2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章第11講：函數(shù)的零點與方程的解（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章第11講：函數(shù)的零

點與方程的解

【考試要求】1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系2理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.函數(shù)的零點與方程的解

(1)函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)了=危)，我們把使於日J(rèn)勺實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系

方程_/(x)=0有實數(shù)解-函數(shù)y=/(x)有塞堂=函數(shù)y=/a)的圖象與x軸有公共點.

(3)函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)>=兀0在區(qū)間［a,切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有血)血)<0,那么，函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間魚」冷內(nèi)至少有一個零點，即存在cW(a,b),使得/(c)=0,這個e也就是方程

/(x)=0的解.

2.二分法

對于在區(qū)間［a,6］上圖象連續(xù)不斷且皿I幽的函數(shù)y=4x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)

間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.

【常用結(jié)論】

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)次乃是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則｛x)至多有一個零點.

2.連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.(X)

(2)連續(xù)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間僅，6)內(nèi)有零點，則加)?加)<0.(X)

(3)函數(shù)>=心)為R上的單調(diào)函數(shù)，則｛X)有且僅有一個零點.(X)

(4)用二分法求函數(shù)零點的近似值適合于變號零點.(V)

【教材改編題】

1.觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()

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答案A

解析由圖象可知，B,D選項中函數(shù)無零點，A,C選項中函數(shù)有零點，C選項中函數(shù)零點

兩側(cè)函數(shù)值符號相同，A選項中函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相反，故A選項中函數(shù)零點可以用

二分法求近似值，C選項不能用二分法求零點.

2.函數(shù)歹=3-lnx的零點所在區(qū)間是()

x

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

答案B

解析因為函數(shù)的定義域為(0,+°°),且函數(shù)y=3在(0,+8)上單調(diào)遞減；y=-]nx在(0,

x

+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=3—lnx為定義在(0,+8)上的連續(xù)減函數(shù)，

x

又當(dāng)x=2時，In2>0；

當(dāng)x=3時，1—In3<0,

兩函數(shù)值異號，

所以函數(shù)y=3—Inx的零點所在區(qū)間是(2,3).

X

3.函數(shù)/(工)=^+3%的零點個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由，(x)=e'+3>0,所以兀0在R上單調(diào)遞增，又八-1)=[一3<0,寅0)=1>0,因此

e

函數(shù)兀。有且只有一個零點.

■探究核心題型

題型一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定

例1(1)函數(shù)/(x)=lnx+2x—6的零點所在的區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)

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C.(3,4)D.(4,5)

答案B

解析由題意得，./(x)=lnx+2x-6,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

/(2)=ln2+4—6=出2-2<0,

./(3)=ln3+6—6=ln3>0,

則人2求3)<0,

二零點在區(qū)間(2,3)上.

延伸探究用二分法求函數(shù)/(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過

次二分后精確度達(dá)到0.1()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析???開區(qū)間(2,3)的長度等于1,

每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

經(jīng)過〃次操作后，區(qū)間長度變?yōu)楣ぃ?/p>

2〃

故有解得"e4,

2"

,至少需要操作4次.

(2)(2023?蚌埠模擬)已知xi+2國=0,X2+logM2=0,3F—四加3=0，則()

A.X\<X2<X3B.X2<X\<X3

C.X\<X3<X2D.X2<X3<X\

答案A

解析設(shè)函數(shù)T(x)=x+2X,易知兀0在R上單調(diào)遞增，

1)=—5丸0)=1，即人一I次0)<0,

由函數(shù)零點存在定理可知，一

設(shè)函數(shù)g(x)=x+log2X,

易知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，pg(l)=l,

即￡)g⑴VO,

由函數(shù)零點存在定理可知，LX2<1,

2

設(shè)函數(shù)/?(x)=@"—10g2X,

易知〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，/z(l)=1,h(X3)=0,

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因為/J(1)>A(X3),

由函數(shù)單調(diào)性可知，X3>1,

即一1<X|<O<X2<1<X3.

思維升華確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,0上的圖象是否連續(xù)，再看是否有

&)?膽)<0.若有,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)必有零點.

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)函數(shù)/(x)=H—x—2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點()

A.(~2,—1)B.(―1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案AD

解析-2)=1>0,/(-l)---KO,

e2e

A0)=-l<0,/l)=e-3<0,

7(2)=e2-4>0,

因為人一2)為一l)<0,Xl)7(2)<0,

所以兀0在(-2,一1)和(1,2)內(nèi)存在零點.

(2)若a<b<c,則函數(shù)/(X)=(R—。)?(工-b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—〃)的兩個零點分別位于區(qū)

間()

A.(a,b)和(b,c)內(nèi)

B.(—8,〃)和(a,b)內(nèi)

C.(bic)和(c,+8)內(nèi)

D.(—8,a)和(c,+8)內(nèi)

答案A

解析函數(shù)y=/(x)是開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于av*c,貝《a—6<0,a—

c<0,b—c<0,因此J[a)=(q—b)(a—c)>0,大b)=(b—c)(b—a)<0,J(c)=(c—a)(c—b)>0.

所以/(〃)/S)<0,W(c)<o,

即人x)在區(qū)間(a,b)和區(qū)間(b,c)內(nèi)各有一個零點.

題型二函數(shù)零點個數(shù)的判定

例2(1)若函數(shù)/㈤=卜|,則函數(shù)y=/(x)—log】R的零點個數(shù)是()

2

A.5B.4C.3D.2

答案D

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解析在同一平面直角坐標(biāo)系中作出/(x)=|x|,g(x)=log］|x|的圖象如圖所示，則y=/(x)一

2

log］兇的零點個數(shù)，即/(X)與g(x)圖象的交點個數(shù)，由圖可知選D.

2

(2)已知在R上的函數(shù)/(x)滿足對于任意實數(shù)x都有/(2+x)=/(2—x),/(7+x)=/(7—x),且在

區(qū)間［0,7］上只有x=l和x=3兩個零點，則兀0=0在區(qū)間［0,2023］上根的個數(shù)為()

A.404B.405C.406D.203

答案C

解析因為./(2+x)=/(2—x),.危)關(guān)于直線x=2對稱且y(5+x)=/(—x—l)；

因為負(fù)7+》)=火7—x),故可得｛5+x)=/(—x+9)；

故可得(—x+9),則加r)=/(x+10),

故人x)是以10為周期的函數(shù).

又危)在區(qū)間［0,7］上只有x=1和x=3兩個零點，

根據(jù)函數(shù)對稱性可知，/(x)在一個周期［0/0］內(nèi)也只有兩個零點，

又區(qū)間［0,2023］內(nèi)包含202個周期，

故/(x)在［0,2020］上的零點個數(shù)為202義2=404,

又危)在(2020,2023］上的零點個數(shù)與在(0,3］上的零點個數(shù)相同，有2個.

故於)在［0,2023］上有406個零點，

即/(x)=0在區(qū)間［0,2023］上有406個根.

思維升華求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法

(1)直接法：令大x)=0,方程有多少個解，則人勸有多少個零點；

(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點

個數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022?泉州模擬)設(shè)定義域為R的函數(shù)Hx)=則關(guān)于x的

~x2—2x,xWO,

函數(shù)y=4(x)-3/(x)+l的零點的個數(shù)為()

A.3B.7C.5D.6

答案B

解析根據(jù)題意，令2產(chǎn)(工)-3/0+1=0,

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得/(x)=l或/(x)=Q.

作出y(x)的簡圖如圖所示,

由圖象可得當(dāng)/(x)=l和時，

分別有3個和4個交點，

故關(guān)于x的函數(shù)y=2Ax)-3/仁)+1的零點的個數(shù)為7.

(2)函數(shù)4)=[36—x2，cosx的零點個數(shù)為.

答案6

解析令36一爐》0,解得一6WxW6,

.?成x)的定義域為[-6,6].

令./(x)=0得36—/=0或cosx=0,

由36—N=0得》=±6,

由cosx=0得x=匹+標(biāo)，AGZ,

2

又xd[—6,6],的取值為一豆，

2222

故於)共有6個零點.

題型三函數(shù)零點的應(yīng)用

命題點1根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)

例3(2023?黃岡模擬)函數(shù)=,xW2,g(x)=b—34,

若函數(shù)Hx)與g(x)的圖

llog3(X—1),x>2,

象有三個交點，則實數(shù)”的取值范圍為()

A.(2A/2-6,0)B.(2-^3-6,0)

C.(-2,0)D.(2A/5-6,0)

答案D

4—x2

解析作出函數(shù)｛》)=?''的圖象，如圖所示,

Jog3(x—1),x>2

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設(shè)與y=4-x2相切的直線為I,

且切點為尸(XO,4一高)，

因為。=-2x,所以切線的斜率為"=-2x0,

則切線方程為y—4+x8=-2xo(x—xo),

因為g(x)=b—3A過定點(3,0),且在切線/上，

代入切線方程求得xo=3—4或xo=3+/(舍去)，

所以切線的斜率為左=2#—6,

因為函數(shù)O)與g(x)的圖象有三個交點，

由圖象知，實數(shù)力的取值范圍為(2貼一6,0).

命題點2根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)

例4(2023?北京模擬)已知函數(shù)/(x)=3,一比絲.若存在xoe(—8,

1),使得兀3=0,則

實數(shù)。的取值范圍是()

BP胃

C.(一8,0)DE+T

答案B

解析由y(x)—y—1^ax—o,

可得a=y——,

Xx

令g(x)=3*—L其中xW(—8,—1),

x

由于存在xoW(—8,—1),使得/(xo)=O,

則實數(shù)”的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(一8,—1)上的值域.

由于函數(shù)y=3*,y=一1在區(qū)間(-8,一1)上均單調(diào)遞增，

X

所以函數(shù)g(x)在(一8,—1)上單調(diào)遞增.

當(dāng)工￡(—8,—1)時，

1_4

g(x)=3'--<g(-l)=31+1=彳，

x3

又g(x)=3"—L>0,

x

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所以函數(shù)g(x)在(一8,—1)上的值域為I0'3)

因此實數(shù)a的取值范圍是D

思維升華根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合

求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)1x)=2*-2-a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()

X

A.0<(7<3B.1<a<3

C.\<a<2D.

答案A

7

解析因為函數(shù)y=2*y=-—在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/)=2，-2一。在(0,+8)

xX

上單調(diào)遞增,

0

由函數(shù)危)=2、_4一”的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)得，Xl)X/(2)=(2-2-tz)(4-1-a)=(-a)

x

X(3-a)<0,解得0va<3.

Inx

---,x>0,

(2)(2023?唐山模擬)已知函數(shù)人工)=，x---------------若g(x)=/(x)一。有3個零點，則實數(shù)〃

x2+2x,-WO,

的取值范圍為()

f-i,q

A.(-1,0)Blej

Fo,i][o,q

c.ejD.leju{-l}

答案B

解析設(shè)Mx)=^(x>0),

X

?,i,,/、1—Inx

則h'(x)=---,

X2

令(x)>0,得O〈x〈e,

令/?'(x)vO,得x>e,

所以函數(shù)〃(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

所以〃(X)max=〃(e)=L

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因為函數(shù)g(x)=/(x)-a有3個零點，

所以方程(0=〃有3個解.

作出函數(shù)y=/(x)和y=a的圖象如圖所示,

所以”的取值范圍為1a

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.(2022?焦作模擬)設(shè)函數(shù)外)=2*+：的零點為xo,則xo所在的區(qū)間是()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)

C.(1,2)D.(2,4)

答案B

1711

解析易知y(x)在R上單調(diào)遞增且連續(xù)，_/(—2)=)—,0,7(—1)=鼻一]>0,所以x()e(—2,

-1).

2.用二分法研究函數(shù)/(x)=x5+8x3—1的零點時，第一次經(jīng)過計算得/(0)<0,/。5)>0,則其

中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為()

A.(0,0.5),/(0.125)B.(0,0.5),,/(0.375)

C.(0.5,1),/0.75)D.(0,0.5),負(fù)0.25)

答案D

解析因為犬0求0.5)<0,

由函數(shù)零點存在定理知，零點回右(0,0.5),

10+0.5]

根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計算/〔2J,即人0.25).

3.函數(shù)兀0=,'、'的零點個數(shù)為()

log2X_3x+4,x>0

A.1B.2C.3D.4

答案C

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解析當(dāng)xWO時，令/（x）=x2-2x-3=o,

得X=—l（x=3舍去），

當(dāng)x>0時，令兀r）=O,得log2X=3x—4,

作出y=log2X與P=3x—4的圖象，如圖所示,

由圖可知，y=log以與y=3x—4有兩個交點，

所以當(dāng)x>0時，加0=0有兩個零點，

綜上，魚）有3個零點.

4.已知函數(shù)｛x）=log2（x+l）-l+機(jī)在區(qū)間（1,3］上有零點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

X

AH0］

r-oo,-q

B.l3ju（0,+8）

If—8,--5］

c.l31U（o,+8）

「54

D.L3J

答案D

解析由于函數(shù)y=log2（x+l）,y=加一］在區(qū)間（1,3］上單調(diào)遞增，

X

所以函數(shù)/（X）在（1,3］上單調(diào)遞增，

由于函數(shù)/（X）=log2（x+1）--+/H在區(qū)間（1,3］上有零點，

,pn<0,

則位“即加+5>。

加）20,卜+產(chǎn)，

解得一’WMVO.

3

因此，實數(shù)冽的取值范圍是［常°）

0—x<0>

5.已知函數(shù)危）=,若函數(shù)g（x）=/（x）—用有三個零點，則實數(shù)用的取值

u+|x-l|,x20,

范圍是（）

A.（1,2］B.（1,2）

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C.(0,1)D.[1,+°°)

答案A

解析因為函數(shù)g(x)=/(x)—m有三個零點，

所以函數(shù)./)的圖象與直線y=w有三個不同的交點，

作出函數(shù)兀0的圖象，如圖所示，

由圖可知，即機(jī)的取值范圍是(1,2].

6.已知函數(shù)y(x)=x—4(x>0),g(x)=x+e\A(x)=x+lnx(x>0)的零點分別為x1，X2,X3,則()

A.X1<X2<X3B.X2<X1<X3

C.X2<X3<X\D.X3<X\<X2

答案c

解析函數(shù)Xx)=x—4。>0)，8打)=》+d,/?(》)=》+111》。>0)的零點，即為y=x與y=4(x>0),

y=—ev,y=-lnx(x>0)的交點的橫坐標(biāo)，

作出y=x與y=4(x>0),y=—ev,y=-lnx(x>0)的圖象，如圖所示.

可知X2<X3<X1.

7.(多選)函數(shù)y(x)=sinx+2|sinx|,xC[0,2樹的圖象與直線y=A的交點個數(shù)可能是()

A.1B.2C.4D.6

答案ABC

解析由題意知，

/(x)=sinx+2|sinx],[0,2TI],

3sinx,xG[0,it],

fix)=-

—sinx,xW(兀，2n],

在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)加)的圖象如圖所示.

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由其圖象知，直線y=左與y=/（x）的圖象交點個數(shù)可能為0,1,2,3,4.

8.（多選）（2023?南京模擬）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，是構(gòu)成一般

不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾（L.E.J.Brouwer）,簡單地講，就是

對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)存在一個點xo,使得火xo）=xo,那么我們稱該函數(shù)為“不

動點”函數(shù)，下列函數(shù)是“不動點”函數(shù)的是（）

A.fix）=2x-\-xB.y（x）=x2—x—3

c.+iD.y（x）=|iog2x|-i

答案BCD

解析選項A,若兀⑹=X0,則2*。=0,該方程無解，

故該函數(shù)不是“不動點”函數(shù)；

選項B,若＞（xo）=xo,則就一2xo—3=0,

解得xo=3或刈=-1,故該函數(shù)是“不動點”函數(shù)；

?

選項C,若兀切=祝，則京+1=xo,

可得端―"3xo+1=0,且xoel,

解得x0=止故該函數(shù)是“不動點”函數(shù)；

2

選項D,若危0）=必,則|logMo|—l=xo,

BP|log2Xo|=xo+l,

由圖可知，方程|logK|=x+l有實數(shù)根刈，

即存在XQ,使|log2X（）|—1=xo,

故該函數(shù)是“不動點”函數(shù).

9.已知指數(shù)函數(shù)為兀0=41則函數(shù)y=加）一的零點為.

答案1

解析由/（工）-2/1=4，一2/|=0,得2氣2"-2）=0,x=1.

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10.(2023?蘇州質(zhì)檢)函數(shù)/(x)滿足以下條件：①/(x)的定義域為R,其圖象是一條連續(xù)不斷的

曲線；②VxGR,?X)=;(-X)；③當(dāng)XI，X2G(0,+8)且X|#X2時，/1)一人“2)>0；頒X)恰

X\—X2

有兩個零點，請寫出函數(shù)兀0的一個解析式.

答案/(x)=》2—1(答案不唯一)

解析因為VxdR,人x)=A—x),所以40是偶函數(shù)，

因為當(dāng)X|,X2d(0,+8)且X|WX2時，曲)一火.)>0,

X\-X2

所以人X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為Xx)恰有兩個零點，

所以/(X)圖象與x軸只有2個交點，

所以函數(shù)/(x)的一個解析式可以為./(x)=N-1(答案不唯一).

11.已知函數(shù)X>0>且關(guān)于x的方程/(x)+x—。=0有且只有一個實根，則實

y,啟0,

數(shù)。的取值范圍是.

答案(1,+8)

解析方程外)+x—。=0有且只有一個實根，即7(x)=—x+a有且只有一個實根，

即函數(shù)y=7(x)的圖象與直線y=-x+“有且只有一個交點.

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出》=%0與了=-x+a的圖象，其中。表示直線y=-x+

由圖可知，當(dāng)aWl時，直線y=-x+a與y=/(x)有兩個交點，

當(dāng)a>l時，直線y=-x+a與y=/(x)只有一個交點.

故實數(shù)。的取值范圍是(1,+8).

j2工一11.W1

12.已知函數(shù)/(1￥)=,''函數(shù)y=/(x)—Q有四個不同的零點為，X2，X3，X4，且

(X—2>，X>1,

2"+2叼

X1-，則-------=_________.

X3+x4

答案-

2

解析歹=/3)一。有四個不同的零點XI,X2,X3,X4,

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即方程/(x)=a有四個不同的解，

即y=/(x)的圖象與直線y=a有四個交點?

在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y=/(x)與y=a的圖象，如圖所示,

2項+2?1

所以2為+2號=2,故勺十二二].

x3+x42

綜合提升練

13.已知函數(shù)次x)=|e'—1|+1,若函數(shù)ga)=[/(x)]2+S—2)/(x)—2a有三個零點，則實數(shù)。的

取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案A

解析令，=/(x),則函數(shù)g(/)=/2+(a-2"-2a,由F+g—2)，-2。=0得，/=2或/=-a.

e',x20,

y(x)=|er—1|+I='''作出函數(shù)y(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)f=2時，

2—^',x<0,

方程於尸⑹一1|+1=2有且僅有一個根，則方程小)=⑻一1|+1=-a必有兩個不同的實數(shù)

根，此時由圖可知，1<—a<2,即一2<av—1.

1

14.已知函數(shù)/(x)=-----sinx—1,—4兀,0)U(0,471],則函數(shù),/a)的所有零點之和為