江蘇南通名校聯(lián)盟2024屆高三12月學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合監(jiān)測數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇南通名校聯(lián)盟2024屆高三12月學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)

合監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合1>1,則知（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.[0,2）D.[0,2]

2.已知復(fù)數(shù)z和虛數(shù)單位i滿足2=T匚，則彳=（）

l+i

11.11.

A.-------1B.—+—1

2222

C.1-iD.2-2i

3.已知向量G=（l,m）,B=,月.（。+3_1_族，則實數(shù)加=（）

A.3B.1C.--D.-3

22

4.為了得到函數(shù)丁=5宙（2%+二的圖象，只需把函數(shù)y=sin12x-=]的圖象（）

7TTT

A.向右平移二個單位長度B.向左平移二個單位長度

44

TTTT

C.向左平移大個單位長度D.向右平移一個單位長度

22

（2x）

5.1----（x+y）6的展開式中的系數(shù)為（）

Vy）

A.55B.-70C.65D.-25

6.已知函數(shù)"x）=ei-ei+4,若方程=履+4-左（左>0）有三個不同的根石,％,龍3，則

/+/+尤3=（）

A.4B.3C.2D.k

7.道韻樓以“古、大、奇、美”著稱，內(nèi)部雕梁畫棟，有倒吊蓮花、壁畫、雕塑等，是歷史、文化、民俗一體的觀

光勝地道韻樓可近似地看成一個正八棱柱，其底面面積約為3200（亞+1）平方米，高約為11.5米，則該

八棱柱的側(cè)面積約是（）

A.460平方米B.1840平方米C.2760平方米D.3680平方米

8.設(shè)a=3"，b=/，cue71（e為自然對數(shù)底數(shù)），則m乩c大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.ob>a

二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高，我國社會物流需求不斷增加，物流行業(yè)前景廣

闊.社會物流總費用與GDP的比率是反映地區(qū)物流發(fā)展水平的指標，下面是2017?2022年我國社會物

流總費用與GDP的比率統(tǒng)計，則（）.

2017-2022%我國*公物流總費用'/GDPffj比率統(tǒng)計

A.2018?2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，且2019年增長的最多

B.2017?2022這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)為16.7萬億元

C.2017?2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為0.2%

D.2019年我國的GDP不達100萬億元

10.設(shè)數(shù)列｛4｝前〃項和為5.，滿足用「4,“cN*且％=14,則下列選項正確的是（）

A.an=-4n+14

葭

B.數(shù)列為等差數(shù)列

n

C.當"=8時S“有最大值

D.設(shè)bu=anan+lan+2,則當〃=2或”=4時數(shù)歹U{4}的前〃項和取最大值

11.已知點是函數(shù)/（x）=sin|0x+：］+6（0〉O）的圖象的一個對稱中心，貝IJ（）

-1是奇函數(shù)

28,*

B.(D=------卜一k,左eN

33

上有且僅有2條對稱軸，則。=2

D.若/⑴在區(qū)間長,g］上單調(diào)遞減，則0=2或0=g

12.如圖，在棱長為2的正方體A8CQ—中，已知跖N,尸分別是棱G2，BC的中

點，。為平面尸MN上的動點，且直線。片與直線。耳的夾角為30。，則（）

A.DB［1平面PMN

B.平面尸MN截正方體所得的截面面積為

C.點。的軌跡長度為兀

D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為

3-V3

2

三、填空題

13.已知點尸是曲線y=Inx上的一點，則點尸到直線x-y=0的最小距離為.

14.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S”=（a—2）/+〃+a,?eN*.若｛4｝是等差數(shù)列，則｛4｝的通項公式為

15,某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：cm）,其尺寸X服從正態(tài)分布且P（X<20）=0.2,

尸（X<26）=0.8,則〃=.

226

16.已知橢圓=+2T=l（a〉6〉0）的左焦點為R離心率為火，過P的直線/交橢圓于A,B兩點,且

ab3

|AF|=3|^|,則直線I的斜率為.

四、解答題

17.已知口ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為。，仇c,J!LccosA-acosB+c=0.

（1）求sin2_S+sin2C-sin2A的值；

（2）若。=5,求口ABC面積的最大值.

18.近年來，國家鼓勵德智體美勞全面發(fā)展，舞蹈課是學(xué)生們熱愛的課程之一，某高中隨機調(diào)研了本校

2023年參加高考的90位考生是否喜歡跳舞的情況，經(jīng)統(tǒng)計，跳舞與性別情況如下表：（單位：人）

喜歡跳舞不喜歡跳舞

女性2535

男性525

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析喜歡跳舞與性別是否有關(guān)聯(lián)？

（2）用樣本估計總體，用本次調(diào)研中樣本的頻率代替概率，從2023年本市考生中隨機抽取3人，設(shè)被抽

取的3人中喜歡跳舞的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

附.y2=__________'八一八/________

Z(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

「、

19.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,1---—1=c2n+,l.

Cl)求｛凡｝的通項公式；

2a

(2)若b“=、-求數(shù)列也,｝的前〃項和7；.

乙，nIJL

20.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。是正方形，底面分別是PC,AD中

點.

(1)求證：DE〃平面PFB；

(2)若尸8與平面ABC。所成角為45°，求平面PEB與平面EZ陽夾角的余弦值.

21.已知/^^刀卜巴卜嶼刀卜加為平面上一動點，且滿足I颯|-|叫|=4,記動點M的軌跡為曲線E

(1)求曲線E的方程；

(2)若4-2,0),3(2,0),過點(1,0)的動直線/交曲線E于P,Q(不同于A,B)兩點，直線AP與直線

k

8。的斜率分別記為右p，⑥°，求證：/為定值，并求出定值.

^BQ

22.已知函數(shù)/(x)=加〉0).

(1)若/(x)W0恒成立，求冽的取值范圍；

(2)若"X)有兩個不同的零點X1,%，且％2>2再，求實數(shù)冽的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本大題共8小題)

1.已知集合1>1,則知()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.[0,2)D.[0,2]

【答案】B

【解析】

【分析】先求A集合，再利用交集概念求解即可.

【詳解】因為4={.2](%-2)(%+1)<0}={-1,0,1,2},3=何04》45},所以Afi5={0,1,2}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z和虛數(shù)單位i滿足2=T匚，則彳=()

1+1

11.11.

A.-------1B.—+—1

2222

C.1-iD.2-2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出z,再結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念求相

1i(>i)-1?2+1?11.-11

【詳解】「二下二—I—1所以—

(l+i)(j)22222

故選：A

3.已知向量g=(L"2),B=(i,—1),且伍+可,九則實數(shù)加=()

A.3B.《C.--D.-3

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示計算即可.

【詳解】由萬=(1,機)，B=(1,-1)=^>a+b=(2,m-l).

因為(G+1_1_石,所以(方+=lx2+(-l)x(m-l)=0=>m=3.

故選:A.

、

4.為了得到函數(shù)》=5畝12%+￡的圖象，只需把函數(shù)y=sin12x—m71J的圖象（

）

3

A.向右平移一TT個單位長度B.向左平移一TT個單位長度

44

7TTT

C.向左平移'個單位長度D.向右平移大個單位長度

22

【答案】B

【解析】

TTTT

【分析】先把目標函數(shù)變形為y=sin［2（x+^）］,再把平移函數(shù)變形為y=sin［2（x-：）］,即可確定平移方

126

向和平移單位.

、

【詳解】因為函數(shù)》=sin〔2x+?可變形為/=5訶21+與,

12

7

函數(shù)y=sin12x—可變形為,=sin[2（x—《71）],

6

、

故把函數(shù)丁=sing—1］的圖象向左平移7;1個單位即可得到》=sin12%+二71的圖象,

467

故選：B.

5.1一一（x+y）6的展開式中》前2的系數(shù)為（

A.55B.-70C.65D.—25

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)（x+y）6展開式的通項公式進行計算即可.

2x

【詳解】含X4y2的項為T=1義C*4y2__xc^3y3=-25x4/,

所以展開式中x4y2的系數(shù)為-25.

故選：D.

6.已知函數(shù)〃x）=ei-e-'+4,若方程=履+4—左（左＞0）有三個不同的根和龍2，$，則

/+/+%=（）

A.4B.3C.2D.k

【答案】B

【解析】

【分析】由題意，易知丁=^--X為奇函數(shù)，f(x)由函數(shù)y=d-e7向右平移一個單位長度，再向上平

移4個單位長度而得到的，所以的圖象關(guān)于點(1,4)對稱，再根據(jù)直線也關(guān)于點(1,4)對稱，即可得答

案.

【詳解】由題意，因為ef—ex=—(e"-er),所以y=e，—eT為奇函數(shù)，

/(x)由函數(shù)y=-片'向右平移一個單位長度，再向上平移4個單位長度而得到的，

所以/(力的圖象關(guān)于點(1,4)對稱.

而〃x)=履+4—左=左(%—1)+4所表示的直線也關(guān)于點(1,4)對稱，

所以方程/(%)=依+4-左的三個實根石,9,尤3中必有一個為1，另外兩個關(guān)于x=l對稱，所以

%+%+￡=3.

故選：B.

7.道韻樓以“古、大、奇、美”著稱，內(nèi)部雕梁畫棟，有倒吊蓮花、壁畫、雕塑等，是歷史、文化、民俗一體的觀

光勝地道韻樓可近似地看成一個正八棱柱，其底面面積約為3200(亞+1)平方米，高約為1L5米，則該

八棱柱的側(cè)面積約是()

A.460平方米B.1840平方米C.2760平方米D.3680平方米

【答案】D

【解析】

27r7i

【分析】利用ABCDERG”是正八邊形，求得NAO3=—=-,利用余弦定理求得

84

OA2=^^^AB2f利用底面面積求得A5=40,從而求得側(cè)面積.

2

27r

【詳解】如圖，由題意可知底面A5CDEFG”是正八邊形，ZAOB=——=-,由余弦定理可得

84

2222

AB=OA+OB-2OAOBcosZAOB=（2-V2）OA,則QA?=2+拒ABi因為底面

2

ABCDEFGH的面積為3200（72+1）平方米，所以8xgx*x笞巨AB2=3200（應(yīng)+1）,解得

AB=40.則該八棱柱的側(cè)面積為320x11.5=3680平方米.

故選：D.

8.設(shè)〃=3兀，b"，c=^（e為自然對數(shù)底數(shù)），則〃，4c大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

叱利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性

【分析】由ln〃=7tln3,lnb=eln7tInc=7t且In。>Inc,構(gòu)造/(%)=

比較皿,也￡大小，即可得結(jié)果.

兀e

【詳解】由題設(shè)ln〃=7rln3,lnb=eln兀，lnc=?i,顯然ln〃>lnc,

,__f,廠―..rIn7iIne..

對于eIn兀，兀的大小，只需比較---,---大小,

兀e

令/(x)=@±且X2e,則r(％)=匕坐40,即Ax)在e+s)上遞減,

XX

ll」In兀Ine上…’.,

所以---<----,故lnZ?=eln?t<lnc=7t,

兀e

綜上，In>Inc>InZ?,i^a>c>b.

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高，我國社會物流需求不斷增加，物流行業(yè)前景廣

闊.社會物流總費用與GDP的比率是反映地區(qū)物流發(fā)展水平的指標，下面是2017?2022年我國社會物

流總費用與GDP的比率統(tǒng)計，則（）.

2017-2022年我國社會■物流總貨陽,,GDP的比率統(tǒng)計

A.2018?2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，且2019年增長的最多

B.2017?2022這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)為16.7萬億元

C.2017?2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為0.2%

D.2019年我國的GDP不達100萬億元

【答案】BCD

【解析】

【分析】由圖表結(jié)合統(tǒng)計相關(guān)知識逐項判斷可得答案.

【詳解】由圖表可知，2018~2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，2021年增長的最多，且增長為

16.7—14.9=1.8萬億元,故A錯誤；

因為6x70%=4.2,貝1J70%分位數(shù)為第5個，即為16.7,

所以這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)為16.7萬億元，故B正確；

由圖表可知，2017?2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為14.8%-14.6%=0.2%,

故C正確；

由圖表可知，2019年我國的GDP為14.6+14.7%<100萬億元，故D正確.

故選：BCD.

10.設(shè)數(shù)列｛4｝前〃項和為5.，滿足用「4,“cN*且％=14,則下列選項正確的是（）

A.an=-4n+14

B.數(shù)列為等差數(shù)列

C.當"=8時S“有最大值

D.設(shè)bn=anan+1an+2,則當〃=2或”=4時數(shù)歹U｛4｝的前〃項和取最大值

【答案】BD

【解析】

s

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出通項公式判斷A,求出。=-2〃+16,然后利用等差數(shù)列定義判斷B,

n

結(jié)合二次函數(shù)求等差數(shù)列前〃項和的最大值判斷C,根據(jù)2的符號判定｛〃｝前"項和的最值判斷D.

【詳解】對于A,由=-4知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，公差為-4,首項為%=14,

所以該數(shù)列的通項公式為凡=14-45-1)=-4〃+18,錯誤；

一幾(14+18-4〃)9▽…S-21+16"

對于B,因為S=---------=-------------=—2n+16〃，所以一^二-----------=—2〃+16,

22nn

cc1S]

則當〃22時，i——0二—2幾+16—(—2〃+18)=—2,故數(shù)列彳。卜為等差數(shù)列，正確；

nn-1tnJ

對于C,S〃=一2〃2+16〃=一2(〃一4)2+32,故當〃=4時，S”有最大值，錯誤；

對于D,令凡〉0得令?！?lt;0得〃>5,

則當〃=1或2時，bn=anan+ian+2>0,

當〃=3時，4<0,當〃=4時，d>0，當時，bn<0,

又&=。3。4。5=6x2x(-2)=-24,Z?4=a4a5a6-2x(-2)x(-6)=24,

所以〃=2或〃=4時，數(shù)列｛么｝的前〃項和取最大值，正確.

故選：BD

11.已知點是函數(shù)/(x)=sin[s+：)+Z?3〉0)的圖象的一個對稱中心，則()

28

B.(D-----\--k,keN

33

3兀1171

C.若/（X）在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸，則。=2

D.若“X）在區(qū)間佚,g］上單調(diào)遞減，則0=2或0=g

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)f（x）的對稱中心求得仇。，根據(jù)奇偶性、對稱性、單調(diào)性等知識確定正確答案.

【詳解】依題意，點dm1］是函數(shù)〃"=5皿卜》+仁）+6（0〉0）的圖象的一個對稱中心,

(371兀八37rit,28,,.

所以6=1,且sin|二10+7=0,—co—=kn,G)=-----1—k,keN①，B選項正確.

I848433

28]n,

則〃x)=sin---1—左—+1,左eN,

33)44

3兀-l=sin二+然3兀+兀

所以/x%--

8(33

=sin二+汨,+'(1-2左),

33J

3兀—耳+耳左］x+g。-2左）是偶函數(shù),

由于1-2左是奇數(shù)，所以/%---1=sin

2

A選項錯誤.

3兀11兀3兀71兀11兀兀

C選項,一<x<---,—刃+一<COXH--<---。-1,

8884484

2Q

將。=——+—左，左eN*代入得:

33

3兀71711171[28j7n1

二+九+巴(二+二x+—<---——+—左7+一,

8334(3348334

_口j\28]兀78E2兀

整理得女兀<----卜一7k\x+—<kn-\------------,

I33J433

3兀1171

由于/（x）在區(qū)間

石'K-上有且僅有2條對稱軸,

什「3兀8左兀2兀5?！?13719

所以一<--------<—,解得一<ZV—,由于左sN*，所以k=1,

23321616

28

對應(yīng)G=--1—=2,所以C選項正確.

33

712兀

D選項，在區(qū)間上單調(diào)遞減,

5'5

712n7i2兀7171712兀71

——<%<-----,——CO<CDX<------①,——COH<COXH<--G)H,

555554454

2Q

將。=——+?左，左eN*代入得：

33

n.2+染+巴71＜一22+久8升巴71〈生2兀28J兀71

---1—k-\—,

334334533J4

田/口8兀77兀/228871兀兀1166兀K7兀71

整理得——左+——<——+—左x+—<---k------

1560I3333J44151560

（Q「、1r7

16K7117

則NL一一二2+刀V兀，解得IV左＜彳~,而左￡]＞}*,所以左=1或左=2,

60\1560）88

8兀,7兀16K,兀377r21K

笈=1時,k+——,----k------,符合單調(diào)性,

156015606020

87t,7兀16兀.7171兀1277r

左=2時,——k+——,----k，不符合單調(diào)性，所以左=2舍去

156015606060

2Q

所以。=―一+—xl=2,所以D選項錯誤.

33

故選：BC

12.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！狝AGA中，已知M,N,P分別是棱G2，AA，BC的中

點，。為平面PMN上的動點，且直線。用與直線。用的夾角為30。，則（）

A.DB]±平面PMN

B.平面PMN截正方體所得的截面面積為3百

C.點。的軌跡長度為兀

D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為

3-V3

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項，建立空間直角坐標系，求出平面PAW的法向量，得到線面垂直；B選項，作出輔助線，

找到平面尸截正方體所得的截面，求出面積；C選項，作出輔助線，得到點。的軌跡，并求出軌跡長

度；D選項，由對稱性得到平面RW分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，由對稱性可知，球心在

BQ上,設(shè)球心為由網(wǎng)得到方程，求出半徑的最大值.

【詳解】A選項，以D為坐標原點，。4,。。,。2所在直線分別為羽以2軸，建立空間直角坐標系，

P（l,2,0）,M（0,l,2）,N（2,0,l）,D（0,0,0）,B,（2,2,2）,

故函=（2,2,2）,麗=（—1,一1,2）,麗=。,—2,1）.

設(shè)平面PMN的法向量為m=（x,y,z）,

m?PM-（x,y,z）?（-1,-1,2）=-x-y+2z=0

in.PN=（%,〉/）?（1,一2』）=%-2y+z=0

令z=l得，x=y=l,故機=

因為萬瓦=2/，故￡＞與_L平面PMN,A正確；

MCi

B選項，取的中點E,￡。，連接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,AB,CDi,

因為M,N,P分別是棱￡2，A4，BC的中點,

所以NR//43,MQ//CD],又CD111EPIAB,

所以NP//MQ//EP,所以平面尸MN截正方體所得的截面為正六邊形EPQMEN,

其中邊長為也,故面積為6義曰義(、巧了=3百，B正確;

C選項，。為平面尸MN上的動點，直線。及與直線。4的夾角為30°,

又。耳！,平面PMN,設(shè)垂足為S,以S為圓心,廠=半與S為半徑作圓,

即為點。的軌跡，

其中與￡)=|麗|=14+4+4=2百,由對稱性可知，BIS=：B1D=6,

故半徑r=xV3=1,

3

故點。的軌跡長度為2兀，C錯誤；

D選項，因為M,N,P分別是棱G2，M-的中點,

所以平面尸MN分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱,

不妨求能放入含有頂點D的空間幾何體的球的半徑最大值，

該球與平面PMN切與點S,與平面AD_D]4，平面ADC3,平面。CCQi相切，

由對稱性可知，球心在耳。上，設(shè)球心為則半徑為，，

5(1,1,1),故I麗卜心即6(1—/)=人解得;41,

故球的半徑的最大值為三無，D正確.

2

故選：ABD

【點睛】立體幾何中截面的處理思路：

(1)直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是

找交線的過程；

(2)作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點

找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；

(3)作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后

借助交點找到截面形成的交線；

(4)輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.

三、填空題

13.已知點尸是曲線y=lnx上的一點，則點尸到直線x—y=0的最小距離為.

【答案】1

2

【解析】

【分析】設(shè)_y=x+〃z(根。0)與y=lnx相切與點。(罰』11%),求得切線方程，再利用兩直線間的距離

求解.

【詳解】由題意可知：/=-,

X

設(shè)。=無+加(陽=0)與。=ln為相切與點2(x0,lnx0),

則了=工，令了=2=1,得力=1,則切點Q(1,O),

代入y=x+根(根。0),得加=-i,即直線方程為x-y-i=o,

所以與直線X—y=0間的距離為d==

即為p到直線％-y=0的最小距離，

故答案為：也.

2

14.已知數(shù)歹（!｛4｝的前九項和S”=（a—2）/+〃+*neN*,若｛4｝是等差數(shù)列，則｛4｝的通項公式為

【答案】an=-4n+3

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的定義以及S”,4的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】由=（〃一2）m2+〃+〃知，

當〃=1時，q=H=2。-1；

當〃22時，冊=Sn-=2（〃—2）n+（3—〃）,

此時，當〃=2時，出=4（〃一2）+（3-〃）=3〃一5,

當〃22時，=2（。一2）,而4—q=3〃一5—（2〃-1）二〃一4,

若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則2（〃—2）=〃—4,

所以〃=0,則=—4〃+3.

故答案為：氏=-4〃+3.

15.某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：cm）,其尺寸X服從正態(tài)分布N（〃,CT2）,且P（X<20）=0.2,

尸（X<26）=0.8,則〃=.

【答案】23

【解析】

【分析】求得P（X226）=P（XW20）,再利用正態(tài)密度曲線的對稱性可求得〃的值.

【詳解】因為X服從正態(tài)分布且P（XW20）=0.2,尸（X<26）=0.8,

則P（X226）=1—P（X<26）=1—0.8=0.2=P（XW20）,

“得=

所以,23.

2

故答案為：23.

226

16.已知橢圓二+3=1（?！等恕?）的左焦點為-離心率為火，過P的直線/交橢圓于A,B兩點,且

ab3

|AF|=3|FB|,則直線/的斜率為.

【答案】一叵或旦

33

【解析】

【分析】由4F,2三點共線可得而=3而，再將43兩點代入橢圓得到對應(yīng)關(guān)系式，最后消去。求出

為，進而得到直線的斜率.

【詳解】設(shè)A(XQJ,B(x2,y2),因為|A7“=3|R3|,

又A,F,B三點共線，所以通=3通,

所以(-c—Xi，-%)=3(%+J%)，所以石+3%=-4。，%+3y2=0.

又A（X21）,5（%2，＞2）在橢圓上，

(22

----------

94.才9yL

所以

22--,o2--1---n------G，

三&aab2b2

U23b1=1

(%+3%2)(%-3%2)?(%+3%)(%-3%)

=-8，

所以一4c（x—3々）=_8,所以玉—3々=生，

ac

2同

所以石=9--2c,又￡=中，所以〃=3。2,所以％=c,

ca3

由￡+4=1，解得X=土豆1c，

當y=2叵c時，直線/的斜率％=一^=￡;

3%+c3

當x=-時，直線/的斜率左=一^=-立，所以直線/的斜率為—且或

13%+c333

四、解答題

17.已知口ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為。，4c,J=LccosA-acosB+c=0.

（1）求sidB+sin2c-sin2A的值;

（2）若。=5,求DABC面積的最大值.

25

【答案】（1）0（2）—.

4

【解析】

TT

【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和的正弦公式可得cosA=0,即可得A=—,利用誘導(dǎo)公式計算可得

2

sin2B+sin2C-sin2A=0;

1*6225

（2）利用不等式可得Snz“=±bcsinAV匕二一，再由勾股定理即可求得口43。面積的最大值為一.

"244

【小問1詳解】

因為ccosA-〃cos5+c=0,

由正弦定理可得sinCcosA—sinAcosB+sinC=0.

又sinC=sin（A+5）=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinCcosA+cosAsiaB=cosA（sinB+smC）=0.

又因為sinB+sinCw0,所以cosA=0.

又Ae（0,7i）,可得A=],

故sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2=sin2B+cos2B-1=0.

【小問2詳解】

兀11/72「2

因為A=大，所以SMc=1~csinA=—bc?------，

2nABC224

當且僅當人二c時，等號成立.

又可知。2+，=〃2=25，

25

所以DABC面積的最大值為二

18.近年來，國家鼓勵德智體美勞全面發(fā)展，舞蹈課是學(xué)生們熱愛的課程之一，某高中隨機調(diào)研了本校

2023年參加高考的90位考生是否喜歡跳舞的情況，經(jīng)統(tǒng)計,跳舞與性別情況如下表：(單位：人)

喜歡跳舞不喜歡跳舞

女性2535

男性525

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗,分析喜歡跳舞與性別是否有關(guān)聯(lián)?

(2)用樣本估計總體，用本次調(diào)研中樣本的頻率代替概率,從2023年本市考生中隨機抽取3人，設(shè)被抽

取的3人中喜歡跳舞的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

n(ad-bc)

附：z2-------————!——:------------，n=a+b+c+a.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.005

Xa2.7063.8415.0246.6357.879

【答案】(1)認為喜歡跳舞與性別有關(guān)聯(lián)

(2)分布列見解析，1

【解析】

【分析】(1)計算出力？的值，對照卡方表完成檢驗；

(2)分別計算出樣本中喜歡跳舞和不喜歡跳舞的概率，根據(jù)二項分布即可求出隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

【小問1詳解】

零假設(shè)：H。：喜歡跳舞與性別無關(guān)聯(lián)，

90(25x25-35x5)2

由題意,=5.625〉3.841，

60x30x30x60

依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，可推斷“°不成立，即認為喜歡跳舞與性別有關(guān)聯(lián).

【小問2詳解】

由題知，考生喜歡跳舞的概率P=|^=g,不喜歡跳舞的概率為g

X的可能取值為0,1,2,3

P（X=1）=C；

22/

-=P（X

39,

所以X的分布列如下:

X0123

8421

P

279927

由乂~513，!),數(shù)學(xué)期望E(X)=3x；=l.

，、11c,

19.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,------—=2n+l.

(1)求｛4｝的通項公式；

2a

(2)若b"=\~=，求數(shù)列出｝的前〃項和7；.

乙，-I-JL

【答案】(1)an=\

n

T；32〃+3

⑵"2(〃+1)(”+2)

【解析】

【分析】(1)累加法計算通項公式即可；

(2)利用裂項相消法計算即可.

【小問1詳解】

11c,

因為---------=2n+l,

%+lan

所以------=2x1+1=3,------—=2x2+l=5,…，-----------=2n—1,

“2"1%冊冊-1

累加得------=3+5+…+2〃一1------------'/-I,

???i2

121

因為q=1,所以一=n,故4==；

ann

【小問2詳解】

b=2a,2NxX±72J1

"2〃a"+l2nx—+1”(〃+2)nn+2

_1+J___1____1_32n+3

2n+1n+22(n+l)(n+2)'

20.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，底面ABC。是正方形，底面ABC。,EI分別是PC,中

點.

(1)求證：DE〃平面PFB；

(2)若尸2與平面46C。所成角為45°，求平面PEB與平面夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

力7卮

55

【解析】

【分析】(1)設(shè)G為尸3中點，連接GE,EG,證明。E//bG即可；

(2)利用向量法求出兩個平面的法向量，再利用平面與平面的夾角公式計算即可.

【小問1詳解】

設(shè)G為網(wǎng)中點，連接GE,EG,

又分別是PGAO中點，

所以，

FD=AD,GE=L5C,GE//BC,

22

又底面ABC。是正方形,

所以ED=GE,GE//FD,故四邊形田EG為平行四邊形，則。E//fG,

由。E平面PFB,FGu平面PFB,則。E//平面PFB.

【小問2詳解】

由題意知/尸3。=45°，以。為原點，構(gòu)建空間直角坐標系,

令A(yù)B=1,則PD=DB=亞,

'1J2)

所以3(1,1,0),。(0,0,0),石0,-,^-,F

(22J

所以。3=(1,1,0),DE=0,-,^-,PB加品。,

(22J

in?DB=%+y=0

令加=(%,y,z)為平面￡05的一個法向量，則＜

-7^1n

m-DE--y-\-----z=0

22

令y=冊,即加=卜/5,J5,—1),

n-PB=a+b—42c=0

令元=(a,b,c)為平面PFB的一個法向量,則《

——?1,

ri?FB=—a+b=O

2

2,即行",曾

令Q

[2J

所以

即平面PFB與平面EDB夾角的余弦值拽5.

55

21.已知/^^刀卜巴卜嶼刀卜加為平面上一動點，且滿足I咽|-|班|=4,記動點M的軌跡為曲線E

(1)求曲線￡的方程；

(2)若4-2,0),3(2,0),過點(1,0)的動直線/交曲線E于P,Q(不同于A,B)兩點，直線AP與直線

k

BQ的斜率分別記為右P，凝0，求證：/為定值，并求出定