2023年黑龍江省高考理科數(shù)學(xué)真題及參考答案

2023年黑龍江省高考理科數(shù)學(xué)真題及參考答案

一、選擇題

Z.l—2z5.1+2zC.2—zZ).2+z

2.設(shè)集合U=R,集合A/={x|x<l},N={x[—l<x<2},則卜卜22}=()

A.C'MuN)B.N^JCC,MC.Cu(AlcN)D.M<JCVN

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該零件的表面積

為()

424B.26C.28

4.已知■是偶函數(shù)，貝(

eax-1

A.-25,-1C.lD.2

5.設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域卜jjl<x2+/<4｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A,

7T

則直線04的傾斜角不大于2的概率為()

4

111

181

---

864

6.已知函數(shù)/(x)=sin(s+e)在區(qū)間(工，空］單調(diào)遞增，直線和》=至為函數(shù)

\63)63

y=/(x)的圖象的兩條對(duì)稱軸，則/

A「皂

2反一;

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同

的選法共有()

Z.30種6.60種C.120種D.240種

1

8.已知圓錐尸。的底面半徑為JL。為底面圓心，PA,尸6為圓錐的母線，乙406=120。,

若AB46的面積等于'二，則該圓錐的體積為()

4

A.71B.娓兀C.3兀D.3娓兀

9.已知A48c為等腰直角三角形，Z8為斜邊，ZU80為等邊三角形，若二面角C—46-。

為150°,則直線C。與平面Z6C所成角的正切值為()

,1D五「6八2

A.-B.C.—D?一

5555

10.已知等差數(shù)列｛a?｝的公差為斗，集合S=｛cos%,wN*｝,若S=｛a,b｝，則ab=()

A.-lB.--C.OD.-

22

2

11.已知48是雙曲線/-3-=l上兩點(diǎn)，則可以作為中點(diǎn)的是()

4(1,1)5.(-1,2)C.(l,3)L4)

12.已知圓。：，+/=]"。耳=拒，過點(diǎn)尸作直線人與圓。相切于點(diǎn)z,作直線乙交

圓。于8,C兩點(diǎn),BC中點(diǎn)為。，則PA?PD的最大值為()

1+V2D1+272

D.-------------------C.1+V2D.2+42

22

二、填空題

13.已知點(diǎn)在拋物線C：歹2=2川上，則/到。的準(zhǔn)線的距離為

x-3j^<-1

14.若xj滿足約束條件［x+2y<9,則z=2x—y的最大值為

3x^y>7

15.已知｛〃〃｝為等比數(shù)列，。2。4。5=。3。6，。9%0=—8，則％=

16.已知/(x)=。'+(1+”,ae(O,l),若/(x)在(0,+8)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為.

2

三、解答題

(-)必做題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試

驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理,

測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為

z

x1.,y,(=U,---10),試驗(yàn)結(jié)果如下

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率七545533551522575544541568596548

伸縮率%536527543530560533522550576536

記4=4一乂G=1,2,…10),記4/2…Z]o的樣本平均數(shù)為5,樣本方差為

⑴求5,s2；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯

著提高(如果222]二，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡

V10

膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

18.在A/48c中，=120°,4B=2,AC=l.

(1)求sinZ.ABC；

(2)若。為BC上一點(diǎn)，且/氏4。=90。，求A4OC的面積.

19.如圖，在三棱錐P-48C中，AB上BC,AB=2,BC=272,PB=PC=46,

80,/。,3。的中點(diǎn)分別為。,￡,。，石。。，點(diǎn)廠在/C上，BFA.AO.

(1)證明：EF〃平面4DO；

(2)證明：平面40。，平面8瓦7；

(3)求二面角。一/0-。的正弦值.

3

20.已知橢圓C：烏+==1(。>6>0)的離心率為好，點(diǎn)/(一2,0)在。上.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)(—2,3)的直線交曲線。于P,。兩點(diǎn)，直線ZP,/。交y軸于A1,N兩點(diǎn)，求證:

線段MN中點(diǎn)為定點(diǎn).

21.已知函數(shù)/(%)+1).

(1)當(dāng)。=一1時(shí),求曲線/(x)在(1,7(1))的切線方程;

(2)是否存在實(shí)數(shù)使得曲線丁=/關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求出。力的值;

如果不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若/(x)在(0,+oo)存在極值，求4的取值范圍.

(-)選做題

【選修4-4】

22.在直角坐標(biāo)系X。中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G

乃、fx=2cosa

的極坐標(biāo)方程為夕=2sin。(一714夕《一，曲線。2：\(。為參數(shù)，

(42)2[y=2sma

71、

—<a<)).

2

(1)寫出G的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線^=工+加既與G沒有公共點(diǎn)，也與沒有公共點(diǎn)，求加的取值范圍.

【選修4-5]

23.已知/(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(x)46—x的解集；

(2)在直角坐標(biāo)系X。中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積.

4

參考答案

長(zhǎng)方體ABCD-4片G2去掉長(zhǎng)方體ONIC「LMHB、之后所

得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長(zhǎng)方體的表面積相比少2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體.

/\xcx

4.解：是偶函數(shù)，則

''eux-1

/(x)-/(-x)=

又「x不恒為0,可得e'—e"氏=0,則x=(a—l)x,；.a=2.

5.解：：區(qū)域卜,J）|1＜，+;;244｝表示以0（0,0）為圓心

外圓半徑R=2,內(nèi)圓半徑廠=1的圓環(huán)，則直線ON的

7T

傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限對(duì)應(yīng)的

4

7F

圓心角NMON=一,結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率為

4

-n

2x-s

p=-----4-=—1.

2乃4

n27T27r7C71

6.解：；/（x）=sin（（yx+尹）在區(qū)間單調(diào)遞增，.?.2='一2=2,且?！?,

2362

則T=笈，co=—=2.

T

5

當(dāng)》=工時(shí)，/(x)取得最小值，則2?工+e=2版■—2，左eZ,

662

則(p=2k兀一'■,k€Z,不妨取k=0則/(x)=sin]2x5萬

~6

5%

則/sin

77

7.解：有1本相同的讀物，共有C；種情況,

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種,

根據(jù)分布乘法公式則共有C：-A}=120種.

8,解：在A4O6中，NAOB=120°,而OA=OB=也，

取/C中點(diǎn)C,連接OC,尸C,有。

PCLAB,如圖,

ZABO=30°,OC=匚,AB=2BC=3,

2

由的面積為也得」X3XPC=2?,解得PC=h?

2

A/6,

.?.圓錐的體積-=3萬xO/2x尸O=；乃x(ji]*癡=遍乃.

9.解：取Z8的中點(diǎn)E,連接CE,￡>E,「ZVIBC為等腰直角三角形，Z8為斜邊，則有

CELAB,又A48。為等邊三角形，則。EJ.N8,從而NCED為二面角C—4B-D

的平面角，即NCEZ)=150°,

顯然CEcDE=E,CE,DEu平面CDE,

又/8u平面Z8C,因此平面CDE，平面/8C,

顯然平面CDEn平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而/DCE為直線CD與平面N8C所成的角，令A(yù)B=2,則CE=1,DE=6,

6

在AC0E中，由余弦定理得:

CD=ylCE2+DE2-2CE-DEcosZCED=h+3-2xlx^x百=V7，

~T

DPCDVJsin150。V3

由正弦定理得-------------，即sinZDCE

sinZDCEsinZCEDV7

2

5

顯然NDCE是銳角，cosNDCE=/l-sin?NDCE『12萬廠2s1

二直線CD與平面ABC所成角的正切值為—

5

22(2萬

10.解：依題意，等差數(shù)列｛%｝中，an=al—=—n+l?

2〃

顯然函數(shù)y=cosa——n+的周期為3,而〃eN*,即cos明最多有

3

3個(gè)不同取值，又

而在COSQ],COS。2,COS%中，COSQ]=COS%。COS%或COS%Wcosa2=COSQ3,

于是有856=85(6+三)，即有6+(6+彳^)=2左肛左€2,解得6=上萬—三,左€2

〃],2?〃

—COS〃萬=-COS-K7TCOS—=

3)32

IL解：由對(duì)稱性只需考慮(1,1),(1,2),(1,3))(1,4)即可，注意到(1,3)在漸近線上，(1,1),

(1,2)在漸近線一側(cè)，(1,4)在漸近線的另一側(cè).下證明(1,4)點(diǎn)可以作為Z8的中點(diǎn).

設(shè)直線Z8的斜率為左，顯然人存在.

八人(1)+4

設(shè)乙旌夕=左々一1)+4,直線與雙曲線聯(lián)立|,

X--=1

I9

整理得(9_%2卜2_2吊4_?卜_(4??左)2-9=0,

只需滿足(*+"=2,二冽上&=2,解得左=2,此時(shí)滿足A>0.

A>09-k24

7

12.解：如圖所示，=P|=J5,則由題意可知：

ZAPO=45°,由勾股定理可得PA=ylOP2-OA2=1,

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線PO異側(cè)時(shí)，

71

設(shè)AOPC=a,O<a<-,

4

則：PA-PD=PA-PDcosfa+?)=1xV2cosacosfa+?

cos/也COS”qn1"2"sinsa=1+cos2a

——sin2a

2222

率3高

ITTT7TTTT[T[-------*-------*

,-?0<a<-,則一一42a-一<-,...當(dāng)2a--=一一時(shí)，Ri?有最大值1.

444444

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線P。同側(cè)時(shí),

TT

設(shè)NOPC=a,04a?-,

4

則：PA-PD=PA-PDcos!a-2J=1x正cosacos!a~~

=6后.]1+cos2a1._

cosa(V--2-cosa4----sma=cos2a+si.nacosa--------+—sin2a

I22J22

2

'：0<a<—,則一<2a+一《一，

4442

.?兀H-1+V2

當(dāng)2a+工=工時(shí)，R/?尸。有最大值為上士

422

二、填空題

9「石-1、

13.一；14.8；15.-2；16.-----.1

42

13.解：由題意可得：/》=2pxl,則2P=5,.?.拋物線的方程為/=5x,

8

此時(shí)截距-Z最小，則Z最大，代入得z=8.

15.解：設(shè)｛3｝的公比為q(qwO),則由。4牝=a3a6~a?q'a$q，顯然anw0,

則%=/,即。q3二夕2,則qq=l,Va9a10=-8,則Q]/?%,''二一8,

則q"=(夕、)3=-8=(-2丫,則q3=-2,則a?=a\ci=q'=-2.

16.悔」,1)解析：/,(x)=avlna+(l+?)'ln(l+a),由/(x)在(0,+oo)為增函數(shù)

可知xe(0,+oo)時(shí)，/'(x)20恒成立，只需/QL20，

而fn[x｝=axIn2。+(1+a]xln2(l+。)>0,，,(x)>/(0)=In。+ln(l+^z)>0,

「/?-1、

又,：aj(0,1),ae------,1.

./

三、解答題

(一)必做題

17.解：(1)：Zj=Xj-匕(i=l,2,…10),

/.Z]=X1-y[=545—536=9；z2=6；z3=8；z4=—8；z5=15；z6=11；

z7=19；z8=18；z9=20：z10=12.

Z=+z2+…Z]0)=-Lx[9+6+8+(-8)+15+11+19+18+20+12]=11

1io

V52=—Z(z,—5)，將各對(duì)應(yīng)值代入計(jì)算可得$2=61

10Z=1

(2)由(1)知：z=11,52=61,

9

...甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高

18.解：（1）根據(jù)題意，由余弦定理可得:

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=22+12-2x2xlx7

BC=#i

1+1Tn*士工mBCAC5/71舄“/日.’ADCV2T

由正弦定理------=----------,即=----------,解得sinNABC=-----.

sin/4sinZABC拒sinZABC14

~T

q-xABxADxsin90°

（2）由三角形面積公式可得也也=，-----------------=4,

S^CDx/CxZOxsin30°

2

^-x2xlxsinl20°

則SAJCZ）

19.解：（1）連接。瓦。尸，設(shè)4尸二優(yōu)。，則方=詼+萬=（1一+，前，

--*--,1--,

AO=—BA+—BC,BF1AO,

2

則而?刀=卜_板+炭］卜瓦+；前）=（—1兩+；炭2=4（/-1）+4/=0

解得/=!，則尸為NC的中點(diǎn)，由。，瓦。，廠分別為P8,口,8C,/C的中點(diǎn)，

2

于是DE〃AB,DE=-AB,OF//-AB,二

22

即。E〃。凡DE=OF,

則四邊形。OEE為平行四邊形，|十二入，......3c

EF//DO,EF=DO,又EE（Z平面/。。，

。。＜2平面/。。，二￡77〃平面/。。.

（2）由（1）可知￡尸〃。。，則4。=癡，￡）（?=—,得ADMDO=叵,

22

因此0。2+〃。2=1。2=叵，則有EE，/。，

10

又AO上BF,BFcEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有NOJ_平面BET7,又ZOu平面Z。。，平面Z￡>OJ_平面BEE.

（3）過點(diǎn)。作。"〃8/交NC于點(diǎn)"，設(shè)/Oc8E=G,

由力。，8/得〃O_L/。，且尸“=」/"，

3

又由（2）知，ODLAO,

則N0OH為二面角D-AO-C平面角，

VD,E分別為P8,E4的中點(diǎn)，因此G為"AB的重心,

即有。3=,/。,6￡=!6￡,又尸〃=!2〃，

333

3

即有G/7,

2

3_15

4+7一彳4+6—2)—

cosZABD=一上―儲(chǔ)=--------l，解得乃1=巧，同理得8E=J,

、、展2x2xV62

2x2x

2

5

于是BE2+EF2=BF2=3,即有BE工EF,則GF2

3

IE”V1523岳岳

從而GF=-----,DH=—x----=----,

3232

在AZ)?！ㄖ?，OH=LBF=昱,OD=—,DH=-

2222

6315

于是cosZDOH=43%=_注sinNDOH

cR62

二面角D-AO-C的正弦值為—.

2

6=2a=3

20.解：（1）由題意可得<a2=b2+c2,解得＜b=2，，橢圓的方程為1。

94

cVsc=亞

e——=-

a3

11

(2)由題意可知：直線尸0的斜率存在，設(shè)PQ：y=Hx+2)+3,尸(X],必)。(x2，%)，

y=k(x+2)+3

聯(lián)立方程1/2，消去歹得:2

x(442+9)x+8%(2斤+3卜+16。2+34)=0,

—+—=1

I94

則△=64左2(2左+3)2—64(4左2+9在2+3左)=_1728左>0,解得左<0,

8M2%+3)16僅2+34)

可得X]+x2=-,再彳2

4左2+94左2+9

,.,4-2,0),則直線4尸:y=」一(x+2),

再+2

令X=O,解得y=即

X]+21Xj+2?

同理可得

、X2+2)

2乂12%

則■+20+2=:(/+2)+3++2)+3

2匹+2x24-2

_2kx[X]+(4后+3)(匹+工2)+4(2后+3)_108

X|X24-2(Xj+芍)+436

二線段PQ的中點(diǎn)時(shí)定點(diǎn)(0,3).

21.ft?：(1)當(dāng)a=-l時(shí)，/(%)=|--1|ln(x+l),,

則f'(x)=一_ln(x+l)+(4一]x——

xlxIx+1

據(jù)此可得/⑴=0,/'(l)=_ln2,

函數(shù)在(1,7(l))處的切線方程為y-0=—ln2(x-l),即(ln2)x+y—ln2=0.

(2)由函數(shù)的解析式可得

1I1

函數(shù)的定義域滿足±+1=上r」＞0,即函數(shù)的定義域?yàn)?―8,—1)U(0,+8),

XX

12

定義域關(guān)于直線》=—L對(duì)稱，由題意可得b=—■!■,

22

由對(duì)稱性可知/(—g+加)=/(一:一加)(掰＞'

取加=5可得/(1)=/(一2),

即(q+l)ln2=(a-2)ln；,則q+l=2-a,解得＜?=；,

經(jīng)檢驗(yàn)a=L,6=-工滿足題意，故4=,，b=--.

2222

即存在a=L,6=-工滿足題意。

22

(3)由函數(shù)的解析式可得/'(x)=f—」r]ln(x+l)+2+/」一，

(XJXJX+1

由/(x)在區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn)，則/'(x)在區(qū)間(0,+00)上存在變號(hào)零點(diǎn):

令/'(x)=(_g]ln(x+l)+(J+“^j=0,

則-(x+l)ln(x+1)+(x+ox，)=0,

令g(x)=ad+x-(x+l)ln(x4-1),

/(x)在區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號(hào)零點(diǎn)，

g"(x)=2ax-ln(x+1),gzr(x)=2a-------,

x+1

當(dāng)QW0時(shí)，g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+oo)上無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)2azi時(shí)，由于」一<1,；.g〃(x)>0,g'(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增,

2x+1

:.g'(x)>g'(0)=0,g(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0,

???g(x)在區(qū)間(0,+oo)上無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)0<。<!時(shí)，由g'(x)=2a-------=0可得x=———1,

2x+12a

當(dāng)工610,：-[時(shí)，g"(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減，

13

當(dāng)彳€([-1,+0時(shí)，g〃(X)>0,g'(x)單調(diào)增，

故g'(x)的最小值為g]2一11=1一2。+In2。，

令陽(x)=1-x+lnx(0<x<1),則m'(x)------->0,

x

函數(shù)〃?(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，加(x)<m(l)=0,

據(jù)此可得1-x+Inx<0恒成立，則g'：—1J=1—2。+In2。<0,

令A(yù)(x)=lnx-x2+x(x>0),則hr[x}=—+'+1,

x

當(dāng)xw(0,1)時(shí)，〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，hr(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

故〃(x)<〃(1)=0^V\nx<x2-x(當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào))，

/.g[x)=2ox-ln(x+l)>2QX-[(X+1)2-(X+1)]=2ax-(x2+x),

g'(2a-1)>2M2a-1)-[(2a-l)2+(2a-l)]=0,且注意到g'(0)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知：g'(x)在區(qū)間(0,+oo)上存在唯一零點(diǎn)X。，

當(dāng)X￡(O,Xo)時(shí),gz(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)XG(%,+00)時(shí)，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

：?g(x())<g(o)=o.

令〃(x)=-,則=i+二]二—(”J)