CD,即有/EBO為直線形與平面A3CD所成的角，即sinNEBO=

cosNEBO=—^=,tanNEBO=3而BD=2,則OB—y/3,OE—3-\/3,

VW

顯然O3,OC,OE兩兩垂直，以點。為原點，射線O&OCOE分別為羽％z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則4代,—2,0),B(AO,O),C(O,1,O),￡)(0,-1,0),E(0,0,3我,

CE=(0,-1,373),AE=(—6,2,3A/3),EF=|DB=(^,1,0).

n?AE=-6x+2y+3y/3z=0

設(shè)平面AEF的法向量幾=(%,y,z),貝卜^31,令x=l,得〃=(1,一6,1),

n?EF=——九+—y=0

I22

所以點C與平面AEF的距離d=|C￡'n|=￥=±"5.

In\V55

21.己知橢圓。：q+了2=1,過點M，,-直線/r4的斜率為匕，右，4與橢圓交于A(x”x),

3（九2，%）兩點，/2與橢圓交于。（項，%），。（%4，%）兩點，且A,B,C,。任意兩點的連線都不與坐

標(biāo)軸平行，直線y=—5交直線AC,BD于P，Q.

\PM\

（2）上高的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

\QM\

【答案】（1）證明見解析

⑵同為定值1

【解析】

【分析】（1）依題意可得直線4：y=%x—；,直線4：y=&x-；，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出

韋達(dá)定理，即可求出的值，即可得證；

,依題意可得A、P、C三點共線，則X-%/2,即可求出

（2）設(shè)尸，Q\XQ,--

xP,同理可得為,再結(jié)合（1）的結(jié)論得到Xp+q=O,即可得到歸閭=|。叫，從而得證.

【小問1詳解】

證明：依題意直線6:y=,直線4：y=攵2X-g，

,消去》整理得（1+46卜2—4%/—3=0,

4k-3

顯然A>0,所以/+Q=]+4%，&+4=]+4公，

FT

所以如忍=:1秋=_]

石+%2414

~1+%

,1

y-k2x——

22,消去y整理得（1+4代卜2—4質(zhì)尤—3=0,

由＜

—+/=1

14?

4k-3

顯然A>0,所以％+。=]+4；j，/+%4=]+4k；，

所以勺小區(qū)=**=—之,

%3+X44k24

1+4公

所以殳五=紅血

占+x2x3+x4

【小問2詳解】

解：局\PM為\定值1，

設(shè)「卜,一;，Q（V）,

由已知可得%，%彳丁4，即左述2片女2%4，匕西。左2%3,

1

因為A、P、C三點共線，所以M一%".2，即L22，

x-X再一Xp

i3石一演x1-xp

解得%=（'—?中3,同理可得加=（,一匕

占馬

K2X3-院％k2x4-

K元1%2k2%3%4/\/\

由（1）知------=----：-,可得勺%%2（%3+%）=k+%），

X]+*2，3+，4

整理得玉毛（尢%2—）=%乂化七-勺%），即X2X4

左2%—左1%1KX1-^2X4

所以4+X=他―小尤4+("M=0,

女2%4—KX2左2%3一匕石

所以好|=同，

所以忸閘=聞=司=|0叫，即時=L

22.已知函數(shù)/'(%)=以+2+。(°>0)的圖象在點(1,/(1))處的切線方程為了=彳-1.

X

(1)用4表示出/?,。；

(2)若/(%)—Inx20在［1,+8)上恒成立，求。的取值范圍；

(3)證明.1+工+工+…+!+—~~->-+ln(/?+l)(nGN*)

址力.23n2(?+1)2'八''

【答案】(1)b=Q—1,。=1—2a.

⑵［1,+oo)

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義，列出等式，即可求解；

(2)由/(%)-Inx20在［1,+8)上恒成立，設(shè)函數(shù)g(x)=/(%)