2023-2024學(xué)年重慶市榮昌中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析 (二)

2023-2024學(xué)年重慶市榮昌中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

2023.10

(試題總分150分；考試時(shí)間120分鐘)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.直線x=°的傾斜角為()

A.0°B.90°C.180°D.不存在

2.已知°為原點(diǎn)，點(diǎn)4(2,一2),以。4為直徑的圓的方程為()

22

A(x-lf+(y+iy=2B(X-1)+()+1)=8

C(x+l)2+(y-l)2=2口.(x+l)2+(y-l)?=8

3.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的對(duì)稱美如圖.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到

八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是()

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.求空間中點(diǎn)A(3,3，l)關(guān)于平面XOY的對(duì)稱點(diǎn)A與8(T，1，5)的長(zhǎng)度為

A.6B.26c.D.2ym

5.已知直線11,12分別過(guò)點(diǎn)P(—1,3),Q(2,-1),若它們分別繞點(diǎn)P,Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則

11,12之間的距離d的取值范圍為()

A.(0,5JB.(0,5)C.(0,+00)D.(0,后］

6.三棱錐S-中，SAL底面ABC,SA=4,AB=3,D為AB的中點(diǎn)，加。=90。，則點(diǎn)D到面

SBC的距離等于()

22963

A.5B.5c.5D.5

7.已知點(diǎn)4-2,0),點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)在圓(x-3)2+(y-4f=20上，則使得"±依的點(diǎn)戶的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AB。-中，E,RG,M,N分別是附A4,,CG的中點(diǎn)，

過(guò)的平面a與平面EFG平行，以平面a截該正方體得到的截面為底面，生為頂點(diǎn)的棱錐記為棱錐

1

Q,則棱錐。的外接球的表面積為（）

A.12B.3c.兀D.9

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線/的方程為3x-2y+6=°,則（）

A.直線/在*軸上的截距為2

B.直線/在y軸上的截距為3

C.直線/的傾斜角為銳角

D.過(guò)原點(diǎn)。且與/垂直的直線方程為〃+3y=°

10.已知直線仁辦+2）'+3。=°和直線/2：3x+（a—l）y+7-"=0,下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)。=3時(shí)，"4B.當(dāng)a=-2時(shí)，"4

_2

C.當(dāng)“M時(shí)，4”2D.直線4過(guò)定點(diǎn)（-3,°）,直線4過(guò)定點(diǎn)（-,21）

11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距

離之比為定值4（幾>0且4*1）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿

H=1

波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）點(diǎn)p滿足|P8|21設(shè)點(diǎn)p

所構(gòu)成的曲線為C,下列結(jié)論正確的是（）

A.C的方程為（x+U+yJ^B在c上存在點(diǎn)D,使得D到點(diǎn)（1,1）的距離為10

C.在C上存在點(diǎn)M,使得=D.C上的點(diǎn)到直線3x-4），-13=°的最大距離為9

12.若正方體ABCO-ABIGA的棱長(zhǎng)為］,且AP=〃*￡>+“A4）,其中,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.當(dāng)“一5時(shí)，三棱錐尸一8。片的體積為定值

1

B.當(dāng)一2時(shí)，三棱錐P-BDBi的體積為定值

布+&

C.當(dāng)，"+"=1時(shí)，%+心的最小值為2

2

D.若“尸n8=/“凡點(diǎn)p的軌跡為一段圓弧

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)直線的方向向量分別為“=°2-2),A=(-2,3，M,若小燈則實(shí)數(shù)m等于.

14.若直線人的傾斜角為30。，直線則直線4的傾斜角為

15.已知一個(gè)半球內(nèi)含有一個(gè)圓臺(tái)，半球的底面圓即為圓臺(tái)的下底面，圓臺(tái)的上底面圓周在半球面上，

且上底面圓半徑為3,若半球的體積為1447，則圓臺(tái)的體積為

22

16.已知M是圓C,x+y=\上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線ll->nx-ny-3m+n=0與直線

小心+⑺-3，”"=0(〃?,〃eR,〃?2+〃2/0)相交于點(diǎn)p,則|P"|的取值范圍是

四、解答題：本題共有6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.己知直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(4,3),且與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若點(diǎn)O到直線1的距離為4,求直線1的方程；

(2)若。山面積為24,求直線1的方程.

18.如圖，已知圓錐的底面半徑廠=2,經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB,點(diǎn)Q為半圓弧片B的

中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn).

⑴求此圓錐的表面積；

(2)求異面直線PQ與SO所成角的余弦值.

19.已知圓Ud+V-2y-4=0,直線/：mr-y+l-m=0(/neR)

(1)寫出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，并判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；

⑵設(shè)直線/與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若直線/的傾斜角為120。，求弦AB的長(zhǎng).

20.如圖，已知在矩形ABC。中，E為邊A8的中點(diǎn)，將VADE沿直線。E折起到A任平面A8CO)

的位置，M為線段AC的中點(diǎn).

3

(1)求證：Ew〃平面ACE；

(2)已知AB=2AO=2夜，當(dāng)平面平面ABC。時(shí)，求直線BM與平面所成角的正弦值.

21.已知圓C：f+V-2y=0,點(diǎn)G(4,2).

⑴求過(guò)點(diǎn)G并與圓C相切的直線方程；

(2)設(shè)P為圓C上任意一點(diǎn)，線段AB在x軸上運(yùn)動(dòng)(A在B左邊)，且卜叫=1,求1酬+忸G|的最小值

22.如圖，三棱錐P-MC中，點(diǎn)尸在底面的射影。在ABC的高C力上，。是側(cè)棱尸C上一點(diǎn)，截面Q48

與底面A3C所成的二面角的大小等于NOPC的大小.

P

⑴求證：PCL平面QA8；

(2)若DQ=4,PQ=DA=DB=2,求平面與平面BPC所成夾角的余弦值.

4

1.B

【分析】根據(jù)直線與坐標(biāo)軸垂直可得傾斜角.

【詳解】因?yàn)橹本€》=0與x軸垂直,

所以直線x=°的傾斜角為90°.

故選：B

2.A

【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】由題知圓心為°'一1）,半徑’一3。4—后，

二圓的方程為（L（y+1）2=2

故選：A.

3.C

【分析】將多面體放置于正方體中，借助正方體分析多面體的結(jié)構(gòu)，由此求解出異面直線AB與CD所

成角的大小.

【詳解】如圖所示：將多面體放置于正方體中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為

則A（,0,2）,5（0,l,2）,C（021）,D（l,2,0）

=CD=（l,0,-l）設(shè)異面直線AB與CD所成角為，

\AB-CD\I1

COS0=Y——

所以W-

|.|CD|V2-V2260

故選：C

4.D

【分析】先求出點(diǎn)A（3,3』）關(guān)于平面XOV的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)的距離公式可得結(jié)果.

【詳解】點(diǎn)A（3,3」）關(guān)于平面XOY的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,3，T）,

所以，%，與B（T,L5）的長(zhǎng)度為4'人優(yōu)3+1）。（3-1）2+（-1-5）=2m,

故選D.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【分析】先判斷當(dāng)兩直線11，12與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線11,12間的距離最大，計(jì)算得到最大值,

進(jìn)而得到范圍.

【詳解】當(dāng)兩直線11,12與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線11,12間的距離最大，

最大距離為閘T-2『+[3-（T『5

所以11,12之間的距離的取值范圍是（°，習(xí).

故選：A

6.C

【分析】在三角形SAB內(nèi)作AE1SB交SB于E,進(jìn)而根據(jù)條件證明人￡，面SBC,算出AE的長(zhǎng)度,

再根據(jù)D為AB的中點(diǎn)得到答案.

【詳解】如圖，

在三角形中，過(guò)A作AE_LSB交SB于E,

因?yàn)?1_1面48（7,所以SAJ.BC,又ABJ.BC,SAcAB=A,所以工面SAB,因?yàn)锳￡u面SAB,

所以BCLAE,而AELSB,且BCSB=B,所以AEL面SBC.

12

AE=—

在三角形SAB中，由勾股定理易得58=5,則由等面積法可得：5,因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以

D到平面SBC的距離為：5.

故選：C.

7.C

【分析】利用以，依求出點(diǎn)尸的軌跡方程為（x-if+yJ9,再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑的和的大小

關(guān)系可得兩圓相交，從而可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A（-2,0）,點(diǎn)B（4,0）,且R4_LP8,所以點(diǎn)尸的軌跡是以AB為直徑的圓，

圓心c（i,o）,半徑為3,其方程為（X-I）2+V=9,

所以兩圓的圓心距為J（3-l）2+（4_0f=而=26,兩圓的半徑和為2遙+3,

因?yàn)?石+3>2石，所以兩圓相交，所以滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2,

6

故選：c

8.B

【分析】求出平面口與正方體的截面，利用棱錐外接球的性質(zhì)求出球半徑，即可得出球表面積.

【詳解】分別取A。DC'4穌4G的中點(diǎn)P,QSR,依次連接M,P,Q,N,R,S得到正六邊形，如圖,

由EF//PQ,EF0平面MPQNRS,PQu平面MPQNRS,

可知EFH平面MPQNRS,同理EG//平面MPQNRS,

又EFEG=G,EREGu平面ER7,

所以平面MPQNRS與平面EFG平行，所以該正六邊形就是平面a與正方體的截面,

設(shè)該棱錐的外接球球心為。，半徑為R'，如圖，

連接MMSQ,PR相交于點(diǎn)K,連接。河，則球心°在線段"K上，連接R。,

因?yàn)镵R=MK=PQ=gAC=迂,D、M=SM2+AD：=0

所以D1K=彳』葭=百,

所以在RjRK中可得R=（?+回”），

解得叫華

S=4TIR'2=—

所以外接球的表面積為3

故選：B

9.BCD

【分析】根據(jù)直線方程，分別令x=°，y=°即可判斷AB,由直線斜率可判斷C,求出原點(diǎn)。且與/垂直

7

的宜線方程即可判斷D.

【詳解】在標(biāo)-2丫+6=0中，令"0,得尤=-2,所以A不正確;

令尤=0,得>'=3,所以B正確；

k=->0

因?yàn)橹本€1的斜率為2,所以直線1的傾斜角為銳角，故C正確；

因?yàn)榕c1垂直的直線方程可設(shè)為2x+3y+"=0,又直線過(guò)原點(diǎn)，所以加=。，故D正確.

故選：BCD

10.ACD

【分析】根據(jù)兩直線垂直和平行的判定，以及將直線一般式換成斜截式、點(diǎn)斜式判斷過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，上述

過(guò)程中注意區(qū)分”等于1和不等于1的情況.

a_3

【詳解】對(duì)A和B,如果則4和4的斜率相等，時(shí)2-a-1,『_a=6,解得a=3或a=-2.

當(dāng)a=l時(shí)，4：x+2y+3=O,4：x=-2,兩直線既不平行也不垂直.

當(dāng)a=3時(shí)，4：3x+2y+9=0,4：3x+2y+4=0,,人對(duì).

當(dāng)a=-2時(shí)，4：-x+y-3=O,l2:-x+y-3=0,B錯(cuò).

2,3

2,512="T~=5

對(duì)C,當(dāng)5時(shí)，’25,5,&?他=T,所以LH,c對(duì).

對(duì)D,"+2y+3a=0轉(zhuǎn)化為斜截式為即…--井-”,所以4過(guò)定點(diǎn)(-3,0)同

33

理，4：3x+(a-l)y+7-a=0,"1時(shí)轉(zhuǎn)化為斜截式為)-加戶2)+1,即y1之，4過(guò)

定點(diǎn)();”=1時(shí)，,2為x=—2,也過(guò)定點(diǎn)(一2，1),D對(duì).

故選：ACD.

11.AD

【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)尸a'y),由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡(jiǎn)可判斷A選項(xiàng)；由兩點(diǎn)的距離公式和圓的

圓心得出點(diǎn)(1,1)到圓上的點(diǎn)的最大距離，由此可判斷B選項(xiàng).設(shè)M(x。，為),由已知得

+y：=2&°+2)-+y：,聯(lián)立方程求解可判斷c選項(xiàng)；由點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線

3x-4y-13=°的最大距離，由此可判斷D選項(xiàng).

囹.中+2)2+一」

【詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)P(*M,由AH，。)，8(4,0),謁2(得J(I)2+y22,

化簡(jiǎn)得/+丁+8》=0,即(X+4)-+/=16,故A正確；

8

點(diǎn)（1,1）到圓上的點(diǎn)的最大距離*T—1）+0-0）+4<10,故不存在點(diǎn)D符合題意，故B錯(cuò)誤.

設(shè)M（x（）,%）,由|M0|=2|MA|,得Jx：+%=25（々+2）+%,又（%+4）+焉=16,聯(lián)立方程消去打得

*。=2,解得%無(wú)解，故C錯(cuò)誤；

|3x（-4）-13|5

C的圓心（40）到直線3x-4y-13=°的距離為5,且曲線C的半徑為4,則C上

的點(diǎn)到直線次一紂-13=0的最大距離"『=5+4=9,故D正確；

故選：AD.

12.AC

【分析1當(dāng)”一萬(wàn)時(shí)，可得點(diǎn)P的軌跡，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)，可得P到平面的距離不

1

變，即可判斷A的正誤；當(dāng)―2時(shí)，可得點(diǎn)p的軌跡，利用反證法可證，P到平面8°耳的距離在變化,

即可判斷B的正誤；當(dāng)加+〃=1時(shí)，可得A、P、。三點(diǎn)共線，利用翻折法，可判斷C的正誤；如圖建系,

求得各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得和NgRB的余弦值，列出方程，計(jì)算分析，可判斷D的正誤，即可得

答案.

[詳解]因?yàn)椤?加也+“的，其中機(jī)

所以點(diǎn)P在平面”"。園內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

對(duì)于A：取AD中點(diǎn)E、A"中點(diǎn)F,連接EF,

所以）//例//因，

因?yàn)樗鵑平面BDB],BByu平面BDB],

所以EF//平面B叫

m=-AP=—AD+nAA.

當(dāng)2時(shí)，則2,

所以點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，

因?yàn)樗ㄆ矫?。片，

所以無(wú)論點(diǎn)P在EF任何位置，P到平面BD用的距離不變，即高不變，

所以三棱錐P-8D4的體積為定值，故A正確；

9

對(duì)于B：取AA中點(diǎn)G,0A中點(diǎn)H,連接GH,

n=-AP=mAD+-AA.

當(dāng)2時(shí)，2,所以點(diǎn)P在GH上運(yùn)動(dòng)，

假設(shè)G"http://平面以四，

又GA//8B],G4(Z平面BOB1，8隹0：平面8。81,所以51//平面BOg,

因?yàn)镚AcG"=G,G”,GAu平面G”D4,

所以平面GHD4//平面8。片，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，

所以GH不平行平面

所以P在GH上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到平面8。片的距離在變化，

所以三棱錐尸-8。片的體積不是定值，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：連接A。，A'B,BD,當(dāng)m+〃=l時(shí)，可得4'尸、。三點(diǎn)共線,

將AAO沿翻折至與平面48°共面，如下圖所示

連接AB,當(dāng)P為AB與4。交點(diǎn)時(shí)，B4+PB最小，即為AB,

10

因?yàn)榫鶠槊鎸?duì)角線,

所以43=40=30=及，即ABO為等邊三角形,

乂NAAD=90°44=AD=1

所以Z.ADB=ZAA.B=105。ADBAA.B

所以N4即=30。

ABAD

在中，由正弦定理得sinZADB-sinZAB。,

48=―｝一xsin105。=2(sin45°cos600+cos45°sin60°)=①+瓜

所以sin30。2,故c正確:

,fl

AB

對(duì)于D：分別以DA、DC、D5為x,y,z軸正方向建系，如圖所示，

則8(1,1,0)㈤(0,0,1),設(shè)P(x,0,z),

所以AP=(x,0,z_l),〃B=(l,l,T),

/ncnDPRBX-Z+l

所以1研=&+=3

因?yàn)開(kāi)L平面AB|CQ,B,Dtu平面人百6口,

所以叫_LBQ,

又B、O,=\/2,BD[=5/3

cosZB,D、B=BQ'=

所以一叫3,

x-z+1

所以Jx2+(z-l)23,整理得X2+Z2+2XZ-2X-2Z+1=0,

所以(x+z-l)2=0,即x+z_]=0,xe[0,l],ze[0,l]

11

所以P點(diǎn)軌跡為線段，故D錯(cuò)誤

故選：AC

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行判定與性質(zhì)，向量共線、數(shù)量積求夾角等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，

難度較大，考查學(xué)生分析理解，計(jì)算求值的能力，屬難題.

13.2

11

【分析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價(jià)關(guān)系，4，勾=“力二°,計(jì)算即可.

11

【詳解】因?yàn)椤睹?，則其方向向量“仍=以(-2)+2*3+(—2)%=0,解得加=2.

故答案為：2.

14.120°

【分析】由直線垂直及直線傾斜角的定義確定直線4的傾斜角大小.

【詳解】由即直線￡4夾角為90。，又直線傾斜角0范圍為0°48<180。，

而直線4的傾斜角為30°,所以直線4的傾斜角為120°.

故答案為：120。

15.63扃

【分析】設(shè)半球半徑為R,圓臺(tái)上底面圓半徑為廠=3,圓臺(tái)的高為3進(jìn)而并根據(jù)軸截面中的幾何關(guān)系

得〃=3括，再計(jì)算體積即可得答案.

【詳解】解：設(shè)半球半徑為尺，圓臺(tái)上底面圓半徑為「=3,圓臺(tái)的高為〃.

所以，作出軸截面，如圖，

_匕*=一兀網(wǎng)=1447r/

因?yàn)榘肭虻捏w積為1"打，所以2球3,解得R=6,

12

由題意知五二戶+",代入解得〃=3g,

/臺(tái)二1"(S上+5下+Js上5下)=-x30x(9K+36K+\/9兀-36兀)=63G兀

所以，圓臺(tái)體積’3-3.

故答案為：63V57t

16.［夜-1,30+11

【分析】根據(jù)直線系求出定點(diǎn)，再由垂直確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓，根據(jù)圓心距離判斷圓的位置關(guān)系，利用圓

的幾何性質(zhì)求出忱M|取值范圍即可.

【詳解】依題意,直線個(gè)皿x-3)-〃(yT)=°恒過(guò)定點(diǎn)43,1),

直線4:“(x-l)+皿y-3)=0恒過(guò)定點(diǎn)2(1,3),

因?yàn)椤??+(一")〃?=°,所以直線

因此，直線4與&交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，

其方程為：?！笆?⑶")、？，圓心N(2,2),半徑4=血,

而圓C的圓心C(°，°),半徑”=1,如圖：

\NC\=2y/2>rt+r2兩圓外離，

由圓的幾何性質(zhì)得：口加1"而=|%。1-4-4=0-1,IPWLx=INC|+4+弓=30+1,

所以忸M的取值范圍是:lV2-1,372+1]

故答案為：[&T3a+11

7x4-24-y—100=0

⑵3x+4y-24=0

13

【分析】（1）設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離求出斜率即可得解;

（2）設(shè)出直線方程，求出截距，利用面積求出斜率即可得解.

【詳解】（1）由題意知直線1的斜率存在，

設(shè)直線1的方程為＞-3=燈”-4）,即H-y-4后+3=0,

」\-4k+3\7

d=-i——=4Ak=----

則點(diǎn)O到直線1的距離4+1,解得24.

7（

---x-y-4x---+3=0

故直線1的方程為24（24）,即7x+24y-100=°

（2）由題意知直線1的斜率存在，

設(shè)直線］的方程為y-3=k（x_4）,即丘-y-4k+3=0,

令x=0,可得y=4+3,

“3

八1=4——

令y=o,可得k,

13

5八ARC=_x（3—必）（4——）=24

所以?2k，,即169^+242+9=0,

k=3

解得4,

故所求直線方程為3x+"-24=0

巫

18.（1）12兀Q）4

【分析】（1）根據(jù)圓錐軸截面及表面積公式計(jì)算即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線夾角的余弦即可.

【詳解】（1）?.?圓錐的底面半徑r=2,

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB,可得SA=4,

5=7tx22+—x47rx4=127t

二圓錐的表面積2

（2）以。為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

14

由題意可得SO=26,則S（O,O,24）,O（O,O,O）,A（O,2,O）,0（2,O,O）,咽網(wǎng)

則SO=（0,0,-2G）,PQ=（2,-1,_G）

設(shè)異面直線PQ與SO所成角的大小為9,

\SOPO\6x/6

cos6=

\SO\\PQ\~446~^

則

故異面直線PQ與SO所成角的余弦值為4.

19.⑴圓心（°」）,半徑石，,與圓相交；

⑵炳.

【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求其圓心C和半徑r,求出直線1經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與

圓的位置關(guān)系即可判斷1與圓的位置關(guān)系；

（2）求出圓心到直線的距離d,根據(jù)恒回=2戶萬(wàn)7即可求弦長(zhǎng).

【詳解】（1）由題設(shè)知圓

.?.圓C的圓心坐標(biāo)為C（°」），半徑為r=石.

又直線/可變形為：yT=m（x-）,則直線恒過(guò)定點(diǎn)"°』），

22

71+（1-1）=1<5

.?.點(diǎn)”在圓C內(nèi)，故直線/必定與圓相交.

（2）由題意知掰二°,

二直線1的斜率k=加=tan12°°=,

”I-a—上

...圓心C（°J）到直線/：國(guó)+尸6-1=0的距離［（同+122,

|AB|=2介_(kāi)/=2卜_；=拒

2回

20.（1）證明見(jiàn)解析（2）15

【分析】（1）延長(zhǎng)C8與OE相交于點(diǎn)尸，連接AP,根據(jù)中位線證明4尸，得到證明.

15

(2)證明A°'°N,以。為原點(diǎn)，°N,02°A所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,

計(jì)算平面AOC的一個(gè)法向量為'"=(1」」)，根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】(1)延長(zhǎng)CB與。E相交于點(diǎn)尸，連接AP,

為A8邊的中點(diǎn)，四邊形ABCO為矩形，

BE=-CD-

:.BE"CD,2，，破為的中位線，.'B為線段CP的中點(diǎn)，

.?.M為線段4c的中點(diǎn)，...4尸平面ADE,4尸q平面4。匹

〃平面AQE.

(2):AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，.?.AD=他，即A0=AE,

取線段￡>￡的中點(diǎn)°，連接4°,QN，則由平面幾何知識(shí)可得A°口°NCE

又?.?四邊形ABC。為矩形，AB=24),E為邊AB的中點(diǎn)，

,?,DEICE,DELON?

?.,平面4。石~L平面A8C￡),平面4。石1平面A8C￡)=￡)E,A|0_1_￡>石...4O_L平面A3CZ),

?.?QNa平面A8CQ,：\OLON

以。為原點(diǎn)，ONQDQA所在的直線分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系0一型，

則fi(l,-2,0),C(2,-l,0),A(。，。』)，,ZW,O),,或=(2,-1,-1)

DC=(2,-2,0)

*

m-A^C=0j2x-y-z=0

設(shè)平面A8的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則［力。。=0,即⑵-2y=0,

不妨取x=i,則y=Lz=i,即加=(ui),

16

設(shè)直線與平面所成角為。，則

2>/30

sin6=|cos(m,BM)|=-----

\/\m\-\BM\VlOr-15

-xV3

2

2回

直線BM與平面A。。所成角的正弦值為下

【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行和線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

21.(l)8xT5y-2=0或y=2⑵3五-1

【分析】