2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第2講：球的切接問題（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第2講：球的切接問

題

球的切、接問題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn).一般圍繞球與其他幾何

體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關(guān)鍵點(diǎn)是確定球心.

題型一定義法

例1（1）（2023?宣城模擬）在三棱錐P-A8C中，出，平面ABC,PA=2,AB=2吸,AC=4,

ZBAC^45°,則三棱錐P—ABC外接球的表面積是（）

A.14KB.16KC.18TID.20兀

答案D

解析在△8AC中，N84C=45。，AB=2?AC=4,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2~2ABACCOS45。=8+16-2X4X26X^=8,

則BCZ+ABZnAC2,所以BC_LAB,

由雨1.平面ABC,8CU平面ABC,得以_LBC,^PAHAB=A,PA,ABU平面％B,

所以8C_L平面PAB,

所以BCLPB,

所以△PBC為直角三角形,

又△以C為直角三角形,

所以PC是三棱錐P-ABC外接球直徑，設(shè)。是PC的中點(diǎn)，即為球心,

又AC=4,朋=2,

所以PC^y]AC2+PA2=迎轉(zhuǎn)=2^5,

所以外接球半徑為小，

所以所求外接球的表面積S=4TTX（4）2=20兀.

（2）（2022?新高考全國II）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3爪和4小，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.1287r

C.1447rD.1927t

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答案A

解析由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為|x坐X3小=3,|x坐X4小

=4.

設(shè)該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為。，。2,連接0|。2（圖略），則0。2=1,其外接

球的球心0在直線。|。2上.

設(shè)球0的半徑為R,當(dāng)球心。在線段0］。2上時，R2=32+oo彳=42+（1-。0］）2,解得00j

=4（舍去）；

2222

當(dāng)球心。不在線段0|。2上時，R=4+OCi=3+（l+OO2）,解得。。2=3,

所以R2=25,

所以該球的表面積為4兀心=100兀.

綜上，該球的表面積為100兀

思維升華到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心,

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

跟蹤訓(xùn)練1已知直三棱柱AfiC-AiBiCi的6個頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,

ABLAC,A4i=⑵則球。的半徑為（）

A3yB.2A/T（）C.與D.

答案C

解析由題意作圖如圖，過球心0作平面4BC的垂線，則垂足為8c的中點(diǎn)

；4B=3,AC=4,AB1AC,

...球0的半徑R^OA=yJQ2+62=v.

題型二補(bǔ)形法

例2（1）（2023?大慶模擬）在正方形ABCD中，E,尸分別為線段AB,BC的中點(diǎn)，連接。E,

DF,EF,將△AQE,ACDF,ZXBEF分別沿QE,DF,EF折起，使A,B,C三點(diǎn)重合，得

到三棱錐。一力EF,則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為（）

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A.2小B.4小C.2^6D.A/6

答案C

解析因?yàn)樵谡叫?BCD中，ADLAE,CD1CF,BE1.BF,

所以折起后0，0E,。尸兩兩互相垂直，

故該三棱錐的外接球，即以?！?gt;,0E,0F為棱的長方體的外接球.

設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則0力=2,0E=\,0F=\,

故2R=舊。》+。序+0尸=加,則R=乎.

設(shè)內(nèi)切球球心為/,由彷-DEF==SAOEF-00=；,三棱錐O-DE尸的表面積S=4,

所以r=；,則有f=2祈.

(2)如圖，在多面體中，四邊形ABC。為矩形，CE_L平面ABC。，AB=2,BC=CE=1,通過

添加一個三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為,

答案|67t

解析如圖，添加的三棱錐為直三棱錐E-AQF,

可以將該多面體補(bǔ)成一個直三棱柱AOF-BCE,

因?yàn)镃E_L平面ABC￡>,48=2,

BC=CE=\,

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所以SABCE=3CEX1X1=g,

直三棱柱ADF-BCE的體積

V=S&BCE-AB=^X2—1,

添加的三棱錐的體積為:

方法一如圖，分別取AF,BE的中點(diǎn)M,N,連接MM與4E交于點(diǎn)0,

因?yàn)樗倪呅蜛FEB為矩形，所以。為AE,MN的中點(diǎn)，在直三棱柱A。/一8CE中，CEL平

面ABCD,

所以ED_L平面ABCD,即NECB=N^D4=90。，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三

棱柱的外接球的球心即為點(diǎn)。，A。即為球的半徑，

因?yàn)?M=”尸=勺，MO—\,

,,_I3

所以AO2=AM2+MO2=2+1=2,

所以外接球的表面積為4nAO2=6n.

方法二因?yàn)镃E,CB,CO兩兩垂直，故將直三棱柱AD廠一BCE補(bǔ)成長方體，設(shè)外接球的

半徑為R,則4R2=?+12+22=6,所以外接球的表面積5=4兀代=6兀

思維升華(1)補(bǔ)形法的解題策略

①側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長方體中去求

解；②直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.

(2)正方體與球的切、接問題的常用結(jié)論

正方體的棱長為“，球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=小a;

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2R=@.

(3)若長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則27?=迎+"+廣

跟蹤訓(xùn)練2(1)在三棱錐A-BCQ中，側(cè)棱AB,AC,AQ兩兩垂直，△ABC,/XACD,△AOB

的面積分別為坐，坐，坐,則三棱錐4—88的外接球的體積為()

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A.加兀B.2\6nC.3#兀D.4%兀

答案A

解析在三棱錐A—BCZ）中，側(cè)棱48,AC,AO兩兩垂直，將其補(bǔ)成長方體，兩者的外接球

是同一個，長方體的體對角線就是球的直徑.

設(shè)長方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為a,b,c,由題意得h=#,ac=-\[3,bc=也,

解得。=巾，b=-\[2,c=l,所以球的直徑為。（?。?+（?。?+1=#,它的半徑為半，球的

體積為專義（坐）=#兀.

⑵（2023?焦作模擬）已知三棱錐P-ABC的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且勿=36，

PB=PC=5,則該三棱錐的外接球的表面積為.

答案34兀

解析根據(jù)題意，三棱錐P-A8C可以嵌入一個長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的

面對角線，設(shè)長方體交于一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為mb,c,如圖所示，

22222222

則o+b=R12=i8,a+c=PB=25,b+c=PC=259解得〃=3,b=3,c=4.所以該三

棱錐的外接球的半徑R=“#藍(lán)2++所以該三棱錐的外接球的表面積

S-4兀/?2=4兀*（當(dāng)32=34兀

題型三截面法

例3（1）四棱錐P-ABC。的頂點(diǎn)都在球。的表面上，△以。是等邊三角形，底面ABCD是

矩形，平面B4OJ_平面A8CD,若AB=2,BC=3,則球。的表面積為（）

A.12兀B.16KC.20兀D.32K

答案B

解析如圖，連接AC,BD,ACHBD=G,取AD的中點(diǎn)E,連接PE.

?.?四邊形A8CQ為矩形，，G為四邊形ABC。的外接圓圓心；

在線段PE上取ME=^PE,

?.?△玄。為等邊三角形，為△附。外接圓圓心,

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過G,M分別作平面ABCQ和平面B4。的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)即為球。的球心0,連接

0P,

?.?△布￡>為等邊三角形，：.PE±AD,

:平面以￡>_!平面ABC。，平面南。C平面ABC〃=A。，PEU平面辦力，

PE_L平面ABCD,：.PE//0G；

同理可得，0MMEG,...四邊形0MEG為矩形；

0M=EG=^AB=1,PM=|PE=|^=^3,

OP=qOM?+PM2=2,即球O的半徑R=2,

...球O的表面積S=4nR2=16兀.

（2）如圖所示，直三棱柱ABC—A181cl是一塊石材，測量得NA2C=90。，A8=6,BC=8,A4i

=13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球

的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為（）

C.6n,43

答案D

解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個側(cè)面均相切時，健身手球的體積最大.易知

AC=^y/AB2+BC2=10,設(shè)健身手球的半徑為R,則Tx（6+8+10）XR=；X6X8,解得R=2.

則健身手球的最大直徑為4.

因?yàn)锳Ai=13,所以最多可加工3個健身手球.

44427r

于是一個健身手球的最大體積丫=界3=上義23=苧.

思維升華（1）與球截面有關(guān)的解題策略

①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的

距離相等且為半徑；

②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的.

（2）正四面體的外接球的半徑尺=坐4,內(nèi)切球的半徑其半徑之比R：r=3：l（a為該

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正四面體的棱長）.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2022?淮北模擬）半球內(nèi)放三個半徑為小的小球，三小球兩兩相切，并且與球

面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）

A.1+小B.小+小C.小+巾D.小+巾

答案D

解析三個小球的球心。，Oi,。3構(gòu)成邊長為2爪的正三角形，則其外接圓半徑為2.設(shè)半

球的球心為O,小球01與半球底面切于點(diǎn)A.

如圖，經(jīng)過點(diǎn)0,0i,A作半球的截面，則半圓。。的半徑為0C,0CL0A,作。山，0C

于點(diǎn)B.

則。4=0歸=2.設(shè)該半球的半徑是凡在Rt^OAOi中，由（R一?。?=22+（小門可得+

市.

（2）（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為苧，

兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3兀B.4兀C.9兀D.1271

答案B

解析如圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。，

設(shè)圓錐A。和圓錐3。的高之比為3：1,

即AD=3BD,

設(shè)球的半徑為R,則誓=竽，可得R=2,

所以AB=AO+BO=4BD=4,

所以BD=1,AD=3,

因?yàn)镃DLAB,AB為球的直徑，

所以△AC￡>S/^CB。，

所以隹=器，所以CD=7ADBD=^,

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因此，這兩個圓錐的體積之和為

；7tXC￡>2.(4D+BO)=&X3X4=4兀

課時精練

1.（2023?岳陽模擬）已知一個棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在某球面上，則該球體的體積為（）

A.羊兀B.4小兀C.8兀D.12兀

答案B

解析因?yàn)檎襟w的體對角線等于外接球的直徑，且正方體的棱長為2,

故該球的直徑27?=/22+22+22=2小.所以/?=小.故該球的體積丫=%/?3=4小兀

2.己知在三棱錐P-ABC中，AC=yf2,BC=1,AC_LBC且鞏=2PB,PB_L平面ABC,則

其外接球體積為（）

A.普B.4兀C.31匹D.4、/57t

答案A

解析AB=7Ad+BC2=?設(shè)PB=h,則由附=2尸8,可得產(chǎn)彳=2兒解得力=1,可

將三棱錐P-4BC還原成如圖所示的長方體，則三棱錐P—ABC的外接球即為長方體的外接

球，設(shè)外接球的半徑為凡則2/?=吊？加薩幣=2,R=l,

所以其外接球的體積V=y/?3=y.

p

3.（多選）已知三棱錐尸一48c的四個頂點(diǎn)都在球O的表面上，出，平面ABC,PA^6,ABLAC,

A8=2,AC=2#,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作球O的截面，則截面的面積可以是（）

n

A.jB.itC.9兀D.13兀

答案BCD

解析三棱錐P—ABC的外接球即為以A8,AC,AP為鄰邊的長方體的外接球，

.?.2/?=^62+22+（2^3）2=2^13,

；.R=p,

取8c的中點(diǎn)Oi,

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：.0\為aABC的外接圓圓心,

...0011.平面A8C,如圖.

當(dāng)截面時，截面的面積最小，

；0。=血。彳+01。2

=、32+（?。?=2小,

此時截面圓的半徑為r=yjR2—OD2=1,

截面面積為m2=n,

當(dāng)截面過球心時，截面圓的面積最大為兀/?2=13兀，

故截面面積的取值范圍是［兀，132.

4.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1,則圓錐的體積為（）

A.nB.2兀C.3兀D.4兀

答案c

解析過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得△ABC及其內(nèi)切圓。。|和外接圓。02,

且兩圓同圓心，即△45C的內(nèi)心與外心重合，易得△ABC為正三角形，

由題意得。Oi的半徑為r=l,，4ABC的邊長為25，

.?.圓錐的底面半徑為小，高為3,

，V=|x7tX3X3=37i.

5.已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為47r號的球體與棱柱

的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是（）

A.6小B.12小C.18小D.24小

答案C

解析根據(jù)已知可得球的半徑等于I,故三棱柱的高等于2,底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1,

即底面三角形的高等于3,邊長等于2小，所以這個三棱柱的表面積等于3X26X2+2X；

X2^3X3=1873.

6.（多選）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)M,N,若線段MN的最小值為小一

1,則下列說法中正確的是（）

A.正方體的外接球的表面積為12兀

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B.正方體的內(nèi)切球的體積為個

C.正方體的棱長為2

D.線段MN的最大值為2小

答案ABC

解析設(shè)正方體的棱長為“，

則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半,

即坐4；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即多

VM,N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn)，

??A//Nmin2a1,

解得”=2,即正方體的棱長為2,

...正方體外接球的表面積為47tx（?。?=12兀，內(nèi)切球的體積為與，則A,B,C正確；

線段的最大值為小+1,則D錯誤.

7.（2022.聊城模擬）“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成

的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這

是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為

1,則該多面體外接球的體積為（）

答案A

解析將該多面體放入正方體中，如圖所示.

由于多面體的棱長為1,所以正方體的棱長為啦，

因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長為也的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，

所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點(diǎn)，其外接球直徑等于正方體的面對角線

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長，即2R=q（&）2+（g）2,所以R=l,

所以該多面體外接球的體積V=1x/?3=y.

8.（2022?全國乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個頂點(diǎn)均在球。的

球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.1B.4

答案c

解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)。組成的圓錐體積最大.

設(shè)圓錐的高為〃（0＜伏1）,底面半徑為r,

則圓錐的體積丫=；兀戶〃=；兀（1—序）/?,

則V'=，兀（1—3后），

令『=；兀（1-3層）=0,得力=乎，

所以1=/貝一〃2M在（0,叫上單調(diào)遞增，

在惇，1）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)/?=乎時，四棱錐的體積最大，故選C.

9.如圖，在圓柱002內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱01。2

的體積為％,表面積為S，球。的體積為匕，表面積為S2,則*，蔡=.

33

答

案--

22

解析設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱。|。2的底面圓的半徑為R,高為2R,

2

tV,次女3Si2nR-2R-\-2nR3

所以正=與;=’’豆=一標(biāo)一=，

10.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

答案坐兀

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解析因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐