山東省德州市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

高三數(shù)學(xué)期末試題

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.已知集合4=卜€(wěn)3》三6},B={x|y=lg（x-1）},則A為3=（）

A.{0}B.{0,l}C.{1}D.{1,2}

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）Z=l—i,則Z2°23=（）

A.iB.-lC,-iD.l

3.已知p：Vx-1>2,q：m-x<0,若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.m<5D,m>5

4.蓋碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊(yùn)含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人

育之”的道理.如圖是乾隆時(shí)期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個(gè)正四棱臺(tái)的組合體，其中茶碗

上底面的邊長(zhǎng)為6cm,下底面邊長(zhǎng)為3cm,高為5.4cm,則lL（1000cm3）茶水至少可以喝（不足一碗算一

碗）（）

A.7碗B.8碗C.9碗D.10碗

5.實(shí)數(shù)x,y滿足爐+/一6x—4y+4=0,則』±1的最大值為（）

x+2

1516+3月

A.—B.3+2夜D.0

8,7

6.為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)10go的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖象

設(shè)計(jì)了如圖的logo,那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（）

A./(X)=xsinx-cosxB.=sinx-%cosx

C.f(x)=x2+2cosxD./(x)=2sinx+x2

7.設(shè)隨機(jī)變量X~NJ,/),且尸(X2a)=0.5,P[X<b)=3P(X>b),貝UP(XW2a—Z?)=()

1

/\.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選

項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全得得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A.（l-2x）8展開式中7項(xiàng)的系數(shù)為1120

B.樣本相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱

C.根據(jù)分類變量X與丫的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到Z2=3.218，依據(jù)￡=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)（％05=3.841）,

沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認(rèn)為x與y獨(dú)立

D.在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零

10.已知拋物線/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P（5,%）在拋物線上，且歸司=6,過點(diǎn)P作PQLx軸于

點(diǎn)Q,則（）

A.p=2B.拋物線的準(zhǔn)線為直線y=—1

C.%=2石D.￡\FPQ的面積為475

JT

11.已知函數(shù)〃力=〃858+加]!10￥3>0）在％=一處取得最大值2,的最小正周期為R,將

jr

y=/（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移1■個(gè)單位長(zhǎng)度得

到的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

A.x=°是圖象的一條對(duì)稱軸B./（X）=2COS

是奇函數(shù)D.方程g（X）—21g尤=0有3個(gè)實(shí)數(shù)解

12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A3CD—431G2中，點(diǎn)P滿足5尸=ABC+,其中4e[0,1],4e[0』，

則（）

A.當(dāng)X=〃=1時(shí)，BP_LAjDB.當(dāng)2=時(shí)，點(diǎn)P到平面A3。的距離為

2

C.當(dāng)；1+〃=1時(shí)，2P〃平面43。D.當(dāng);i+〃=；時(shí)，三棱錐A—PBD的體積恒為A

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題目橫線上）

13.己知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若為,名，%成等比數(shù)列，則％=.

14.設(shè)函數(shù)7?（x）=|x—2x，x，2,關(guān)于X的方程/（￡）=a有三個(gè)不等實(shí)根須，

%2X

X3,則玉+%2+3的

[~2x+6,%>2

取值范圍是.

13

15.已知ZVIBC中，M為3C邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=%AB+3yAC,則一+一的最小值為.

%y

X

16.已知橢圓C]：—+==1（。1>4>0）與雙曲線。2：[-2=1（。2>0也>0）具有相同的左、右焦點(diǎn)

b、a、b）

F]、尸2,點(diǎn)p為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線G上，若記曲線a，的離心率分別為q,“

滿足6.2=1,且直線尸耳與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,學(xué);則的最大值為.

四、解答題（本大題共5小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）設(shè)S”為數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和，：+才+-+—=T-1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

+2

（2）設(shè)2=——，證明：4+偽++優(yōu)<4.

nan

18.（12分）在ZkABC中，角A、B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且6a=M6cosC-sinC）.

（1）求角B；

（2）。為AC邊上一點(diǎn)，DB±BA,且AD=4DC,求cosC的值.

19.（12分）把矩形aaEB以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)i8o°,得到幾何體如圖所示.其中等腰梯形鉆。為

下底面的內(nèi)接四邊形，且A3=2AZ）=2,點(diǎn)G為上底面一點(diǎn)，且CG〃aa，。1。2=1-

G

（1）若P為。E的中點(diǎn)，求證：4。_1平面5。石；

（2）設(shè)=2e[0,l],試確定義的值，使得直線AP與平面ABG所成角的正弦值為^—.

3

22

20.（12分）已知點(diǎn)E（—1,0）為橢圓C：三+%=l（a〉6〉0）的左焦點(diǎn)，M

（1）求C的方程;

（2）已知兩點(diǎn)A（m⑼（網(wǎng)〉a）與35,0乂冏<。），過點(diǎn)4的直線/與C交于P,Q兩點(diǎn)，且

ZPBA+ZQBA=71,試判斷相〃是否為定值?若是，求出該值，若不是，說明理由.

21.（12分）輕食是餐飲的一種形態(tài)，輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡(jiǎn)約，保留食材本來的營養(yǎng)

和味道，近年來隨著消費(fèi)者健康意識(shí)的提升及美顏經(jīng)濟(jì)的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得

輕食行業(yè)消費(fèi)者行為數(shù)據(jù)，對(duì)中國輕食消費(fèi)者進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名中國輕食消費(fèi)者（表中4個(gè)年齡

段的人數(shù)各100人）食用輕1食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.

使用頻率[12,25)[25,38)[38,51)[51,64]

偶爾1次3015510

每周1~3次40403050

每周4~6次25404530

每天1次及以上552010

（1）若把年齡在［12,38）的消費(fèi)者稱為青少年，年齡在［38,64］的消費(fèi)者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不

超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值￡=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)

判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；

（2）從每天食用輕食1次及以上的樣本消費(fèi)者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從中抽取

8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在［25,38）與［51,64］的人數(shù)分別為X,匕^=\X-Y\,

求f的分布列與期望；

（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選

擇一種，已知小李在某天早餐隨機(jī)選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選

122

擇低卡甜品的概率分別為一，一，二，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.

553

n[ad-bcf

參考公式：z2=,n=a+b+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)(6+d)

附:

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

22.(12分)已知函數(shù)/(X)=x-aln_x(aeR).

（1）當(dāng)a<e時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

⑵當(dāng)時(shí)，/（x）之a(chǎn)r"lnx-xe*恒成立，求a的取值范圍.

4

數(shù)學(xué)試題參考答案

,u11

l.B2.A3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.ACD10.ACDll,AD12.ACD13.—614.5,

71

15.1616.—

3

￡-e

_e\

a.

cc

PH1+PF=2al尸片=。1+。2又《cax=-

16.【詳解】由題設(shè)12=><

PF1-PF=2a2PF2Oy-a2〃2

2［。2=e\C

g=1

直線PF與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為|0,肛］，則COSNPFF?=1

｛I2)卜+。.G_

|「片「+|R「—|P局2(q+g)2+(2c『—(4—電)2

居中cosNP4耳

2|尸7為耳耳|—2(%+“2c

.2c

+c_

a{a22

e+1

C1丁

2211

綜上，,——--整理得8e；+2e；—1=0,可得e；=—或e；=——(舍)，

42

e1+l

由G〉0,則G=g,

由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)Q為短軸頂點(diǎn)時(shí)NFQF,取到最大，此時(shí)sin幺"=￡=,=’,

2a2

由/￡鑿€(0,句，則幺產(chǎn)即幺符=￡,故NGQ￡=g.

17.解：(1)當(dāng)“eN*時(shí)，工+2++之=2"—1,當(dāng)"之2時(shí)，工+*++==2'i—1,

12n12n—1

5

q

兩式相減得'=2"—2"T=2"1,貝US.=〃?2"T,

n

nln22

當(dāng)〃上3時(shí)，an=Sn-Sn_}=n-2--(?-1)-2-=(?+1)-T-,

又當(dāng)〃=1時(shí)，q=21—1=1,當(dāng)〃=2時(shí)，S2=aY+a2—4,則=3,

顯然q=l,4=3符合%=(〃+l>20-2,

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式是a?=（?+l）-T-2

〃+22(〃+1)-〃11

(2)由(1)知,2=-

n(〃+1).2〃-2〃(,+])?2〃一2—n.2〃-3—(〃+]).2〃一2

…777111111

所以/7]+,++b=----石---------------j-H------------:-------------H-------------------r-7--------\

12"1x2-22x2-12x2-13x2°n-2n-3(n+l)-2n

=-----------------=4------------<4

1x2-2(幾+1).2〃-2(〃+1)2-2,

18.解：(1)因?yàn)?a=b(6cosC-sinC),

所以，由正弦定理可得百sinA=sincosC-sinC^,

又sinA=sin[萬一(JB+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

因?yàn)镃?0,乃）,sinOO,所以sin5+。=0,

n4%,所以5+工=乃，即3=女

又5e(0,?)，B+ye

§'行33

27rTC

（2）由（1）知3=——，因?yàn)椤Ｋ訬C3D=—

36

記NBDC=6,則NBZM=?—8,

在△BCD中，由正弦定理得0-=>一，得8=a

sin"sind2sin8

6

在RtZvW。中，有AD=—

sin（萬-。）sin。

6

f2〃

因?yàn)锳D=4DC,所以——二——，得c=2a,

sin0sin0

在ZkABC中，由余弦定理可得〃=/+4/—2口義2acos—=7/，即b=j7a,

3

r-r-p,「tr+7a2—40-2不

所以cosC=-------尸---=-----.

2axj7a7

19.解：（1）證明：因?yàn)锳B為直徑，所以

因?yàn)镋4L平面ABD,應(yīng)）u平面ABD,所以E4LBD,

因?yàn)锳EAD=A,AEu平面ADE,ADu平面ADE,所以5D,平面ADE,

因?yàn)锳Pu平面ADE,所以5DLAP,

因?yàn)锳Z）=AE,P為DE的中點(diǎn)，所以APLDE,

因?yàn)?。DE=D,BDu平面BDE,EDu平面BDE,所以AP,平面5Z汨.

（2）因?yàn)榈妊菪蜛BCD為底面半圓。］的內(nèi)接四邊形，AB=2AD=2,

7T

所以/DAO】=NAO]D=NCO[D=/BO,=所以CD=BC=1,

如圖，以。1為坐標(biāo)原點(diǎn)，在底面半圓a過點(diǎn)。1垂直于平面A5EE作直線為x軸，分別以。啰，002為丫，

z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由于AD=OC=BC=1,CG=1,由（1）可知AO]=1,

/6、，出1）

故A（0,—1,0）,B（0,l,0）,G—D——,0,￡（0,—1,1）,

I22J

則AB=（0,2,0）,AG=--,-,l,

（22）

設(shè)平面ABG的一個(gè)法向量為n=（尤,y,z）,

2y=0

n-AB=0

則,即＜V33八

n-AG=0----x+~y+z=｛）

22

令x=2也,則〃=（26,0,31

jr

設(shè)直線AP與平面A3G所成角為。0,-

2

7

\n-AP|32-3+0+32|V105

則sin0=cos(n,AP

\n\^APV12+0+9-A/222-22+135

即得9^2—94+2=0,

17

解得4=；或4=（，符合Xe[0，U，

故4=土或4=*.

33

20.解：（1）由已知可得C=l,且C的另一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,設(shè)為月,

所以有2a=|“n+阿4|="亞+1『+：+J(0—1『+：=4,

22

所以1=2,所以從="—/=3,所以。的方程為二+匕=1.

43

(2)設(shè)/：x=ty+m,代入C整理可得：(4+3〃)y2+6加0+3根2-12=0,

2

、門門/、7\6mt~3m-12

設(shè)尸（石方），。（%2，%），則%+%=—耳—①，%%=3/+4②

由NPR4+N0BA=萬，可得凝尸+即0=0=1^+^^=0,

石一〃x2-n

^yl(ty2+m-n)+y2(tyl+m-n)=0^2tyly2+(m-n)(y1+y2)=0@,

2t[3m-1216mt(m—n],、

由①②③可得：—------L----------^=0,=＞《7+加力=0恒成立,

3戶+43產(chǎn)+4,)

所以〃功=4,為定值.

21.解：⑴補(bǔ)全整2x2列聯(lián)表如下：

11青少年中老年合計(jì)

食用輕食頻率低|12595220

8

食用輕食頻率高75105180

合計(jì)200200400

所以,2=400x(125x105-75x95)；909]>6.635,

200x200x220x180

所以有99%的把握認(rèn)為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)

（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中,年齡在［25,38）,［51,64］內(nèi)的人數(shù)分別為1,2,

依題意，f的所有可能取值分別為為0,1,2,

c3c'c1

所以pq=o)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)=^+-^=M

88

C21

p(^=i)=p(x=o,y=i)+p(x=i,y=o)+p(x=i,y=2)=-^+-f+-?=-,

C15

p(^=2)=Jp(x=o,r=2)=^=-

所以f的分布列為:

012

20315

P

565656

型+衛(wèi)+41

所以f的數(shù)學(xué)期望為石（4=0Xlx2x9

56565656

（3）記小李在某天早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件人B,C,晚餐選擇低卡甜品為

事件D,

則P（A）=g，P（B）=g，P（C）=j。（必A）=g,P